Karşı model

Açılış sahnesi

Tolga, raporun kopyacılar bölümünden bir çıkarımı tahtaya yazıyor. Birinci öncül: her tanık müstensihin elinden çıkmıştır. İkinci öncül: müstensihin elinden çıkan bir el yazması tarihlidir. Sonuç: bir tanık tarihlidir. Raporun bir taslağında bu çıkarım bir gerekçe olarak kullanılmış ve sonra, bir düzeltme notuyla, çıkarılmıştı. Tolga, çıkarımın geçersiz olduğunu seziyor: müstensihin elinden çıkan tarihli el yazması, bir tanık olmak zorunda değildi. Ama bu sezgiyi bir kanıta nasıl dönüştüreceğini, hangi evreni, kaç nesneyi ve hangi yorumu seçmesi gerektiğini bilmiyor.

Kerem, başka bir çıkarımla aynı işi deniyor ve saatlerce uğraşmasına rağmen bir karşı model bulamıyor; bulamamanın çıkarımın geçerli olduğunu gösterip göstermediğini soruyor. Selin, tek yerli yüklemlerle kurulan çıkarımlar için aramanın bir sonu olabileceğini düşünüyor. Defne, bir tedavi kılavuzundaki bir akıl yürütmeyi aynı yolla sınıyor. Barış, bir savunmada "karşı örnek bulunamadı" demenin bir iddiayı kanıtlamaya yetmediğini hatırlatıyor. Lina ise en tuhaf durumu buluyor: karşı modeli ancak sonsuz sayıda müstensih içeren bir evrende kurulabilen bir çıkarım. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, bir akıl yürütmenin öncüllerini doğru ve sonucunu yanlış kılan bir modelin nasıl kurulduğunu, en küçük uygun evrenin nasıl seçildiğini ve bir karşı model bulunamamasının neyi gösterip neyi göstermediğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın geçerlilik dersi, bir argümanın geçersiz olduğunu göstermek için onunla aynı biçimde olup öncülleri doğru, sonucu yanlış olan başka bir argüman kurmayı, biçimsel karşı örneği, gösterdi. Önerme mantığının karşı değerleme dersi, aynı işi doğruluk değerleri atayarak yaptı. Yorum ve Doğruluk dersleri, bir cümlenin bir modelde doğru olmasını tanımladı. Bu ders, bu araçları birleştiriyor: yüklemler mantığında bir akıl yürütmenin geçersizliğini göstermenin yolu olarak karşı modeli tanıtıyor, onu kurmanın sistemli bir yöntemini gösteriyor ve bu yöntemin sınırlarını inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Leopold Löwenheim, 1915'te yayımladığı İlişkiler Hesabındaki Olanaklar Üzerine makalesinde, yalnızca tek yerli yüklemler içeren bir cümlenin bir modeli varsa, belirli bir büyüklüğü aşmayan bir modelinin de olduğunu gösterir. Kurt Gödel, 1930'da yayımladığı tamlık makalesinde, yüklemler mantığında her modelde doğru olan her cümlenin kanıtlanabildiğini gösterir. Alonzo Church ise 1936'da yayımladığı bir notta, yüklemler mantığının bir cümlesinin her modelde doğru olup olmadığını her durumda karara bağlayan mekanik bir yöntemin bulunmadığını gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: gerçeğe uymayan bir karşı modelin gerçek bir akıl yürütmeyi çürütemeyeceği, uzun bir aramada karşı model bulunamamasının geçerliliği göstereceği ve sonsuz evrenli karşı modellerin gerçek akıl yürütme için yapay olduğu itirazları.

Sonda, bir karşı model kurmanın dört adımını göstereceğiz: öncülleri doğru ve sonucu yanlış kılmak için neyin gerektiğini yazmak, en küçük evrenle başlayıp gerekirse büyütmek, her ad ve yüklem için bir atama seçip öncülleri ve sonucu denetlemek ve bulunamayan bir karşı model için bir kanıt aramaya geçmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: yüklemler mantığında bir akıl yürütmenin geçersiz olduğu nasıl gösterilir ve bir karşı model bulunamaması neyi gösterir?

Ölçülü iddiam şu: bir akıl yürütme, öncüllerini doğru ve sonucunu yanlış kılan bir model, bir karşı model, varsa geçersizdir ve böyle bir modelin tek bir örneği, geçersizliği kesin olarak gösterir; karşı model gerçeğe uymak zorunda değildir, çünkü gösterdiği şey sonucun yanlış olduğu değil, öncüllerin sonucu biçimleri yüzünden güvence altına almadığıdır; karşı model aramak, en küçük evrenle başlayıp gerektikçe büyütülen sistemli bir işlemdir ve yalnızca tek yerli yüklemler içeren akıl yürütmelerde, Löwenheim'ın gösterdiği gibi, belirli bir büyüklüğü aşmayan evrenlerle sınırlanabilir, bu yüzden orada aramanın bir sonu vardır; ilişkiler içeren akıl yürütmelerde ise karşı modeller sonsuz evrenler gerektirebilir ve Church'ün gösterdiği gibi, her durumda ya bir karşı model ya da bir kanıt bulan mekanik bir yöntem yoktur; bir karşı model bulunamaması, kendi başına geçerliliği göstermez, ama Gödel'in tamlık sonucu, geçerli her akıl yürütmenin bir kanıtı olduğunu güvence altına aldığı için, bulunamayan bir karşı modelin yerine bir kanıt aranabilir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir akıl yürütmenin geçersiz olduğunu göstermek istediğinde, çoğu zaman sonucun yanlış olduğunu göstermeye çalışır. Ama sonucun yanlış olması ne gerekli ne yeterlidir. Geçersiz bir akıl yürütmenin sonucu doğru olabilir; Tolga'nın çıkarımında, bir tanığın tarihli olduğu sonucu belki bir gün doğru çıkabilirdi ve çıkarım yine geçersiz kalırdı. Geçersizlik, sonucun yanlış olması değil, öncüllerin sonucu güvence altına almamasıdır.

Bunu göstermenin yolu, öncüllerin hepsinin doğru, sonucun ise yanlış olduğu bir model bulmaktır. Böyle bir model, karşı model, öncüllerin doğruluğunun sonucun doğruluğunu gerektirmediğini somut olarak gösterir. Karşı model, geçerlilik dersinin biçimsel karşı örneğine benzer, ama bir noktada ondan ayrılır: biçimsel karşı örnek, aynı biçimde başka bir argüman kurar ve onun öncüllerinin ve sonucunun gerçek dünyada doğru ya da yanlış olduğuna dayanır; karşı model ise aynı argümanın kendisini, sözcüklerine yeni bir yorum vererek, bir modelde sınar.

Yüklemler mantığında karşı model kurmak, önerme mantığında karşı değerleme bulmaktan daha zordur. Önerme mantığında, bir argümanın bütün olası değerlemeleri sonlu bir tabloyla sıralanabilir. Yüklemler mantığında ise evren istenen büyüklükte seçilebilir; bir evren üzerinde yüklemlere atanabilecek kümeler çok sayıdadır; ve bazı argümanların karşı modeli, yalnızca sonsuz bir evrende kurulabilir.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir akıl yürütmenin geçerliliğinin nasıl sınanacağı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, karşı model görüşüdür. Buna göre bir akıl yürütmenin geçerliliğini sınamanın yolu, karşı model aramaktır. Karşı model bulunursa akıl yürütme geçersizdir; yeterince uzun bir aramada bulunmazsa, akıl yürütme geçerli sayılabilir.

İkinci görüş, kanıt görüşüdür. Buna göre bir akıl yürütmenin geçerliliği, onun doğal çıkarım kurallarıyla kanıtlanmasıyla gösterilir. Karşı model aramak, geçersizliği göstermenin bir aracıdır, ama geçerliliği göstermenin tek yolu bir kanıttır.

Üçüncü görüş, iki yönlü sınama görüşüdür. Buna göre geçerlilik sınaması iki yönde birlikte yürür: bir yönde karşı model, öteki yönde kanıt aranır. Gödel'in tamlık sonucu, geçerli her akıl yürütmenin bir kanıtı, geçersiz her akıl yürütmenin bir karşı modeli olduğunu güvence altına alır; ama Church'ün sonucu, hangisinin önce bulunacağını ya da herhangi birinin sınırlı bir sürede bulunup bulunmayacağını bilmenin her durumda mümkün olmadığını gösterir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, karşı modelin geçersizliği göstermenin kesin bir yolu olduğunu doğru görür, ama bulunamayan bir karşı modelden geçerlilik çıkarmanın, Lina'nın sonsuz müstensihlerinde görüldüğü gibi, yanıltıcı olabileceğini gözden kaçırır. İkinci görüş, kanıtın geçerliliği göstermenin kesin yolu olduğunu doğru görür, ama geçersiz bir akıl yürütme için bir kanıt aramanın hiçbir zaman sona ermeyebileceğini ve karşı modelin bu aramayı kesmenin tek yolu olduğunu gözden kaçırır.

Argümanın yapısı

Bir karşı model kurmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, öncülleri doğru ve sonucu yanlış kılmak için neyin gerektiğini yazmaktır. Kuran, her öncülün ve sonucun olumsuzunun, evrendeki nesneler hakkında ne istediğini açıkça yazar: bir evrensel öncül, her nesnenin bir koşulu sağlamasını, bir varoluşsal öncül, en az bir nesnenin bir özelliği taşımasını ister; yanlış kılınacak bir varoluşsal sonuç ise hiçbir nesnenin o özelliği taşımamasını ister.

İkinci adım, en küçük evrenle başlayıp gerekirse büyütmektir. Kuran, önce tek nesneli bir evren dener, sonra iki, sonra üç nesneli. Her varoluşsal öncül, genellikle, en az bir nesne gerektirir; birbirini dışlayan özellikler isteyen iki varoluşsal öncül, iki ayrı nesne gerektirir.

Üçüncü adım, her ad ve yüklem için bir atama seçip öncülleri ve sonucu denetlemektir. Kuran, birinci adımın isteklerine göre her yükleme bir küme atar ve her öncülün ve sonucun modelde doğruluk değerini doyurma tanımıyla hesaplar.

Dördüncü adım, bulunamayan bir karşı model için bir kanıt aramaya geçmektir. Kuran, birkaç evren büyüklüğünde aynı çatışmayla karşılaşıyorsa, Kerem'in yaptığı gibi, bu çatışmanın bir kanıtın adımlarını gösterip göstermediğine bakar ve doğal çıkarım kurallarıyla bir kanıt yazmayı dener.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Karşı modeli ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir akıl yürütme, öncüllerini doğru ve sonucunu yanlış kılan bir karşı model varsa geçersizdir; tek bir karşı model geçersizliği kesin olarak gösterir ve gerçeğe uymak zorunda değildir, çünkü gösterdiği şey sonucun yanlışlığı değil, öncüllerin sonucu biçimleri yüzünden güvence altına almamasıdır. Karşı model, en küçük evrenle başlayıp gerektikçe büyütülen sistemli bir aramayla kurulur. Tek yerli yüklemlerle kurulan akıl yürütmelerde bu arama, Löwenheim'ın gösterdiği gibi, sonlu bir listeye sınırlanabilir ve liste bittiğinde geçerlilik kanıtlanmış olur. İlişkiler içeren akıl yürütmelerde ise karşı modeller sonsuz evrenler gerektirebilir ve Church'ün gösterdiği gibi, aramanın ne zaman bırakılabileceğini söyleyen mekanik bir kural yoktur. Gödel'in tamlık teoremi, geçerli her akıl yürütmenin bir kanıtı olduğunu güvence altına aldığı için, bulunamayan bir karşı modelin yerine bir kanıt aranır; iki arama, aynı sorunun iki yüzüdür.

Açık kalan sorular

Löwenheim, tek yerli yüklemlerle kurulan akıl yürütmelerde karşı model aramasının sonlu olduğunu gösterdi; Church, iki yerli yüklemler işin içine girdiğinde genel bir karar yönteminin bulunmadığını gösterdi. Gündelik akıl yürütmenin büyük bölümü ilişkiler, "önce", "kopyaladı", "sorumludur" gibi ilişkiler, içerir. Bu, gündelik akıl yürütmenin geçerliliğinin ilke olarak her zaman karara bağlanamayacağı anlamına mı gelir?

Lina'nın sonsuz müstensihleri, bir öncüller kümesinin yalnızca sonsuz bir modelinin bulunabileceğini gösterdi. Gerçek dünyanın sonlu olup olmadığı bilinmiyorsa, "evren sonludur" öncülü bir akıl yürütmeye eklenmeli mi? Mantık, dünyanın büyüklüğü hakkında bir karar vermeli mi, yoksa bu kararı açık mı bırakmalıdır?

Barış'ın savunması, ispat yükünün bir mantıksal asimetriye dayandığını gösterdi. Ama bilimsel bir kuramı sınarken, bir karşı örneğin bulunması kuramı gerçekten çürütür mü, yoksa bilim insanları çoğu zaman karşı örneği bir yardımcı varsayımla açıklamayı mı seçer? Mantığın karşı modeli ile bilimin karşı örneği aynı güce sahip midir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir akıl yürütme, öncüllerini doğru ve sonucunu yanlış kılan bir karşı model varsa geçersizdir; tek bir karşı model geçersizliği kesin olarak gösterir ve gerçeğe uymak zorunda değildir, çünkü gösterdiği şey öncüllerin sonucu biçimleri yüzünden güvence altına almamasıdır.

Löwenheim'ın makalesi tek yerli yüklemlerle kurulan akıl yürütmelerde karşı model aramasının sonlu olduğunu, Gödel'in tamlık teoremi geçerli her akıl yürütmenin bir kanıtı olduğunu, Church'ün notu ise ilişkiler içeren akıl yürütmelerde geçerliliği her durumda karara bağlayan mekanik bir yöntemin bulunmadığını gösterdi.

Bir karşı model dört adımla kurulur: öncülleri doğru ve sonucu yanlış kılmak için neyin gerektiğini yazmak, en küçük evrenle başlayıp gerekirse büyütmek, her yükleme bir küme atayıp öncülleri ve sonucu denetlemek ve bulunamayan bir karşı model için bir kanıt aramaya geçmek.

Gerçeğe uymayan karşı modelin çürütmediği, bulunamayan karşı modelin geçerliliği gösterdiği ve sonsuz karşı modelin yapay olduğu itirazları, karşı modelin sonucun yanlışlığını değil öncüllerin güvencesizliğini gösterdiğini, bulunamayan bir modelin ancak tek yerli yüklemlerde geçerliliği kanıtladığını ve evrenin sonlu olduğunun bir mantık kuralı değil bir dünya varsayımı olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir akıl yürütmeyi sınamak, iki yönde birlikte aramak, bir yönde onu çürütecek küçük bir model, öteki yönde onu kanıtlayacak adımlar, ve hangisinin önce bulunacağını önceden bilemeyeceğimizi kabul etmektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in dört türü ve Kerem'in kanıtı, aynı akıl yürütme için iki ayrı yoldan aynı sonuca ulaştı: biri bütün modellere bakarak, öteki kuralları adım adım uygulayarak. Gödel'in tamlık teoremi, bu iki yolun yüklemler mantığında hep aynı yere çıktığını söylüyordu. Ama Selin, bu iki yolun gerçekten aynı kavramı, "mantıksal olarak çıkar" kavramını, yakalayıp yakalamadığını soruyor. Bir sonucun öncüllerden mantıksal olarak çıkması, onun bütün modellerde öncüllerle birlikte doğru olması mıydı, yoksa bu yalnızca onun bir işareti miydi?

Lina, "bütün modeller" ifadesinin, bir modelin ne olduğuna, hangi evrenlerin ve hangi yorumların hesaba katıldığına bağlı olduğunu hatırlatıyor. Evrenler yalnızca kümelerle sınırlanırsa ya da bazı sözcükler mantıksal sabit sayılıp yorumun dışında tutulursa, "bütün modellerde doğru" olan cümlelerin listesi de değişirdi. Tolga, hangi sözcüklerin mantıksal sabit sayılacağının kendisinin bir karar olup olmadığını soruyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Geçerlilik dersi, bir akıl yürütmenin geçerliliğinin bütün modellerde öncüllerin doğru olup sonucun da doğru olması olarak tanımlanmasını, bu model kuramsal tanımın "mantıksal olarak çıkar" kavramını gerçekten yakalayıp yakalamadığını ve bu tanımın hangi sözcüklerin mantıksal sabit sayıldığına nasıl bağlı olduğunu soruyor.