Temel kurallar

Açılış sahnesi

Tolga, iki hipoteze birer sayı veriyor. Düzeltme hipotezinin doğru olduğuna oldukça güveniyordu; ona onda altı diyor. Yorum hipotezi, Lina'nın şiir derlemesinden sonra güçlenmişti; ona da onda beş diyor. Sonra iki sayıyı topluyor ve onda on bir buluyor. Selin, bir şeylerin yanlış gittiğini hemen fark ediyor: iki hipotezden birinin doğru olduğu kesinse, olasılıklarının toplamı bir olmalıydı, birden fazla olamazdı. Tolga, sayıları küçültmeyi düşünüyor, ama Lina'nın iki doğrusunu hatırlıyor: iki hipotez birlikte doğru olabiliyordu. Belki de toplamın birden fazla çıkması bir yanlışlık değil, iki hipotezin birbirini dışlamamasının bir sonucuydu.

Kerem, olasılıklardan söz etmeden önce, olasılığın hangi kurallara uyması gerektiğinin açıkça yazılmasını istiyor. Defne, hekimlerin bir hastanın olası tanılarına ayrı ayrı olasılık verdiklerinde, bu olasılıkların toplamının bazen birden fazla çıktığını gördüğünü söylüyor. Barış, birbirinin tersi olan iki durum için iki ayrı sigorta poliçesi satan bir şirketin, poliçelerin fiyatlarını tutarsız belirlediğinde ne olacağını soruyor. Lina ise tek bir geçmiş olay hakkında, bir düzelticinin yüzyıllar önce bu el yazması üzerinde çalışıp çalışmadığı hakkında, bir olasılıktan söz etmenin ne anlama geldiğini merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, olasılığın sıfır ile bir arasında bir sayı olarak nasıl tanımlandığını, birbirini dışlayan olaylar için toplama kuralının ve bir olayın olmama olasılığının nasıl hesaplandığını ve bir kişinin güven derecelerinin neden bu kurallara uyması gerektiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Tümevarım ve abdüksiyon modülleri, geçersiz olduğu hâlde güçlü sayılan akıl yürütmeleri inceledi ve bu güçlerin derecelerle ifade edildiğini gösterdi: bir genelleme az ya da çok güçlüydü, bir açıklama rakiplerinden az ya da çok iyiydi. Ama bu dereceler hiçbir zaman sayılarla yazılmadı. Programın eleştirel düşünme kurslarında Bayes ile Price'ın denemesi, Laplace'ın olasılık felsefesi ve Keynes'in olasılık kuramı ele alınmıştı. Bu ders, olasılık modülünü açıyor ve bu kaynakları yeniden sunmadan, olasılığın temel kurallarını inceliyor: olasılığın hangi sayılarla ifade edildiğini, birbirini dışlayan ve dışlamayan olaylar için olasılıkların nasıl birleştiğini ve bu kurallara uymanın neden bir akla uygunluk koşulu olduğunu gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Blaise Pascal ile Pierre de Fermat, 1654'te yazıştıkları mektuplarda, yarıda kesilen bir oyunun ödülünün oyuncular arasında nasıl bölüşüleceği sorusunu çözerek olasılık hesabının ilk sistemli adımlarından birini atar. Andrey Kolmogorov, 1933'te yayımladığı Olasılık Hesabının Temel Kavramları kitabında, olasılığı birkaç temel kuraldan, aksiyomdan, türetilen kesin bir matematiksel kuram olarak kurar. Frank Ramsey ise ölümünden sonra 1931'de yayımlanan Doğruluk ve Olasılık yazısında, bir kişinin inanç derecelerinin olasılık kurallarına uymaması durumunda, her durumda kaybeden bir bahisler dizisini kabul etmeye açık olacağını gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: tek bir hipoteze verilen olasılık sayısının uydurma bir kesinlik olduğu, olasılık kurallarının gerçek insanlar için fazla ağır bir yük olduğu ve bahis argümanının yalnızca bahis oynayanlar için geçerli olduğu itirazları.

Sonda, bir olasılık yargısını kurmanın dört adımını göstereceğiz: olası durumları birbirini dışlayan ve birlikte bütün olasılıkları tüketen bir listeye ayırmak, her duruma sıfır ile bir arasında bir sayı vermek, bu sayıların toplamının bir olduğunu denetlemek ve birleşik olayların olasılıklarını toplama ve tümleyen kurallarıyla hesaplamak.

Merkez soru

Sorumuz şu: olasılık hangi temel kurallara uyar ve bir kişinin bir hipoteze duyduğu güvenin derecesi neden bu kurallara uymalıdır?

Ölçülü iddiam şu: olasılık, bir olaya ya da bir önermeye verilen ve sıfır ile bir arasında bulunan bir sayıdır; kesin olan bir olayın olasılığı birdir; birbirini dışlayan olayların birinin gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının toplamıdır; bu üç kuraldan, Kolmogorov'un gösterdiği gibi, olasılık hesabının öteki kuralları türetilir: bir olayın olmama olasılığı, bir eksi olma olasılığıdır; birbirini dışlamayan iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının toplamından ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığı çıkarılarak bulunur; bu kurallar, olasılığın bir sıklık olarak mı yoksa bir inanç derecesi olarak mı yorumlandığından bağımsız olarak geçerlidir; tek bir geçmiş olay hakkındaki bir olasılık, bir sıklık olarak değil, bir inanç derecesi olarak anlaşılabilir ve Ramsey'in gösterdiği gibi, bir kişinin inanç dereceleri bu kurallara uymuyorsa, o kişi aynı şeyi iki ayrı biçimde değerlendirmiş olur ve her durumda kaybedeceği bir seçimler dizisine açık kalır; bu yüzden olasılık kurallarına uymak, bir hesap becerisi değil, inançlarda tutarlılığın bir koşuludur.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir hipoteze bir olasılık verirken, çoğu zaman o hipotezi tek başına düşünür: "bu hipotezin doğru olduğuna ne kadar güveniyorum?" Bu soru, tek başına sorulduğunda, akla uygun cevaplar verebilir. Ama birkaç hipoteze ayrı ayrı sorulduğunda, Tolga'nın onda on birinde görüldüğü gibi, cevaplar birbiriyle çelişebilir. Olasılıklar, tek tek hipotezlerin değil, bir hipotezler kümesinin özelliğidir ve kümenin bütünü için geçerli kurallara uymalıdır.

Olasılığın ilk kuralı, onun sıfır ile bir arasında bir sayı olmasıdır. Sıfır, olayın kesinlikle gerçekleşmediği, bir, kesinlikle gerçekleştiği durumdur; aradaki sayılar, güvenin ya da sıklığın dereceleridir. İkinci kural, kesin olan bir olayın, örneğin "ya düzeltme hipotezi doğrudur ya da doğru değildir" olayının, olasılığının bir olmasıdır. Üçüncü kural, toplama kuralıdır: birbirini dışlayan, yani ikisi birden gerçekleşemeyen iki olaydan birinin gerçekleşme olasılığı, iki olasılığın toplamıdır.

Bu üç kuraldan başka kurallar da çıkar. Bir olayın olmama olasılığı, bir eksi olma olasılığıdır; çünkü bir olay ile olmaması birbirini dışlar ve ikisinden biri kesin olarak gerçekleşir. Birbirini dışlamayan iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı ise, iki olasılığın toplamı değildir; çünkü bu toplamda ikisinin birlikte gerçekleştiği durum iki kez sayılmış olur. Doğru hesap, iki olasılığın toplamından ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığını çıkarmaktır. Tolga'nın hatası, birbirini dışlamayan iki hipotezin olasılıklarını, dışlıyorlarmış gibi toplamaktı.

Görüşler ve pozisyonlar

Olasılığın ne olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, sıklık görüşüdür. Buna göre bir olayın olasılığı, aynı koşullar altında çok sayıda kez tekrarlanan bir denemede o olayın gerçekleşme sıklığıdır. Bir para atışında yazı gelme olasılığı, çok sayıda atışta yazı gelme oranıdır. Olasılık, dünyanın nesnel bir özelliğidir.

İkinci görüş, inanç derecesi görüşüdür. Buna göre bir önermenin olasılığı, bir kişinin o önermenin doğru olduğuna duyduğu güvenin derecesidir. Bu derece, kişiden kişiye değişebilir, ama bir kişinin bütün inanç dereceleri birbirleriyle tutarlı olmalı, yani olasılık kurallarına uymalıdır.

Üçüncü görüş, mantıksal görüştür. Buna göre bir önermenin olasılığı, belirli bir kanıt karşısında o önermenin ne ölçüde desteklendiğini gösteren nesnel bir ilişkidir; tıpkı bir çıkarımın geçerliliği gibi, kanıt ile önerme arasındaki mantıksal bir bağdır ve kişiden kişiye değişmez.

Bu ders, olasılık kurallarının üç görüşte de geçerli olduğunu temel alır ve tek bir geçmiş olay hakkındaki olasılıklar için ikinci görüşü kullanır. Birinci görüş, tekrarlanabilir olaylar için güçlü bir yorum verir, ama bir düzelticinin yüzyıllar önce bu el yazması üzerinde çalışıp çalışmadığı gibi, bir kez gerçekleşmiş ya da gerçekleşmemiş bir olay için bir sıklıktan söz etmek güçtür. Üçüncü görüş, olasılığın kanıta bağlı nesnel bir ilişki olduğunu savunur, ama bu ilişkinin sayısal değerini belirlemenin genel bir yolunu vermekte zorlanır. İkinci görüş, tek olaylar hakkında olasılıktan söz etmeyi mümkün kılar ve bu olasılıkların kurallara uymasını tutarlılık koşuluyla gerekçelendirir.

Argümanın yapısı

Bir olasılık yargısını kurmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, olası durumları birbirini dışlayan ve birlikte bütün olasılıkları tüketen bir listeye ayırmaktır. Yargıyı kuran, Tolga'nın yaptığı gibi, ilgilendiği hipotezlerin bütün birleşimlerini, ikisinin birden doğru olduğu ve ikisinin de yanlış olduğu durumlar dahil, ayrı kutulara yazar.

İkinci adım, her duruma sıfır ile bir arasında bir sayı vermektir. Yargıyı kuran, her kutunun ne kadar olası olduğuna dair güvenini, bilgisine dayanarak bir sayıyla ifade eder. Kesin bir sayı veremiyorsa, bir aralık verebilir.

Üçüncü adım, bu sayıların toplamının bir olduğunu denetlemektir. Yargıyı kuran, kutuların sayılarını toplar. Toplam bir değilse, güven dereceleri tutarsızdır ve yeniden dağıtılmalıdır.

Dördüncü adım, birleşik olayların olasılıklarını toplama ve tümleyen kurallarıyla hesaplamaktır. Yargıyı kuran, bir hipotezin doğru olma olasılığını, o hipotezin doğru olduğu kutuların toplamı olarak; bir olayın olmama olasılığını, bir eksi olma olasılığı olarak; birbirini dışlamayan iki olaydan en az birinin olasılığını, olasılıkların toplamından birlikte gerçekleşme olasılığını çıkararak hesaplar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Olasılığın temel kurallarını ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Olasılık, bir olaya ya da bir önermeye verilen ve sıfır ile bir arasında bulunan bir sayıdır; kesin olayın olasılığı birdir; birbirini dışlayan olayların birinin gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının toplamıdır. Kolmogorov'un gösterdiği gibi, bu üç kuraldan öteki kurallar türetilir: bir olayın olmama olasılığı bir eksi olma olasılığıdır, birbirini dışlamayan iki olaydan en az birinin olasılığı toplamdan birlikte gerçekleşme olasılığı çıkarılarak bulunur. Bu kurallar olasılığın her yorumunda geçerlidir; tek bir geçmiş olayın olasılığı ise bir sıklık olarak değil, bir inanç derecesi olarak anlaşılabilir. Ramsey'in gösterdiği gibi, bu kurallara uymayan inanç dereceleri, aynı şeyi iki tutarsız biçimde değerlendirmek demektir ve her durumda kaybettiren seçimlere açıktır. Olasılık yargısı kurmak, bu yüzden, olası durumları birbirini dışlayan ve bütün olasılıkları tüketen kutulara ayırmak, her kutuya bir sayı vermek ve sayıların toplamının bir olduğunu denetlemektir.

Açık kalan sorular

Pascal ile Fermat, olasılık hesabını bir kumar sorusuyla başlattılar ve Ramsey, inanç derecelerini bahis davranışıyla ölçtü. Olasılık kavramının kumar ve bahisle bu kadar yakından bağlantılı olarak doğması, onun anlamını etkiler mi? Belirsizlik altındaki her karar, gerçekten bir bahis gibi düşünülebilir mi?

Kolmogorov'un aksiyomları, olasılığın ne olduğuna değil, yalnızca hangi kurallara uyduğuna cevap veriyordu. Bir kavramın kurallarını bilip ne olduğunu bilmemek mümkün müdür? Olasılığın ne olduğu sorusu, onun kurallarını kullanmak için cevaplanmak zorunda mıdır?

Lina'nın tek olayı, tek bir geçmiş olayın olasılığının onun hakkındaki bilgimizin bir özelliği olduğunu gösterdi. Ama iki kişi, aynı bilgiye sahip olup farklı olasılıklar verebilir mi? Verebiliyorsa, hangisinin haklı olduğunu belirleyen bir ölçüt var mıdır, yoksa olasılıklar, kurallara uydukları sürece, kişiden kişiye özgürce değişebilir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Olasılık, bir olaya ya da önermeye verilen ve sıfır ile bir arasında bulunan bir sayıdır; kesin olayın olasılığı birdir ve birbirini dışlayan olaylardan birinin gerçekleşme olasılığı olasılıklarının toplamıdır; öteki kurallar, olmama olasılığının bir eksi olma olasılığı olması ve birbirini dışlamayan olaylar için düzeltilmiş toplama kuralı, bu üç kuraldan türetilir.

Pascal ile Fermat'nın yazışması olasılık hesabının belirsiz bir durumu birbirini dışlayan olasılıklara ayırıp her birine bir değer vermekle başladığını, Kolmogorov'un kitabı bu hesabın az sayıda aksiyoma dayanan kesin bir kuram olarak kurulabildiğini, Ramsey'in yazısı ise inanç derecelerinin bu kurallara uymasının tutarlılığın bir koşulu olduğunu gösterdi.

Bir olasılık yargısı dört adımla kurulur: olası durumları birbirini dışlayan ve bütün olasılıkları tüketen kutulara ayırmak, her kutuya sıfır ile bir arasında bir sayı vermek, toplamın bir olduğunu denetlemek ve birleşik olayların olasılıklarını toplama ve tümleyen kurallarıyla hesaplamak.

Olasılık sayısının uydurma bir kesinlik olduğu, kuralların gerçek insanlara ağır geldiği ve bahis argümanının yalnızca bahisçiler için olduğu itirazları, sayıların değerinin kesinliklerinden çok tutarlılıklarını denetlemeyi mümkün kılmasında olduğunu, kuralların belirli bir karar için yapılabilir bir tutarlılık istediğini ve bahsin yalnızca aynı şeyi iki tutarsız biçimde değerlendirmenin görünür kılınması olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir hipoteze bir olasılık vermek, onu tek başına değil, bütün rakipleriyle ve "hiçbiri" seçeneğiyle birlikte düşünmek ve verdiğimiz sayıların toplamının bir olup olmadığını denetlemektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in not izi hesabı, bir soruyla yarım kalmıştı: dört nüshanın her birinde izin bulunma olasılığı, öteki nüshalarda iz bulunup bulunmamasına bağlı mıydı? Tolga, bir olayın olasılığının bazen başka bir olayın bilinmesiyle değiştiğini fark ediyor. Mürekkep sınamasının sonucu gelmeden önce, düzeltme hipotezine onda altı güveniyordu; sonuç, mürekkeplerin aynı olduğunu gösterirse, bu güven değişmeliydi. Ama ne kadar?

Kerem, "mürekkepler aynı çıktığında düzeltme hipotezinin olasılığı" ile "düzeltme hipotezi doğruysa mürekkeplerin aynı çıkma olasılığı" arasında bir fark olup olmadığını soruyor; ikisi, ilk bakışta aynı şeyi söylüyor gibiydi. Defne, bir testin olumlu çıkmasının bir hastalığın olasılığını ne kadar artırdığı ile hastalık varken testin olumlu çıkma olasılığının hekimler arasında sık sık karıştırıldığını hatırlatıyor. Barış, bir kanıtın, sanık suçluysa ne kadar olası olduğu ile kanıt varken sanığın suçlu olma olasılığının mahkemelerde karıştırılmasının ciddi hatalara yol açtığını ekliyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Koşullu olasılık dersi, bir olayın başka bir olay bilindiğinde olasılığının nasıl tanımlandığını, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını veren çarpma kuralını ve bir olayın bir koşul altındaki olasılığı ile koşulun o olay altındaki olasılığının neden birbirine karıştırılmaması gerektiğini soruyor.