Doyurma

Açılış sahnesi

Kerem, yorum tablosunu masaya koyuyor ve raporun bir cümlesini değerlendirmeye çalışıyor: "her x için, x bir tanıksa, x tarih taşımaz." Tablo, adlara nesneler ve yüklemlere kümeler atıyordu. Ama cümlede ad yoktu; yalnızca "x" vardı ve "x" tabloda yer almıyordu. Kerem, en doğal görünen yolu deniyor: x'in yerine sırayla her adı koymak. "Birinci tanık bir tanıksa, tarih taşımaz", "ikinci tanık bir tanıksa, tarih taşımaz" ve böyle devam etmek. Sonra evrende adı olmayan bir nesne bulunduğunu fark ediyor: raporun ekinde, tanıkların arasından çıkmış, hiçbir adı ve katalog numarası olmayan tek bir yaprak vardı. O yaprak için yerine konacak bir ad yoktu.

Selin, cümlenin parçalarına bakıyor: "x bir tanıktır" ve "x tarih taşımaz." Bu parçaların hiçbiri kendi başına doğru ya da yanlış değildi; doğruluk değerleri, x'in hangi nesneyi gösterdiğine bağlıydı. Ama bütün cümlenin doğruluk değeri, bu parçalardan kurulmak zorundaydı. Tolga, iki değişkenli bir cümlede işin daha da karıştığını gösteriyor. Barış, bir tebligat listesinin, adı listede olmayan bir kişiyi nasıl gözden kaçırabileceğini hatırlatıyor. Lina ise gündelik dilde değişkenlerin zaten var olduğunu söylüyor: "o" zamiri, kimi gösterdiği bağlamdan anlaşılmadıkça, hiçbir şey söylemiyordu. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, değişkenlere evrenden nesneler atayan bir değer atamasının ne olduğunu, bir açık ifadenin bir değer ataması tarafından nasıl doyurulduğunu ve Tarski'nin tanımında niceleyicili bir cümlenin doğruluğunun bütün değer atamalarına bakılarak nasıl kurulduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Yüklem dersi, bir nesnenin bir açık önermenin değişkeninin yerine konduğunda onu doğru kılmasını doyurma olarak adlandırdı ve bir açık önermeyi doyuran nesnelerin kümesinin, yüklemin kaplamı olduğunu gösterdi. Yorum dersi, adlara nesneler ve yüklemlere kümeler atayan yorumu tanıttı. Bu ders, doyurma kavramını genişletiyor: tek bir değişken yerine, bir ifadedeki bütün değişkenlere aynı anda nesneler atayan değer atamalarını tanıtıyor ve bu atamalarla, bağlaçlar ve niceleyiciler içeren her ifadenin doyurulmasının adım adım nasıl tanımlandığını gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Alfred Tarski, 1933'te Lehçe yayımlanan ve 1935'te Almanca çevirisi çıkan Biçimselleştirilmiş Dillerde Doğruluk Kavramı adlı çalışmasında, doğruluğu doğrudan değil, doyurma kavramı üzerinden tanımlar. J. Michael Dunn ile Nuel Belnap, 1968'de Noûs dergisinde yayımladıkları Niceleyicilerin Yerine Koyma Yorumu makalesinde, niceleyicileri nesneler yerine adlarla yorumlayan bir yaklaşımı inceler. Abraham Robinson ise 1951'de yayımladığı Cebirin Üst Matematiği Üzerine adlı kitabında, bir yapının her nesnesine dilde yeni bir ad veren bir yöntem kullanır.

Ardından üç itirazı tartacağız: doyurmanın gereksiz bir dolambaç olduğu ve niceleyicilerin adlarla yorumlanabileceği, değer atamalarının gündelik dilde karşılığı olmayan yapay araçlar olduğu ve doyurma tanımının niceleyiciyi niceleyiciyle tanımladığı için döngüsel olduğu itirazları.

Sonda, bir niceleyicili cümleyi doyurma yoluyla değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: cümlenin açık parçalarını ve serbest değişkenlerini belirlemek, en içteki parçadan başlayarak her parçanın hangi atamalar tarafından doyurulduğunu bulmak, her niceleyici için yalnızca o değişkende ayrılan atamalara bakmak ve cümlenin doğruluğunu bütün atamalar tarafından doyurulup doyurulmadığıyla belirlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: değişken içeren ve kendi başına doğru ya da yanlış olmayan ifadeler, bir niceleyicili cümlenin doğruluğunu belirlemek için nasıl değerlendirilir?

Ölçülü iddiam şu: bir değer ataması, bir yorumun evreninden her değişkene bir nesne atayan bir kuraldır; bir açık ifade, kendi başına doğru ya da yanlış değildir, ama bir değer ataması tarafından doyurulur ya da doyurulmaz; bir atomik ifade, değişkenlerine atanan nesneler yüklemin kümesinde bulunuyorsa doyurulur; "değil", "ve" ve öteki bağlaçlar içeren ifadelerin doyurulması, parçalarının aynı atama tarafından doyurulup doyurulmamasından kurulur; "her x için" ile başlayan bir ifade, bir atama tarafından ancak, o atamadan yalnızca x'e atanan nesnede ayrılan bütün atamalar içteki ifadeyi doyuruyorsa doyurulur; "en az bir x için" ile başlayan bir ifade ise bu atamalardan en az biri içteki ifadeyi doyuruyorsa doyurulur; hiçbir serbest değişkeni olmayan bir cümle, ya bütün atamalar tarafından doyurulur ya da hiçbiri tarafından, ve bir cümle, bütün atamalar tarafından doyuruluyorsa bir yorumda doğrudur; bu dolambaçlı yol gereklidir, çünkü bir cümlenin parçaları çoğu zaman cümle değildir ve doğruluk, cümlenin parçalarından değil, açık ifadelerin doyurulmasından kurulmak zorundadır; niceleyicileri adlarla yorumlamak, evrendeki her nesnenin bir adı olmadığında yanlış sonuç verir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir niceleyicili cümlenin doğruluğunu hesaplamak istediğinde, çoğu zaman önerme mantığının doğruluk tablosunu hatırlar: bir bileşik cümlenin doğruluğu, parçalarının doğruluğundan hesaplanır. "Birinci tanık bir tanıktır ve birinci tanık tarih taşımaz" cümlesinin doğruluğu, iki parçasının doğruluğundan hesaplanabilir. Ama "her x için, x bir tanıksa, x tarih taşımaz" cümlesinin parçaları, "x bir tanıktır" ve "x tarih taşımaz", doğru ya da yanlış değildir. Bu parçaların doğruluk değeri yoktur; dolayısıyla doğruluk tablosu işlemez.

Bu güçlüğü aşmanın yolu, doğruluk yerine daha genel bir kavramla, doyurmayla, çalışmaktır. "x tarih taşımaz" ifadesi doğru ya da yanlış değildir, ama x'e belirli bir nesne atandığında doğru ya da yanlış olur. x'e birinci tanığı atayan bir atama, bu ifadeyi doyurur; x'e müstensihin tarihli öteki el yazmasını atayan bir atama ise doyurmaz. Doyurma, bir ifade ile bir atama arasındaki bir ilişkidir ve açık ifadeler için de, kapalı cümleler için de tanımlıdır.

Doyurmanın kapalı cümlelerde ilginç bir özelliği vardır. Hiçbir serbest değişkeni olmayan bir cümle, örneğin "birinci tanık tarih taşımaz", hangi atama seçilirse seçilsin aynı biçimde değerlendirilir: cümlede atamanın etkileyebileceği hiçbir değişken yoktur. Bu yüzden kapalı bir cümle, ya bütün atamalar tarafından doyurulur ya da hiçbiri tarafından. Bir cümlenin bir yorumda doğru olması, onun bütün atamalar tarafından doyurulması olarak tanımlanabilir.

Görüşler ve pozisyonlar

Niceleyicilerin nasıl yorumlanacağı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, yerine koyma görüşüdür. Buna göre "her x için, x hakkında şu doğrudur" cümlesi, x'in yerine dildeki her ad konarak elde edilen her cümle doğruysa doğrudur. "En az bir x için" cümlesi ise bu cümlelerden en az biri doğruysa doğrudur. Niceleyiciler, nesneler üzerinden değil, adlar üzerinden dolaşır.

İkinci görüş, nesnel doyurma görüşüdür. Buna göre niceleyiciler, adlar üzerinden değil, evrendeki nesneler üzerinden dolaşır ve bir niceleyicili cümlenin doğruluğu, değişkenlere evrenden nesneler atayan değer atamalarıyla, Tarski'nin doyurma tanımıyla belirlenir. Bir nesnenin adı olup olmaması, cümlenin doğruluğunu etkilemez.

Üçüncü görüş, ad ekleme görüşüdür. Buna göre bir niceleyicili cümlenin doğruluğu, dile evrendeki her nesne için yeni bir ad eklenerek ve sonra yerine koyma yoluyla belirlenebilir. Bu yol, yerine koyma görüşünün sadeliğini korur ama evrendeki her nesnenin bir adı olmasını, adı olmayanlara ad vererek, güvence altına alır.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve üçüncüsünü onun eşdeğer bir biçimi olarak görür. Birinci görüş, evrendeki her nesnenin dilde bir adı olduğu durumlarda doğru sonuç verir, ama Kerem'in adsız yaprağında görüldüğü gibi, adsız nesneler bulunduğunda yanılır. Üçüncü görüş, bu sorunu, her nesneye ad vererek aşar ve sonuçları ikinci görüşle aynıdır; ama bunu yaparken dili modelden modele değiştirir.

Argümanın yapısı

Bir niceleyicili cümleyi doyurma yoluyla değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, cümlenin açık parçalarını ve serbest değişkenlerini belirlemektir. Değerlendiren, cümleyi en dıştaki işleçten başlayarak parçalarına ayırır ve her parçada hangi değişkenlerin serbest olduğunu yazar.

İkinci adım, en içteki parçadan başlayarak her parçanın hangi atamalar tarafından doyurulduğunu bulmaktır. Değerlendiren, atomik parçalar için değişkenlere atanan nesnelerin yüklemin kümesinde bulunup bulunmadığına bakar, bağlaçlı parçalar için ise aynı atamanın parçaları doyurup doyurmadığından hesaplar.

Üçüncü adım, her niceleyici için yalnızca o değişkende ayrılan atamalara bakmaktır. Değerlendiren, "her x için" ile başlayan bir parçanın bir atama tarafından doyurulup doyurulmadığını bulmak için, o atamayı sabit tutup yalnızca x'e atanan nesneyi evrendeki her nesneyle değiştirir; bu değiştirilmiş atamaların hepsi içteki parçayı doyuruyorsa, parça doyurulur. "En az bir x için" ile başlayan bir parça için, bu değiştirilmiş atamalardan en az birinin doyurması yeter.

Dördüncü adım, cümlenin doğruluğunu bütün atamalar tarafından doyurulup doyurulmadığıyla belirlemektir. Değerlendiren, cümlenin hiçbir serbest değişkeni kalmadığını denetler ve cümlenin bir atama tarafından doyurulup doyurulmadığına bakar; kapalı bir cümle için bu, bütün atamalar için aynı sonucu verir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Doyurmayı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir değer ataması, evrenden her değişkene bir nesne atar ve bir açık ifade, kendi başına doğru ya da yanlış olmasa da, bir değer ataması tarafından doyurulur ya da doyurulmaz. Atomik ifadelerin doyurulması yorum tablosundan okunur, bağlaçlı ifadelerinki parçalarının aynı atama tarafından doyurulmasından kurulur, niceleyicili ifadelerinki ise yalnızca ilgili değişkende ayrılan atamalara bakılarak belirlenir. Kapalı bir cümle ya bütün atamalar tarafından doyurulur ya da hiçbiri tarafından, ve bir cümle bütün atamalar tarafından doyuruluyorsa bir yorumda doğrudur. Bu dolambaçlı yol, niceleyicili bir cümlenin parçaları çoğu zaman cümle olmadığı için gereklidir; niceleyicileri adlarla yorumlamak, adsız nesneler bulunduğunda yanılır. Değer atamaları, gündelik dilin zamirlerle ve bağlamla yaptığı işin açık bir biçimidir ve doyurma tanımı, üst dilin niceleyicisini kullandığı için döngüsel değil, katmanlıdır.

Açık kalan sorular

Tarski, doğruluğu doyurma üzerinden tanımladı ve bu tanım, doğruluğun cümlelerin parçalarından adım adım kurulabileceğini gösterdi. Ama bu tanım, doğruluğun ne olduğunu mu açıklar, yoksa yalnızca belirli bir dilde hangi cümlelerin doğru olduğunu mu belirler? Bir doğruluk tanımı ile bir doğruluk kuramı arasındaki fark nedir?

Dunn ile Belnap, yerine koymalı nicelemenin, hangi nesnelerin var olduğuna dair bir bağlılık getirmediğini tartıştı. "Her şeyin bir adı vardır" varsayımı yapılmadan, yerine koymalı niceleme ile nesnel niceleme arasındaki seçim, bir kişinin neyin var olduğuna inandığını nasıl etkiler? Bir niceleyici kullanmak, bir varlık iddiasında bulunmak mıdır?

Lina'nın zamirleri, bağlamın zamirlere kişiler atadığını gösterdi. Ama bağlam her zaman tek bir atama vermez; bir konuşmada "o" zamirinin kimi gösterdiği belirsiz kalabilir. Bağlamın belirsiz bıraktığı bir atama, bir cümlenin doğruluk değerini de belirsiz mi bırakır, yoksa cümle hiçbir önerme ifade etmemiş mi olur?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir değer ataması evrenden her değişkene bir nesne atar ve bir açık ifade, kendi başına doğru ya da yanlış olmasa da, bir atama tarafından doyurulur ya da doyurulmaz; kapalı bir cümle, bütün atamalar tarafından doyuruluyorsa bir yorumda doğrudur.

Tarski'nin çalışması doğruluğun doğrudan değil doyurma üzerinden adım adım kurulabileceğini, Dunn ile Belnap'ın makalesi niceleyicileri adlarla yorumlamanın tutarlı ama adların nesnelere ulaşmasına bağlı bir yol olduğunu, Robinson'un diyagram yöntemi ise dile her nesne için ad eklemenin iki yolu eşdeğer kıldığını gösterdi.

Bir niceleyicili cümle doyurma yoluyla dört adımda değerlendirilir: açık parçaları ve serbest değişkenleri belirlemek, en içten başlayarak her parçanın doyurulmasını bulmak, her niceleyici için yalnızca o değişkende ayrılan atamalara bakmak ve cümlenin bütün atamalar tarafından doyurulup doyurulmadığını belirlemek.

Doyurmanın gereksiz bir dolambaç olduğu, değer atamalarının yapay olduğu ve doyurma tanımının döngüsel olduğu itirazları, adsız nesnelerin yerine koymalı yorumu yanılttığını, zamirlerin gündelik dilde değişkenlerin işini yaptığını ve tanımın üst dilin niceleyicisini kullandığı için katmanlı olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir niceleyicili cümlenin doğruluğunu hesaplamak, onu doğruluk değeri taşımayan parçalardan, her parçayı bir değer atamasına göre doyurup doyurmadığına bakarak, adım adım kurmaktır.

Sonraki derse köprü

Selin'in parça parça hesabı, grubu bir sonraki soruya götürdü. Doyurma, bir cümlenin bir yorumda doğru olup olmadığını söylüyordu; ama "bir yorumda doğru" ile "doğru" aynı şey miydi? Raporun cümleleri, Kerem'in amaçlanan yorumunda doğruydu, Selin'in ikinci tablosunda yanlıştı. Kerem, raporun yazarlarının "bu cümle doğrudur" dediklerinde hangi yorumu kastettiklerini soruyor.

Barış, bir doğruluk tanımının neyi başarması gerektiğini soruyor. Doyurma tanımı, bir cümlenin hangi koşullarda doğru olduğunu adım adım veriyordu; ama bu tanımın gerçekten doğruluğu tanımladığını, başka bir şeyi değil, nasıl bilebilirlerdi? Lina, "kar beyazdır cümlesi doğrudur ancak ve ancak kar beyazdır" türünden cümlelerin, basit göründükleri hâlde, bir doğruluk tanımının sınanabileceği bir ölçüt olabileceğini hatırlatıyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Doğruluk dersi, bir cümlenin bir modelde doğru olmasının ne demek olduğunu, bir doğruluk tanımının uygun sayılması için Tarski'nin önerdiği ölçütün, doğruluk şemasının, ne istediğini ve model içinde doğruluk ile amaçlanan yorumdaki doğruluk arasındaki ilişkinin nasıl kurulduğunu soruyor.