Beklenen değer

Açılış sahnesi

Tolga, mürekkep çözümlemesi için bir laboratuvardan teklif almış. Çözümleme pahalıydı ve el yazmasının bir sayfasından çok küçük bir örnek alınmasını gerektiriyordu; laboratuvar, bu işlemin sayfaya zarar verme olasılığının çok düşük, ama sıfır olmadığını yazmıştı. Çözümleme yapılırsa, üstü çizilmiş sözcüklerin mürekkebinin kenar notlarının mürekkebiyle aynı olup olmadığı öğrenilecek ve düzeltme hipotezi hakkında önemli bir bilgi edinilecekti. Yapılmazsa, rapor, düzeltme hipotezini eldeki kanıtlarla, onda altılık bir güvenle, sunmak zorunda kalacaktı. Tolga, çözümlemenin bu bedele ve bu riske değip değmeyeceğini nasıl hesaplayacağını soruyor.

Selin, sorunun yalnızca çözümlemenin ne kadar bilgi vereceği değil, bu bilginin grubun kararını değiştirip değiştirmeyeceği olduğunu fark ediyor. Defne, risk ölçeğinin işaretlediği bir hastada ilacı kesmek, izlemek ya da devam etmek arasında seçim yaparken benzer bir hesap yapması gerektiğini söylüyor. Barış, bir müvekkilinin uzlaşma teklifini kabul edip etmemesi gerektiğini, davayı kazanma olasılığına ve kazanıp kaybetmenin sonuçlarına göre tartıyor. Kerem, "beklenen" sözcüğünün, hiçbir zaman gerçekleşmeyecek bir sonucu adlandırmasının tuhaflığını sorguluyor. Lina ise olasılıkları bilinmeyen bir seçenek ile olasılıkları bilinen bir seçenek arasında, beklenen değerleri eşit olsa bile, neden farklı hissettiğini merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, belirsiz sonuçları olan bir seçeneğin değerinin, her sonucun olasılığı ile değerinin birleştirilerek nasıl hesaplandığını, bu hesabın bir kararı ne zaman yönlendirebileceğini ve beklenen değeri en büyük olan seçeneği seçmenin hangi durumlarda yetersiz kaldığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Olasılık modülünün önceki dersleri, olasılığın temel kurallarını, koşullu olasılığı, bağımsızlığı ve taban oranını inceledi: bir hipotezin ya da bir olayın ne kadar olası olduğunu hesaplamanın yollarını. Ama bir olasılık, kendi başına bir karar vermez. Bir kararın, olası sonuçların yalnızca ne kadar olası olduğuna değil, ne kadar iyi ya da kötü olduğuna da bağlı olması gerekir. Programın etik ve karar kuramı kurslarında beklenen değer kavramı, Bernoulli'nin fayda düşüncesi ve Allais'nin itirazı ele alınmıştı. Bu ders, bu kavramları yeniden tanımlamadan, olasılık modülünü kapatıyor ve beklenen değerin bir karar aracı olarak nasıl kullanıldığını, bir bilginin değerinin nasıl hesaplandığını ve bu aracın sınırlarını gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Christiaan Huygens, 1657'de yayımladığı Şans Oyunlarında Akıl Yürütme Üzerine adlı kısa incelemede, bir oyuncunun belirsiz bir kazanca sahip olmasının ne kadar değerli olduğunu, bugün beklenen değer denen kavramla hesaplar. Howard Raiffa, 1968'de yayımladığı Karar Çözümlemesi kitabında, karar ağaçlarını ve bir bilgiyi elde etmenin beklenen değerini hesaplamanın yöntemlerini sistemli biçimde anlatır. Daniel Ellsberg ise 1961'de Quarterly Journal of Economics'te yayımladığı makalede, insanların olasılıkları bilinen seçenekleri, olasılıkları bilinmeyen ama beklenen değeri aynı olan seçeneklere tercih ettiğini gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: sağlık, doğruluk ya da adalet gibi değerlerin sayılara çevrilemeyeceği, beklenen değerin yalnızca çok kez tekrarlanan kararlar için anlamlı olduğu ve olasılıklar bilinmediğinde beklenen değer hesabının çöktüğü itirazları.

Sonda, bir kararı beklenen değerle incelemenin dört adımını göstereceğiz: seçenekleri ve her seçeneğin olası sonuçlarını bir karar ağacında yazmak, her sonuca bir olasılık ve bir değer vermek, her seçeneğin beklenen değerini hesaplamak ve sonucun olasılıklara ve değerlere ne kadar duyarlı olduğunu sınamak.

Merkez soru

Sorumuz şu: belirsiz sonuçları olan seçenekler arasında, olasılıklar ve değerler birlikte nasıl tartılır ve bu tartma bir kararı ne zaman yönlendirebilir?

Ölçülü iddiam şu: belirsiz sonuçları olan bir seçeneğin beklenen değeri, her olası sonucun değerinin o sonucun olasılığıyla çarpılıp bu çarpımların toplanmasıyla bulunur; bu değer, seçeneğin gerçekleşecek herhangi bir sonucu değil, olasılıklar ile değerlerin birlikte tartıldığı bir ölçüdür ve Huygens'in gösterdiği gibi, belirsiz bir kazancın adil değeri olarak yorumlanabilir; beklenen değer, seçenekleri ve sonuçları bir karar ağacında açıkça yazmayı ve her sonuca bir olasılık ile bir değer vermeyi gerektirdiği için, bir kararın dayandığı varsayımları görünür kılar; aynı araç, Raiffa'nın gösterdiği gibi, bir bilgiyi elde etmenin değerini de hesaplamaya izin verir: bir bilginin değeri, onu elde ettikten sonra verilecek kararın beklenen değeri ile onu elde etmeden verilecek kararın beklenen değeri arasındaki farktır ve bir bilgi, kararı değiştirme olasılığı yoksa, hiçbir değer taşımaz; ama beklenen değer, değerler kabaca sayılara çevrilebildiğinde ve olasılıklar makul ölçüde bilindiğinde güvenilirdir; olasılıklar belirsiz olduğunda, Ellsberg'in gösterdiği gibi, insanlar beklenen değerin ötesinde bir belirsizlikten kaçınma gösterir ve bu kaçınma her zaman bir hata değildir; bu yüzden beklenen değer bir karar kuralı değil, bir kararın tartışılacağı çerçevedir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci belirsiz sonuçları olan bir kararla karşılaştığında, çoğu zaman ya en olası sonuca ya da en iyi ya da en kötü sonuca odaklanır. Tolga, çözümlemenin sayfaya zarar verme olasılığının çok düşük olduğunu biliyordu, ama zarar düşüncesi onu kaygılandırıyordu; öte yandan çözümlemenin vereceği bilgi çok değerli görünüyordu. Bu iki izlenim, tek tek, kararı iki ayrı yöne itiyordu ve hangisinin ağır basacağı, onları birlikte tartmadan söylenemezdi.

Beklenen değer, bu tartmanın bir yoludur. Bir seçeneğin olası her sonucu için iki şey sorulur: bu sonucun olasılığı nedir ve bu sonuç ne kadar iyi ya da kötüdür? Sonra her sonucun değeri olasılığıyla çarpılır ve bu çarpımlar toplanır. Olası ama küçük değerli sonuçlar ile olasılığı düşük ama büyük değerli sonuçlar, aynı ölçekte karşılaştırılabilir hâle gelir.

Görüşler ve pozisyonlar

Beklenen değerin kararlardaki rolü konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, karar kuralı görüşüdür. Buna göre belirsizlik altında akla uygun karar, beklenen değeri en büyük olan seçeneği seçmektir. Olasılıklar ve değerler doğru belirlendiğinde, beklenen değer hesabı hangi seçeneğin seçilmesi gerektiğini kesin olarak söyler.

İkinci görüş, çerçeve görüşüdür. Buna göre beklenen değer, bir kararın dayandığı olasılıkları ve değerleri açıkça yazmanın ve karşılaştırmanın bir aracıdır, ama tek başına bir karar kuralı değildir. Hesabın sonucu, kararı tartışmak için bir başlangıç noktasıdır; olasılıkların ve değerlerin belirsizliği, risk karşısındaki tutumlar ve beklenen değerin gözden kaçırdığı başka etkenler de kararı etkileyebilir.

Üçüncü görüş, sınırlı uygulama görüşüdür. Buna göre beklenen değer, olasılıkların iyi bilindiği ve kararın çok kez tekrarlandığı durumlarda, örneğin bir sigorta şirketinin binlerce poliçesinde, güvenilir bir araçtır; ama olasılıkların belirsiz olduğu ya da kararın tek seferlik ve geri dönüşsüz olduğu durumlarda yanıltıcı olabilir.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve üçüncü görüşün uyarılarını ona ekler. Birinci görüş, beklenen değerin olasılıkları ve değerleri tutarlı biçimde birleştirdiğini doğru görür, ama Barış'ın uzlaşma teklifinde görüldüğü gibi, sonucun çoğu zaman kesin olmayan tahminlere duyarlı olduğunu ve hesabın kendisinin bu duyarlılığı ortaya koyması gerektiğini gözden kaçırır. Üçüncü görüş, beklenen değerin sınırlarını doğru çizer, ama bu sınırların dışında bile, hesabı yapmanın bir kararın varsayımlarını görünür kıldığını ve bu yüzden değerli olduğunu gözden kaçırabilir.

Argümanın yapısı

Bir kararı beklenen değerle incelemek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, seçenekleri ve her seçeneğin olası sonuçlarını bir karar ağacında yazmaktır. Karar veren, bütün seçenekleri, hiçbir şey yapmamak da dahil, listeler ve her seçeneğin altına onun olası sonuçlarını yazar.

İkinci adım, her sonuca bir olasılık ve bir değer vermektir. Karar veren, her sonucun olasılığını, olasılık modülünün kurallarına uygun biçimde, ve her sonucun değerini, ortak bir ölçekte, yazar. Değerler para, zaman ya da sağlık olabilir; önemli olan, aynı ölçekte karşılaştırılabilmeleridir.

Üçüncü adım, her seçeneğin beklenen değerini hesaplamaktır. Karar veren, her seçenek için, sonuçların değerlerini olasılıklarıyla çarpıp toplar ve seçenekleri karşılaştırır.

Dördüncü adım, sonucun olasılıklara ve değerlere ne kadar duyarlı olduğunu sınamaktır. Karar veren, Barış'ın yaptığı gibi, en belirsiz olasılıkları ve değerleri biraz değiştirir ve en iyi seçeneğin değişip değişmediğine bakar. Küçük bir değişiklik kararı değiştiriyorsa, karar o tahmine sıkı sıkıya bağlıdır ve o tahminin iyileştirilmesi değerli olabilir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Beklenen değeri ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Belirsiz sonuçları olan bir seçeneğin beklenen değeri, her olası sonucun değerinin olasılığıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur; bu değer bir öngörü değil, olasılıklar ile değerlerin birlikte tartıldığı bir değerlendirmedir ve Huygens'in gösterdiği gibi, belirsiz bir beklentinin adil fiyatı olarak yorumlanabilir. Beklenen değer, bir kararın seçeneklerini, sonuçlarını, olasılıklarını ve değerlerini bir karar ağacında açıkça yazmayı gerektirdiği için, kararın dayandığı varsayımları görünür kılar ve bir anlaşmazlığın nerede olduğunu gösterir. Raiffa'nın gösterdiği gibi, aynı araç bir bilginin değerini de hesaplar: bir bilgi, kararı değiştirme olasılığı yoksa değersizdir ve bedelinden fazla değer taşıyorsa elde edilmeye değer. Ama beklenen değer, değerler kabaca sayılara çevrilebildiğinde ve olasılıklar makul ölçüde bilindiğinde güvenilirdir; olasılıklar belirsizken, Ellsberg'in gösterdiği belirsizlikten kaçınma her zaman bir hata değildir. Bu yüzden beklenen değer bir karar kuralı değil, bir kararın tartışılacağı ve duyarlılığının sınanacağı çerçevedir.

Açık kalan sorular

Huygens, beklenen değeri belirsiz bir beklentinin adil fiyatı olarak yorumladı. Ama bir kişi için adil olan fiyat, onun elindeki servete ve riske dayanma gücüne bağlı olmaz mı? Aynı beklenti, yoksul biri için zengin birine göre daha az ya da daha çok mu değerlidir?

Raiffa'nın yöntemi, bir bilginin değerini kararı ne ölçüde değiştirdiğiyle ölçtü. Ama bazı bilgiler, hiçbir kararı değiştirmese bile, kendi başlarına değerli görünür: bir el yazmasının gerçek tarihini bilmek, o bilgiyle hiçbir şey yapılmasa bile değerli olabilir. Bilginin değeri, yalnızca kararlara katkısıyla mı ölçülmelidir?

Ellsberg, belirsizlikten kaçınmanın akla aykırı sayılmayabileceğini savundu. Ama belirsizlikten kaçınan biri, belirsiz olasılıkları olan bütün yeni seçeneklerden, yeni bir tedaviden, yeni bir kuramdan, yeni bir yöntemden, sistemli olarak uzak durmaz mı? Belirsizlikten kaçınma, bilginin ve yeniliğin önünde bir engel olabilir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Belirsiz sonuçları olan bir seçeneğin beklenen değeri, her olası sonucun değerinin olasılığıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur; bu değer bir öngörü değil, belirsiz bir beklentinin adil fiyatı olarak da anlaşılabilen bir değerlendirmedir.

Huygens'in incelemesi belirsiz bir kazancın değerini olasılıklara göre birleştirmenin olasılık hesabının başlangıcından beri temel bir düşünce olduğunu, Raiffa'nın Karar Çözümlemesi karar ağaçlarının ve bilginin beklenen değerinin bir kararı ve bilgi toplamayı nasıl yönlendirebildiğini, Ellsberg'in makalesi ise olasılıklar belirsizken insanların belirsizlikten kaçındığını ve bunun her zaman bir hata olmadığını gösterdi.

Bir karar beklenen değerle dört adımda incelenir: seçenekleri ve sonuçları bir karar ağacında yazmak, her sonuca bir olasılık ve bir değer vermek, her seçeneğin beklenen değerini hesaplamak ve sonucun olasılıklara ve değerlere duyarlılığını sınamak.

Değerlerin sayıya çevrilemediği, beklenen değerin yalnızca tekrarlanan kararlarda anlamlı olduğu ve olasılıklar bilinmediğinde hesabın çöktüğü itirazları, puanlamanın bir tartmayı görünür kıldığını, beklenen değerin tek seferlik kararlarda da adil bir fiyat olarak anlamlı olduğunu ve belirsiz olasılıkların aralıklarla hesaba katılabildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden belirsiz bir kararı vermek, sonuçların hem olasılığını hem değerini açıkça yazmak, bu ikisini birlikte tartmak, kararın bu tahminlere ne kadar duyarlı olduğunu sınamak ve kararı değiştirebilecek bir bilginin toplanmaya değip değmeyeceğini sormaktır.

Sonraki derse köprü

Selin'in çözümleme hesabı, bir sayıya dayanıyordu: düzeltme hipotezinin, çözümlemeden önce, onda altılık bir olasılığı vardı. Bu sayı, taban oranından ve kenar notlarından hesaplanmıştı ve çözümleme sonucu gelince on birde dokuza yükselecekti. Tolga, bu iki sayının arasındaki geçişin, bir hipotezin olasılığının bir kanıtla güncellenmesinin, olasılık modülünün kurallarından nasıl çıktığını ve bu güncellemenin her zaman aynı kurala uyup uymadığını soruyor.

Kerem, onda altının kendisinin de bir başlangıç noktası olduğunu fark ediyor: taban oranı farklı bir sınıftan alınsaydı, grup başka bir sayıyla başlayacak ve aynı kanıttan sonra başka bir sayıya ulaşacaktı. Lina, iki kişinin aynı kanıtı gördükten sonra farklı sonuçlara varmasının, farklı başlangıç noktalarından kaynaklanabileceğini söylüyor. Defne, bir hekimin bir hastayı muayene etmeden önce bir hastalığa verdiği olasılığın, muayenenin sonucunu nasıl yorumladığını belirlediğini hatırlatıyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Önsel dersi, bir hipoteze kanıt gelmeden önce verilen olasılığın, önselin, nereden geldiğini, önselin seçiminin bir kanıttan sonraki olasılığı ne ölçüde etkilediğini ve farklı önsellerle başlayan kişilerin kanıt biriktikçe birbirine yaklaşıp yaklaşmadığını soruyor.