Varoluşsal açma/genelleme

Açılış sahnesi

Kerem, raporun el yazısı karşılaştırması bölümünden bir öncül yazıyor: "Bazı tanıklar müstensihin elinden çıkmıştır." Altına ikinci bir öncül ekliyor: "Müstensihin elinden çıkan her şey atölyede yazılmıştır." Grup, "bazı tanıklar atölyede yazılmıştır" sonucunun çıktığından emindi. Kerem, evrensel açmaya benzer bir hamleyle başlıyor: birinci öncülden, "birinci tanık müstensihin elinden çıkmıştır" cümlesini yazıyor. Tolga hemen itiraz ediyor: öncül, hangi tanığın müstensihin elinden çıktığını söylemiyordu. Belki birinci tanık değil, ikincisiydi. Kerem, öncülün vermediği bir bilgiyi, bir tanığın adını, türetime kendisi eklemişti.

Selin, ters yönün kolay olduğunu fark ediyor: birinci tanığın tarih taşımadığı biliniyorsa, "en az bir tanık tarih taşımaz" sonucu hiçbir kuşku bırakmadan çıkıyordu. Barış ise hukuktan bildiği bir alışkanlığı hatırlatıyor: bir suçun faili bilinmediğinde, soruşturma dosyasında faile bir takma ad verilir ve dosya o adla yürür; ama bu ad, hiçbir bilinen kişinin adı olarak kullanılmaz. Defne, bir hastanın ilaç etkileşimi yaşadığı bilinip hangi hasta olduğu bilinmediğinde de benzer bir şey yaptıklarını söylüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, belirli bir nesne hakkındaki bir cümleden "en az bir x için" ile başlayan bir sonuç çıkaran varoluşsal genelleme kuralını, "en az bir x için" ile başlayan bir öncülü yeni bir adla kullanmaya izin veren varoluşsal açma kuralını ve bu yeni adın neden kanıtın hiçbir yerinde daha önce geçmemesi gerektiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Evrensel açma ve genelleme dersi, evrensel niceleyici için bir eleme ve bir tanıtma kuralı verdi ve tanıtma kuralının keyfilik koşuluna bağlı olduğunu gösterdi: genellenen ad, kanıtın dayandığı hiçbir öncülde ve hiçbir açık varsayımda geçmemeliydi. Önerme mantığının alt ispat dersi ise, bir ayrılmayı kullanmak için her seçeneği ayrı bir alt ispatta varsayıp aynı sonuca ulaşmayı gösterdi. Bu ders, varoluşsal niceleyici için iki kural veriyor ve ikinci kuralın, varoluşsal açmanın, neden bir alt ispat biçiminde ve evrensel genellemeden de sıkı bir koşulla kurulduğunu inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Aristoteles, Birinci Analitikler'in birinci kitabının ikinci ve altıncı bölümlerinde, bazı kıyasların geçerliliğini, bir sınıfın belirli bir parçasını "ortaya koyarak" ve ona bir ad vererek gösterir; bu yönteme ortaya koyma denir. David Hilbert ile Paul Bernays, 1939'da yayımlanan Matematiğin Temelleri'nin ikinci cildinde, varoluşsal bir cümlenin iddia ettiği nesneyi doğrudan adlandıran bir terim, seçim terimi, kullanan bir sistemi ayrıntılı biçimde geliştirir. Arend Heyting ise 1956'da yayımladığı Sezgicilik adlı kitabında, bir şeyin var olduğunu kanıtlamanın, o şeyi göstermek ve onun istenen özelliği taşıdığını kanıtlamak olduğunu savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: yeni adın gerçek bir nesneyi göstermeyen bir kurmaca olduğu, bir şeyin var olduğunu onu göstermeden kanıtlamanın bir kanıt sayılamayacağı ve yeni ad koşulunun gündelik akıl yürütme için fazla sıkı olduğu itirazları.

Sonda, varoluşsal niceleyiciyle çalışmanın dört adımını göstereceğiz: bir sonuca varoluşsal genellemeyle ulaşmak için bir örnek bulmak, varoluşsal bir öncülü kullanmak için yeni bir ad seçip bir alt ispat açmak, alt ispatın sonucunun yeni adı içermediğini denetlemek ve alt ispatı kapatıp sonucu ana türetime taşımak.

Merkez soru

Sorumuz şu: belirli bir nesne hakkındaki bir cümleden varoluşsal bir sonuç nasıl çıkarılır ve varoluşsal bir öncül, hangi nesne hakkında olduğu bilinmeden, bir kanıtta nasıl kullanılır?

Ölçülü iddiam şu: varoluşsal genelleme kuralı, belirli bir ad hakkında doğru olan bir cümleden, o adın bir ya da daha fazla geçtiği yere bir değişken konarak ve başına "en az bir x için" eklenerek elde edilen cümleyi çıkarmaya izin verir ve hiçbir koşula bağlı değildir, çünkü belirli bir şey hakkında doğru olan, en az bir şey hakkında doğrudur; varoluşsal açma kuralı ise "en az bir x için, x hakkında şu doğrudur" biçimindeki bir öncülü, o x'e yeni bir ad verip bir alt ispatta onun hakkında bu cümleyi varsayarak kullanmaya izin verir; bu yeni ad, kanıtın hiçbir öncülünde, hiçbir açık varsayımında ve ulaşılmak istenen sonuçta geçmemelidir, çünkü öncül yalnızca bir şeyin var olduğunu söyler, o şeyin hangisi olduğunu söylemez ve yeni adı zaten bilinen bir nesnenin adıyla karıştırmak, öncülün vermediği bir bilgiyi eklemektir; alt ispatın sonucu yeni adı içermiyorsa, bu sonuç, adın gösterdiği nesne hangisi olursa olsun doğrudur ve ana türetime taşınabilir; varoluşsal açma, bu yüzden, evrensel açmanın değil, alt ispatlı ayrılma elemenin niceleyicili karşılığıdır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci varoluşsal bir öncülle karşılaştığında, çoğu zaman onu evrensel bir öncül gibi açar: "bazı tanıklar müstensihin elinden çıkmıştır" öncülünden, akla gelen ilk tanığın adını koyarak, "birinci tanık müstensihin elinden çıkmıştır" sonucunu çıkarır. Bu hamle, evrensel açmada güvenlidir, çünkü her şey hakkında doğru olan her tek şey hakkında da doğrudur. Varoluşsal öncülde güvenli değildir, çünkü bir şey hakkında doğru olan, her tek şey hakkında doğru değildir; hatta, hangi tek şey hakkında doğru olduğu bilinmiyor olabilir.

Ters yön ise kolaydır. "Birinci tanık tarih taşımaz" cümlesi doğruysa, "en az bir x için, x tarih taşımaz" cümlesi de doğrudur. Bu, varoluşsal genellemedir ve bir koşula bağlı değildir. Varoluşsal genelleme, evrensel genellemenin tersine, genellenen adın her geçtiği yere değişken koymayı da gerektirmez: "müstensih, müstensihin tarihli öteki el yazmasını düzeltmiştir" cümlesinden, adın yalnızca bir geçişi değiştirilerek, "en az bir x için, x, müstensihin tarihli öteki el yazmasını düzeltmiştir" cümlesi çıkar.

Varoluşsal bir öncülü kullanmanın güvenli yolu, ayrılma elemeye benzer. Bir ayrılmayı kullanmak için, her seçeneği ayrı ayrı varsayar ve her birinden aynı sonuca ulaşırız. Varoluşsal bir öncül, bir bakıma, söylem evrenindeki her nesne için bir seçeneği olan, çok uzun bir ayrılmadır: ya birinci nesne istenen özelliği taşır, ya ikincisi, ya üçüncüsü. Her nesne için ayrı bir alt ispat yazmak olanaksızdır; bunun yerine, hiçbir nesneye özgü bilgi kullanmayan tek bir alt ispat yazılır ve bu alt ispat, yeni bir adla, seçeneklerin herhangi biri için yürütülür.

Görüşler ve pozisyonlar

Varoluşsal bir öncülün bir kanıtta nasıl kullanılacağı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, seçim terimi görüşüdür. Buna göre varoluşsal bir öncül, iddia ettiği nesneyi doğrudan adlandıran bir terim sağlar: "en az bir tanık müstensihin elinden çıkmıştır" öncülü, "müstensihin elinden çıkmış bir tanık" diye okunan bir terim verir ve kanıt bu terimle yürütülür. Terim, belirli bir nesneyi gösterir, ama hangisini gösterdiği bilinmeyebilir.

İkinci görüş, kurucu görüştür. Buna göre bir şeyin var olduğunu iddia etmek, o şeyi gösterebilmeyi gerektirir. Varoluşsal bir önerme, ancak onu doğru kılan nesne gösterilip bu nesnenin istenen özelliği taşıdığı kanıtlanmışsa kanıtlanmıştır. Varoluşsal bir öncülü kullanmak da, bu gösterilmiş nesneyle çalışmaktır.

Üçüncü görüş, geçici ad görüşüdür. Buna göre varoluşsal bir öncül, hiçbir terim sağlamaz; yalnızca, bir alt ispatta yeni bir ad seçip o ad hakkında öncülün söylediğini varsaymaya izin verir. Yeni ad, alt ispatın dışında hiçbir şeyi göstermez; alt ispatın sonucu, adı içermediği ölçüde, ana türetime taşınabilir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, doğru biçimde kurulduğunda tutarlı bir sistem verir, ama gündelik akıl yürütmede, varoluşsal bir öncülün iddia ettiği nesneye kalıcı bir ad vermek, o adın başka bir adla karıştırılması tehlikesini büyütür. İkinci görüş, varoluş iddialarının ciddiyetini doğru görür ve kendi başına önemli bir mantık anlayışı kurar, ama varoluşsal bir öncülün, onu doğru kılan nesne bilinmeden de kullanılabildiği gündelik ve bilimsel durumları dışarıda bırakır. Üçüncü görüş, öncülün söylediğinden fazlasını eklemeden onu kullanmanın yolunu gösterir.

Argümanın yapısı

Varoluşsal niceleyiciyle çalışmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, bir sonuca varoluşsal genellemeyle ulaşmak için bir örnek bulmaktır. Kanıtı yapan, "en az bir x için" ile başlayan bir sonuç istiyorsa, bu sonucu doğru kılacak belirli bir ad hakkında bir cümle kanıtlamaya çalışır. Böyle bir cümle bulunduğunda, varoluşsal genelleme sonucu verir.

İkinci adım, varoluşsal bir öncülü kullanmak için yeni bir ad seçip bir alt ispat açmaktır. Kanıtı yapan, öncüllerde, açık varsayımlarda, ulaşmak istediği sonuçta ve kanıtın o noktaya kadarki hiçbir satırında geçmeyen bir ad seçer. Bir alt ispat açar ve bu ad hakkında, varoluşsal öncülün söylediğini varsayar.

Üçüncü adım, alt ispatın sonucunun yeni adı içermediğini denetlemektir. Kanıtı yapan, alt ispatın içinde istediği sonuca ulaştığında, sonucun yeni adı hiçbir yerde içermediğine bakar. İçeriyorsa, sonuç yalnızca bilinmeyen bir nesne hakkındadır ve ana türetime taşınamaz.

Dördüncü adım, alt ispatı kapatıp sonucu ana türetime taşımaktır. Sonuç yeni adı içermiyorsa, kanıtı yapan alt ispatı kapatır ve sonucu, varoluşsal öncüle ve alt ispata dayanarak, ana türetime yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Varoluşsal niceleyiciyi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Varoluşsal genelleme, belirli bir şey hakkında doğru olanın en az bir şey hakkında doğru olduğuna dayanır ve hiçbir koşula bağlı değildir; adın bir ya da daha fazla geçişini değiştirmeye izin verir ve her zaman bilgi yitirir. Varoluşsal açma ise varoluşsal bir öncülü, bir alt ispatta yeni bir ad hakkında öncülün söylediğini varsayarak kullanır; yeni ad, kanıtın hiçbir öncülünde, açık varsayımında, sonucunda ve önceki satırında geçmemelidir ve alt ispatın sonucu, bu adı içermediği ölçüde ana türetime taşınır. Bu koşul, öncülün var olduğunu söylediği nesnenin, zaten bilinen bir nesneyle kanıtsız özdeşleştirilmesini önler. Varoluşsal açma, evrensel açmanın değil, alt ispatlı ayrılma elemenin karşılığıdır: öncülü doğru kılan nesne hangisi olursa olsun yürütülebilen tek bir kanıttır.

Açık kalan sorular

Aristoteles'in ortaya koyma yöntemi, bir sınıfın belirli bir parçasına bir harf vererek ilerliyordu. Yorumcular, bu harfin tek bir nesneyi mi yoksa bir alt sınıfı mı gösterdiğini tartışır. Bu fark, yöntemin geçerliliğini etkiler mi? Aristoteles'in kıyas kuramı, tek tek nesneler hakkında konuşan bir mantık mı, yoksa yalnızca sınıflar hakkında konuşan bir mantık mıdır?

Hilbert ile Bernays'ın seçim terimi, her özellik için o özelliği taşıyan bir nesneyi gösteriyordu. Ama "müstensihin elinden çıkmış bir tanık" terimi hangi tanığı gösterir? Bir terimin bir nesneyi gösterdiğini, hangisini gösterdiği hiçbir yolla belirlenemeden söylemek anlamlı mıdır?

Heyting, bir nesnenin var olmadığını varsaymanın bir çelişkiye götürdüğünü göstermenin, o nesnenin var olduğunun kanıtı olmadığını savundu. Defne'nin bilinmeyen hastası, bir hastanın var olduğunun, hangi hasta olduğu bilinmeden, eczanenin uyarısıyla bilinebildiğini gösterdi. Bir varoluş bilgisi, nesnesi gösterilmeden, ne ölçüde bilgi sayılabilir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Varoluşsal genelleme, belirli bir ad hakkında doğru olan bir cümleden "en az bir x için" ile başlayan bir sonucu koşulsuz çıkarır; varoluşsal açma ise varoluşsal bir öncülü, bir alt ispatta yeni bir ad hakkında öncülün söylediğini varsayarak kullanır ve alt ispatın bu adı içermeyen sonucunu ana türetime taşır.

Aristoteles'in ortaya koyma yöntemi varoluşsal bir öncülü geçici bir adla kullanmanın mantığın en eski metinlerinde bulunduğunu, Hilbert ile Bernays'ın seçim terimi varoluşu bir terimle adlandırmanın tutarlı bir yol olduğunu, Heyting'in sezgiciliği ise varoluş kanıtı konusunda klasik mantıkla köklü bir ayrılık bulunduğunu gösterdi.

Varoluşsal niceleyiciyle dört adımla çalışılır: varoluşsal bir sonuç için bir örnek bulmak, varoluşsal bir öncül için yeni bir ad seçip bir alt ispat açmak, alt ispatın sonucunun yeni adı içermediğini denetlemek ve alt ispatı kapatıp sonucu taşımak.

Yeni adın bir kurmaca olduğu, göstermeden kanıtlamanın kanıt olmadığı ve yeni ad koşulunun fazla sıkı olduğu itirazları, yeni adın hangisi olduğu bilinmeyen gerçek bir nesneyi gösterdiğini, varoluşsal açmanın yeni bir varoluş iddiası üretmediğini ve koşulun iki adın birleştirilmesini değil kanıtsız birleştirilmesini yasakladığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden varoluşsal bir öncülü kullanmak, onun var olduğunu söylediği şeye yeni bir ad vermek, o ad hakkında öncülün söylediğinden fazlasını varsaymamak ve sonuçta o adı bırakmaktır.

Sonraki derse köprü

Defne'nin bilinmeyen hastası ve Kerem'in düzeltilmiş türetimi, grubu aynı yere götürdü: iki adın ne zaman birleştirilebileceği sorusuna. Defne, ilaç listelerini taradıktan sonra X hastasının üçüncü yataktaki hasta olduğunu bulmuştu ve bu bulguyu bir özdeşlik öncülü olarak yazmıştı. Şimdi X hastası hakkında kanıtladığı her şeyi, böbrek değerlerinin izlenmesi gerektiğini de, üçüncü yataktaki hastaya taşımak istiyordu; ama bu taşımayı hangi kuralın yaptığı henüz bir türetim satırı olarak yazılmamıştı.

Selin, özdeşliğin iki kurala uyduğunu hatırlatıyor: her nesne kendisiyle özdeştir, ve özdeş nesnelerden biri hakkında doğru olan öteki hakkında da doğrudur. Ama bu iki kuralın bir türetimde nasıl kullanılacağı, hangi satırlara dayanacağı ve geçirimsiz bağlamlarda nasıl sınırlanacağı açık değildi.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Özdeşlik kuralları dersi, her nesnenin kendisiyle özdeş olduğunu herhangi bir satırda yazmaya izin veren özdeşlik tanıtma kuralını, iki adın özdeşliğinden birini ötekinin yerine koymaya izin veren özdeşlik eleme kuralını ve bu kuralların simetri ile geçişliliği nasıl verdiğini soruyor.