Koşullu olasılık

Açılış sahnesi

Tolga, dört kutusunu yeniden açıyor: yalnızca düzeltme hipotezinin doğru olduğu kutuya onda dört, yalnızca yorum hipotezinin doğru olduğu kutuya onda üç, ikisinin birden doğru olduğu kutuya onda iki, ikisinin de yanlış olduğu kutuya onda bir vermişti. Şimdi yeni bir soru soruyor: düzeltme hipotezinin doğru olduğu biliniyorsa, yorum hipotezinin de doğru olma olasılığı neydi? Bu soru, dört kutunun hepsine değil, yalnızca düzeltme hipotezinin doğru olduğu iki kutuya bakmayı gerektiriyordu. Tolga, bir bilginin eklenmesinin olasılıklar tablosunu daralttığını ve kalan kutuların sayılarının yeniden hesaplanması gerektiğini fark ediyor.

Kerem, ters yöndeki soruyu soruyor: yorum hipotezinin doğru olduğu biliniyorsa, düzeltme hipotezinin de doğru olma olasılığı neydi? İki sorunun aynı cevabı vereceğini düşünüyordu, ama vermiyordu. Selin, iki nüshada birden not izinin bulunma olasılığını hesaplamak istiyor ve birinci nüshada iz bulunmasının ikincisini etkileyip etkilemediğini soruyor. Defne, bir testin hastalık varken olumlu çıkma olasılığı ile test olumlu çıktığında hastalığın bulunma olasılığının hekimler arasında sık sık karıştırıldığını anlatıyor. Barış, bir kanıtın sanık suçsuzsa çok düşük bir olasılıkla ortaya çıkacağının, sanığın suçsuz olma olasılığının çok düşük olduğu biçiminde okunmasının bir mahkeme kararını nasıl saptırabileceğini gösteriyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, bir olayın başka bir olay bilindiğinde olasılığının nasıl tanımlandığını, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını veren çarpma kuralını ve bir olayın bir koşul altındaki olasılığı ile koşulun o olay altındaki olasılığının neden birbirine karıştırılmaması gerektiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Temel kurallar dersi, olasılığın sıfır ile bir arasında bir sayı olduğunu, birbirini dışlayan olaylar için toplama kuralını ve bir olayın olmama olasılığının nasıl hesaplandığını gösterdi. Bu kurallar, bir olasılık tablosunu kurmaya ve onun tutarlılığını denetlemeye yetiyordu. Ama bir bilgi eklendiğinde tablonun nasıl değişeceğini söylemiyordu. Bu ders, olasılık hesabının ikinci temel kavramını, koşullu olasılığı, tanıtıyor: bir olayın, başka bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, olasılığının ne olduğunu, bu olasılıkla iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı arasındaki ilişkiyi ve koşullu olasılığın yönünün neden önemli olduğunu gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Abraham de Moivre, 1718'de yayımladığı Şans Öğretisi kitabının giriş bölümünde, birbirine bağlı iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığının, birincinin olasılığı ile birinci gerçekleştiğinde ikincinin olasılığının çarpımı olduğunu açıkça yazar. David Eddy, 1982'de yayımlanan Klinik Tıpta Olasılıkçı Akıl Yürütme adlı çalışmasında, hekimlerin bir testin hastalık varken olumlu çıkma olasılığını, test olumlu çıktığında hastalığın bulunma olasılığıyla karıştırdığını gösterir. William Thompson ile Edward Schumann ise 1987'de yayımladıkları makalede, ceza davalarında istatistiksel kanıtın yorumlanmasındaki iki hatayı, savcı yanılgısı ve savunma avukatı yanılgısı diye adlandırır.

Ardından üç itirazı tartacağız: koşullu olasılığın, koşulun olasılığı sıfır olduğunda tanımsız kaldığı, koşullu olasılık sayılarının da uydurma olduğu ve tersine çevirme yanılgısının bir hesap hatası değil, gündelik dilin bir belirsizliği olduğu itirazları.

Sonda, bir koşullu olasılık sorusunu çözmenin dört adımını göstereceğiz: koşulu ve olasılığı sorulan olayı açıkça ayırmak, olası durumları bir tabloda birlikte gösterilen olasılıklarla yazmak, tabloyu koşula göre daraltıp oranı hesaplamak ve sonucu, sorunun yönünü açıkça belirten bir cümleyle yazmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir olayın başka bir olay bilindiğinde olasılığı nasıl tanımlanır ve bu olasılık, koşul ile olay yer değiştirdiğinde neden değişir?

Ölçülü iddiam şu: bir olayın, başka bir olay, koşul, bilindiğinde olasılığı, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığının koşulun olasılığına oranıdır; bu tanım, bir bilgi eklendiğinde olasılıklar tablosunun, koşulun gerçekleştiği durumlarla daraltılması ve bu durumların olasılıklarının yeniden toplamları bir olacak biçimde ölçeklenmesi demektir; tanımdan, de Moivre'in açıkça yazdığı çarpma kuralı çıkar: iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, birinin olasılığı ile o gerçekleştiğinde ötekinin olasılığının çarpımıdır; koşullu olasılığın yönü önemlidir: bir olayın bir koşul altındaki olasılığı, koşulun o olay altındaki olasılığıyla genel olarak aynı değildir, çünkü iki oran aynı birlikte gerçekleşme olasılığını farklı paydalara böler; bu iki olasılığı karıştırmak, Eddy'nin hekimlik örneklerinde ve Thompson ile Schumann'ın savcı yanılgısında görüldüğü gibi, ciddi ve sistemli hatalara yol açar; ve "eğer A ise B" biçimindeki bir cümlenin olasılığı, her zaman A bilindiğinde B'nin olasılığı demek değildir; bu yüzden bir koşullu olasılık yargısı, koşulu ve olayı, sorunun yönünü açıkça belirten bir biçimde yazılmalıdır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "düzeltme hipotezi doğruysa yorum hipotezinin olasılığı nedir" sorusuyla karşılaştığında, çoğu zaman yorum hipotezinin olasılığını, onda beşi, tekrarlar. Ama soru, yorum hipotezinin olasılığını değil, düzeltme hipotezinin doğru olduğu bilindiğinde onun olasılığını soruyor. Bu bilgi, tablonun bir kısmını dışarıda bırakır: yorum hipotezinin yalnız başına doğru olduğu kutu ve ikisinin de yanlış olduğu kutu artık olanaksızdır, çünkü ikisinde de düzeltme hipotezi yanlıştır.

Koşullu olasılık, bu daraltmanın bir hesabıdır. Koşul bilindiğinde, yalnızca koşulun gerçekleştiği kutular kalır. Bu kutuların olasılıklarının toplamı artık bir değildir; bu yüzden her kutunun olasılığı, kalan kutuların toplamına bölünerek yeniden ölçeklenir. Düzeltme hipotezinin doğru olduğu kutular, yalnızca düzeltmenin doğru olduğu onda dört ve ikisinin birden doğru olduğu onda iki kutularıdır; toplamları onda altıdır. Yorum hipotezinin de doğru olduğu kutu, onda ikilik kutudur. Onda ikinin onda altıya oranı, üçte birdir.

Bu hesap, genel bir tanımın özel bir durumudur: bir olayın bir koşul altındaki olasılığı, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığının koşulun olasılığına oranıdır. Tanım, koşulun olasılığının sıfırdan büyük olmasını gerektirir; olasılığı sıfır olan bir koşula bölünemez. Tanımın bir sonucu, çarpma kuralıdır: iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, koşulun olasılığı ile koşul altındaki olayın olasılığının çarpımıdır.

Görüşler ve pozisyonlar

Koşullu olasılığın ne olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, oran görüşüdür. Buna göre koşullu olasılık, koşulsuz olasılıklardan türetilen bir kavramdır: bir olayın bir koşul altındaki olasılığı, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığının koşulun olasılığına oranıdır. Koşulsuz olasılıklar temeldir; koşullu olasılıklar onlardan hesaplanır.

İkinci görüş, ilkel kavram görüşüdür. Buna göre koşullu olasılık, koşulsuz olasılıktan türetilmez; kendi başına temel bir kavramdır. Her olasılık yargısı, aslında bir koşul altında yapılır, en azından elimizdeki bilgiler koşulu altında; koşulsuz olasılık, koşulun bütün arka plan bilgisi olduğu özel bir koşullu olasılıktır. Bu görüş, koşulun olasılığı sıfır olduğunda da koşullu olasılıktan söz etmeyi mümkün kılar.

Üçüncü görüş, koşullu önerme görüşüdür. Buna göre bir olayın bir koşul altındaki olasılığı, "eğer koşul gerçekleşirse olay gerçekleşir" biçimindeki bir koşullu önermenin olasılığıdır. Koşullu olasılık, gündelik dildeki "eğer ... ise" cümlelerinin olasılığını ölçen kavramdır.

Bu ders birinci görüşü çalışma tanımı olarak alır ve ikinci görüşün uyarısını ona ekler. Birinci görüş, koşullu olasılıkları hesaplamanın açık ve denetlenebilir bir yolunu verir ve Tolga'nın daralan tablosunda görüldüğü gibi, bir bilginin eklenmesinin tabloyu nasıl değiştirdiğini açıkça gösterir. İkinci görüş, her olasılık yargısının bir bilgi durumuna göreli olduğunu doğru görür. Üçüncü görüş ise, Lina'nın örneğinde görüleceği gibi, gündelik dilin "eğer ... ise" cümlelerinin birden fazla biçimde anlaşılabildiğini ve bu cümlelerin olasılığının her zaman koşullu olasılıkla aynı olmadığını gözden kaçırır.

Argümanın yapısı

Bir koşullu olasılık sorusunu çözmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, koşulu ve olasılığı sorulan olayı açıkça ayırmaktır. Çözen, sorunun "neyin bilindiği" ile "neyin olasılığının sorulduğu" kısımlarını ayrı ayrı yazar. "Mürekkepler aynı çıktığında düzeltme hipotezinin olasılığı" sorusunda koşul mürekkeplerin aynı çıkması, olay düzeltme hipotezidir; "düzeltme hipotezi doğruysa mürekkeplerin aynı çıkma olasılığı" sorusunda ise tersidir.

İkinci adım, olası durumları bir tabloda birlikte gösterilen olasılıklarla yazmaktır. Çözen, koşulun ve olayın bütün birleşimlerini, Tolga'nın kutuları gibi, birbirini dışlayan durumlara ayırır ve her birinin olasılığını yazar.

Üçüncü adım, tabloyu koşula göre daraltıp oranı hesaplamaktır. Çözen, koşulun gerçekleşmediği durumları siler, kalan durumların olasılıklarını toplar ve olayın da gerçekleştiği durumun olasılığını bu toplama böler.

Dördüncü adım, sonucu, sorunun yönünü açıkça belirten bir cümleyle yazmaktır. Çözen, sonucu "şu bilindiğinde, şunun olasılığı budur" biçiminde, koşulu ve olayı karıştırılamayacak biçimde yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Koşullu olasılığı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir olayın bir koşul altındaki olasılığı, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığının koşulun olasılığına oranıdır; bu, bir bilgi eklendiğinde olasılıklar tablosunun koşulun gerçekleştiği durumlarla daraltılıp yeniden ölçeklenmesidir. Bu tanımdan, de Moivre'in açıkça yazdığı çarpma kuralı çıkar: iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, birinin olasılığı ile o gerçekleştiğinde ötekinin olasılığının çarpımıdır; bu kural, olayların birbirine nasıl bağlandığına dair bilgiyi gerektirir. Koşullu olasılığın yönü önemlidir: bir olayın bir koşul altındaki olasılığı, koşulun o olay altındaki olasılığıyla genel olarak aynı değildir, çünkü iki oran aynı birlikte gerçekleşme olasılığını farklı paydalara böler. Bu iki olasılığı karıştırmak, Eddy'nin ve Thompson ile Schumann'ın gösterdiği gibi, hekimlikte ve hukukta sistemli ve ağır hatalara yol açar. Gündelik dilin "eğer ... ise" cümlelerinin olasılığı da her zaman koşullu olasılıkla örtüşmez. Bu yüzden bir koşullu olasılık yargısı, koşulu ve olayı açıkça ayıran ve sorunun yönünü belirten bir cümleyle yazılmalıdır.

Açık kalan sorular

İkinci görüş, her olasılık yargısının aslında bir bilgi durumu koşulu altında yapıldığını savundu. Bu doğruysa, bir olayın koşulsuz olasılığı diye bir şey var mıdır? Hiçbir bilgiye dayanmayan bir olasılık yargısı, anlamlı mıdır?

Eddy, hekimlerin koşullu olasılığın yönünü sistemli olarak karıştırdığını gösterdi. Defne, aynı hesabı bin kişilik bir tabloyla yapmanın çok daha kolay anlaşıldığını fark etti. Olasılık yargılarındaki hataların ne kadarı insanların olasılık hakkında akıl yürütememesinden, ne kadarı olasılıkların sunuluş biçiminden kaynaklanır? Sunuş biçimini değiştirmek, bu hataları ortadan kaldırmaya yeter mi?

Lina'nın "eğer"i, bir koşullu cümlenin olasılığının koşullu olasılıkla her zaman örtüşmediğini gösterdi. Ama gündelik dilde "eğer mürekkepler aynıysa büyük olasılıkla düzeltme vardır" diyen biri, hangisini kastediyordur? Gündelik "eğer" cümlelerinin anlamı, koşullu olasılıkla mı, maddi koşulluyla mı, yoksa başka bir şeyle mi en iyi açıklanır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir olayın bir koşul altındaki olasılığı, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığının koşulun olasılığına oranıdır; bu, bir bilgi eklendiğinde olasılıklar tablosunun koşulun gerçekleştiği durumlarla daraltılıp yeniden ölçeklenmesidir ve tanımdan, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını veren çarpma kuralı çıkar.

De Moivre'in Şans Öğretisi çarpma kuralının bağımlı olaylar için erken dönemde açıkça yazıldığını, Eddy'nin çalışması koşullu olasılığın yönünü karıştırmanın hekimler arasında sistemli bir hata olduğunu, Thompson ile Schumann'ın makalesi ise aynı hatanın hukukta savcı yanılgısı ve savunma avukatı yanılgısı biçiminde ortaya çıktığını gösterdi.

Bir koşullu olasılık sorusu dört adımla çözülür: koşulu ve olayı açıkça ayırmak, olası durumları bir tabloda yazmak, tabloyu koşula göre daraltıp oranı hesaplamak ve sonucu sorunun yönünü belirten bir cümleyle yazmak.

Sıfır olasılıklı koşulda tanımın çöktüğü, koşullu olasılık sayılarının uydurma olduğu ve tersine çevirmenin bir dil belirsizliği olduğu itirazları, gündelik akıl yürütmenin koşullarının çoğunun sıfırdan büyük olasılıklara sahip olduğunu, koşullu bir olasılığın bir bağımlılığı görünür kıldığını ve dilin belirsizliğinin sorunun yönünü açıkça yazmayı zorunlu kıldığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir işaretin bir durumu ne kadar gösterdiğini sormak, işaret bilindiğinde durumun olasılığını durum bilindiğinde işaretin olasılığından ayırmak ve iki soruyu ayrı ayrı, mümkünse somut sayılarla bir tabloda, hesaplamaktır.

Sonraki derse köprü

Selin'in iki nüshası, grubu bir soruya götürdü: bir nüshada iz bulunmasının öteki nüshada iz bulunma olasılığını değiştirip değiştirmediği, iki nüshanın birbirine nasıl bağlandığına bağlıydı. İkinci nüsha birinciden kopyalanmışsa, bir nüshadaki iz ötekinin olasılığını büyük ölçüde artırıyordu; iki nüsha birbirinden habersiz iki kaynaktan kopyalanmışsa, birindeki iz ötekinin olasılığını hiç değiştirmiyordu.

Barış, aynı sorunun tanıklar için de geçerli olduğunu hatırlatıyor: iki tanığın aynı şeyi söylemesi, tanıklar birbirinden habersizse güçlü bir kanıttı, birbirleriyle konuşmuşlarsa çok daha zayıftı. Defne, iki ayrı testin aynı sonucu vermesinin, testler aynı biyolojik işarete dayanıyorsa, iki bağımsız kanıt sayılamayacağını söylüyor. Tolga, iki olayın birbirini etkilemediğini söylemenin olasılık diliyle tam olarak ne anlama geldiğini soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Bağımsızlık dersi, iki olayın ne zaman olasılık bakımından bağımsız sayıldığını, bağımsızlığın çarpma kuralını nasıl sadeleştirdiğini ve bağımsız sanılan olayların gerçekte bağımlı olmasının, kanıtların gücünü değerlendirmede hangi hatalara yol açtığını soruyor.