Evren

Açılış sahnesi

Kerem, raporun iki bölümünden aynı cümleyi alıyor: "Her şey tarih taşımaz." Birinci bölümde cümle, tanıklar üzerine konuşuluyordu ve doğruydu: üç tanığın hiçbiri tarih taşımıyordu. İkinci bölümde ise cümle, müstensihin bütün el yazmaları üzerine konuşuluyordu ve yanlıştı: müstensihin öteki el yazması tarihliydi. Kerem, aynı sözcüklerin iki bölümde iki ayrı doğruluk değeri aldığını gösteriyor. Cümlenin kendisi değişmemişti; değişen, "her şey" sözcüğünün üzerinden dolaştığı nesnelerdi.

Tolga, önceki türetimini hatırlatıyor: özdeşlik kuralları, hiçbir öncül kullanmadan, en az bir şeyin var olduğunu kanıtlamıştı. Bu, kuralların üzerinden dolaşılan nesnelerin hiçbir zaman boş olmadığını varsaydığını gösteriyordu. Defne, hastanede bu varsayımın bazen yanlış olduğunu söylüyor: gece yarısı boşaltılmış bir serviste "bütün hastaların ateşi normal" diye bir not düşülebilirdi ve not, bir anlamda, doğru olurdu. Lina ise daha büyük bir soru soruyor: "her şey" sözcüğü bazen gerçekten her şeyi, el yazmalarını, kişileri, sayıları, kümeleri, hepsini birden kastedebilir miydi? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, bir niceleyicili cümlenin doğruluğunun hangi nesneler topluluğuna göre değerlendirildiğini, bu topluluğun neden boş olmayan bir küme olarak seçildiğini ve evrenin seçimi değiştiğinde aynı cümlenin doğruluk değerinin nasıl değişebildiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın kıyas kursu, De Morgan'a dayanarak söylem evrenini, bir akıl yürütmede terimlerin kullanıldığı ve olumsuz terimlerin kaplamını sınırlayan alan olarak tanıttı. Evrensel ve varoluşsal niceleyici dersi, niceleyicilerin bir söylem evreni üzerinden dolaştığını söyledi, ama bu evrenin nasıl seçildiğini ayrıca incelemedi. Doğal çıkarım modülü, niceleyicilerle ve özdeşlikle kanıt yürütmenin kurallarını verdi ve bu kuralların evrenin boş olmadığını varsaydığını gösterdi. Bu ders, modeller modülünü açıyor: bir modelin ilk bileşeni olan evreni, niceleyicilerin üzerinden dolaştığı nesneler kümesini, kendi başına inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Willard Van Orman Quine, 1954'te Journal of Symbolic Logic dergisinde yayımladığı Niceleme ve Boş Evren adlı kısa makalesinde, standart mantığın boş evreni dışlamasının neden zararsız olduğunu gösterir. Karel Lambert, 1960'larda geliştirdiği ve adını da koyduğu özgür mantık çizgisinde, adların her zaman bir nesneyi göstermesi ve evrenin boş olmaması varsayımlarını mantıktan çıkarmayı önerir. Richard Cartwright ise 1994'te yayımladığı Her Şey Hakkında Konuşmak makalesinde, evrenin her zaman bir küme olması gerektiği varsayımının "her şey" hakkında konuşmayı olanaksız kıldığını savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: boş evreni dışlamanın keyfi olduğu, evrenin seçimine bağlı bir doğruluğun göreli bir doğruluk olduğu ve evreni bir küme olarak seçmenin "her şey" hakkında konuşmayı olanaksız kıldığı itirazları.

Sonda, bir niceleyicili cümleyi değerlendirmenin dört adımını göstereceğiz: cümlenin hangi evren üzerine konuştuğunu belirlemek, evreni daraltmak ile yüklemle kısıtlamak arasında seçim yapmak, evrenin boş olup olamayacağını sormak ve cümlenin doğruluğunu bu evrende denetlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir niceleyicili cümlenin doğruluğu hangi nesneler topluluğuna göre değerlendirilir ve bu topluluğun seçimi, cümlenin doğruluğunu ve mantığın kurallarını nasıl etkiler?

Ölçülü iddiam şu: bir niceleyicili cümle, ancak niceleyicilerinin üzerinden dolaştığı bir nesneler kümesine, bir evrene, göre doğru ya da yanlıştır; evren, bir modelin ilk bileşenidir ve cümlenin kendisinde yazılı değildir; aynı cümle, farklı evrenlerde farklı doğruluk değerleri alabilir ve bu, doğruluğun keyfi olduğunu değil, bir cümlenin neyin hakkında konuştuğunun onun anlamının bir parçası olduğunu gösterir; standart yüklemler mantığı evreni boş olmayan bir küme olarak seçer; bu seçim, özdeşlik tanıtma ve varoluşsal genelleme gibi kuralları mümkün kılar ve boş evren ayrı ve basit bir sınamayla ele alınabildiği için mantığa büyük bir bedel yüklemez; ama gündelik akıl yürütmede boş bir evren, boş bir servis ya da hiç üyesi olmayan bir sınıf, gerçek bir olasılıktır ve bir evrensel cümlenin boş evrende doğru olması, onun bir şey söylediği anlamına gelmez; evreni bir küme olarak seçmek, çoğu akıl yürütme için yeterlidir, ama gerçekten her şey üzerine konuşan cümlelerin bir küme evreniyle yakalanıp yakalanamayacağı açık bir sorudur.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "her şey tarih taşımaz" gibi bir cümleyle karşılaştığında, çoğu zaman cümlenin doğru ya da yanlış olduğunu, cümlenin kendisine bakarak söylemeye çalışır. Ama cümle, "her şey" sözcüğünün neyi kapsadığını söylemez. Konuşan, tanıklar üzerine konuşuyorsa cümle doğrudur; müstensihin bütün el yazmaları üzerine konuşuyorsa yanlıştır; dünyadaki bütün nesneler üzerine konuşuyorsa, bir saatin kadranı ya da bir mezar taşı tarih taşıdığı için, yine yanlıştır.

Yüklemler mantığı, bu belirsizliği gidermek için, her cümleyi bir evrene göre değerlendirir. Evren, niceleyicilerin üzerinden dolaştığı nesneler kümesidir. "Her x için" ifadesi, "evrendeki her x için" diye, "en az bir x için" ifadesi de "evrende en az bir x için" diye okunur. Evren, cümlenin kendisinde yazılı değildir; cümlenin değerlendirildiği modelin bir bileşenidir.

Evren kavramı, De Morgan'ın söylem evrenine dayanır, ama ondan bir noktada ayrılır. De Morgan'ın söylem evreni, bir konuşmanın bağlamından gelen ve çoğu zaman açıkça söylenmeyen bir alandı. Bir modelin evreni ise açıkça belirlenmiş bir kümedir: hangi nesnelerin evrende bulunduğu, model kurulurken tek tek ya da bir kuralla yazılır. Bu açıklık, bir cümlenin bir modelde doğru olup olmadığını kesin olarak denetlemeyi mümkün kılar.

Görüşler ve pozisyonlar

Evrenin nasıl seçileceği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, mutlak evren görüşüdür. Buna göre mantığın niceleyicileri her zaman gerçekten her şey üzerinden dolaşır. "Her x için" ifadesi, bir bağlamdan ya da bir modelden bağımsız olarak, var olan her şeyi kapsar. Evreni daraltmak gerekiyorsa, bu, yüklemlerle yapılır: "her tanık" ifadesi, "her şey için, o şey bir tanıksa" diye yazılır.

İkinci görüş, göreli evren görüşüdür. Buna göre her cümle, bir modele göre değerlendirilir ve her modelin kendi evreni vardır. Evren, konuşmanın amacına göre seçilir: tanıklar üzerine konuşurken evren tanıklardır, el yazmaları üzerine konuşurken el yazmalarıdır. Bir cümlenin geçerli olması, onun bütün evrenlerde doğru olmasıdır.

Üçüncü görüş, özgür evren görüşüdür. Buna göre mantığın kuralları, evrenin hangi nesneleri içerdiği ve hatta boş olup olmadığı hakkında hiçbir varsayımda bulunmamalıdır. Adlar, evrende bulunmayan nesneleri gösterebilir ya da hiçbir şey göstermeyebilir; evren boş olabilir. Mantığın kuralları, bu olasılıklara göre yeniden yazılmalıdır.

Bu ders ikinci görüşü temel alır. Birinci görüş, yüklemlerle kısıtlamanın her zaman mümkün olduğunu doğru görür, ama "her şey" sözcüğünün gerçekten her şeyi kapsadığı bir evrenin nasıl kurulacağı sorusunu, Cartwright'ın gösterdiği gibi, çözmez. Üçüncü görüş, adların ve evrenlerin boş olabileceği gündelik durumları doğru görür ve kendi başına ciddi bir mantık kurar, ama bu ders, Quine'ın gözlemine dayanarak, standart mantığın boş olmayan evren varsayımını bir kolaylık olarak korur ve boş evreni ayrı bir sınama olarak ele alır.

Argümanın yapısı

Bir niceleyicili cümleyi değerlendirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, cümlenin hangi evren üzerine konuştuğunu belirlemektir. Değerlendiren, "her", "bazı", "hiçbir" ve "her şey" gibi sözcüklerin hangi nesneler üzerinden dolaştığını, metnin bağlamından çıkarıp açıkça yazar.

İkinci adım, evreni daraltmak ile yüklemle kısıtlamak arasında seçim yapmaktır. Değerlendiren, metnin birden fazla türden nesne hakkında konuşup konuşmadığına bakar. Konuşuyorsa, bütün türleri içeren geniş bir evren seçer ve her niceleyiciyi bir yüklemle kısıtlar; tek bir türden söz ediyorsa, evreni o türe daraltabilir.

Üçüncü adım, evrenin boş olup olamayacağını sormaktır. Değerlendiren, seçtiği evrenin, konuşmanın gerçek bağlamında hiç üye içermeyebileceği bir durum olup olmadığını düşünür. Böyle bir durum varsa, cümlenin boş evrende nasıl değerlendirileceğini ayrıca not eder.

Dördüncü adım, cümlenin doğruluğunu bu evrende denetlemektir. Değerlendiren, evrensel bir cümle için evrendeki her nesneye, varoluşsal bir cümle için en az bir nesneye bakar ve cümlenin doğru olup olmadığını belirler.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Evreni ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir niceleyicili cümle, ancak niceleyicilerinin üzerinden dolaştığı bir evrene göre doğru ya da yanlıştır ve evren, cümlenin kendisinde değil, cümlenin değerlendirildiği modelde yazılıdır. Aynı cümlenin farklı evrenlerde farklı doğruluk değerleri alması, doğruluğun keyfi olduğunu değil, bir cümlenin neyin hakkında konuştuğunun onun anlamının parçası olduğunu gösterir; geçerlilik ise bütün evrenlere göre tanımlandığı için hiçbir evren seçimine bağlı değildir. Standart mantık evreni boş olmayan bir küme olarak seçer; bu seçim, Quine'ın gösterdiği gibi, boş evren ayrı bir sınamayla ele alınabildiği için büyük bir bedel taşımaz, ama gündelik akıl yürütmede evrenin boş olup olmadığının ayrıca yazılmasını gerektirir. Özgür mantık, bu varsayımı mantığın içinden çıkarır. Evreni bir küme olarak seçmek, sınırlı evrenler üzerine konuşan akıl yürütmeler için yeterlidir; mutlak genellik ise açık bir soru olarak kalır.

Açık kalan sorular

Quine, boş evrenin ayrı ve basit bir sınamayla ele alınabileceğini gösterdi. Ama bir mantığın bir durumu "ayrıca ele almak" üzere dışarıda bırakması, o mantığın eksik olduğunu mu, yoksa yalnızca kolaylık için bir sadeleştirme yaptığını mı gösterir? Mantığın kapsamı, onun kurallarının en kolay yazıldığı durumlarla mı sınırlanmalıdır?

Lambert, adların bir nesneyi göstermesi varsayımının mantığın değil dünyanın bir özelliği olduğunu savundu. Ama her mantık, bir şeyin nasıl olduğuna dair en az bir varsayımda bulunur: örneğin bir önermenin ya doğru ya yanlış olduğu varsayımı. Hangi varsayımların mantığa, hangilerinin dünyaya ait olduğu nasıl belirlenir?

Cartwright, gerçekten her şey hakkında konuşan cümlelerin bir küme evreniyle yorumlanamayacağını savundu. Lina'nın her şeyi, bu cümlelerin her küme evreninde doğru olduğunu gösterdi. Bir cümlenin her küme evreninde doğru olması, onun gerçekten her şey hakkında doğru olduğunu bilmek için yeter mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir niceleyicili cümle, ancak niceleyicilerinin üzerinden dolaştığı bir evrene göre doğru ya da yanlıştır; evren, cümlenin kendisinde değil, cümlenin değerlendirildiği modelde yazılıdır ve aynı cümle farklı evrenlerde farklı doğruluk değerleri alabilir.

Quine'ın makalesi boş evrenin ayrı ve basit bir sınamayla ele alınabildiğini, Lambert'in özgür mantığı adların ve evrenlerin boş olabildiği bir mantığın kurulabileceğini, Cartwright'ın makalesi ise evreni bir küme olarak seçmenin gerçekten her şey hakkında konuşmayı güçleştirdiğini gösterdi.

Bir niceleyicili cümle dört adımla değerlendirilir: cümlenin evrenini belirlemek, evreni daraltmak ile yüklemle kısıtlamak arasında seçim yapmak, evrenin boş olup olamayacağını sormak ve doğruluğu bu evrende denetlemek.

Boş evreni dışlamanın keyfi olduğu, evrene bağlı doğruluğun göreli olduğu ve küme evreninin her şeyi yakalayamadığı itirazları, boş evrenin ayrı bir sınamayla ele alınabildiğini, evrenin bir cümlenin anlamının parçası olduğunu ve gündelik akıl yürütmenin sınırlı evrenler üzerine konuştuğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir niceleyicili cümleyi değerlendirmek, önce "her şey" sözcüğünün neyi kapsadığını açıkça yazmak, evrenin boş olup olmadığını ayrıca söylemek ve ancak ondan sonra cümlenin doğru olup olmadığına karar vermektir.

Sonraki derse köprü

Kerem'in iki evreni, grubu bir sonraki soruya götürdü. Evren belirlendiğinde bile, "her x için, x tarih taşımaz" cümlesinin doğru olup olmadığını söylemek için, "tarih taşır" yükleminin evrendeki hangi nesnelere uyduğunu bilmek gerekiyordu. Birinci modelde bu yüklem hiçbir nesneye, ikinci modelde yalnızca müstensihin öteki el yazmasına uyuyordu; ama bunu söyleyen şey evren değil, evrenin üzerine kurulan başka bir şeydi.

Selin, adlar için de aynı sorunun çıktığını fark ediyor: "birinci tanık" adının evrendeki hangi nesneyi gösterdiği, evrenin kendisinde yazılı değildi. Aynı evrende, "birinci tanık" adı bir modelde müzedeki el yazmasını, başka bir modelde başka bir el yazmasını gösterebilirdi. Tolga, bir cümlenin bir modelde doğru olup olmadığını denetlemek için evrenin yanında, her adın hangi nesneyi, her yüklemin hangi nesneleri gösterdiğini söyleyen bir tabloya ihtiyaç olduğunu söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Yorum dersi, bir modelde her ada evrenden bir nesnenin, her tek yerli yükleme evrenin bir alt kümesinin ve her iki yerli yükleme sıralı nesne çiftlerinden bir kümenin nasıl atandığını ve aynı evren üzerinde farklı yorumların aynı cümleye nasıl farklı doğruluk değerleri verdiğini soruyor.