İstatistiksel kıyas

Açılış sahnesi

Kerem, Selin'in raf çalışmasının sonucunu önüne alıyor: kütüphanedeki el yazmalarının büyük bölümü, seçilen raflarda sayıldığı kadarıyla, bu atölyeden çıkmıştı. Kütüphanede, atölyesi bilinmeyen bir el yazması da vardı; katalogda yalnızca "yazıcısı ve yeri belirsiz" notu bulunuyordu. Kerem, bir akıl yürütme kuruyor: kütüphanedeki el yazmalarının büyük bölümü bu atölyedendir; bu el yazması kütüphanededir; öyleyse bu el yazması büyük olasılıkla bu atölyedendir. Akıl yürütme, bir kıyasa benziyordu, ama "her" yerine "büyük bölümü" diyordu ve sonucu kesin değildi.

Sonra Tolga, el yazmasının kâğıdını inceliyor ve kâğıdın, atölyenin hiç kullanmadığı bilinen bir kâğıt türü olduğunu buluyor. Bu kâğıda yazılmış el yazmalarının neredeyse hiçbiri bu atölyeden çıkmamıştı. Aynı el yazması, iki ayrı sınıfa aitti ve iki sınıf, iki ayrı sonuç veriyordu. Defne, bir hastanın aynı anda bir yaş grubuna, bir cinsiyete, bir mesleğe ve bir bölgeye ait olduğunu ve bir hastalığın her gruptaki sıklığının farklı olabileceğini hatırlatıyor. Barış, bir kişinin, ait olduğu bir grubun istatistiğine dayanarak yargılanmasının hukukta neden kuşkuyla karşılandığını soruyor. Lina ise "büyük olasılıkla" ifadesinin sonuca mı yoksa akıl yürütmeye mi ait olduğunu merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Tümevarım, Abdüksiyon ve Olasılık kursunda, bir sınıfın bir oranından o sınıfın tek bir üyesi hakkında bir sonuca geçen akıl yürütmenin nasıl kurulduğunu, bu akıl yürütmenin gücünün neye bağlı olduğunu ve bir üyenin birden fazla sınıfa ait olduğunda hangi sınıfın oranının kullanılacağı sorusunun nasıl ele alınacağını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Genelleme dersi, gözlenmiş örneklerden bütün bir sınıf hakkında bir sonuca geçen akıl yürütmeyi inceledi. Örneklem dersi, bu örneklerin sınıfı ne zaman temsil ettiğini ve bir sınıfın bir oranının bir örneklemden nasıl tahmin edildiğini inceledi. Bu ders, ters yöndeki geçişi ele alıyor: bir sınıfın bir oranı bilindiğinde, o sınıfın tek bir üyesi hakkında ne söylenebilir? Bu geçiş, kıyas kursunun tümdengelimli kıyasına benzer, ama onun tersine, sonucu kesin değildir ve yeni bir bilgiyle değişebilir.

Sonra üç kaynağa bakacağız. John Venn, 1866'da yayımladığı Şans Mantığı kitabında, bir oranın tek bir kişiye uygulanmasının, o kişinin ait olduğu pek çok diziden hangisinin seçileceğine bağlı olduğunu gösterir. Hans Reichenbach, ilk kez 1935'te Almanca, 1949'da genişletilmiş biçimiyle İngilizce yayımlanan Olasılık Kuramı kitabında, tek bir durumun olasılığı için, güvenilir istatistikleri bulunan en dar sınıfın seçilmesini önerir. Alan Hájek ise 2007'de Synthese dergisinde yayımladığı Başvuru Sınıfı Sorunu Sizin de Sorununuz makalesinde, bu sorunun yalnızca sıklık yorumuna özgü olmadığını, olasılığın bütün başlıca yorumlarında bir biçimde ortaya çıktığını savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: bir oranın tek bir durum hakkında hiçbir şey söylemediği, en dar sınıfın seçiminin güvenilir veri bulunmamasıyla çatıştığı ve bir bireyi ait olduğu bir grubun istatistiğiyle değerlendirmenin haksız olduğu itirazları.

Sonda, bir istatistiksel kıyası değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: akıl yürütmeyi oranı, üyeliği ve sonucu ayrı ayrı yazarak kurmak, bireyin ait olduğu bütün ilgili sınıfları sıralamak, güvenilir istatistiği bulunan en dar sınıfı seçmek ve sonucu, yeni bir bilgiyle değişebileceğini gösterecek biçimde yazmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir sınıfın bir oranından o sınıfın tek bir üyesi hakkında nasıl bir sonuç çıkarılabilir ve üye birden fazla sınıfa ait olduğunda hangi oran kullanılmalıdır?

Ölçülü iddiam şu: istatistiksel kıyas, A'ların belirli bir oranının B olmasından ve a'nın bir A olmasından, a'nın B olduğu sonucunu bu oranla orantılı bir güçle destekleyen akıl yürütmedir; bu akıl yürütme geçersizdir, ama oran yüksekse ve a hakkında başka ilgili bir şey bilinmiyorsa güçlüdür; gücü, tümdengelimli kıyasın tersine, yeni bir bilginin eklenmesiyle azalabilir ya da tersine dönebilir, çünkü a'nın ait olduğu başka bir sınıf, başka bir oran verebilir; bir birey her zaman pek çok sınıfa aittir ve Venn'in gösterdiği gibi, tek bir durumun olasılığı, bu sınıflardan hangisinin başvuru sınıfı olarak seçildiğine bağlıdır; Reichenbach'ın önerisi, güvenilir istatistikleri bulunan en dar sınıfı seçmektir ve bu öneri, bireyle ilgili bilinen her özelliği hesaba katmaya çalışır, ama daraldıkça verinin azalması yüzünden her zaman uygulanamaz; Hájek'in gösterdiği gibi, bu seçim sorunu, olasılık hangi biçimde yorumlanırsa yorumlansın bir biçimde karşımıza çıkar ve bu yüzden bir istatistiksel kıyas, sonucunu hangi sınıfa dayandırdığını açıkça yazmalıdır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci Kerem'in akıl yürütmesiyle karşılaştığında, çoğu zaman onu tümdengelimli bir kıyas gibi okur: kütüphanedeki el yazmaları bu atölyedendir, bu el yazması kütüphanededir, öyleyse bu atölyedendir. Ama birinci öncül "her" demiyordu, "büyük bölümü" diyordu. Bu fark, akıl yürütmenin bütün yapısını değiştirir. Tümdengelimli kıyas geçerlidir ve sonucu, öncüller doğruysa, kesindir. İstatistiksel kıyas geçersizdir ve sonucu, öncüller doğru olsa bile, yanlış olabilir.

İstatistiksel kıyasın ikinci farkı daha incedir. Tümdengelimli bir kıyasa yeni bir öncül eklemek, onun geçerliliğini bozmaz: "her A B'dir, a bir A'dır" öncüllerinden "a B'dir" sonucu çıkıyorsa, hangi öncül eklenirse eklensin çıkmaya devam eder. İstatistiksel kıyasa ise yeni bir öncül eklemek, sonucu zayıflatabilir ya da tersine çevirebilir. Tolga'nın kâğıt bulgusu, "bu el yazması, atölyenin hiç kullanmadığı bir kâğıda yazılmıştır" öncülü, Kerem'in sonucunu tersine çeviriyordu.

Bu tersine çevrilebilirlik, istatistiksel kıyasın bir kusuru değil, onun doğasıdır. Bir sınıfın bir oranı, sınıfın her üyesi hakkında aynı şeyi söyler; ama tek bir üye hakkında, o üyenin ait olduğu başka sınıflar başka şeyler söyleyebilir. Bir istatistiksel kıyasın gücü, bu yüzden, yalnızca oranın yüksekliğine değil, bireyin ait olduğu sınıflar arasından hangisinin seçildiğine ve bu seçimin bilinen her şeyi hesaba katıp katmadığına bağlıdır.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir istatistiksel kıyasta hangi sınıfın kullanılacağı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, en dar sınıf görüşüdür. Buna göre bir bireyin olasılığı, güvenilir istatistikleri bulunan ve bireyle ilgili bilinen bütün özellikleri içeren en dar sınıfa göre belirlenmelidir. Birey hakkında ne kadar çok şey biliniyorsa, sınıf o kadar daralır ve olasılık o kadar bireye yaklaşır.

İkinci görüş, bütün kanıt görüşüdür. Buna göre tek bir sınıf seçmek yerine, bireyin ait olduğu bütün sınıfların oranları birlikte hesaba katılmalı ve bir yargıyla, belki bir ağırlıklandırmayla, tek bir olasılığa bağlanmalıdır. Hiçbir ilgili bilgi dışarıda bırakılmamalıdır.

Üçüncü görüş, yaygın sorun görüşüdür. Buna göre hangi sınıfın seçileceği sorusu, olasılığın sıklık yorumuna özgü bir güçlük değildir; olasılık, bir kişinin inanç derecesi ya da nesnel bir eğilim olarak yorumlandığında da, bir biçimde karşımıza çıkar. Soru, bir olasılık yorumu seçerek ortadan kaldırılamaz; her istatistiksel yargı, dayandığı sınıfı açıkça söylemek zorundadır.

Bu ders birinci görüşü çalışma kuralı olarak alır ve üçüncü görüşün uyarısını ona ekler. Birinci görüş, bilinen her ilgili özelliği hesaba katmayı ister ve Kerem'in tersine dönen sonucunda görüldüğü gibi, bir bireyin daha dar bir sınıfa ait olduğunu bilmenin sonucu nasıl değiştirdiğini açıklar. İkinci görüş, hiçbir bilginin dışarıda bırakılmaması gerektiğini doğru görür, ama farklı sınıfların oranlarını birleştirmenin genel bir kuralını veremez. Üçüncü görüş, sınıf seçiminin kaçınılmaz olduğunu hatırlatır.

Argümanın yapısı

Bir istatistiksel kıyası değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, akıl yürütmeyi oranı, üyeliği ve sonucu ayrı ayrı yazarak kurmaktır. Değerlendiren, hangi sınıfın hangi oranda hangi özelliği taşıdığını, bireyin bu sınıfa ait olduğunu ve sonucun hangi güçle ileri sürüldüğünü üç ayrı satıra yazar.

İkinci adım, bireyin ait olduğu bütün ilgili sınıfları sıralamaktır. Değerlendiren, birey hakkında bilinen her özelliği yazar ve her özelliğin bir sınıf tanımlayıp tanımlamadığına, o sınıf için bir oran bilinip bilinmediğine bakar.

Üçüncü adım, güvenilir istatistiği bulunan en dar sınıfı seçmektir. Değerlendiren, sınıfların kesişimlerini dener ve güvenilir bir istatistiği olan en dar kesişimi seçer. Kesişimlerin istatistiği güvenilir değilse, Selin'in yaptığı gibi, geniş sınıflar arasından soruyla en ilgili olanı seçer ve bu seçimin gerekçesini yazar.

Dördüncü adım, sonucu, yeni bir bilgiyle değişebileceğini gösterecek biçimde yazmaktır. Değerlendiren, sonucun hangi sınıfa dayandığını ve birey hakkında hangi bilgilerin hesaba katıldığını sonucun yanına yazar; böylece yeni bir bilgi geldiğinde, sonucun neden değiştiği görülebilir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

İstatistiksel kıyası ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. İstatistiksel kıyas, bir sınıfın bir oranından ve bir bireyin o sınıfa üyeliğinden, bireyin o özelliği taşıdığı sonucunu oranla orantılı bir güçle destekler; geçersizdir, ama oran yüksekse ve birey hakkında başka ilgili bir şey bilinmiyorsa güçlüdür. Gücü, yeni bir bilgiyle zayıflayabilir ya da tersine dönebilir, çünkü birey her zaman pek çok sınıfa aittir ve Venn'in gösterdiği gibi, tek bir durumun olasılığı hangi sınıfın seçildiğine bağlıdır. Reichenbach'ın en dar güvenilir sınıf ilkesi, bireyle ilgili bilinen her özelliği hesaba katmayı ve bunu istatistiksel güvenilirlikle dengelemeyi ister; bu denge bir yargı gerektirir. Hájek'in gösterdiği gibi, sınıf seçimi sorunu olasılığın hiçbir yorumuyla ortadan kaldırılamaz. İstatistiksel sonuçlar, piyango paradoksunun gösterdiği gibi, dayandıkları güç yitirilerek birleştirilemez; ve her istatistiksel kıyas, sonucunu hangi sınıfa dayandırdığını açıkça yazmalıdır.

Açık kalan sorular

Venn, tek bir kişinin olasılığının, bir dizi seçilmeden belirlenmediğini savundu. Ama bir kişinin gerçekten belirli bir süre daha yaşayıp yaşamayacağı, bir dizi seçimine bağlı değildir; ya yaşar ya yaşamaz. Tek bir durumun olasılığı, o durumun kendisinin bir özelliği midir, yoksa yalnızca onun hakkındaki bilgimizin bir özelliği mi?

Reichenbach'ın ilkesi, en dar güvenilir sınıfın seçilmesini istiyordu; Selin'in iki sınıfı, bu seçimin bazen bir ilgi yargısına dayandığını gösterdi. Bir özelliğin bir soruyla ilgili olup olmadığı nasıl belirlenir? İlgi yargısının kendisi, bir başka istatistiksel bilgiye mi dayanır, yoksa bir nedensellik bilgisine mi?

Barış'ın otobüsü, hukukun bireye özgü kanıt istediğini gösterdi. Ama bireye özgü kanıt da, bir tanığın ifadesi, bir iz, bir kayıt, sonunda bir güvenilirlik oranına dayanır: tanıkların ne sıklıkla doğru söylediği, izlerin ne sıklıkla yanıltıcı olduğu. Bireye özgü kanıt ile grup istatistiği arasındaki fark, gerçekten bir tür farkı mıdır, yoksa yalnızca bir derece farkı mı?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İstatistiksel kıyas, bir sınıfın bir oranından ve bir bireyin o sınıfa üyeliğinden, bireyin o özelliği taşıdığı sonucunu oranla orantılı bir güçle destekler; geçersizdir ve yeni bir bilginin eklenmesiyle zayıflayabilir ya da tersine dönebilir.

Venn'in Şans Mantığı tek bir kişinin olasılığının ait olduğu diziler arasından bir seçime bağlı olduğunu, Reichenbach'ın Olasılık Kuramı güvenilir istatistiği bulunan en dar sınıfın seçilmesi gerektiğini, Hájek'in makalesi ise bu seçim sorununun olasılığın hiçbir yorumuyla ortadan kaldırılamayacağını gösterdi.

Bir istatistiksel kıyas dört adımla değerlendirilir: oranı, üyeliği ve sonucu ayrı yazmak, bireyin ait olduğu bütün ilgili sınıfları sıralamak, güvenilir istatistiği bulunan en dar sınıfı seçmek ve sonucu dayandığı sınıfla birlikte, değişebileceğini gösterecek biçimde yazmak.

Oranın tek durum hakkında bir şey söylemediği, en dar sınıfın veri yokluğuyla çatıştığı ve grup istatistiğiyle yargılamanın haksız olduğu itirazları, tek durumun olasılığının seçilen sınıfın sıklığına verilen bir vekâlet olduğunu, ilkenin güvenilirliği de hesaba kattığını ve bireye özgü kanıt istemenin en dar sınıf ilkesinin bir biçimi olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir oranı tek bir bireye uygulamak, bireyin hangi sınıfa göre değerlendirildiğini açıkça söylemek, birey hakkında bilinen her ilgili özelliği hesaba katmak ve sonucun yeni bir bilgiyle değişebileceğini baştan kabul etmektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in iki sınıfı, grubu bir başka akıl yürütme türüne götürdü. Kâğıt türü sınıfının istatistiği güvenilir değildi, ama Tolga, sınıflara başvurmadan, el yazmasını doğrudan bir başka el yazmasıyla karşılaştırmayı öneriyor. Kütüphanedeki atölyesi bilinmeyen el yazması, müstensihin tarihli öteki el yazmasına pek çok bakımdan benziyordu: cilt biçimi, satır düzeni, sayfa kenarlarındaki süslemeler. Tolga, bu benzerliklerden, iki el yazmasının aynı dönemde yazılmış olabileceği sonucunu çıkarmayı düşünüyor.

Defne, hekimlikte de benzer bir akıl yürütmenin sık kullanıldığını söylüyor: bir hastanın belirtileri, daha önce tedavi edilmiş başka bir hastanın belirtilerine benziyorsa, aynı tedavinin işe yarayabileceği düşünülüyordu. Barış, hukukta emsal kararlara başvurmanın da bir tür benzerlik akıl yürütmesi olduğunu hatırlatıyor. Ama Lina, iki şeyin pek çok bakımdan benzeyip önemli bir bakımdan ayrılabileceğini ve hangi benzerliklerin önemli olduğunu bilmenin kolay olmadığını ekliyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Analoji dersi, iki tek durum arasındaki benzerliklerden birinin taşıdığı bir özelliğin ötekinde de bulunduğu sonucuna geçen akıl yürütmenin nasıl kurulduğunu, bu akıl yürütmenin gücünün benzerliklerin sayısına mı yoksa ilgisine mi bağlı olduğunu ve ilgili bir benzerliğin yüzeysel bir benzerlikten nasıl ayırt edileceğini soruyor.