Sonsal

Açılış sahnesi

Selin, grubun düzeltme hipotezine başlangıçta verdiği onda üçü başka bir biçimde yazıyor: düzeltmenin, düzeltme olmamasına oranı olarak. Onda üç düzeltmeye, onda yedi düzeltme olmamasına düşüyorsa, bu oran üçe yediydi. Sonra kenar notlarının olabilirlik oranını, dördü, hatırlıyor ve iki sayıyı çarpmayı deniyor: üçe yedi çarpı dört, on ikiye yedi. On ikiye yedi, bir olasılık olarak yazıldığında, on ikinin on dokuza oranıydı, yaklaşık onda altı. Bu, grubun yüz el yazmalık tabloyla adım adım bulduğu sayının ta kendisiydi. Selin, uzun bir tablo hesabının, iki sayının çarpımına indirgenebildiğini fark ediyor.

Tolga, mürekkep çözümlemesinin sonucu geldiğinde ne yapılacağını soruyor: yeni hesap, onda üçten mi yoksa onda altıdan mı başlamalıydı? Defne, hekimlerin bir test sonucundan sonra bir hastalığın olasılığını hesaplamak için kullandığı bir çizelgeyi hatırlıyor. Barış, bir sanığın suçluluğuna, düşük bir başlangıçtan, birbirini izleyen kanıtlarla nasıl ulaşılabileceğini hesaplamak istiyor. Kerem, çarpmaların sayısı arttıkça sayıların çok büyüyüp küçüldüğünü ve bunları toplamaya çevirmenin bir yolu olup olmadığını merak ediyor. Lina ise iki kanıtın birbirine bağlı olduğu durumda bu çarpmanın ne kadar güvenilir olacağını soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, bir önsel ile bir olabilirlik oranının birleşerek kanıttan sonraki olasılığı, sonsali, nasıl verdiğini, bu birleştirmenin oranlar biçiminde nasıl sadeleştiğini ve birbirini izleyen kanıtlarla sonsalin adım adım nasıl güncellendiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Önsel dersi, bir hipoteze kanıttan önce verilen olasılığın nereden geldiğini inceledi; Olabilirlik dersi, bir kanıtın iki hipotezi birbirinden ne kadar ayırdığını ölçen olabilirlik oranını tanıttı. Koşullu olasılık ve Taban oranı dersleri ise, bir kanıttan sonraki olasılığı yüz ya da bin durumluk tablolarla hesapladı. Bu ders, bu parçaları bir araya getiriyor: önselin ve olabilirlik oranının birleşerek kanıttan sonraki olasılığı, sonsali, nasıl verdiğini gösteriyor, bu birleştirmenin oranlar biçiminde tek bir çarpmaya indirgendiğini ve bir sonsalin bir sonraki kanıt için nasıl yeni bir önsel olduğunu inceliyor. Programın eleştirel düşünme kurslarında Bayes ile Price'ın denemesi ve görüş güncelleme ele alınmıştı; bu ders, o kavramları yeniden tanımlamadan, güncellemenin hesabını ve sınırlarını gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Pierre-Simon Laplace, 1774'te yayımladığı Olaylardan Nedenlerin Olasılığı Üzerine anı yazısında, gözlenen bir olaydan onu doğurmuş olabilecek nedenlerin olasılıklarına geçmenin bir ilkesini açıkça yazar. Irving John Good, 1950'de yayımladığı Olasılık ve Kanıtın Tartılması kitabında, oranlar biçimindeki güncellemeyi ve kanıtların toplanabilir bir ağırlıkla ölçülmesini, İkinci Dünya Savaşı sırasında Alan Turing'le birlikte kullandıkları yöntemlerden yola çıkarak anlatır. Terrence Fagan ise 1975'te New England Journal of Medicine'da yayımladığı kısa bir yazıda, hekimlerin bir test sonucundan sonraki olasılığı hesap yapmadan bulabilecekleri bir çizelge önerir.

Ardından üç itirazı tartacağız: sonsal sayılarının, dayandıkları önseller ve olabilirlikler kesin olmadığı için yanıltıcı bir kesinlik taşıdığı, gerçek kanıtların çoğu zaman kesin değil belirsiz olduğu ve olabilirlik oranlarını çarpmanın kanıtların bağımsızlığını varsaydığı itirazları.

Sonda, bir sonsali hesaplamanın dört adımını göstereceğiz: önseli bir şans oranı olarak yazmak, kanıtın olabilirlik oranını bu şans oranıyla çarpmak, sonucu gerektiğinde bir olasılığa geri çevirmek ve bir sonraki kanıt için sonsali yeni bir önsel olarak kullanırken kanıtların birbirine bağlı olup olmadığını denetlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir önsel ile bir kanıtın olabilirlik oranı nasıl birleşip kanıttan sonraki olasılığı verir ve birbirini izleyen kanıtlarla bu olasılık nasıl güncellenir?

Ölçülü iddiam şu: bir hipotezin kanıttan sonraki olasılığı, sonsali, önselin ve kanıtın olabilirlik oranının birleşiminden elde edilir; bu birleşim, olasılıklar şans oranı biçiminde, yani bir hipotezin olasılığının rakibinin olasılığına oranı olarak yazıldığında, tek bir çarpmaya indirgenir: sonsal şans oranı, önsel şans oranı ile olabilirlik oranının çarpımıdır; bu kural, Laplace'ın olaylardan nedenlere geçme ilkesinin ve koşullu olasılığın tanımının bir sonucudur ve Taban oranı dersindeki tablo hesabıyla aynı sonucu verir; bir kanıttan sonraki sonsal, bir sonraki kanıt için yeni bir önseldir ve bu yüzden güncelleme adım adım yapılabilir; kanıtlar hipotez verildiğinde birbirinden bağımsızsa, sıralarının bir önemi yoktur ve olabilirlik oranları çarpılabilir; Good'un gösterdiği gibi, olabilirlik oranlarının logaritmaları alındığında, bu çarpma bir toplamaya dönüşür ve her kanıt bir ağırlık olarak eklenebilir; ama kanıtlar birbirine bağlıysa, ikinci kanıtın olabilirlik oranı birinci kanıt verildiğinde hesaplanmalıdır; ve sonsal, önselin ve olabilirliklerin kesinliğinden daha kesin olamaz, bu yüzden bir aralık olarak bildirilmelidir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir kanıttan sonraki olasılığı hesaplamak istediğinde, çoğu zaman ya yüz ya da bin durumluk bir tablo kurar ya da bir formülü ezberlemeye çalışır. Tablo, Taban oranı dersinde görüldüğü gibi, güvenilir ve açıktır, ama her kanıt için yeniden kurulması gerekir. Formül ise, anlamı kavranmadan uygulandığında, tersine çevirme yanılgısına kapı açar. Oranlar biçimi, iki yolun avantajlarını birleştirir: tablonun açıklığını korur ve hesabı tek bir çarpmaya indirger.

Şans oranı, bir hipotezin olasılığının rakibinin olasılığına oranıdır. Bir hipotezin olasılığı onda üçse, rakibinin olasılığı onda yedidir ve şans oranı üçe yedidir. Bir hipotezin olasılığı yarıysa, şans oranı bire birdir. Olasılık bire yaklaştıkça şans oranı sınırsız büyür; sıfıra yaklaştıkça sıfıra yaklaşır. Şans oranı ile olasılık arasında gidip gelmek kolaydır: şans oranı a'ya b ise, olasılık a'nın a artı b'ye oranıdır.

Oranlar biçiminde güncelleme kuralı şudur: kanıttan sonraki şans oranı, kanıttan önceki şans oranı ile kanıtın olabilirlik oranının çarpımıdır. Bu kural, Taban oranı dersindeki tablonun kısa bir yazımıdır. Tabloda, önsele göre hipotezin doğru olduğu durumlar ile yanlış olduğu durumlar sayılıyor, sonra her gruba kanıtın sıklığı uygulanıyordu.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir kanıttan sonra inançların nasıl değişmesi gerektiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, koşullandırma görüşüdür. Buna göre bir kanıt kesin olarak öğrenildiğinde, bir kişinin bir hipoteze yeni güveni, o hipotezin o kanıt altındaki koşullu olasılığına, yani sonsaline, eşit olmalıdır. Güncelleme, koşullu olasılığın tanımının doğrudan bir uygulamasıdır ve oranlar biçimi onun kısa bir yazımıdır.

İkinci görüş, belirsiz kanıt görüşüdür. Buna göre kanıtlar çoğu zaman kesin olarak öğrenilmez: bir mürekkep çözümlemesi, iki mürekkebin büyük olasılıkla aynı olduğunu söyleyebilir, ama kesin olarak söylemez. Bu durumda güncelleme, kanıtın kesin olduğunu varsayan koşullandırmadan daha genel bir kuralla, kanıtın kendi olasılığını da hesaba katan bir kuralla, yapılmalıdır.

Üçüncü görüş, model görüşüdür. Buna göre sonsal, bir kişinin gerçek inancı değil, belirli bir önsel ve belirli olabilirlikler varsayıldığında bir modelin verdiği sonuçtur. Kişi, bu sonucu kendi yargısıyla birlikte değerlendirir ve modelin varsayımları gerçeğe uymuyorsa, sonucu olduğu gibi kabul etmez.

Bu ders birinci görüşü temel hesap olarak alır ve öteki iki görüşü onun sınırları olarak ekler. Birinci görüş, bir kanıttan sonraki güvenin tutarlı biçimde nasıl hesaplanacağını gösterir. İkinci görüş, kanıtın kendisinin belirsiz olabildiğini ve bu belirsizliğin hesaba katılması gerektiğini hatırlatır. Üçüncü görüş, sonsalin, dayandığı önsel ve olabilirlikler kadar güvenilir olduğunu ve bu yüzden bir aralık olarak, varsayımlarıyla birlikte bildirilmesi gerektiğini hatırlatır.

Argümanın yapısı

Bir sonsali hesaplamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, önseli bir şans oranı olarak yazmaktır. Hesaplayan, hipotezin önsel olasılığını ve rakibinin önsel olasılığını yazar ve birincinin ikinciye oranını, şans oranını, bulur.

İkinci adım, kanıtın olabilirlik oranını bu şans oranıyla çarpmaktır. Hesaplayan, Olabilirlik dersinde gösterildiği gibi, kanıtın hipotez altındaki olasılığını rakibi altındaki olasılığına böler ve bu oranı önsel şans oranıyla çarpar. Sonuç, sonsal şans oranıdır.

Üçüncü adım, sonucu gerektiğinde bir olasılığa geri çevirmektir. Hesaplayan, sonsal şans oranı a'ya b ise, sonsal olasılığı a'nın a artı b'ye oranı olarak hesaplar.

Dördüncü adım, bir sonraki kanıt için sonsali yeni bir önsel olarak kullanırken kanıtların birbirine bağlı olup olmadığını denetlemektir. Hesaplayan, ikinci kanıtın olabilirlik oranının, birinci kanıt bilindiğinde değişip değişmediğini sorar. Değişiyorsa, ikinci kanıtın olabilirlik oranını, birinci kanıt verildiğinde hesaplar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Sonsali ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir hipotezin kanıttan sonraki olasılığı, sonsali, önselin ve kanıtın olabilirlik oranının birleşiminden elde edilir; bu birleşim, olasılıklar şans oranı biçiminde yazıldığında tek bir çarpmaya indirgenir: sonsal şans oranı, önsel şans oranı ile olabilirlik oranının çarpımıdır. Bu kural, Laplace'ın olaylardan nedenlere geçme ilkesinin ve koşullu olasılığın tanımının bir sonucudur ve tablo hesabıyla aynı sonucu verir. Bir kanıttan sonraki sonsal, bir sonraki kanıt için yeni bir önseldir; kanıtlar hipotez verildiğinde birbirinden bağımsızsa, sıraları önemsizdir ve olabilirlik oranları çarpılabilir, ya da Good'un gösterdiği gibi, logaritmalarıyla ağırlık olarak toplanabilir. Kanıtlar birbirine bağlıysa, ikinci kanıtın olabilirlik oranı birinci kanıt verildiğinde hesaplanmalıdır. Fagan'ın çizelgesi, bu hesabın gündelik bir araca dönüştürülebildiğini gösterir. Sonsal, dayandığı önsel ve olabilirliklerden daha kesin olamaz ve bu yüzden bir aralık olarak, varsayımlarıyla birlikte bildirilmelidir.

Açık kalan sorular

Laplace, bir olaydan onun nedenlerinin olasılıklarına geçmenin bir ilkesini yazdı ve bu ilke, nedenlerin önceden eşit olasılıklı olduğu durumdan başladı. Ama bir olayın olası nedenlerinin listesi nereden gelir? Listede olmayan bir neden, hiçbir sonsal olasılık alamaz; bu, Kötü küme argümanının Bayesçi güncellemedeki karşılığı mıdır?

Good, kanıtları bir terazinin kefelerine eklenen ağırlıklar olarak düşündü. Ama gündelik akıl yürütmede, kanıtlar çoğu zaman bir terazi gibi değil, bir hikâye gibi birleştirilir: parçalar birbirine uyduğunda güçlenir, uymadığında çöker. Terazi imgesi mi yoksa hikâye imgesi mi kanıtların nasıl birleştiğini daha iyi anlatır?

Barış'ın adımları, bir sanığın kaynak olma olasılığının üç kanıtla nasıl değiştiğini gösterdi. Ama mahkemeler, kanıtları bu biçimde sayılarla birleştirmez. Bir yargıcın ya da bir jürinin kanıtları birleştirme biçimi, oranlar biçimindeki güncellemeye ne ölçüde yaklaşmalıdır? Sayılarla birleştirme, adil bir yargılamanın bir koşulu mu, yoksa bir tehlikesi midir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir hipotezin kanıttan sonraki olasılığı, sonsali, önselin ve kanıtın olabilirlik oranının birleşiminden elde edilir; olasılıklar şans oranı biçiminde yazıldığında bu birleşim tek bir çarpmaya indirgenir: sonsal şans oranı, önsel şans oranı ile olabilirlik oranının çarpımıdır.

Laplace'ın anı yazısı gözlenen bir olaydan onun nedenlerinin olasılıklarına geçmenin bir ilke olarak erken dönemde yazıldığını, Good'un kitabı oranlar biçimindeki güncellemenin kanıtları toplanabilir ağırlıklar olarak ele alan pratik bir yöntem olduğunu, Fagan'ın çizelgesi ise bu güncellemenin gündelik hekimlik uygulamasında kullanılabilir bir araca dönüştürülebildiğini gösterdi.

Bir sonsal dört adımla hesaplanır: önseli bir şans oranı olarak yazmak, kanıtın olabilirlik oranıyla çarpmak, sonucu gerektiğinde bir olasılığa çevirmek ve bir sonraki kanıt için sonsali yeni önsel olarak kullanırken kanıtların bağımlılığını denetlemek.

Sonsalin yanıltıcı bir kesinlik taşıdığı, kanıtların kesin olmadığı ve oranları çarpmanın bağımsızlık varsaydığı itirazları, sonsalin bir aralık olarak bildirilebildiğini, kanıtın belirsizliğinin çoğu zaman olabilirlik oranının içine katılabildiğini ve bağımlı kanıtlar için ikinci oranın birinci kanıt verildiğinde hesaplanabildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir kanıttan sonra neye inanacağımızı hesaplamak, önceki güvenimizi bir oran olarak yazmak, onu kanıtın gücüyle çarpmak, kanıtlar birbirine bağlıysa bunu hesaba katmak ve sonucu, dayandığı tahminlerin belirsizliğiyle birlikte, bir aralık olarak söylemektir.

Sonraki derse köprü

Barış'ın adımları, bir soruyla bitmişti: otel kaydı, sanığın kaynak olma olasılığını düşürmüştü, ama bu kayıt, soruşturmanın başından beri dosyada bulunuyordu ve kimse onu bir kanıt olarak hesaba katmamıştı. Bir bilgi, ne zaman bir kanıt sayılır? Kerem, raporun yazarlarının, üç tanığın ortak okumalarını, tek kaynak hipotezini önerdikleri anda zaten biliyor olduklarını hatırlatıyor: hipotez, bu okumaları açıklamak için kurulmuştu. Bu okumalar, hipotezin lehine bir kanıt sayılabilir miydi?

Selin, bir kanıtın bir hipotezi desteklemesinin, o kanıtın hipotezin olasılığını artırması olup olmadığını soruyor. Defne, bir hastanın dosyasındaki bütün bilgilerin, yalnızca en son testin değil, hastalığın olasılığını değerlendirirken hesaba katılması gerektiğini söylüyor. Lina, bir bilginin bir hipotez için kanıt sayılıp sayılmadığının, o bilginin ne zaman öğrenildiğine mi, yoksa hipotezle mantıksal ilişkisine mi bağlı olduğunu merak ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Kanıt dersi, bir bilginin bir hipotez için kanıt sayılmasının Bayesçi çerçevede ne anlama geldiğini, bir hipotezin önerilmesinden önce bilinen bir bilginin o hipotezi destekleyip desteklemeyeceği sorusunu ve bir değerlendirmede eldeki bütün bilginin hesaba katılması ilkesini soruyor.