Önsel

Açılış sahnesi

Kerem, Selin'in üç taban oranını yeniden masaya koyuyor. Aynı yüzyılın bütün el yazmalarından alınan taban oranı onda birdi; aynı kütüphaneden alınan onda üç; metin karşılaştırmalarıyla tanınan kütüphanelerden alınan ise yarıya yakın. Grup, kenar notlarını hesaba kattıktan sonra, bu üç başlangıç noktasından üç ayrı sonuca varmıştı. Şimdi Kerem, mürekkep çözümlemesinin sonucu geldiğinde ne olacağını soruyor: üç ayrı başlangıç noktasından yola çıkan üç kişi, aynı kanıtı gördükten sonra birbirine yaklaşacak mıydı, yoksa aralarındaki fark sürecek miydi?

Selin, grubun hiçbir sayıma başvurmadan, "bilmiyoruz, öyleyse eşit olasılık verelim" diyerek başlamasının daha tarafsız olup olmayacağını soruyor, ama neyin neye eşit sayılacağının belirsiz olduğunu fark ediyor. Defne, iki hekimin aynı hastaya, muayeneden önce, farklı olasılıklar verdiğini ve bu farkın muayene sonucunu nasıl yorumladıklarını belirlediğini anlatıyor. Barış, bir sanığın suçlu olma olasılığına, kanıtlar görülmeden önce, bir mahkemenin ne vermesi gerektiğini soruyor. Tolga, sadelik ve uyum gibi abdüksiyon ölçütlerinin bir hipotezin başlangıç olasılığını belirlemede bir rolü olup olmadığını merak ediyor. Lina ise bir hipoteze kesinlikle yanlış ya da kesinlikle doğru diye başlayan birinin hiçbir kanıtla fikir değiştiremeyeceğini fark ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, bir hipoteze kanıt gelmeden önce verilen olasılığın, önselin, nereden geldiğini, önselin seçiminin bir kanıttan sonraki olasılığı ne ölçüde etkilediğini ve farklı önsellerle başlayan kişilerin kanıt biriktikçe birbirine yaklaşıp yaklaşmadığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Olasılık modülü, olasılığın temel kurallarını, koşullu olasılığı, bağımsızlığı, taban oranını ve beklenen değeri inceledi. Koşullu olasılık ve taban oranı dersleri, bir kanıt geldiğinde bir hipotezin olasılığının nasıl değiştiğini sayılmış durumlarla hesapladı. Bu ders, Bayesçi güncelleme modülünü açıyor: bu değişimin bütün bir çerçeve olarak ele alınmasını. Modülün ilk dersi, güncellemenin başlangıç noktasını, önseli, inceliyor. Programın bilgi kuramı kurslarında önsel bilgi, deneyimden bağımsız bilinen bilgi anlamında ele alınmıştı; bu dersteki önsel ise bir olasılık kavramıdır, deneyimden bağımsız değil, belirli bir kanıttan önceki olasılıktır ve iki kavram karıştırılmamalıdır.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Joseph Bertrand, 1889'da yayımladığı Olasılık Hesabı kitabında, bir çember içinde rastgele çizilen bir kirişin olasılığı üzerine bir soruyla, bilgisizlik durumunda eşit olasılık vermenin tek bir cevabı olmadığını gösterir. Harold Jeffreys, 1939'da yayımladığı Olasılık Kuramı kitabında, bilimsel hipotezlere verilecek önsel olasılıkların keyfi olmaması gerektiğini ve sade hipotezlere daha yüksek önseller verilmesini savunur. Ward Edwards, Harold Lindman ve Leonard Savage ise 1963'te Psychological Review'da yayımladıkları makalede, farklı önsellerle başlayan kişilerin, yeterince kanıt biriktiğinde, sonuçlarının birbirine yaklaştığı koşulları açıklar.

Ardından üç itirazı tartacağız: önsellerin öznel olduğu için bilimin nesnelliğini ortadan kaldırdığı, eşit olasılık vermenin tarafsız bir başlangıç olduğu ve görüşlerin yakınsamasının ancak çok kanıtla gerçekleştiği için tek bir karar için önselin belirleyici kaldığı itirazları.

Sonda, bir önseli belirlemenin dört adımını göstereceğiz: önselin hangi hipotezler kümesi üzerinde verildiğini yazmak, önselin kaynağını, bir taban oranı, bir simetri, bir uzman yargısı ya da bir açıklayıcı ölçüt olarak belirtmek, sıfır ya da bir gibi kesin önsellerden kaçınmak ve sonucu birkaç farklı önselle hesaplayıp önselin sonucu ne ölçüde etkilediğini göstermek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir hipoteze kanıt gelmeden önce verilen olasılık nereden gelir ve bu başlangıç olasılığı, kanıt geldikten sonraki olasılığı ne ölçüde belirler?

Ölçülü iddiam şu: bir önsel, bir hipoteze belirli bir kanıt hesaba katılmadan önce verilen olasılıktır ve boşlukta değil, o kanıttan önceki bilgiye dayanarak verilir; önselin en güvenilir kaynağı, Taban oranı dersinde görüldüğü gibi, ilgili bir sınıftaki bir sayımdır; böyle bir sayım yoksa, bir simetri, bir uzman yargısı ya da sadelik ve uyum gibi açıklayıcı ölçütler önseli biçimlendirebilir; bilgisizlik durumunda her seçeneğe eşit olasılık vermek, Bertrand'ın gösterdiği gibi, seçeneklerin nasıl bölündüğüne bağlıdır ve bu yüzden tarafsız tek bir başlangıç değildir; Jeffreys'in savunduğu gibi, önseller keyfi olmamalı ve gerekçelendirilmelidir, ama tek bir doğru önsel çoğu zaman yoktur; farklı önsellerle başlayan kişiler, Edwards, Lindman ve Savage'ın gösterdiği gibi, kanıt yeterince güçlü ve birikmiş olduğunda birbirine yaklaşır, ama bu yakınsama yavaş olabilir ve hiçbir kişinin bir hipoteze sıfır ya da bir olasılık vermemesini gerektirir; bu yüzden bir önsel, kaynağıyla birlikte yazılmalı ve bir sonuç, birkaç farklı önselle hesaplanarak önsele ne ölçüde duyarlı olduğu gösterilmelidir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci Bayesçi güncellemeyle karşılaştığında, çoğu zaman önseli ya bir önyargı olarak ya da hesabın önemsiz bir başlangıç ayrıntısı olarak görür. Birinci görüş, önselin kişinin kanıttan önce istediği sonuca ulaşmak için seçtiği bir sayı olduğunu düşünür; ikinci görüş ise kanıtın her zaman önsele baskın geleceğini ve bu yüzden önselin ne olduğunun önemli olmadığını. İki görüş de yanlıştır. Önsel, bir önyargı değildir, çünkü gerekçelendirilebilir; ve önemsiz de değildir, çünkü Taban oranı dersinde görüldüğü gibi, aynı kanıt farklı önsellerle çok farklı sonuçlar verebilir.

Önsel, bir hipoteze belirli bir kanıt hesaba katılmadan önce verilen olasılıktır. "Önce" sözcüğü, zamanda önce değil, mantıksal olarak önce demektir: önsel, ilgilenilen kanıt dışındaki bütün bilgiye dayanır. Grubun düzeltme hipotezine verdiği onda üç, kenar notlarından önce, ama katalog sayımından sonra verilmiş bir önseldi; kenar notları hesaba katıldıktan sonra elde edilen onda altı ise, mürekkep çözümlemesi için yeni bir önsel olacaktı. Önsel ve sonsal, mutlak kavramlar değil, belirli bir kanıta göre tanımlanan kavramlardır.

Görüşler ve pozisyonlar

Önsellerin nereden geldiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, öznel görüştür. Buna göre bir önsel, bir kişinin bir hipoteze kanıttan önce duyduğu güvenin derecesidir ve olasılık kurallarına uyduğu sürece, kişiden kişiye özgürce değişebilir. Tek bir doğru önsel yoktur; akla uygunluğun tek koşulu, önsellerin tutarlı olması ve kanıt geldiğinde kurallara uygun biçimde güncellenmesidir.

İkinci görüş, nesnel görüştür. Buna göre bir önsel, kişinin keyfine bırakılmamalıdır; eldeki bilgiye dayanarak, herkesin aynı bilgiyle aynı önsele ulaşacağı kurallarla belirlenmelidir. Bu kurallar, bilgisizlik durumunda eşit olasılık vermek, simetrileri gözetmek ya da sade hipotezlere daha yüksek önseller vermek olabilir.

Üçüncü görüş, deneysel görüştür. Buna göre bir önsel, mümkün olduğunda, ilgili bir sınıftaki bir sayımdan, bir taban oranından, alınmalıdır. Önselin keyfiliği, onu verilerle beslemekle azaltılır; ama hangi sınıfın kullanılacağı sorusu, İstatistiksel kıyas ve Taban oranı derslerinde görüldüğü gibi, bir yargı gerektirmeye devam eder.

Bu ders üçüncü görüşü, mümkün olduğunda başvurulacak ilk kaynak olarak alır ve birinci ile ikinci görüşü onun sınırlarında kullanır. Bir sayım yoksa, ikinci görüşün önerdiği simetriler ve açıklayıcı ölçütler bir önseli gerekçelendirebilir, ama Bertrand'ın gösterdiği gibi, bu kuralların da tek bir cevabı olmayabilir. Birinci görüş, önsellerin kişiden kişiye değişebildiğini ve tek bir doğru önselin çoğu zaman olmadığını doğru görür; ama bu değişkenliğin, önsellerin gerekçelendirilmemesine izin vermediğini gözden kaçırmamalıdır.

Argümanın yapısı

Bir önseli belirlemek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, önselin hangi hipotezler kümesi üzerinde verildiğini yazmaktır. Belirleyen, önseli verdiği hipotezleri, Temel kurallar dersindeki kutular gibi, birbirini dışlayan ve bütün olasılıkları tüketen bir listeye yazar. Selin'in eşit olasılıklarında görüldüğü gibi, bu liste önseli etkiler.

İkinci adım, önselin kaynağını belirtmektir. Belirleyen, önselin bir sayıma, bir simetriye, bir uzman yargısına ya da sadelik ve uyum gibi bir açıklayıcı ölçüte dayanıp dayanmadığını yazar. Birden fazla kaynak varsa, her birinin verdiği önseli ayrı ayrı yazar.

Üçüncü adım, sıfır ya da bir gibi kesin önsellerden kaçınmaktır. Belirleyen, bir hipotezin mantıksal olarak olanaksız ya da kesin olmadığı sürece, ona sıfır ya da bir önsel vermez; çok düşük ya da çok yüksek bir önsel bile, kanıt karşısında değişebilme olanağını korur.

Dördüncü adım, sonucu birkaç farklı önselle hesaplayıp önselin sonucu ne ölçüde etkilediğini göstermektir. Belirleyen, Kerem'in yaptığı gibi, makul önsellerin bir aralığını seçer ve kanıttan sonraki olasılığı her biri için hesaplar. Sonuçlar birbirine yakınsa, karar önsele duyarlı değildir; uzaksa, karar önsele bağlıdır ve önselin gerekçesi dikkatle tartışılmalıdır.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Önseli ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir önsel, bir hipoteze belirli bir kanıttan önce, o kanıt dışındaki bütün bilgiye dayanarak verilen olasılıktır; mümkün olduğunda bir sayıma dayandırılmalı, sayım yoksa bir simetri, bir uzman yargısı ya da açıklayıcı ölçütlerle gerekçelendirilmelidir. Kayıtsızlık ilkesi, Bertrand'ın gösterdiği gibi, gizli bir bölme seçimine dayandığı için tarafsız tek bir başlangıç vermez; Jeffreys'in savunduğu gibi önseller keyfi olmamalıdır, ama tek bir doğru önsel çoğu zaman yoktur. Mantıksal olarak olanaksız olmayan bir hipoteze sıfır ya da bir önsel verilmemelidir, çünkü böyle bir önsel hiçbir kanıtla değişmez. Makul önsellerle başlayan kişiler, Edwards, Lindman ve Savage'ın gösterdiği gibi, yeterince güçlü kanıt karşısında birbirine yaklaşır; kanıt azken ise önsel belirleyici kalır ve bu yüzden sonuç, birkaç önselle hesaplanıp önsele duyarlılığı gösterilerek yazılmalıdır.

Açık kalan sorular

Bertrand'ın kiriş sorusu, bilgisizlik durumunda eşit olasılık vermenin bir bölme seçimine bağlı olduğunu gösterdi. Ama bazı durumlarda, örneğin bir zarın altı yüzünde, doğal bir bölme var gibi görünür. Doğal bir bölmenin var olup olmadığını ne belirler? Bir simetri, dünyanın mı yoksa bizim betimlememizin mi bir özelliğidir?

Jeffreys, sade yasalara daha yüksek önseller verilmesini savundu. Sadelik dersi, sadeliğin birden fazla biçimi olduğunu ve bu biçimlerin çatışabildiğini gösterdi. Bir önseli biçimlendirmek için hangi sadelik biçimi kullanılmalıdır? Sadeliğe dayanan bir önsel, sadeliği gerekçelendirme sorununu önselin içine mi taşır?

Edwards, Lindman ve Savage, makul önsellerin yeterince güçlü kanıt karşısında yakınsadığını gösterdi. Ama bir önselin makul olup olmadığına kim karar verir? Bir bilimsel topluluk, bir önseli makul saymakta anlaşamıyorsa, yakınsama güvencesi ne kadar işe yarar?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir önsel, bir hipoteze belirli bir kanıt hesaba katılmadan önce, o kanıt dışındaki bütün bilgiye dayanarak verilen olasılıktır; deneyimden bağımsız değildir, yalnızca ilgilenilen kanıttan bağımsızdır ve mümkün olduğunda bir sayıma dayandırılmalıdır.

Bertrand'ın kiriş sorusu bilgisizlik durumunda eşit olasılık vermenin bir bölme seçimine bağlı olduğunu, Jeffreys'in Olasılık Kuramı önsellerin keyfi olmaması ve sadeliğin onları biçimlendirebileceğini, Edwards, Lindman ve Savage'ın makalesi ise makul önsellerle başlayan kişilerin yeterince güçlü kanıt karşısında birbirine yaklaştığını gösterdi.

Bir önsel dört adımla belirlenir: hangi hipotezler kümesi üzerinde verildiğini yazmak, kaynağını belirtmek, sıfır ya da bir gibi kesin önsellerden kaçınmak ve sonucu birkaç farklı önselle hesaplayıp önselin etkisini göstermek.

Önsellerin nesnelliği yok ettiği, eşit olasılığın tarafsız olduğu ve yakınsamanın ancak çok kanıtla gerçekleştiği itirazları, önsellerin gerekçelendirilip paylaşıldığında yaklaştığını ve açıkça yazıldığında denetlenebildiğini, eşit olasılığın gizli bir bölme seçimine dayandığını ve az kanıtla verilen kararlarda önselin belirleyici olmasının Bayesçi çerçevenin görünür kıldığı bir özellik olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir kanıtın bir hipotezi ne kadar desteklediğini söylemeden önce, hangi önselle başladığımızı, bu önselin nereden geldiğini ve başka makul önsellerle başlayan birinin nereye varacağını da söylemek gerekir.

Sonraki derse köprü

Kerem'in üç başlangıcı, grubun dikkatini güncellemenin öteki parçasına çekti. Üç kişi, aynı iki kanıtı görmüş ve her biri, kendi önselinden başlayarak, daha yüksek bir olasılığa ulaşmıştı. Ama her kanıt, olasılıkları farklı ölçülerde yükseltiyordu: kenar notları, düzeltme varken onda sekiz, yokken beşte bir olasılıkla bulunuyordu; mürekkeplerin aynı çıkması, düzeltme varken onda dokuz, yokken onda üç olasılıkla bekleniyordu. Tolga, bu iki sayı çiftinin, bir kanıtın gücünü nasıl ölçtüğünü soruyor.

Selin, bir kanıtın bir hipotez doğruyken ne kadar beklenen olduğunun, o hipotezin kanıt gelince ne kadar olası olduğundan farklı bir soru olduğunu hatırlatıyor; daha önce karşılaştıkları tersine çevirme yanılgısı, bu iki sorunun karıştırılmasıydı. Defne, bir testin gücünün, hastalık varken olumlu çıkma olasılığına tek başına değil, bu olasılığın hastalık yokken olumlu çıkma olasılığına oranına bağlı olup olmadığını merak ediyor. Barış, bir kanıtın mahkemede ne kadar ağırlık taşıdığının bu türden bir oranla ölçülüp ölçülemeyeceğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Olabilirlik dersi, bir kanıtın bir hipotez doğruyken ne kadar beklenen olduğunu gösteren olabilirliğin ne olduğunu, iki hipotezin olabilirliklerinin oranının bir kanıtın gücünü nasıl ölçtüğünü ve olabilirliğin neden hipotezin olasılığıyla karıştırılmaması gerektiğini soruyor.