Doğrulama

Açılış sahnesi

Kerem, raporun sonuç bölümündeki bir genellemeyi yeniden okuyor: "incelenen her tanık müstensihin elinden çıkmıştır; bu, dönem kataloğunda 'kendiliğinden' okumasını taşıyan bütün nüshaların müstensihin atölyesinden çıktığı genellemesini doğrular." Kerem, bu cümlenin iki şeyi birbirine bağladığını görüyor: tek tek gözlemleri ve onların hepsini kapsayan bir genellemeyi. Her yeni tanık, genellemeyi ne kadar güçlendiriyordu? Ve katalogdaki, atölyeden çıkmadığı bilinen ve 'kendiliğinden' okumasını taşımayan yüzlerce nüsha, aynı genellemeyi hiç güçlendiriyor muydu?

Selin, bu ikinci sorunun eski bir paradoksun biçimini taşıdığını fark ediyor: "bütün kuzgunlar siyahtır" genellemesi, "siyah olmayan hiçbir şey kuzgun değildir" genellemesiyle mantıksal olarak eşdeğerdir; öyleyse beyaz bir ayakkabı da kuzgunlar hakkındaki genellemeyi doğrulamalıdır. Tolga, iki kanıtın bir hipotezi ne kadar desteklediğini karşılaştırmaya çalıştığında, kullandığı ölçüye göre farklı sıralamalar bulduğunu söylüyor. Defne, bir tanı kuralının, belirtiyi taşımayan ve hastalığı olmayan binlerce hastayla doğrulanıp doğrulanmadığını soruyor. Barış, bir genellemeyi sınamak için örneklerin nasıl seçildiğinin sonucu değiştirip değiştirmediğini merak ediyor. Lina ise bir genellemenin iki eşdeğer biçiminden hangisini sınamanın daha verimli olduğunu kendi alanından bir örnekle düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, bir gözlemin bir genellemeyi doğrulamasının Bayesçi çerçevede nasıl anlaşıldığını, kuzgun paradoksunun bu çerçevede nasıl ele alındığını ve farklı gözlemlerin bir genellemeyi farklı derecelerde doğrulamasının nasıl açıklandığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Kanıt dersi, bir bilginin bir hipotezin olasılığını artırıyorsa o hipotez için kanıt olduğunu, bu desteğin olabilirlik oranıyla ölçüldüğünü ve desteğin yüksek olasılıktan ayrı tutulması gerektiğini gösterdi. Programın eleştirel düşünme kursunda Hempel'in kuzgun paradoksu tanıtılmış ve beyaz bir ayakkabının kuzgunlar hakkındaki bir genellemeyi çok az desteklediği sezgisi dile getirilmişti. Bu ders, o sezgiyi Bayesçi çerçevede hesaplanabilir kılmayı, bir genellemenin bir örneğinin onu her zaman doğrulayıp doğrulamadığını ve doğrulamanın derecesini ölçmenin tek bir yolu olup olmadığını inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Janina Hosiasson-Lindenbaum, 1940'ta Journal of Symbolic Logic'te yayımladığı makalede, siyah bir kuzgunun bütün kuzgunların siyah olduğu genellemesini, siyah olmayan bir nesnenin kuzgun olmadığının gözleminden çok daha fazla doğruladığını, olasılık hesabıyla gösterir. I. J. Good, 1967'de British Journal for the Philosophy of Science'ta yayımladığı kısa notta, siyah bir kuzgunun gözleminin, bazı arka plan bilgisi durumlarında, bütün kuzgunların siyah olduğu genellemesinin olasılığını düşürebileceğini gösteren bir örnek kurar. Branden Fitelson ise 1999'da Philosophy of Science'ta yayımladığı makalede, Bayesçi doğrulamanın derecesini ölçmek için önerilen farklı ölçülerin, iki kanıtı birbirine göre farklı sıralayabildiğini gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: Bayesçi çözümün arka plan varsayımlarına bağlı olduğu, paradoksun asıl sorununun eşdeğerlik koşulunda yattığı ve ölçüler anlaşamıyorsa doğrulama derecesinin anlamsız olduğu itirazları.

Sonda, bir gözlemin bir genellemeyi ne kadar doğruladığını değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: genellemenin yanlış olduğu en yakın durumu yazmak, gözlemin bu iki durumda ne kadar beklenen olduğunu sormak, gözlemin nasıl seçildiğini hesaba katmak ve doğrulama derecesini hangi ölçüyle bildirdiğini açıkça söylemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir gözlem bir genellemeyi Bayesçi çerçevede ne zaman ve ne kadar doğrular ve kuzgun paradoksu bu çerçevede nasıl çözülür?

Ölçülü iddiam şu: Bayesçi çerçevede bir gözlem bir genellemeyi, genelleme doğruyken yanlışken olduğundan daha beklenen olduğu ölçüde doğrular; Hosiasson-Lindenbaum'un gösterdiği gibi, kuzgunların siyah olmayan nesnelerden çok daha az olduğu bir dünyada, siyah bir kuzgun bütün kuzgunların siyah olduğu genellemesini çok, beyaz bir ayakkabı ise çok az doğrular; bu yüzden paradoks, beyaz ayakkabının genellemeyi hiç doğrulamadığını söyleyerek değil, onu ihmal edilebilir ölçüde doğruladığını göstererek çözülür; Good'un örneğinin gösterdiği gibi, bir genellemenin bir örneği, onu her zaman doğrulamaz: arka plan bilgisine göre, siyah bir kuzgun, genellemenin yanlış olduğu bir durumu daha olası kılabilir; bir gözlemin doğrulama gücü, gözlemin nasıl seçildiğine de bağlıdır; ve Fitelson'un gösterdiği gibi, doğrulamanın derecesini ölçen farklı Bayesçi ölçüler, iki kanıtı farklı sıralayabilir, bu yüzden bir doğrulama derecesi, hangi ölçüyle hesaplandığı söylenmeden bildirilmemelidir.

Sıfır noktası

Bir genellemenin bir örneğinin o genellemeyi doğruladığı düşüncesi, sezgiye çok yakın görünür. "Bütün kuzgunlar siyahtır" genellemesini siyah bir kuzgun doğrular, siyah olmayan bir kuzgun çürütür, kuzgun olmayan bir nesne ise genellemeyle ilgisizdir. Jean Nicod'a bağlanan bu ilkeye Nicod ölçütü denir. Hempel, bu ölçütün, mantıksal olarak eşdeğer iki genellemenin aynı gözlemlerle doğrulanması gerektiği koşuluyla birlikte, beyaz bir ayakkabının kuzgunlar hakkındaki genellemeyi doğrulaması sonucunu verdiğini gösterdi.

Bayesçi çerçeve, bu soruna yeni bir soru ekler: bir gözlem bir genellemeyi doğruluyor mu sorusunun yanına, ne kadar doğruluyor sorusunu koyar. Bir gözlemin doğrulama gücü, olabilirlik oranıyla ölçülür: gözlemin, genelleme doğruyken beklenirliğinin, genelleme yanlışken beklenirliğine oranı. Bu oran, genellemenin yanlış olabileceği durumların neye benzediğine bağlıdır.

Bu bağımlılık, paradoksun sezgisel kısmını açıklar. Beyaz ayakkabının kuzgunlar hakkındaki genellemeyi çok az doğrulaması, genelleme yanlış olsaydı bile, rastgele seçilmiş siyah olmayan bir nesnenin neredeyse kesin olarak kuzgun olmayacağından kaynaklanır. Siyah olmayan nesnelerin sayısı o kadar büyüktür ki, aralarında birkaç beyaz kuzgun bulunsa bile, rastgele bir nesnenin onlardan biri olması çok düşük bir olasılıktır.

Görüşler ve pozisyonlar

Kuzgun paradoksunun nasıl çözülmesi gerektiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, ölçek görüşüdür. Buna göre beyaz bir ayakkabı, kuzgunlar hakkındaki genellemeyi gerçekten doğrular; eşdeğerlik koşulu da Nicod ölçütü de doğrudur; paradoks, bu doğrulamanın ihmal edilebilir ölçüde küçük olduğunun gözden kaçmasından doğar. Bayesçi hesap, doğrulamanın derecesini göstererek sezgiyi açıklar.

İkinci görüş, ölçüt eleştirisi görüşüdür. Buna göre paradoksun kaynağı Nicod ölçütüdür: bir genellemenin bir örneği, onu her zaman doğrulamaz. Bir örneğin doğrulayıp doğrulamadığı, arka plan bilgisine bağlıdır ve bazı arka plan bilgisi durumlarında bir örnek genellemeyi zayıflatabilir.

Üçüncü görüş, eşdeğerlik eleştirisi görüşüdür. Buna göre paradoksun kaynağı eşdeğerlik koşuludur: mantıksal olarak eşdeğer iki genelleme, farklı konular hakkında konuşuyor gibi görünür ve bu yüzden farklı gözlemlerle doğrulanır. "Bütün kuzgunlar siyahtır" kuzgunlar hakkındadır, ayakkabılar hakkında değildir.

Bu ders birinci görüşü temel alır ve ikinci görüşün Nicod ölçütüne yönelttiği eleştiriyi kabul eder. Üçüncü görüş, bir genellemenin konusuna dair sezgiyi doğru dile getirir, ama mantıksal olarak eşdeğer iki önermenin farklı olasılıklar taşıyabileceğini kabul etmek zorunda kalır ve bu, olasılık hesabının temel kurallarından birini bozar. Birinci görüş, eşdeğerliği korurken sezgiyi açıklar. İkinci görüş, bir örneğin doğrulama gücünün arka plana bağlı olduğunu göstererek birinci görüşü tamamlar.

Argümanın yapısı

Bir gözlemin bir genellemeyi ne kadar doğruladığını değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, genellemenin yanlış olduğu en yakın durumu yazmaktır. Değerlendiren, genellemenin yanlış olması hâlinde dünyanın neye benzeyeceğini, kaç istisna bulunacağını ve bu istisnaların nerede olacağını açıkça yazar. Doğrulama gücü, genelleme ile bu rakip durum arasındaki farka bağlıdır.

İkinci adım, gözlemin bu iki durumda ne kadar beklenen olduğunu sormaktır. Değerlendiren, gözlemin olasılığını genellemenin doğru olduğu durumda ve rakip durumda ayrı ayrı yazar ve oranlarını hesaplar. Oran bire yakınsa gözlem, genellemenin bir örneği olsa bile, onu neredeyse hiç doğrulamaz.

Üçüncü adım, gözlemin nasıl seçildiğini hesaba katmaktır. Değerlendiren, gözlemin hangi sınıftan ve hangi yöntemle seçildiğini sorar; çünkü aynı gözlem, farklı bir seçim yöntemiyle elde edildiğinde farklı bir doğrulama gücü taşıyabilir.

Dördüncü adım, doğrulama derecesini hangi ölçüyle bildirdiğini açıkça söylemektir. Değerlendiren, iki kanıtı karşılaştırırken olasılıktaki farkı mı, olasılıkların oranını mı, yoksa olabilirlik oranını mı kullandığını yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Doğrulamayı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bayesçi çerçevede bir gözlem bir genellemeyi, genelleme doğruyken yanlışken olduğundan daha beklenen olduğu ölçüde doğrular ve bu ölçü, genellemenin yanlış olduğu en yakın durumun açıkça yazılmasını gerektirir. Hosiasson-Lindenbaum'un gösterdiği gibi, kuzgunların siyah olmayan nesnelerden çok daha az olduğu bir dünyada, siyah bir kuzgun genellemeyi çok, beyaz bir ayakkabı ise ihmal edilebilir ölçüde doğrular; paradoks, eşdeğerlik korunarak, doğrulamanın derecesiyle çözülür. Good'un örneği, bir genellemenin bir örneğinin onu her zaman doğrulamadığını, arka plan bilgisine göre zayıflatabileceğini gösterir; bir gözlemin gücü, nasıl seçildiğine de bağlıdır. Fitelson'un gösterdiği gibi, farklı doğrulama ölçüleri iki kanıtı farklı sıralayabilir; bu yüzden bir doğrulama derecesi, hangi ölçüyle hesaplandığı söylenerek bildirilmelidir.

Açık kalan sorular

Hosiasson-Lindenbaum'un çözümü, gözlemlerin sınıflardan rastgele seçildiği varsayımına dayanıyordu. Ama gerçek araştırmalarda örnekler çoğu zaman rastgele seçilmez; ulaşılabilir olanlar incelenir. Rastgele olmayan bir seçimde, bir gözlemin doğrulama gücü nasıl hesaplanmalıdır?

Good'un örneği, bir genellemenin bir örneğinin, genellemenin olasılığını düşürebileceğini gösterdi. Ama bu, örneğin, genellemenin yanlış olduğu durumu daha olası kılan bir arka plan bilgisiyle birlikte gözlenmesine dayanıyordu. Arka plan bilgisinin hiç olmadığı bir durumda, bir genellemenin bir örneği onu her zaman doğrular mı?

Fitelson'un ölçü duyarlılığı, farklı ölçülerin farklı sıralamalar verdiğini gösterdi. Ölçüler arasında seçim yapmanın ilkeli bir yolu var mıdır, yoksa her ölçü farklı bir soruya mı cevap verir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bayesçi çerçevede bir gözlem bir genellemeyi, genelleme doğruyken yanlışken olduğundan daha beklenen olduğu ölçüde doğrular ve bu ölçü, genellemenin yanlış olduğu en yakın durumun açıkça yazılmasını gerektirir.

Hosiasson-Lindenbaum'un makalesi siyah bir kuzgunun genellemeyi beyaz bir ayakkabıdan çok daha fazla doğruladığını, Good'un notu bir genellemenin bir örneğinin arka plan bilgisine göre onu zayıflatabileceğini, Fitelson'un makalesi ise farklı doğrulama ölçülerinin iki kanıtı farklı sıralayabileceğini gösterdi.

Bir gözlemin doğrulama gücü dört adımla değerlendirilir: genellemenin yanlış olduğu en yakın durumu yazmak, gözlemin iki durumda ne kadar beklenen olduğunu sormak, gözlemin nasıl seçildiğini hesaba katmak ve doğrulama derecesini hangi ölçüyle bildirdiğini söylemek.

Çözümün arka plan varsayımlarına bağlı olduğu, asıl sorunun eşdeğerlik koşulu olduğu ve ölçüler anlaşamıyorsa derecenin anlamsız olduğu itirazları, varsayımlara bağımlılığın çözümün asıl içeriği olduğunu, eşdeğer önermelere farklı olasılık vermenin olasılık hesabını bozduğunu ve her ölçünün belirli bir soruya belirli bir cevap verdiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir genellemeyi doğrulamak, onun örneklerini biriktirmek değil, genellemenin yanlış olsaydı nerede bir istisna saklayacağını bulup oraya bakmak ve bulunan desteğin büyüklüğünü hangi ölçüyle söylediğini belirtmektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in ters örneği, iki olası durumdan birinin, atölyenin küçük ya da büyük olduğunun, ne kadar olası olduğuna dair bir önsel gerektiriyordu. Grup bu önseli nereden alacağını bilmiyordu: Kerem küçük atölyeye, Tolga büyük atölyeye daha yüksek bir olasılık veriyordu ve aynı gözlemden farklı sonuçlara varıyorlardı. Bayesçi çerçeve, bu iki önselden hangisinin doğru olduğunu söyleyebilir miydi?

Lina, Kerem'in karşılaştırmasının, katalogdaki bütün nüshaların sayısını bilmeyi ve bütün olasılıkları tutarlı biçimde hesaplamayı gerektirdiğini, oysa grubun hiçbir üyesinin kendi inançlarının bütün mantıksal sonuçlarını bilmediğini söylüyor. Defne, bir hekimin, bir tanı koymadan önce bütün olası hastalıklara birer olasılık veremeyeceğini, yalnızca birkaçını düşündüğünü ekliyor. Barış, mahkemenin, sayılarla ifade edilemeyen kanıtları nasıl değerlendireceğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Bayesçilik eleştirileri dersi, önsellerin öznelliği itirazını, Bayesçi bir akıl yürütücünün inançlarının bütün mantıksal sonuçlarını bildiğini varsaymanın doğurduğu güçlüğü ve Bayesçi çerçevenin gerçek akıl yürütenler için bir ölçüt olup olamayacağını soruyor.