Bağımsızlık

Açılış sahnesi

Selin, kaynak metne yakın iki nüshanın kataloğunu yeniden okuyor. Önceki hesabında, ikinci nüshanın birinciden kopyalanmış olabileceğini varsaymış ve birinci nüshada not izi bulunursa ikincide de bulunma olasılığını yüksek tutmuştu. Şimdi katalog, iki nüshanın birbirinden değil, ikisinin de ayrı ayrı aynı kaynak metinden kopyalandığını söylüyordu. Selin, bu durumda iki nüshanın birbirinden bağımsız olup olmadığını soruyor. İlk bakışta bağımsızdılar: biri ötekini görmemişti. Ama ikisi de aynı kaynağı kopyalamıştı; kaynakta bir not varsa, ikisinde de iz bulunma olasılığı yüksekti, yoksa ikisinde de düşüktü. Birinci nüshada iz bulunması, kaynağın notu taşıdığına dair bir bilgi veriyordu ve bu bilgi, ikinci nüsha hakkındaki beklentiyi değiştiriyordu.

Barış, bir davada birbirinden bağımsız sanılan birkaç özelliğin olasılıklarının çarpılarak, bir sanığın suçsuz olma olasılığının milyonlarca kere küçük gösterildiği bir karardan söz ediyor. Defne, aynı hastaya uygulanan iki testin aynı sonucu vermesinin, testler aynı biyolojik işarete bakıyorsa, iki ayrı kanıt sayılamayacağını söylüyor. Kerem, üç tanığın ortak okumalarını sayarken, bu okumaların her birini ayrı bir kanıt saymanın doğru olup olmadığını soruyor. Lina ise art arda üç tarihsiz el yazması inceledikten sonra dördüncünün tarihli çıkma olasılığının arttığını düşünmenin bir hata olup olmadığını merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, iki olayın ne zaman olasılık bakımından bağımsız sayıldığını, bağımsızlığın çarpma kuralını nasıl sadeleştirdiğini ve bağımsız sanılan olayların gerçekte bağımlı olmasının, kanıtların gücünü değerlendirmede hangi hatalara yol açtığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Koşullu olasılık dersi, bir olayın başka bir olay bilindiğinde olasılığını tanımladı ve iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını veren çarpma kuralını gösterdi: birinin olasılığı ile o gerçekleştiğinde ötekinin olasılığının çarpımı. Programın eleştirel düşünme kurslarında, Condorcet'nin jüri teoremindeki bağımsızlık koşulu ve kaynakların bağımsızlığının bir argümana verdiği destek ele alınmıştı. Bu ders, bu kavramları yeniden tanımlamadan, olasılıksal bağımsızlığı kesin olarak tanımlıyor, bağımsızlığın bir bilgi durumuna göre değişebildiğini gösteren koşullu bağımsızlığı tanıtıyor ve bağımsızlığı yanlış varsaymanın hukukta, hekimlikte, araştırmada ve ekonomide nasıl hatalara yol açtığını inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Francis Galton, 1889'da Edward Tylor'ın toplumlar arası karşılaştırmaya dayanan bir bildirisine yaptığı yorumda, farklı toplumlarda gözlenen benzerliklerin birbirinden bağımsız kanıtlar sayılamayacağını, çünkü toplumların birbirinden ödünç alabileceğini ya da ortak bir kökenden gelebileceğini ileri sürer. Kaliforniya Yüksek Mahkemesi, 1968'de Halk Collins'e Karşı davasında verdiği kararda, bir savcının bağımsız olmayan özelliklerin olasılıklarını çarparak bir sanığın suçluluğunu kanıtlamaya çalışmasını eleştirir. David Li ise 2000'de yayımladığı Temerrüt Bağıntısı Üzerine makalesinde, borçların birlikte ödenmeme olasılığını hesaplamak için bir yöntem önerir; bu yöntemin borçlar arasındaki bağımlılığı nasıl ele aldığı, sonraki mali kriz sırasında yoğun biçimde tartışılır.

Ardından üç itirazı tartacağız: gerçek dünyada hiçbir iki olayın tam olarak bağımsız olmadığı, bağımsızlık varsayılmadan olasılıkların hesaplanamayacağı ve nedensel olarak birbirini etkilemeyen olayların olasılık bakımından da bağımsız olduğu itirazları.

Sonda, bağımsızlığı değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: iki olayın birbirinin olasılığını değiştirip değiştirmediğini sormak, iki olayı birlikte etkileyebilecek ortak bir kaynak aramak, bağımsızlığın hangi bilgiye göre geçerli olduğunu belirlemek ve bağımsızlık varsayımından vazgeçildiğinde sonucun nasıl değiştiğini hesaplamak.

Merkez soru

Sorumuz şu: iki olay ne zaman olasılık bakımından bağımsızdır ve bağımsız olmayan olayları bağımsız saymak, bir kanıtın gücünü nasıl yanıltıcı biçimde değiştirir?

Ölçülü iddiam şu: iki olay, birinin gerçekleştiğini bilmek ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa olasılık bakımından bağımsızdır; bu durumda çarpma kuralı sadeleşir ve iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olasılıklarının çarpımı olur; bağımsızlık, iki olayın birbirine nedensel olarak dokunmaması demek değildir: birbirini hiç etkilemeyen iki olay, ortak bir kaynaktan etkilendikleri için olasılık bakımından bağımlı olabilir ve bu bağımlılık, ortak kaynak bilindiğinde ortadan kalkabilir; bu yüzden bağımsızlık, bir bilgi durumuna görelidir ve bir koşul altında bağımsız olan olaylar koşulsuz olarak bağımlı olabilir, ya da tersi; bağımsız olmayan olayları bağımsız saymak, Collins davasında görüldüğü gibi, birlikte gerçekleşme olasılığını çoğu zaman olduğundan çok daha küçük gösterir ve Galton'un gösterdiği gibi, birbirine bağlı kanıtları birbirinden bağımsız kanıtlar gibi sayarak bir sonucun desteğini abartır; Li'nin yöntemi etrafındaki tartışma, bağımlılığın yanlış modellenmesinin, tek tek küçük görünen riskleri birlikte büyük bir riske dönüştürebileceğini gösterir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını hesaplarken, çoğu zaman olasılıkları çarpar: birinci nüshada iz bulunma olasılığı onda üçse, ikincide de onda üçse, ikisinde birden bulunma olasılığı yüzün dokuzudur. Bu hesap, iki olay bağımsızsa doğrudur. Ama bağımsızlık, olasılıkların bir özelliği değil, olayların birbirine nasıl bağlandığının bir özelliğidir ve her durumda ayrıca sorulmalıdır.

İki olay, birinin gerçekleştiğini bilmek ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa bağımsızdır. Koşullu olasılık diliyle, birinci olay bilindiğinde ikinci olayın olasılığı, ikinci olayın koşulsuz olasılığına eşittir. Bu durumda, Koşullu olasılık dersinin çarpma kuralı sadeleşir: iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, birinin olasılığı ile o gerçekleştiğinde ötekinin olasılığının çarpımıydı; bağımsızlıkta ikinci çarpan ötekinin koşulsuz olasılığıdır.

Bağımsızlığın en önemli ve en kolay gözden kaçan yanı, onun nedensel etkileşimsizlikle aynı olmamasıdır. Selin'in iki nüshası birbirini etkilememişti; biri ötekini hiç görmemişti. Ama ikisi de aynı kaynaktan kopyalanmıştı ve bu ortak kaynak, iki nüshanın içeriğini birlikte belirliyordu. Birinde bir iz bulunması, kaynağın o notu taşıdığına dair bir işaretti ve bu işaret, ötekinde de iz bulunma olasılığını artırıyordu. İki nüsha, nedensel olarak birbirinden bağımsız, olasılık bakımından ise bağımlıydı.

Görüşler ve pozisyonlar

Bağımsızlığın ne olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, nedensel görüştür. Buna göre iki olay, birbirini nedensel olarak etkilemiyorsa bağımsızdır. Bir nüsha ötekini görmediyse, iki tanık birbiriyle konuşmadıysa, iki test birbirinin sonucunu bilmiyorsa, bağımsızdırlar ve olasılıkları çarpılabilir.

İkinci görüş, olasılıksal görüştür. Buna göre iki olay, birinin gerçekleştiğini bilmek ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa bağımsızdır. Bu tanım, olayların birbirini nedensel olarak etkileyip etkilemediğinden bağımsızdır; iki olay birbirini etkilemeden, ortak bir kaynak yüzünden, olasılık bakımından bağımlı olabilir.

Üçüncü görüş, bilgiye göreli görüştür. Buna göre bağımsızlık, iki olayın mutlak bir özelliği değil, bir bilgi durumuna göre geçerli bir ilişkidir. Aynı iki olay, bir bilgi durumunda bağımlı, ortak kaynaklarının bilindiği başka bir bilgi durumunda bağımsız olabilir.

Bu ders ikinci görüşü tanım olarak, üçüncü görüşü onun bir sonucu olarak temel alır. Birinci görüş, nedensel etkileşimin bir bağımlılık kaynağı olduğunu doğru görür, ama Selin'in iki nüshasında görüldüğü gibi, nedensel olarak etkileşmeyen olayların da ortak bir kaynak yüzünden bağımlı olabileceğini gözden kaçırır. İkinci görüş, bağımsızlığı kesin biçimde tanımlar; üçüncü görüş, bu tanımın bir bilgi durumuna göre uygulandığını ve bağımsızlık yargısının bu bilgi durumu belirtilmeden eksik kaldığını gösterir.

Argümanın yapısı

Bağımsızlığı değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, iki olayın birbirinin olasılığını değiştirip değiştirmediğini sormaktır. Değerlendiren, birinci olayın gerçekleştiğini bilseydi, ikinci olay hakkındaki beklentisinin değişip değişmeyeceğini sorar. Değişiyorsa, iki olay bağımlıdır.

İkinci adım, iki olayı birlikte etkileyebilecek ortak bir kaynak aramaktır. Değerlendiren, iki olay birbirini doğrudan etkilemese bile, ikisini birlikte belirleyen bir üçüncü etken olup olmadığını sorar: ortak bir kaynak metin, ortak bir köken, ortak bir biyolojik işaret, ortak bir ekonomik koşul.

Üçüncü adım, bağımsızlığın hangi bilgiye göre geçerli olduğunu belirlemektir. Değerlendiren, Selin'in yaptığı gibi, iki olayın ortak kaynak bilindiğinde bağımsız, bilinmediğinde bağımlı olup olmadığını sorar ve bağımsızlık yargısını, geçerli olduğu bilgi durumuyla birlikte yazar.

Dördüncü adım, bağımsızlık varsayımından vazgeçildiğinde sonucun nasıl değiştiğini hesaplamaktır. Değerlendiren, bağımsızlık varsayılarak yapılan bir hesabı, olayların bağımlı olduğu varsayılarak yeniden yapar ve iki sonuç arasındaki farkın, varılacak bir kararı değiştirip değiştirmediğine bakar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Bağımsızlığı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. İki olay, birinin gerçekleştiğini bilmek ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa olasılık bakımından bağımsızdır ve bu durumda birlikte gerçekleşme olasılıkları olasılıklarının çarpımıdır. Bağımsızlık nedensel etkileşimsizlikle aynı değildir: birbirini etkilemeyen iki olay, ortak bir kaynak yüzünden bağımlı olabilir ve bu bağımlılık, ortak kaynak bilindiğinde ortadan kalkabilir. Bu yüzden bağımsızlık bir bilgi durumuna görelidir ve bir bağımsızlık yargısı, geçerli olduğu bilgi durumuyla birlikte yazılmalıdır. Bağımsız olmayan olayların olasılıklarını çarpmak, Collins davasında görüldüğü gibi, birlikte gerçekleşme olasılığını olduğundan çok daha küçük gösterir; birbirine bağlı kanıtları bağımsız saymak, Galton'un gösterdiği gibi, bir sonucun desteğini abartır; ve bağımlılığın yanlış modellenmesi, Li'nin yöntemi etrafındaki tartışmada görüldüğü gibi, tek tek küçük riskleri birlikte büyük bir riske dönüştürebilir. Bağımlılıklar tam bilinmediğinde bile, sonucu farklı bağımlılık varsayımlarıyla yeniden hesaplamak, bağımsızlık varsayımının gizleyeceği bir riski görünür kılar.

Açık kalan sorular

Galton, toplumların birbirinden ödünç alabileceği ya da ortak bir kökenden gelebileceği için bağımsız gözlemler sayılamayacağını ileri sürdü. Ama iki gözlemin gerçekten bağımsız olduğunu bilmek için, onların bütün ortak kaynaklarını bilmek gerekir. Bir gözlemin bağımsızlığı, hiçbir zaman kesin olarak gösterilemeyen bir varsayım mıdır?

Collins davasında mahkeme, bağımsız olmayan özelliklerin olasılıklarını çarpmanın yanıltıcı olduğunu belirtti. Ama olasılık hesaplarının mahkemede kullanılması, doğru yapıldığında bile, yargıçların ve jüri üyelerinin anlaması güç sayılar üretebilir. Hukuk, istatistiksel kanıtı nasıl kullanmalıdır? Sayılar, bir yargılamanın adilliğini artırır mı, yoksa onları anlamayan karar vericiler için yeni bir yanılgı kaynağı mı olur?

Li'nin yöntemi etrafındaki tartışma, bağımlılıkların kötü dönemlerde birlikte arttığını gösterdi. Bir sistemin bağımlılık yapısı, sistem baskı altındayken değişiyorsa, sakin dönemlerin verilerinden yapılan bir hesap, kriz dönemleri için ne kadar güvenilir olabilir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İki olay, birinin gerçekleştiğini bilmek ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa olasılık bakımından bağımsızdır ve birlikte gerçekleşme olasılıkları olasılıklarının çarpımıdır; ama bağımsızlık nedensel etkileşimsizlikle aynı değildir ve bir bilgi durumuna görelidir.

Galton'un Tylor'a yorumu birbirine bağlı gözlemleri bağımsız saymanın bir sonucun desteğini abarttığını, Collins kararı bağımsız olmayan özelliklerin olasılıklarını çarpmanın hukukta ağır bir hataya yol açtığını, Li'nin yöntemi etrafındaki tartışma ise bağımlılığın yanlış modellenmesinin tek tek küçük riskleri birlikte büyük bir riske dönüştürebildiğini gösterdi.

Bağımsızlık dört adımla değerlendirilir: iki olayın birbirinin olasılığını değiştirip değiştirmediğini sormak, ikisini birlikte etkileyebilecek bir ortak kaynak aramak, bağımsızlığın hangi bilgiye göre geçerli olduğunu belirlemek ve bağımsızlık varsayımından vazgeçildiğinde sonucun nasıl değiştiğini hesaplamak.

Hiçbir şeyin tam bağımsız olmadığı, bağımsızlık varsayılmadan hesap yapılamayacağı ve nedensel etkileşimsizliğin bağımsızlık olduğu itirazları, bağımsızlığın bir derece meselesi olarak ciddiye alınabildiğini, bağımlılıklar bilinmese de sonucun farklı varsayımlarla yeniden hesaplanabildiğini ve ortak bir kaynağın etkileşmeyen olayları bağımlı kılabildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden iki kanıtın birbirini güçlendirdiğini söylemeden önce, onların birbirinden gerçekten bağımsız olup olmadığını, ikisini birlikte belirleyen bir ortak kaynak bulunup bulunmadığını ve bağımsızlık varsayımı çöktüğünde sonucun ne kadar değiştiğini sormak gerekir.

Sonraki derse köprü

Barış'ın çarpılan özellikleri, bir soruyla bitmişti: bağımlılık hesaba katıldığında bile, betimlemeye uyan bir çiftin bulunma olasılığı küçüktü; ama bu küçük olasılık, betimlemeye uyan bir çift bulunduğunda o çiftin suçlu olma olasılığı mıydı? Collins kararı, bunun olmadığını, büyük bir kentte betimlemeye uyan birden fazla çift bulunabileceğini söylemişti. Kerem, bu sorunun cevabının, kentte kaç çift yaşadığına, yani betimlemeye uyabilecek kişilerin genel sayısına, bağlı olduğunu fark ediyor.

Defne, bir hastalığın bir toplumda ne kadar yaygın olduğunun, bir testin olumlu sonucunun ne anlama geldiğini büyük ölçüde belirlediğini hatırlatıyor. Tolga, grubun düzeltme hipotezine başlangıçta verdiği onda altının, el yazmalarının genel olarak ne sıklıkla düzeltildiğine dair bir bilgiye dayanıp dayanmadığını soruyor. Selin, bir kanıtın gücünü değerlendirirken, kanıtın kendisine odaklanıp, kanıt gelmeden önceki genel sıklığı unutmanın ne kadar kolay olduğunu söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Taban oranı dersi, bir olayın genel sıklığının, bir kanıtın o olay hakkında ne söylediğini değerlendirmede neden hesaba katılması gerektiğini, bu genel sıklığı göz ardı etmenin hangi durumlarda ciddi hatalara yol açtığını ve doğru taban oranının nasıl seçileceğini soruyor.