Özdeşlik kuralları

Açılış sahnesi

Defne, ilaç listelerini taradıktan sonra bulduğunu bir öncül olarak yazıyor: "X hastası, üçüncü yataktaki hastayla özdeştir." Önceki türetiminde, X hastası hakkında bir sonuca ulaşmıştı: X hastasının böbrek değerleri izlenmeliydi. Şimdi bu sonucu üçüncü yataktaki hastaya taşımak istiyor, çünkü nöbetçi hemşireye verilecek talimat bir takma ad değil, bir yatak numarası taşımalıydı. Sonuç herkese açık görünüyordu. Ama türetimin gerekçe sütununa hangi kuralı yazacağını bilmiyordu. Evrensel açma değildi, varoluşsal açma değildi, önerme mantığının hiçbir kuralı değildi.

Kerem, aynı türden bir güçlüğü raporda buluyor. Raporun bir öncülü "birinci tanığın müstensihi, ikinci tanığın müstensihiyle özdeştir" diyordu; ama bir başka bölüm, aynı bilgiyi ters sırayla kullanıyordu: "ikinci tanığın müstensihi, birinci tanığın müstensihiyle özdeştir." İki cümlenin aynı şeyi söylediğini herkes kabul ediyordu, ama birinden ötekine hangi kuralla geçildiği yazılmamıştı. Selin ise bir zincir kuruyor: raporda iki özdeşlik cümlesi daha vardı ve bunlar birleştirildiğinde, birinci tanığın müstensihi hakkında bir tarih bilgisi elde ediliyor gibiydi. Tolga, en tuhaf sonucu buluyor: özdeşliğin kurallarından biri, hiçbir öncül kullanmadan, bir şeyin var olduğunu kanıtlıyor gibiydi. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, her nesnenin kendisiyle özdeş olduğunu herhangi bir satırda yazmaya izin veren özdeşlik tanıtma kuralını, iki adın özdeşliğinden birini ötekinin yerine koymaya izin veren özdeşlik eleme kuralını ve bu kuralların simetri ile geçişliliği nasıl verdiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Özdeşlik dersi, özdeşliğin mantığın kendi yüklemi olarak yazıldığını ve iki kurala uyduğunu gösterdi: her nesne kendisiyle özdeştir; özdeş nesnelerden biri hakkında doğru olan, öteki hakkında da doğrudur. Aynı ders, ikinci kuralın geçirimsiz bağlamlarda işlemediğini de gösterdi. Evrensel ve varoluşsal açma ile genelleme dersleri, niceleyicilerin doğal çıkarım kurallarını verdi. Bu ders, özdeşliğin iki kuralını doğal çıkarımın iki kuralı olarak, bir tanıtma ve bir eleme kuralı olarak yazıyor ve simetri ile geçişliliğin ayrı kurallar olarak eklenmesine gerek olmadığını, bu iki kuraldan türetilebildiğini gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Alfred Tarski, ilk kez 1936'da Lehçe yayımlanan ve 1941'de İngilizceye çevrilen Mantığa ve Tümdengelimli Bilimlerin Yöntemine Giriş adlı ders kitabının özdeşlik kuramına ayrılan bölümünde, özdeşliğin öteki bütün yasalarını iki temel yasadan türetir. Ruth Barcan Marcus, 1947'de yayımlanan bir makalesinde, özdeşlik eleme kuralı kiplik bağlamlarına da uygulanırsa, her doğru özdeşliğin zorunlu olarak doğru olduğu sonucunun çıktığını gösterir. Peter Geach ise 1967'de yayımlanan Özdeşlik makalesinde, özdeşliğin her zaman bir türe göreli olduğunu ve bu yüzden eleme kuralının gündelik aynılık yargılarında sınırsız uygulanamayacağını savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: özdeşlik tanıtma kuralının hiçbir şey söylemeyen boş bir kural olduğu, özdeşliğin bir türe göreli olduğu için eleme kuralının çöktüğü ve eleme kuralının kiplik bağlamlarında kabul edilemez sonuçlar verdiği itirazları.

Sonda, özdeşlik kurallarıyla çalışmanın dört adımını göstereceğiz: taşınmak istenen cümleyi ve kullanılacak özdeşlik öncülünü belirlemek, özdeşliğin yönünü denetleyip gerekirse simetriyle çevirmek, eleme kuralını yalnızca saydam bir bağlama uygulamak ve zincirleme özdeşlikleri geçişlilikle birleştirmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: özdeşlik, doğal çıkarımda hangi kurallarla kullanılır ve bu kurallar özdeşliğin öteki özelliklerini nasıl verir?

Ölçülü iddiam şu: özdeşlik tanıtma kuralı, herhangi bir ad için "a, a ile özdeştir" cümlesini, hiçbir öncüle dayanmadan, türetimin herhangi bir satırına yazmaya izin verir; özdeşlik eleme kuralı, "a, b ile özdeştir" cümlesi ile a hakkında bir cümle elde edilmişse, o cümlede a'nın bir ya da daha fazla geçişinin yerine b konarak elde edilen cümleyi çıkarmaya izin verir; bu iki kural, özdeşliğin öteki özelliklerini ayrı kurallar olarak eklemeye gerek bırakmaz: simetri, "a, a ile özdeştir" cümlesindeki ilk a'nın yerine b konarak, geçişlilik ise "a, b ile özdeştir" cümlesindeki b'nin yerine c konarak türetilir; eleme kuralı, yalnızca cümlenin nesneler hakkında konuştuğu saydam bağlamlara uygulanır, çünkü geçirimsiz bağlamlarda doğruluğu korumaz; tanıtma kuralı ise boş bir kural değildir, çünkü türetimlerde bir araç olarak iş görür ve varoluşsal genellemeyle birleştiğinde, söylem evreninin en az bir nesne içerdiğini, yüklemler mantığının dile getirilmemiş bir varsayımını, görünür kılar.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir özdeşlik öncülüyle karşılaştığında, çoğu zaman onu bir sonuç kısayolu gibi kullanır: iki adın aynı nesneyi gösterdiğini bildiği için, bir ad hakkında bildiği her şeyi öteki adla yazar ve bunu bir kurala dayandırmaz. Bu hamle, çoğu durumda doğru sonuç verir, ama iki yerde yanılır. Birincisi, özdeşliğin yönünü karıştırdığında: elinde "a, b ile özdeştir" varken, b hakkındaki bir cümleyi a'ya taşımak için hangi adımı atacağını bilmez. İkincisi, bağlamı gözden kaçırdığında: bir kişinin bir adı bildiği bir cümlede, adı özdeş bir adla değiştirir ve kişiye bilmediği bir şeyi bildirir.

Doğal çıkarım, özdeşliği iki kuralla kullanır. Özdeşlik tanıtma kuralı, her ad için "a, a ile özdeştir" cümlesini koşulsuz verir; bu cümle, hiçbir öncüle dayanmaz ve hiçbir varsayım gerektirmez. Özdeşlik eleme kuralı ise iki satıra dayanır: "a, b ile özdeştir" diyen bir satır ve a hakkında bir şey söyleyen bir satır. Bu iki satırdan, ikinci satırda a'nın bir ya da daha fazla geçişinin yerine b konarak elde edilen cümle çıkar.

Eleme kuralı, özdeşlik öncülünü tek yönde kullanır: "a, b ile özdeştir" öncülüyle a'nın yerine b konur, b'nin yerine a değil. Bu tek yönlülük bir kısıt gibi görünür, ama kuralın gücünü azaltmaz; çünkü tanıtma ve eleme birlikte, özdeşliğin öteki yönünü, simetriyi, türetmeye yeter.

Görüşler ve pozisyonlar

Özdeşlik eleme kuralının hangi bağlamlara uygulanabileceği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, sınırsız yerine koyma görüşüdür. Buna göre, Leibniz'in tanımında olduğu gibi, özdeş iki ad her bağlamda birbirinin yerine konabilir. Eleme kuralı hiçbir sınır tanımaz; bir cümlenin doğruluğu, adın yerine özdeş bir ad konduğunda değişiyorsa, iki ad gerçekte özdeş değildir.

İkinci görüş, saydam bağlam görüşüdür. Buna göre eleme kuralı, cümlenin bir nesne hakkında konuştuğu saydam bağlamlarda sınırsız işler; bilgi, inanç, kiplik ve adlandırma gibi geçirimsiz bağlamlarda ise uygulanmaz. Bu sınır, kuralın bir zayıflığı değil, o bağlamların nesneler hakkında olmamasının bir sonucudur.

Üçüncü görüş, göreli özdeşlik görüşüdür. Buna göre özdeşlik, her zaman bir türe göreli bir ilişkidir: iki şey aynı el yazması olup aynı metin olmayabilir, ya da aynı metin olup aynı el yazması olmayabilir. "a, b ile aynıdır" cümlesi, bir tür belirtilmedikçe eksiktir ve eleme kuralı, ancak o türe ait yüklemler için geçerlidir.

Bu ders ikinci görüşü temel alır. Birinci görüş, eleme kuralının saydam bağlamlardaki gücünü doğru görür, ama Barış'ın imza sahibinde görüldüğü türden durumları açıklayamaz: davacı ile imza sahibinin özdeş olduğu kesin olduğu hâlde, tanığın birini bilip ötekini bilmemesi mümkündür. Üçüncü görüş, gündelik "aynı" yargılarının çoğunun bir türe bağlı olduğunu doğru görür, ama bu yargıların çoğu, özdeşlik değil, paylaşılan bir yüklem ya da bir denklik ilişkisi olarak yazılabilir.

Argümanın yapısı

Özdeşlik kurallarıyla çalışmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, taşınmak istenen cümleyi ve kullanılacak özdeşlik öncülünü belirlemektir. Kanıtı yapan, hangi ad hakkındaki hangi cümleyi hangi başka ada taşımak istediğini ve bu taşımayı hangi özdeşlik satırının haklı kılacağını yazar.

İkinci adım, özdeşliğin yönünü denetleyip gerekirse simetriyle çevirmektir. Eleme kuralı, "a, b ile özdeştir" satırıyla a'nın yerine b koyar. Taşınmak istenen cümle b hakkındaysa ve a'ya taşınmak isteniyorsa, kanıtı yapan önce, Kerem'in türetimindeki gibi, tanıtma ve elemeyle "b, a ile özdeştir" satırını elde eder.

Üçüncü adım, eleme kuralını yalnızca saydam bir bağlama uygulamaktır. Kanıtı yapan, adın geçtiği cümlenin nesnenin kendisi hakkında mı, yoksa onun nasıl bilindiği, adlandırıldığı ya da zorunlu olarak nasıl olduğu hakkında mı konuştuğunu sorar. Bağlam geçirimsizse, eleme uygulanmaz.

Dördüncü adım, zincirleme özdeşlikleri geçişlilikle birleştirmektir. Kanıtı yapan, "a, b ile özdeştir" ve "b, c ile özdeştir" satırlarına sahipse, ikinci satırı birincisine eleme kuralıyla uygular: birinci satırdaki b'nin yerine c koyar ve "a, c ile özdeştir" satırını elde eder.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Özdeşlik kurallarını ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Özdeşlik tanıtma, her ad için "a, a ile özdeştir" cümlesini koşulsuz verir; özdeşlik eleme, "a, b ile özdeştir" satırıyla a hakkında bir cümleden, a'nın bir ya da daha fazla geçişinin yerine b konarak elde edilen cümleyi çıkarır. Bu iki kural, Tarski'nin gösterdiği gibi, özdeşliğin simetrisini ve geçişliliğini türetmeye yeter; simetri, tanıtmanın verdiği cümleye eleme uygulanarak, geçişlilik, iki özdeşlik satırından birinin ötekine uygulanmasıyla elde edilir. Eleme, yalnızca saydam bağlamlarda doğruluğu korur; bilgi ve kiplik bağlamlarına uygulanması, Barcan Marcus'un türetiminde görüldüğü gibi, güçlü ve tartışmalı sonuçlar verir. Gündelik "aynı" yargılarının göreli görünmesi, çoğu zaman özdeşliğin değil, bir denklik ilişkisinin kullanıldığını gösterir. Tanıtma kuralı boş değildir: türetimlerde bir araçtır ve söylem evreninin boş olmadığı varsayımını görünür kılar.

Açık kalan sorular

Tarski, özdeşliğin bütün yasalarını iki temel yasadan türetti. Ama hangi yasaların temel, hangilerinin türetilmiş sayılacağı bir seçimdir: simetri ve geçişlilik temel alınıp başka bir yasa onlardan türetilebilir mi? Bir kuramın temel yasalarını seçmek, o kuramın doğruluğunu mu yoksa yalnızca sunuluşunu mu etkiler?

Barcan Marcus'un türetimi, eleme kuralı kiplik bağlamlarına uygulanırsa her doğru özdeşliğin zorunlu olduğunu verdi. Bir el yazısı karşılaştırmasıyla keşfedilen bir özdeşlik, zorunlu olarak doğru olabilir mi? Bir şeyin sonradan keşfedilmesi, onun başka türlü olabileceğini mi gösterir, yoksa yalnızca bizim onu başka türlü sanabileceğimizi mi?

Geach, özdeşliğin her zaman bir türe göreli olduğunu savundu. Bu ders, göreli aynılık yargılarının denklik ilişkileriyle yazılabileceğini savundu. Ama "aynı insan" yargısı, zaman içinde değişen bir kişi için bir denklik ilişkisi mi, yoksa gerçek bir özdeşlik midir? Kişisel özdeşlik, mantığın özdeşlik kurallarına uyar mı?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Özdeşlik tanıtma, her ad için "a, a ile özdeştir" cümlesini koşulsuz verir; özdeşlik eleme, "a, b ile özdeştir" satırıyla a hakkındaki bir cümlede a'nın bir ya da daha fazla geçişinin yerine b koyar ve yalnızca saydam bağlamlarda doğruluğu korur.

Tarski'nin ders kitabı özdeşliğin simetrisinin ve geçişliliğinin iki temel yasadan türetildiğini, Barcan Marcus'un makalesi elemenin kiplik bağlamlarına uygulanmasının özdeşliğin zorunluluğunu verdiğini, Geach'in makalesi ise gündelik aynılık yargılarının bir türe bağlı olduğunu gösterdi.

Özdeşlik kurallarıyla dört adımla çalışılır: taşınacak cümleyi ve özdeşlik öncülünü belirlemek, özdeşliğin yönünü denetleyip gerekirse simetriyle çevirmek, elemeyi yalnızca saydam bağlamlara uygulamak ve zincirleme özdeşlikleri geçişlilikle birleştirmek.

Tanıtma kuralının boş olduğu, özdeşlik göreli olduğu için elemenin çöktüğü ve elemenin kiplik bağlamlarında kabul edilemez sonuç verdiği itirazları, tanıtmanın bir bilgi değil bir araç olduğunu, göreli aynılık yargılarının denklik ilişkileriyle yazılabildiğini ve kiplik bağlamlarının saydamlığının bu dersin değil kiplik mantığının sorusu olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir özdeşlik öncülünü kullanmak, onun yönünü bilmek, taşıdığı cümlenin nesneden mi adından mı söz ettiğini sormak ve gündelik "aynı" sözcüğünün gerçekten özdeşlik bildirip bildirmediğini denetlemektir.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın şaşırtıcı teoremi, grubu doğal çıkarımdan modellere götürdü. Kurallar, hiçbir öncül kullanmadan, en az bir şeyin var olduğunu kanıtlıyordu. Selin, bu sonucun, kuralların baştan bir şey varsaydığını gösterdiğini söylüyor: bir türetimde kullanılan her adın bir nesneyi gösterdiği, dolayısıyla adların üzerinde konuştuğu nesnelerin toplamının boş olmadığı varsayımını.

Kerem, bu nesnelerin toplamının her türetimde aynı olup olmadığını soruyor. Raporun cümleleri, bazen yalnızca el yazmaları, bazen müstensihler ve el yazmaları birlikte, bazen de bütün kişiler ve nesneler üzerine konuşuyordu. "Her şey tarih taşımaz" cümlesi, el yazmaları üzerine konuşulduğunda yanlış, yalnızca tanıklar üzerine konuşulduğunda doğruydu. Defne, bir niceleyicinin neyin üzerinden dolaştığını bilmeden bir cümlenin doğru olup olmadığının söylenemeyeceğini ekliyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Evren dersi, bir niceleyicili cümlenin doğruluğunun hangi nesneler topluluğuna göre değerlendirildiğini, bu topluluğun neden boş olmayan bir küme olarak seçildiğini ve evrenin seçimi değiştiğinde aynı cümlenin doğruluk değerinin nasıl değişebildiğini soruyor.