Kripke çerçevesi

Açılış sahnesi

Kerem, dört dairesini ve aralarındaki okları temiz bir kâğıda yeniden çiziyor, ama bu kez dairelerin içini boş bırakıyor. Sonra aynı çizimin iki kopyasını çıkarıyor. Birinci kopyada, dairelere grubun asıl sorusuna dair cümleler yazıyor: hangi dairede bir düzelticinin bulunduğunu, hangisinde müstensihin tek başına çalıştığını. İkinci kopyada ise aynı dairelere mürekkebin rengine dair cümleler yazıyor. İki kopyanın okları aynıydı; yalnızca içleri farklıydı. Kerem, Tolga'nın bir günlük olanakta bulduğu kuralın, "zorunlu olan zorunlu olarak zorunludur" ilkesinin geçersizliğinin, iki kopyada da aynı kalacağını fark ediyor. Kural, dairelerin içinden değil, okların biçiminden geliyordu.

Selin, bir kip ilkesinin bir çizimde "geçerli" olmasının, o çizime yazılabilecek bütün cümleler için mi yoksa yalnızca bir yazım için mi söylendiğini soruyor. Tolga, yasal zorunluluğun bir çiziminde, gerçek dünyada yasanın çiğnenmediği bir yazımda, "zorunlu olan doğrudur" ilkesinin tesadüfen doğru çıkabileceğini gösteriyor. Barış, bir sözleşmenin kurallarının, hangi olaylar gerçekleşirse gerçekleşsin, yalnızca yapısı yüzünden tutarlı olabileceğini hatırlatıyor. Defne, bazı özelliklerin, örneğin "hiçbir muayene kendisinden sonra gelmez" gibi bir özelliğin, bir çizimde bulunduğu hâlde hiçbir kip cümlesiyle ifade edilip edilemeyeceğini merak ediyor. Lina ise grubun benimsediği bir ilkeler listesinin, grubun gerçek durumunu gösteren çizimlere uymayabileceğini düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Modal ve Yoğun Mantıklar kursunda, bir dünyalar kümesi ile bir erişilebilirlik ilişkisinden oluşan çerçevenin ne olduğunu, bir çerçeveye bir değerleme eklenerek nasıl bir model kurulduğunu ve bir kip ilkesinin bir çerçevede geçerli olmasının, o çerçeve üzerine kurulan her modelde doğru olmak demek olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Erişilebilirlik dersi, bir cümlenin bir dünyada zorunlu olmasını, o dünyadan erişilebilir her dünyada doğru olması olarak tanımladı ve erişilebilirlik ilişkisinin yansımalı, geçişli ya da simetrik olmasının, hangi kip ilkelerinin geçerli olacağını belirlediğini gösterdi. Programın yüklemler mantığı kursunda ise bir modelin ne olduğu ve bir cümlenin bir modelde doğru olmasının ne demek olduğu incelenmişti. Bu ders, bu iki çizgiyi kip mantığı için birleştiriyor: çerçeve ile model arasındaki farkı, bir modelde doğruluk ile bir çerçevede geçerlilik arasındaki farkı ve bir kip ilkesinin, bir çerçevenin yapısal bir özelliğine karşılık gelmesinin ne anlama geldiğini inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Saul Kripke, 1959'da Journal of Symbolic Logic'te yayımladığı Kip Mantığında Bir Tamlık Teoremi makalesinde, kip mantığının en güçlü sistemlerinden biri için, bir cümlenin sistemde kanıtlanabilir olmasının, onun belirli türden bütün modellerde doğru olmasıyla çakıştığını gösterir. Johan van Benthem, 1983'te yayımladığı Kip Mantığı ve Klasik Mantık kitabında, bir kip ilkesinin bir çerçevede geçerli olmasının, o çerçevenin erişilebilirlik ilişkisine dair bir koşula karşılık geldiğini ve bu karşılığın sınırlarını inceler. S. K. Thomason ise 1974'te Theoria'da yayımladığı Kip Mantığında Bir Eksiklik Teoremi makalesinde, bazı kip ilkeleri kümelerinin, onları tam olarak karşılayan hiçbir çerçeve sınıfı bulunmadığını gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: çerçeve ile model ayrımının gereksiz bir incelik olduğu, çerçevelerin bütün kip mantıklarını yakalayamadığı için güvenilir bir araç olmadığı ve bu biçimsel yapının gündelik akıl yürütmeyle bir ilgisinin olmadığı itirazları.

Sonda, bir kip ilkesini bir çerçevede sınamanın dört adımını göstereceğiz: çerçeveyi, dairelerin içini boş bırakarak çizmek, ilkenin doğru olduğu bir modeli değil yanlış olduğu bir modeli aramak, bulunan karşı modeli ilişkinin hangi özelliğinin eksik olduğunu göstermek için kullanmak ve ilkenin çerçevenin her yazımında geçerli olup olmadığını bildirmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir Kripke çerçevesi nedir, bir modelden nasıl ayrılır ve bir kip ilkesinin bir çerçevede geçerli olması ne demektir?

Ölçülü iddiam şu: bir Kripke çerçevesi, bir olanaklı dünyalar kümesi ile bu dünyalar arasındaki bir erişilebilirlik ilişkisinden oluşur ve dünyalarda hangi cümlelerin doğru olduğu hakkında hiçbir şey söylemez; bir Kripke modeli, bir çerçeveye, her dünyada hangi yalın cümlelerin doğru olduğunu belirleyen bir değerleme eklenerek kurulur; bir kip cümlesi bir modelin bir dünyasında doğru ya da yanlıştır, bir modelde geçerli olması o modelin her dünyasında doğru olması, bir çerçevede geçerli olması ise o çerçeve üzerine kurulabilecek her modelde, yani her değerlemede geçerli olması demektir; bu iki geçerlilik türünün ayrılması önemlidir, çünkü bir ilke, yapısı onu desteklemeyen bir çerçevenin belirli bir modelinde tesadüfen doğru olabilir; çerçevede geçerlilik, van Benthem'in incelediği gibi, çoğu zaman erişilebilirlik ilişkisinin bir özelliğine karşılık gelir: "zorunlu olan doğrudur" ilkesi, bir çerçevede ancak ve ancak ilişki yansımalıysa geçerlidir; "zorunluluk koşulluya dağılır" ilkesi ise her çerçevede, ilişki ne olursa olsun, geçerlidir ve bu yüzden bütün kip türlerinin ortak çekirdeğini oluşturur; ama bu karşılığın sınırları vardır: bazı ilişki özellikleri hiçbir kip ilkesiyle ifade edilemez ve Thomason'ın gösterdiği gibi, bazı ilkeler kümeleri hiçbir çerçeve sınıfıyla tam olarak yakalanamaz.

Sıfır noktası

Bir kip ilkesinin geçerli olup olmadığını sormak, önermeler mantığında bir çıkarımın geçerli olup olmadığını sormaya benzer görünür. Önermeler mantığında bir çıkarım, bileşenlerine verilebilecek her doğruluk değeri ataması altında öncülleri doğruyken sonucu doğru kılıyorsa geçerlidir. Kip mantığında ise bir ilkenin doğruluğu iki şeye bağlıdır: dünyalar arasındaki ilişkiye ve her dünyada hangi cümlelerin doğru olduğuna. Bu iki bağımlılığı ayırmak, çerçeve ile model arasındaki farkı verir.

Kerem'in boş daireleri ve okları bir çerçevedir. Çerçeve, hangi dünyaların bulunduğunu ve hangisinden hangisine erişilebildiğini söyler; başka bir şey söylemez. Dairelere cümleler yazıldığında, yani her dünyada hangi yalın cümlelerin doğru olduğu belirlendiğinde, bir model elde edilir. Yalın cümlelerin doğruluğu belirlendikten sonra, "zorunludur ki" ve "olanaklıdır ki" ile kurulan karmaşık cümlelerin her dünyadaki doğruluğu, erişilebilirlik tanımıyla hesaplanabilir.

Bu ayrım, geçerliliğin iki düzeyini de ayırır. Bir cümle, bir modelin her dünyasında doğruysa, o modelde geçerlidir. Bir cümle, bir çerçeve üzerine kurulabilecek her modelde geçerliyse, yani dairelere hangi yalın cümleler nasıl yazılırsa yazılsın her dünyada doğruysa, o çerçevede geçerlidir. Çerçevede geçerlilik, cümlenin içeriğinden değil, çerçevenin yapısından gelen bir geçerliliktir.

Görüşler ve pozisyonlar

Kripke çerçevelerinin kip mantığı için ne işe yaradığı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, tam anlambilim görüşüdür. Buna göre her kip mantığı, belirli bir çerçeve sınıfıyla tam olarak belirlenir: bir ilkeler kümesi, tam olarak o çerçevelerin hepsinde geçerli olan cümleleri kanıtlar. Kip mantıklarını incelemek, çerçeve sınıflarını incelemektir.

İkinci görüş, karşılık görüşüdür. Buna göre çerçevelerin asıl değeri, kip ilkeleri ile erişilebilirlik ilişkisinin özellikleri arasındaki karşılığı göstermeleridir. Bir ilkenin bir çerçevede geçerli olması, çoğu zaman ilişkinin belirli bir özelliği taşımasıyla aynı şeydir; bu karşılık, bir ilkenin sezgisel olarak ne söylediğini açıklar.

Üçüncü görüş, sınırlı araç görüşüdür. Buna göre çerçeveler güçlü bir araçtır, ama her kip mantığını yakalamaz ve her ilişki özelliğini ifade edemez. Çerçeveler, kip mantıklarının önemli bir kısmını düzenler, ama onların tamamını tanımlamaz.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve üçüncü görüşün uyarısını kabul eder. Birinci görüş, en çok kullanılan kip mantıkları için doğrudur, ama Thomason'ın gösterdiği gibi, her ilkeler kümesi için geçerli değildir. İkinci görüş, Erişilebilirlik dersinde karşılaştığımız bulguları, yasal zorunluluğun yansımalılığı bozmasını ve bir günlük olanağın geçişliliği bozmasını, çerçevede geçerlilik kavramıyla kesin bir biçime sokar. Üçüncü görüş ise bu karşılığın nerede durduğunu gösterir; karşılığı yanlışlamaz, onun sınırlarını çizer.

Argümanın yapısı

Bir kip ilkesini bir çerçevede sınamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, çerçeveyi, dairelerin içini boş bırakarak çizmektir. Değerlendiren, dünyaları ve aralarındaki okları çizer, ama dairelere hiçbir cümle yazmaz; böylece ilkenin geçerliliğini, olayların ayrıntılarından bağımsız olarak sınamaya hazırlanır.

İkinci adım, ilkenin doğru olduğu bir modeli değil, yanlış olduğu bir modeli aramaktır. Değerlendiren, dairelere yalın cümleleri, ilkeyi bir dünyada yanlış kılacak biçimde yazmaya çalışır. Böyle bir yazım bulunursa, ilke çerçevede geçerli değildir.

Üçüncü adım, bulunan karşı modeli ilişkinin hangi özelliğinin eksik olduğunu göstermek için kullanmaktır. Değerlendiren, karşı modelin, ilişkinin hangi yerinde yansımalılığın, geçişliliğin ya da simetrinin bozulmasından yararlandığını belirler.

Dördüncü adım, ilkenin çerçevenin her yazımında geçerli olup olmadığını bildirmektir. Değerlendiren, bir ilkenin belirli bir modelde doğru çıkmasını, çerçevede geçerli olmasından ayrı olarak bildirir ve raporda hangisinden söz ettiğini açıkça yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Kripke çerçevesini ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir Kripke çerçevesi, bir olanaklı dünyalar kümesi ile bir erişilebilirlik ilişkisinden oluşur ve dünyalarda neyin doğru olduğu hakkında bir şey söylemez; bir Kripke modeli, çerçeveye bir değerleme eklenerek kurulur. Bir kip cümlesi bir modelde geçerliyse o modelin her dünyasında, bir çerçevede geçerliyse o çerçeve üzerine kurulabilecek her modelde doğrudur; bu iki geçerliliğin ayrılması, bir kuralın yapısal olarak mı yoksa tesadüfen mi işlediğini ayırmayı sağlar. Kripke'nin tamlık teoremi, kanıtlanabilirlik ile modellerde geçerliliğin çakışabileceğini gösterdi; van Benthem'in incelediği karşılık, kip ilkelerinin çoğu zaman çerçevenin yapısal özelliklerine karşılık geldiğini, "zorunlu olan doğrudur" ilkesinin yansımalılıkla çakıştığını, zorunluluğun koşulluya dağılmasının ise her çerçevede geçerli olduğunu gösterdi. Bu karşılığın sınırları vardır: bazı ilişki özellikleri kip diliyle ifade edilemez ve Thomason'ın gösterdiği gibi, bazı kip mantıkları hiçbir çerçeve sınıfıyla tam olarak belirlenemez.

Açık kalan sorular

Kripke'nin tamlık teoremi, kanıtlanabilirlik ile modellerde geçerliliğin çakıştığını gösterdi. Ama bir kip ilkesini kabul etmemizin gerekçesi hangisidir: bir kanıt sisteminde türetilebilmesi mi, yoksa belirli çerçevelerde geçerli olması mı? İkisi ayrıldığında hangisine güvenmeliyiz?

Defne'nin ifade edilemeyen kuralı, kip dilinin bazı yapısal özellikleri göremediğini gösterdi. Kip diline yeni işleçler eklenerek, örneğin "şimdiki an dışındaki her anda" gibi bir işleçle, bu özellikler ifade edilebilir mi ve bu ekleme dilin başka özelliklerini değiştirir mi?

Lina'nın uyumsuz listesi, grubun bilgi ilkelerinin gerçek bilgi durumunu temsil eden bir çerçeveye uymadığını gösterdi. Bir bilgi mantığının ilkeleri, ideal bir bilenin mi yoksa gerçek, eksik bilgili bir bilenin mi davranışını yakalamalıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir Kripke çerçevesi bir olanaklı dünyalar kümesi ile bir erişilebilirlik ilişkisinden oluşur ve dünyalarda neyin doğru olduğunu söylemez; bir Kripke modeli, çerçeveye her dünyada hangi yalın cümlelerin doğru olduğunu belirleyen bir değerleme eklenerek kurulur.

Kripke'nin tamlık makalesi kanıtlanabilirlik ile modellerde geçerliliğin çakışabileceğini, van Benthem'in Kip Mantığı ve Klasik Mantık kitabı kip ilkelerinin çerçeve özelliklerine karşılık geldiğini ve bu karşılığın sınırlarını, Thomason'ın makalesi ise bazı kip mantıklarının hiçbir çerçeve sınıfıyla tam olarak belirlenemediğini gösterdi.

Bir kip ilkesi dört adımla bir çerçevede sınanır: çerçeveyi boş dairelerle çizmek, ilkeyi yanlış kılan bir model aramak, karşı modelin ilişkinin hangi eksik özelliğinden yararlandığını belirlemek ve modelde doğruluk ile çerçevede geçerliliği ayrı ayrı bildirmek.

Çerçeve ile model ayrımının gereksiz olduğu, çerçevelerin her mantığı yakalayamadığı ve bu yapının gündelik akıl yürütmeyle ilgisiz olduğu itirazları, ayrımın yapısal ile tesadüfi geçerliliği ayırdığını, bir aracın sınırlarının onu güvenilmez kılmadığını ve "hep işledi" ile "her zaman işler" arasındaki farkın gündelik akıl yürütmede sürekli karıştırıldığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir kuralın geçerli olduğunu söylemek, onun şimdiye kadar işlediğini göstermek değil, aynı yapı üzerine kurulabilecek her durumda işleyeceğini, yani onu bozan bir yazımın bulunamadığını göstermektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in karşılık kanıtı, "zorunlu olan doğrudur" ilkesinin yansımalılıkla çakıştığını; Tolga'nın bir günlük olanağı ise "zorunlu olan zorunlu olarak zorunludur" ilkesinin geçişlilik gerektirdiğini göstermişti. Kerem, bu iki ilkenin birlikte bir sistem oluşturup oluşturmadığını soruyor: yansımalı ve geçişli bütün çerçevelerde geçerli olan ilkeler, adı konmuş bir kip mantığı mıydı?

Lina, bilgi ilkelerinin ilk ikisinin, bilinenin doğru olduğu ve bilinenin bilindiğinin bilindiği ilkelerinin, tam olarak bu iki özelliğe karşılık geldiğini hatırlatıyor; üçüncü ilke ise simetriye yakın bir koşul getiriyordu. Selin, simetrinin de eklendiği çerçevelerde, zorunlu ya da olanaklı olan her şeyin kendisinin de zorunlu olup olmadığını merak ediyor. Barış, farklı kip türleri için bu sistemlerden hangisinin uygun olduğunu soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. S4 ve S5 dersi, yansımalı ve geçişli çerçevelere karşılık gelen kip sistemini, simetrinin de eklendiği çerçevelere karşılık gelen daha güçlü sistemi, bu iki sistemin hangi ilkelerle ayrıldığını ve farklı zorunluluk türlerinin hangi sisteme uyduğunu soruyor.