Geçerlilik

Açılış sahnesi

Selin, Kerem'in kanıtını ve kendi dört türlü aramasını yan yana koyuyor. Aynı çıkarım, "hiçbir tanık tarih taşımaz; bazı el yazmaları tarih taşır; öyleyse bazı el yazmaları tanık değildir", iki ayrı yoldan geçerli çıkmıştı: Kerem, doğal çıkarım kurallarıyla adım adım bir kanıt yazmış; Selin ise dört nesne türünün on altı olasılığını tek tek deneyip hiçbirinde karşı model bulamamıştı. Tamlık teoremi, bu iki yolun yüklemler mantığında hep aynı yere çıktığını söylüyordu. Ama Selin, iki yolun da gerçekten "mantıksal olarak çıkar" kavramını yakalayıp yakalamadığını soruyor. Bir sonucun öncüllerden mantıksal olarak çıkması, sonucun öncüller doğruyken yanlış olmasının olanaksız olması değil miydi? Bu olanaksızlık, bütün modellere bakarak mı, yoksa kuralları uygulayarak mı yakalanıyordu?

Tolga, raporun başka bir çıkarımını hatırlatıyor: "birinci müstensih ikinciden önce çalışmıştır; ikinci, üçüncüden önce çalışmıştır; öyleyse birinci, üçüncüden önce çalışmıştır." Bu çıkarım, "önce" sözcüğünün geçişliliği ayrı bir öncül olarak yazılmadıkça geçersizdi; ama "önce" sözcüğü bir mantıksal sabit sayılsaydı, geçerli olurdu. Defne, "hasta ateşlidir; öyleyse hastanın vücut ısısı normalin üstündedir" çıkarımının herkese geçerli göründüğünü, ama hiçbir mantık kuralının onu vermediğini fark ediyor. Lina ise bütün modellere bakmanın, dünyada kaç nesne bulunduğuna bağlı olup olmadığını soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, bir akıl yürütmenin geçerliliğinin bütün modellerde öncüllerin doğru olup sonucun da doğru olması olarak tanımlanmasını, bu model kuramsal tanımın "mantıksal olarak çıkar" kavramını gerçekten yakalayıp yakalamadığını ve bu tanımın hangi sözcüklerin mantıksal sabit sayıldığına nasıl bağlı olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın geçerlilik dersi, bir çıkarımın öncülleri doğru olsaydı sonucun yanlış olmasına izin vermemesini geçerlilik olarak tanımladı ve Tarski'nin mantıksal sonuç tanımını, öncülleri doğru kılan her yorumda sonucun da doğru olması biçiminde tanıttı. Biçim ve içerik dersi, mantıksal sabitlerin argümanın biçimini belirlediğini gösterdi. Modeller modülü, evreni, yorumu, doyurmayı, doğruluğu ve karşı modeli tek tek kurdu. Bu ders, modülü ve Yüklemler Mantığı kursunu kapatıyor: bu araçlarla kurulan model kuramsal geçerlilik tanımını, onun kanıtlanabilirlikle ve sezgisel "olanaksızlık" kavramıyla ilişkisini ve mantıksal sabitlerin nasıl seçileceği sorusunu inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Georg Kreisel, 1967'de yayımlanan Resmî Olmayan Kesinlik ve Tamlık Kanıtları makalesinde, sezgisel geçerliliğin, kanıtlanabilirlik ile model kuramsal geçerlilik arasına sıkıştırılabildiğini ve yüklemler mantığında bu üç kavramın aynı akıl yürütmeleri kapsadığını savunur. John Etchemendy, 1990'da yayımladığı Mantıksal Sonuç Kavramı kitabında, model kuramsal tanımın mantıksal sonuç kavramını yakalamadığını ve onu mantık dışı olgulara bağımlı kıldığını savunur. Alfred Tarski ise 1966'da verdiği ve 1986'da yayımlanan Mantıksal Kavramlar Nelerdir adlı konferansta, hangi kavramların mantıksal sayılacağı için bir ölçüt önerir.

Ardından üç itirazı tartacağız: model kuramsal tanımın mantıksal sonucu mantık dışı olgulara bağladığı, mantıksal sabitlerin seçiminin keyfi olduğu ve sözcüklerin anlamı yüzünden geçerli olan çıkarımların tanımın dışında kaldığı itirazları.

Sonda, bir akıl yürütmenin geçerliliğini değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: mantıksal sabitleri belirlemek, akıl yürütmenin bir kanıtını aramak, bir karşı model aramak ve sonucu, sabit seçimine ve eklenmiş anlam öncüllerine göre açıkça kaydetmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir akıl yürütmenin bütün modellerde öncülleri doğruyken sonucunun da doğru olması, onun geçerli olmasının tanımı mıdır, yoksa yalnızca bir işareti midir?

Ölçülü iddiam şu: bir akıl yürütme, öncüllerini doğru kılan her modelde sonucunu da doğru kılıyorsa model kuramsal olarak geçerlidir; bu tanım, sezgisel geçerlilik kavramının, yani öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olmasının biçim yüzünden olanaksız olmasının, kesin bir karşılığı olarak önerilir; yüklemler mantığında bu tanımın kapsamı, Kreisel'in gösterdiği gibi, sezgisel geçerliliğin kapsamıyla örtüşür, çünkü kanıtlanabilen her akıl yürütme sezgisel olarak geçerlidir, sezgisel olarak geçerli her akıl yürütme model kuramsal olarak geçerlidir, ve tamlık teoremine göre model kuramsal olarak geçerli her akıl yürütme kanıtlanabilir; ama bu örtüşme, iki kavramın aynı olduğunu değil, aynı akıl yürütmeleri kapsadığını gösterir ve Etchemendy'nin itirazı, model kuramsal tanımın neden doğru olduğunun ayrıca açıklanması gerektiğini gösterir; tanım, hangi sözcüklerin mantıksal sabit sayıldığına bağlıdır ve Tarski'nin önerdiği ölçüt, evrendeki nesnelerin yerleri değiştirildiğinde anlamı değişmeyen sözcükleri mantıksal saymaktır; sözcüklerin anlamı yüzünden geçerli görünen çıkarımlar, anlam öncülleri açıkça eklendiğinde mantıksal olarak geçerli hâle gelir ve bu ekleme, mantığın biçim ile anlam arasında yaptığı ayrımı görünür kılar.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir akıl yürütmenin geçerli olduğunu söylerken, çoğu zaman bir sezgiye dayanır: öncüller doğruyken sonucun yanlış olması düşünülemez. Bu sezgi, geçerliliğin ne olduğuna dair en eski ve en yaygın anlayıştır. Ama "düşünülemez" sözcüğü belirsizdir. Bir kişinin düşünemediğini bir başkası düşünebilir; ve bazı akıl yürütmeler, Lina'nın sonsuz müstensihleri gibi, ancak dikkatli bir çalışmayla düşünülebilen karşı durumlara sahiptir.

Model kuramsal tanım, bu belirsizliği gidermeye çalışır. "Düşünülemez" yerine, kesin bir kavram koyar: öncülleri doğru ve sonucu yanlış kılan hiçbir model yoktur. Modeller, evrenler ve yorumlar olarak tanımlandığı için, bir modelin var olup olmadığı kesin bir sorudur. Tanım, sezgisel kavramın bir açıklaması olarak önerilir: belirsiz bir kavramın yerine, onunla aynı işi gören kesin bir kavram koymak.

Ama bir açıklamanın başarılı olup olmadığı ayrıca sorulmalıdır. Model kuramsal tanım, sezgisel olarak geçerli olan bütün akıl yürütmeleri, ve yalnızca onları, geçerli sayıyor mu? Ve sayıyorsa, bunu doğru nedenlerle mi yapıyor? Bu iki soru, bu dersin iki kaynağının, Kreisel ile Etchemendy'nin, ayrı ayrı ele aldığı sorulardır.

Görüşler ve pozisyonlar

Geçerliliğin ne olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, kanıt kuramsal görüştür. Buna göre bir akıl yürütmenin geçerli olması, onun doğru kabul edilmiş kurallarla kanıtlanabilmesidir. Geçerlilik, kuralların uygulanmasıyla kurulur; modeller, geçersizliği göstermenin yardımcı araçlarıdır.

İkinci görüş, model kuramsal görüştür. Buna göre bir akıl yürütmenin geçerli olması, onun bütün modellerde öncülleri doğruyken sonucunun da doğru olmasıdır. Kurallar, bu geçerliliği yakalamak için tasarlanmış araçlardır ve tamlık teoremi, bu araçların başarılı olduğunu gösterir.

Üçüncü görüş, kiplik görüşüdür. Buna göre bir akıl yürütmenin geçerli olması, öncüllerinin doğru ve sonucunun yanlış olmasının, biçimleri yüzünden, olanaksız olmasıdır. Kanıtlar ve modeller, bu olanaksızlığı yakalamanın iki kesin yoludur, ama hiçbiri onun tanımı değildir.

Bu ders üçüncü görüşü hedef kavram, ikinci görüşü çalışma tanımı olarak alır. Birinci görüş, kanıtların geçerliliği göstermenin en güvenilir yolu olduğunu doğru görür, ama bir kuralın neden doğru kural olduğunu açıklamak için yine bir doğruluk koruma kavramına başvurur. İkinci görüş, kesin ve denetlenebilir bir tanım verir ve Kreisel'in argümanıyla, yüklemler mantığında, sezgisel kavramla aynı kapsama sahip olduğu gösterilebilir; ama bu kapsam eşitliği, Etchemendy'nin gösterdiği gibi, tanımın neden doğru olduğunu kendi başına açıklamaz.

Argümanın yapısı

Bir akıl yürütmenin geçerliliğini değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, mantıksal sabitleri belirlemektir. Değerlendiren, akıl yürütmedeki hangi sözcüklerin yorumda sabit tutulacağını, hangilerinin değişebileceğini açıkça yazar. Standart yüklemler mantığında bağlaçlar, niceleyiciler ve özdeşlik sabittir; öteki sözcükler değişebilir.

İkinci adım, akıl yürütmenin bir kanıtını aramaktır. Değerlendiren, doğal çıkarım kurallarıyla öncüllerden sonuca bir türetim kurmaya çalışır. Bir kanıt bulursa, akıl yürütme geçerlidir.

Üçüncü adım, bir karşı model aramaktır. Değerlendiren, en küçük evrenle başlayarak öncülleri doğru ve sonucu yanlış kılan bir model arar. Bir karşı model bulursa, akıl yürütme geçersizdir.

Dördüncü adım, sonucu, sabit seçimine ve eklenmiş anlam öncüllerine göre açıkça kaydetmektir. Değerlendiren, vardığı yargının hangi mantıksal sabit seçimine göre verildiğini ve akıl yürütmeye bir anlam öncülü eklenip eklenmediğini yazar. Aynı akıl yürütme, farklı bir sabit seçimiyle ya da bir anlam öncülü eklenerek, farklı bir yargı alabilir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Geçerliliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir akıl yürütme, öncüllerini doğru kılan her modelde sonucunu da doğru kılıyorsa model kuramsal olarak geçerlidir; bu tanım, öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olmasının biçim yüzünden olanaksız olması biçimindeki sezgisel kavramın kesin bir açıklaması olarak önerilir. Yüklemler mantığında, Kreisel'in sıkıştırma argümanı, kanıtlanabilirliğin, sezgisel geçerliliğin ve model kuramsal geçerliliğin aynı akıl yürütmeleri kapsadığını gösterir; ama Etchemendy'nin itirazı, bu kapsam eşitliğinin tanımın neden doğru olduğunu kendi başına açıklamadığını ve tanımın kümeler kuramının bir çerçevesine dayandığını hatırlatır. Tanım, hangi sözcüklerin mantıksal sabit sayıldığına bağlıdır; Tarski'nin önerdiği yer değiştirme altında değişmezlik ölçütü, bu seçimi ilkeli kılar. Anlam yüzünden geçerli görünen çıkarımlar, anlam öncülleri açıkça eklendiğinde mantıksal olarak geçerli olur. Bir geçerlilik yargısı, bu yüzden, sabit seçimini, eklenmiş öncülleri ve dayandığı kanıtı ya da karşı modeli birlikte kaydetmelidir.

Açık kalan sorular

Kreisel'in sıkıştırma argümanı, yüklemler mantığında üç kavramın aynı kapsama sahip olduğunu gösterdi. Ama argümanın ikinci halkası, sezgisel olarak geçerli her akıl yürütmenin karşı modeli olmadığını söylüyordu; bu halka, bir karşı modelin sezgisel olarak olanaklı bir durum olduğu varsayımına dayanır. Kümeler kuramının kurduğu her model, gerçekten olanaklı bir durum mudur?

Tarski'nin yer değiştirme altında değişmezlik ölçütü, özdeşliği ve niceleyicileri mantıksal saydı. Ama bu ölçüte göre "en az üç nesne vardır" gibi sayı kavramları da mantıksaldır. Sayılar mantığın mı, yoksa matematiğin mi konusudur? Mantık ile matematik arasındaki sınır bir ölçütle çizilebilir mi?

Defne'nin ateşli hastası, anlam yüzünden geçerli görünen bir çıkarımın, bir anlam öncülü eklenerek mantıksal olarak geçerli hâle geldiğini gösterdi. Ama her sözcüğün anlamı bu biçimde öncüllere dökülebilir mi? Bir dilin anlamının tamamı, sonlu bir anlam öncülleri listesiyle yazılabilir mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir akıl yürütme, öncüllerini doğru kılan her modelde sonucunu da doğru kılıyorsa model kuramsal olarak geçerlidir; bu tanım, öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olmasının biçim yüzünden olanaksız olması biçimindeki sezgisel kavramın kesin bir açıklaması olarak önerilir.

Kreisel'in sıkıştırma argümanı yüklemler mantığında kanıtlanabilirlik, sezgisel geçerlilik ve model kuramsal geçerliliğin aynı akıl yürütmeleri kapsadığını, Etchemendy'nin kitabı bu kapsam eşitliğinin tanımın neden doğru olduğunu açıklamadığını, Tarski'nin konferansı ise mantıksal sabitlerin yer değiştirme altında değişmezlik ölçütüyle seçilebileceğini gösterdi.

Bir akıl yürütmenin geçerliliği dört adımla değerlendirilir: mantıksal sabitleri belirlemek, bir kanıt aramak, bir karşı model aramak ve yargıyı sabit seçimine ve eklenmiş anlam öncüllerine göre açıkça kaydetmek.

Tanımın mantıksal sonucu olgulara bağladığı, sabit seçiminin keyfi olduğu ve anlam yüzünden geçerli çıkarımların dışarıda kaldığı itirazları, evrenin değişmesine izin verildiğinde sıkıştırma argümanının kapsamı güvence altına aldığını, değişmezlik ölçütünün sabit seçimini ilkeli kıldığını ve anlam öncüllerinin bir çıkarımın neye dayandığını görünür kıldığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir akıl yürütmeye "geçerli" demek, hangi sözcükleri sabit saydığımızı, hangi öncülleri eklediğimizi ve yargımızı bir kanıta mı yoksa bir karşı modelin yokluğuna mı dayandırdığımızı birlikte söylemektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in kapanış tablosu, grubun dikkatini tablonun dışında kalan bir çıkarım türüne çekti. Raporun tarihlendirme bölümünde şu türden cümleler vardı: "incelediğimiz her tanık müstensihin elinden çıkmıştır; öyleyse bu metnin bütün tanıkları müstensihin elinden çıkmıştır." Bu çıkarımın bir karşı modeli vardı; henüz bulunmamış bir tanık, başka bir kopyacının elinden çıkmış olabilirdi. Çıkarım, model kuramsal olarak geçersizdi. Ama raporun yazarları onu keyfi bir tahmin olarak değil, gerekçeli bir sonuç olarak sunuyordu.

Defne, hekimlikte de benzer çıkarımların her gün yapıldığını söylüyor: bir ilacın incelenen hastaların hepsinde etkili olmasından, onun benzer hastalarda da etkili olacağı sonucu çıkarılıyordu. Bu çıkarımlar geçersizdi, ama hekimlik onlarsız yürüyemezdi. Barış, hukukta da tanık ifadelerinden ve emarelerden, kesin olmayan ama güçlü sonuçlar çıkarıldığını ekliyor. Grup, geçersiz olduğu hâlde güçlü sayılan bir akıl yürütmenin gücünün neye dayandığını soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Genelleme dersi, gözlenmiş örneklerden bütün bir sınıf hakkında bir sonuca geçen tümevarımsal genellemenin nasıl kurulduğunu, model kuramsal olarak geçersiz olduğu hâlde neden güçlü sayılabildiğini ve bu gücün örneklerin sayısına ve çeşitliliğine nasıl bağlı olduğunu soruyor.