Olabilirlik

Açılış sahnesi

Tolga, grubun elindeki iki kanıtı yan yana yazıyor. Birinci kanıt, kenar notlarıydı: düzeltme varken onda sekiz, düzeltme yokken beşte bir olasılıkla bulunuyordu. İkinci kanıt, mürekkeplerin aynı çıkmasıydı: düzeltme varken onda dokuz, yokken onda üç olasılıkla bekleniyordu. Tolga, hangi kanıtın daha güçlü olduğunu soruyor. İkinci kanıtın düzeltme varken beklenme olasılığı daha yüksekti, onda dokuz, onda sekize karşı. Ama birinci kanıt düzeltme yokken çok daha seyrek görülüyordu. Tolga, bir kanıtın gücünün tek bir sayıyla değil, iki sayının birbirine göre durumuyla ölçülmesi gerektiğini seziyor.

Selin, bu sayıların ne olduğunu soruyor: olasılık mıydılar? Kenar notlarının düzeltme varken bulunma olasılığı ile düzeltme yokken bulunma olasılığının toplamı birdi, ama mürekkep için toplam birden fazlaydı; demek ki bunlar düzeltme hipotezinin olasılıkları değildi. Defne, daha duyarlı bir testin her zaman daha güçlü bir kanıt vermediğini fark ediyor. Barış, bir bilirkişinin mahkemede bir eşleşmeyi nasıl bildirmesi gerektiğini soruyor: sanığın suçlu olma olasılığını mı söylemeli, yoksa başka bir şeyi mi? Kerem, farklı önsellerle başlayan kişilerin bir kanıtın gücü üzerinde anlaşıp anlaşamayacağını merak ediyor. Lina ise, üç tanığın tam da bu okumaları üretecek biçimde birinin kasten düzenlediği gibi tuhaf bir hipotezin, verileri en iyi öngören hipotez olduğunu fark ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, bir kanıtın bir hipotez doğruyken ne kadar beklenen olduğunu gösteren olabilirliğin ne olduğunu, iki hipotezin olabilirliklerinin oranının bir kanıtın gücünü nasıl ölçtüğünü ve olabilirliğin neden hipotezin olasılığıyla karıştırılmaması gerektiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Önsel dersi, Bayesçi güncellemenin başlangıç noktasını inceledi: bir hipoteze belirli bir kanıttan önce verilen olasılığı. Koşullu olasılık dersi, bir kanıtın bir hipotez altındaki olasılığı ile hipotezin kanıt altındaki olasılığının farklı olduğunu göstermiş ve bu ikisini karıştırmayı tersine çevirme yanılgısı olarak adlandırmıştı. Bu ders, güncellemenin ikinci parçasını, kanıtın kendisinin ne söylediğini, inceliyor: bir kanıtın bir hipotez doğruyken ne kadar beklenen olduğunu, bu beklentinin bir hipotezin olasılığından nasıl ayrıldığını ve iki hipotez için bu beklentilerin oranının bir kanıtın gücünü nasıl ölçtüğünü gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Ronald Fisher, 1922'de yayımladığı Kuramsal İstatistiğin Matematiksel Temelleri Üzerine makalesinde, bir verinin bir hipotez altındaki olasılığını, olabilirlik kavramını, ayrıntılı biçimde geliştirir ve bu kavramı hipotezin olasılığından açıkça ayırır. Ian Hacking, 1965'te yayımladığı İstatistiksel Çıkarımın Mantığı kitabında, bir kanıtın iki hipotezden hangisini desteklediğini söyleyen ilkeyi, olabilirlik yasasını, adlandırır. Richard Royall ise 1997'de yayımladığı İstatistiksel Kanıt kitabında, kanıtın ne söylediği, neye inanılması gerektiği ve ne yapılması gerektiği sorularının birbirinden ayrı sorular olduğunu ve olabilirlik oranının yalnızca birincisine cevap verdiğini savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: olabilirlik oranının yalnızca iki hipotezi karşılaştırdığı ve tek bir hipotez hakkında hiçbir şey söylemediği, olabilirliklerin kendilerinin de tahminlere ve varsayımlara dayandığı ve verileri en iyi öngören hipotezin çoğu zaman uydurma bir hipotez olduğu itirazları.

Sonda, bir kanıtın gücünü olabilirlikle değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: karşılaştırılacak iki hipotezi açıkça belirlemek, kanıtın her hipotez altındaki olasılığını ayrı ayrı yazmak, iki olasılığın oranını hesaplamak ve bu oranı, hipotezlerin kendi olasılıklarından ve varılacak karardan ayrı tutarak bildirmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir kanıtın bir hipotezi ne kadar desteklediği nasıl ölçülür ve bu ölçü, hipotezin olasılığından neden ayrı tutulmalıdır?

Ölçülü iddiam şu: bir hipotezin bir kanıt karşısındaki olabilirliği, hipotez doğru olsaydı o kanıtın gözlenme olasılığıdır; Fisher'ın vurguladığı gibi, olabilirlik hipotezin olasılığı değildir ve bir hipotezler kümesinin olabilirliklerinin toplamının bir olması gerekmez; Hacking'in adlandırdığı olabilirlik yasasına göre, bir kanıt, bir hipotez altında ötekinden daha beklenen ise, o hipotezi ötekine karşı destekler ve bu desteğin gücü, iki olabilirliğin oranıyla ölçülür; olabilirlik oranı, önsellerden bağımsızdır: farklı önsellerle başlayan kişiler, bir kanıtın gücü üzerinde, yani olabilirlik oranı üzerinde, anlaşabilirler, ama kanıttan sonra neye inanacakları üzerinde anlaşamayabilirler; bu yüzden, Royall'ın savunduğu gibi, kanıtın ne söylediği sorusu ile neye inanılması ve ne yapılması gerektiği soruları ayrı tutulmalıdır; bir bilirkişinin ya da bir testin bildirmesi gereken şey, çoğu zaman bir olabilirlik oranıdır, hipotezin olasılığı değil; olabilirlik tek başına bir inancı belirlemez, çünkü verileri en iyi öngören hipotez uydurma bir hipotez olabilir ve onun inanılırlığı olabilirlikten değil, önselden gelir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir kanıtın bir hipotezi ne kadar desteklediğini ölçmek istediğinde, çoğu zaman tek bir sayıya bakar: kanıtın hipotez doğruyken ne kadar beklenen olduğuna. Kenar notları düzeltilmiş el yazmalarının onda sekizinde bulunuyorsa, bu sayı yüksektir ve kanıt güçlü görünür. Ama Taban oranı dersinde görüldüğü gibi, bu sayı tek başına yeterli değildir: kenar notları düzeltilmemiş el yazmalarında da sık bulunuyorsa, onların bulunması düzeltme hakkında az şey söyler.

Bir kanıtın gücü, bu yüzden, iki sayının karşılaştırılmasıyla ölçülür: kanıtın bir hipotez doğruyken ne kadar beklenen olduğu ve rakip hipotez doğruyken ne kadar beklenen olduğu. Bu iki sayının her birine, o hipotezin kanıt karşısındaki olabilirliği denir. Olabilirlik, bir hipotezin değil, bir kanıtın olasılığıdır: hipotez sabit tutulur ve kanıtın ne kadar olası olduğu sorulur. Ama bir hipotezin bir özelliği olarak da düşünülür: kanıt sabit tutulduğunda, farklı hipotezler kanıtı farklı ölçülerde beklenen kılar.

İki olabilirliğin oranı, olabilirlik oranı, kanıtın iki hipotezi birbirinden ne kadar ayırdığını gösterir. Kenar notları için oran, onda sekizin beşte bire oranıydı, yani dört: notlar, düzeltme varken, düzeltme yokken olduğundan dört kat daha beklenirdi. Mürekkepler için oran, onda dokuzun onda üçe oranıydı, yani üç. Tolga'nın sorusunun cevabı buydu: kenar notları, düzeltme varken daha az beklenen olsa da, olabilirlik oranı daha yüksek olduğu için daha güçlü bir kanıttı.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir kanıtın bir hipotezi ne kadar desteklediğinin nasıl ölçüleceği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, olabilirlik görüşüdür. Buna göre bir kanıtın ne söylediği, tamamen iki hipotezin olabilirliklerinin oranıyla belirlenir. Kanıt, bir hipotezi ötekine karşı, olabilirlik oranı ne kadar büyükse o kadar güçlü destekler. Bu ölçü, önsellerden bağımsızdır ve kanıtın nesnel içeriğini verir.

İkinci görüş, Bayesçi destek görüşüdür. Buna göre bir kanıtın bir hipotezi ne kadar desteklediği, kanıtın o hipotezin olasılığını ne ölçüde değiştirdiğiyle ölçülür. Bu değişim, olabilirlik oranına ve önsele birlikte bağlıdır; aynı kanıt, farklı önsellerle başlayan kişiler için olasılıkları farklı ölçülerde değiştirebilir.

Üçüncü görüş, anlamlılık görüşüdür. Buna göre bir kanıt, çoğu zaman tek bir hipotezle karşılaştırılarak değerlendirilir: bir sıfır hipotezi doğruysa, gözlenen verilerin ya da ondan daha uç verilerin ne kadar olası olduğu hesaplanır ve bu olasılık çok düşükse, sıfır hipotezi reddedilir. Bir rakip hipotezin olabilirliğini hesaplamak gerekmez.

Bu ders birinci görüşü kanıtın gücünün ölçüsü olarak, ikinci görüşü inancın nasıl değişeceğinin ölçüsü olarak temel alır. Birinci görüş, bir kanıtın ne söylediğini önsellerden bağımsız olarak ifade etmenin bir yolunu verir ve farklı kişilerin kanıtın gücü üzerinde anlaşabilmesini mümkün kılar. İkinci görüş, bu gücün inançları nasıl değiştirdiğini gösterir. Üçüncü görüş, bilimsel araştırmada yaygın biçimde kullanılır, ama bir kanıtın bir hipotezi desteklemesinin her zaman bir rakibe karşı destek olduğunu gözden kaçırır: bir sıfır hipotezi altında olasılık dışı olan bir veri, rakip hipotez altında daha da olasılık dışı olabilir.

Argümanın yapısı

Bir kanıtın gücünü olabilirlikle değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, karşılaştırılacak iki hipotezi açıkça belirlemektir. Değerlendiren, kanıtın hangi hipotezi hangi rakibe karşı destekleyip desteklemediğini sorduğunu yazar. Bir kanıt, bir hipotezi bir rakibe karşı destekleyip başka bir rakibe karşı desteklemeyebilir.

İkinci adım, kanıtın her hipotez altındaki olasılığını ayrı ayrı yazmaktır. Değerlendiren, birinci hipotez doğru olsaydı kanıtın ne kadar beklenen olacağını ve ikinci hipotez doğru olsaydı ne kadar beklenen olacağını, bu tahminlerin neye dayandığıyla birlikte, iki ayrı sayı olarak yazar.

Üçüncü adım, iki olasılığın oranını hesaplamaktır. Değerlendiren, birinci olabilirliği ikinciye böler. Oran birden büyükse, kanıt birinci hipotezi destekler; birden küçükse, ikinciyi; bire eşitse, kanıt iki hipotezi birbirinden ayırmaz.

Dördüncü adım, bu oranı, hipotezlerin kendi olasılıklarından ve varılacak karardan ayrı tutarak bildirmektir. Değerlendiren, olabilirlik oranını bildirirken, bunun hipotezin olasılığı olmadığını ve bir karar için önselin ve sonuçların da hesaba katılması gerektiğini açıkça belirtir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Olabilirliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir hipotezin bir kanıt karşısındaki olabilirliği, hipotez doğru olsaydı o kanıtın gözlenme olasılığıdır; Fisher'ın vurguladığı gibi, bu hipotezin olasılığı değildir ve olabilirliklerin toplamının bir olması gerekmez. Hacking'in olabilirlik yasasına göre, bir kanıt, bir hipotez altında rakibi altında olduğundan daha olasıysa o hipotezi rakibine karşı destekler ve bu desteğin gücü olabilirlik oranıyla ölçülür. Olabilirlik oranı önsellerden bağımsızdır; bu yüzden farklı önsellerle başlayan kişiler bir kanıtın gücü üzerinde anlaşabilir ve bir bilirkişinin ya da bir testin bildirmesi gereken şey çoğu zaman bir olabilirlik oranıdır. Royall'ın gösterdiği gibi, kanıtın ne söylediği, neye inanılacağı ve ne yapılacağı ayrı sorulardır ve olabilirlik oranı yalnızca birincisine cevap verir. Olabilirlik tek başına bir inancı belirlemez: verileri en iyi öngören hipotez uydurma olabilir ve onun inanılırlığı olabilirlikten değil, önselden gelir. Birden fazla kanıt birleştirilirken, olabilirlik oranları ancak kanıtlar birbirinden bağımsızsa çarpılabilir.

Açık kalan sorular

Fisher, olabilirliği hipotezlerin olasılığından ayırdı ve bir büyüklüğün en iyi kestirimi olarak en yüksek olabilirliği veren değeri önerdi. Ama Lina'nın kusursuz hipotezi, en yüksek olabilirliğin her zaman en iyi hipotezi göstermediğini gösterdi. Önseller kullanılmadan, uydurma hipotezleri ciddi hipotezlerden ayırmanın bir yolu var mıdır?

Royall, olabilirlik oranlarını yorumlamak için sekiz ve otuz iki gibi kaba ölçütler önerdi. Ama bir kanıtın ne zaman "güçlü" sayılacağı, onunla verilecek kararın ağırlığına bağlı değil midir? Bir tedaviye başlamak için yeten bir oran, bir mahkûmiyet için yeterli midir?

Barış'ın bilirkişi raporu, bilirkişinin bir olabilirlik oranı bildirmesi gerektiğini gösterdi. Ama pek çok yargıç ve jüri üyesi, bir olabilirlik oranını bir suçluluk olasılığıyla karıştırabilir. Olabilirlik oranlarını karar vericilere, yanlış anlaşılmadan, nasıl iletmek mümkündür?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir hipotezin bir kanıt karşısındaki olabilirliği, hipotez doğru olsaydı o kanıtın gözlenme olasılığıdır; bu, hipotezin olasılığı değildir ve iki hipotezin olabilirliklerinin oranı, kanıtın iki hipotezi birbirinden ne kadar ayırdığını ölçer.

Fisher'ın makalesi olabilirliğin hipotezin olasılığından ayrı bir kavram olduğunu, Hacking'in İstatistiksel Çıkarımın Mantığı bir kanıtın desteğinin olabilirlik oranıyla ölçüldüğünü söyleyen olabilirlik yasasını, Royall'ın İstatistiksel Kanıt'ı ise kanıtın ne söylediği, neye inanılacağı ve ne yapılacağı sorularının ayrı olduğunu gösterdi.

Bir kanıtın gücü dört adımla değerlendirilir: karşılaştırılacak iki hipotezi belirlemek, kanıtın her hipotez altındaki olasılığını ayrı yazmak, iki olasılığın oranını hesaplamak ve bu oranı hipotezin olasılığından ve karardan ayrı tutarak bildirmek.

Oranın tek hipotez hakkında bir şey söylemediği, olabilirliklerin de tahmin olduğu ve en iyi öngören hipotezin uydurma olduğu itirazları, kanıtın her zaman bir rakibe karşı destek verdiğini, olabilirliklerin önsellerden daha kolay sınanabildiğini ve uydurma bir hipotezin inanılırlığının olabilirlikten değil önselden geldiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir kanıtın ne söylediğini bildirmek, onu bir hipotezin olasılığı gibi değil, iki hipotez arasında bir oran olarak bildirmek ve bu oranın kişiden kişiye değişen önsellerle nereye götüreceğini okurun kendisine bırakmaktır.

Sonraki derse köprü

Kerem'in ortak zemini, olabilirlik oranının üç kişi için de aynı olduğunu göstermişti; ama üç kişi, aynı orandan sonra farklı olasılıklara ulaşıyordu. Tolga, bir önselin ve bir olabilirlik oranının nasıl birleşip kanıttan sonraki olasılığı verdiğini soruyor. Önceki derslerde bu birleştirme, yüz el yazmalık tablolarla, adım adım yapılmıştı; ama Tolga, bunun daha kısa bir yolu olup olmadığını merak ediyor.

Selin, önselin kendisinin de bir oran biçiminde yazılabileceğini fark ediyor: düzeltmenin olasılığı onda üçse, düzeltmenin düzeltmemeye oranı üçe yediydi. Belki bu oran, kanıtın olabilirlik oranıyla bir biçimde birleşiyordu. Defne, bir testin sonucundan sonra bir hastalığın olasılığını hesaplamak için hekimlerin kullandığı bir kısa yol olduğunu hatırlatıyor. Barış, bir mahkemenin, birbirini izleyen kanıtları gördükçe bir sanığın suçluluğuna olan güvenini nasıl adım adım değiştirmesi gerektiğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Sonsal dersi, bir önsel ile bir olabilirlik oranının birleşerek kanıttan sonraki olasılığı, sonsali, nasıl verdiğini, bu birleştirmenin oranlar biçiminde nasıl sadeleştiğini ve birbirini izleyen kanıtlarla sonsalin adım adım nasıl güncellendiğini soruyor.