Evrensel açma/genelleme

Açılış sahnesi

Kerem, raporun yöntem bölümünden bir öncülü tahtaya yazıyor: "Her tanık, bir kaynağın kopyasıdır." Altına ikinci bir cümle ekliyor: "Birinci tanık bir tanıktır." Sonuç, herkesin gözünde hazırdı: birinci tanık bir kaynağın kopyasıdır. Ama grup, bu sonucu yüklemler mantığında adım adım türetmeye çalıştığında, önerme mantığından bildikleri kuralların hiçbirinin yetmediğini fark ediyor. Koşulu kaldırma kuralı bir koşullu önerme istiyordu; öncül ise bir koşullu değil, bir evrensel önermeydi. Önce "her x için" ifadesinden kurtulup birinci tanık hakkında bir koşullu elde etmek gerekiyordu ve bunu yapan bir kural henüz yazılmamıştı.

Selin, ters yönde bir güçlük buluyor. Birinci tanığı inceleyip onun tarih taşımadığını göstermişlerdi; ikinci ve üçüncü tanık için de aynısını yapmışlardı. Ama "her tanık tarih taşımaz" cümlesini bir kanıtın sonucu olarak yazmaları için, bu üç incelemenin yetip yetmediğini bilmiyordu. Tolga ise başka türden bir kanıt öneriyor: hiçbir tanığa özgü bir bilgi kullanmadan, "herhangi bir tanık" üzerine yürütülen bir kanıt. Defne, hekimlikte tek bir hastadan bütün hastalar hakkında sonuç çıkarmanın en bilinen hatalardan biri olduğunu hatırlatıyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, "her x için" ile başlayan bir öncülden belirli bir nesne hakkında sonuç çıkaran evrensel açma kuralını, belirli bir nesne hakkındaki bir kanıttan evrensel bir sonuç çıkaran evrensel genelleme kuralını ve ikinci kuralın hangi koşullarda güvenli olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın önerme mantığı kursu, doğal çıkarım kurallarını, her bağlaç için bir tanıtma ve bir eleme kuralı olarak kurdu; geçici varsayım, koşullu ispat ve saçmaya indirgeme gibi yöntemleri gösterdi. Yüklemler mantığının çeviri modülü, gündelik cümlelerin niceleyicilerle nasıl yazıldığını gösterdi. Bu ders, iki çizgiyi birleştiriyor: evrensel niceleyici için bir eleme kuralı, evrensel açma, ve bir tanıtma kuralı, evrensel genelleme, veriyor ve ikinci kuralın bir koşula bağlı olmasının nedenini inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. George Berkeley, 1710'da yayımladığı İnsan Bilgisinin İlkeleri Üzerine Bir İnceleme'nin giriş bölümünde, geometricinin belirli bir üçgen üzerine yürüttüğü bir kanıtın neden bütün üçgenler için geçerli olduğunu sorar. Gerhard Gentzen, 1934 ile 1935 arasında yayımladığı Mantıksal Çıkarım Üzerine Araştırmalar'da, evrensel genelleme kuralını, genellenen değişkenin kanıtın dayandığı hiçbir varsayımda geçmemesi koşuluna bağlar. Kit Fine ise 1985'te yayımladığı Keyfi Nesnelerle Akıl Yürütme kitabında, "herhangi bir üçgen" ya da "keyfi bir sayı" gibi ifadelerin gerçek nesneler olarak ele alınıp alınamayacağını inceler.

Ardından üç itirazı tartacağız: evrensel genellemenin tek bir örnekten genelleme yapmak olduğu, keyfilik koşulunun mantığa dışarıdan eklenmiş bir kısıt olduğu ve keyfi nesne kavramının tutarsız olduğu itirazları.

Sonda, evrensel niceleyiciyle çalışmanın dört adımını göstereceğiz: evrensel bir öncülü istenen bir ada açmak, açılmış öncülü önerme mantığının kurallarıyla kullanmak, genellemek istenen adın keyfi olup olmadığını denetlemek ve ancak bu denetimden sonra genellemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: evrensel niceleyici içeren bir öncülden belirli bir nesne hakkında sonuç nasıl çıkarılır ve belirli bir nesne hakkındaki bir kanıttan evrensel bir sonuca hangi koşulda geçilebilir?

Ölçülü iddiam şu: evrensel açma kuralı, "her x için, x hakkında şu doğrudur" biçimindeki bir öncülden, x'in yerine herhangi bir ad konarak elde edilen cümleyi çıkarmaya izin verir ve hiçbir koşula bağlı değildir, çünkü her şey hakkında doğru olan, her tek şey hakkında da doğrudur; evrensel genelleme kuralı ise belirli bir ad hakkında kanıtlanmış bir cümleden, o adın yerine bir değişken konarak elde edilen evrensel cümleyi çıkarmaya izin verir, ama yalnızca o ad keyfiyse, yani kanıtın dayandığı hiçbir öncülde ve hiçbir boşaltılmamış geçici varsayımda geçmiyorsa; bu koşul, kanıtın o nesneye özgü hiçbir bilgiye dayanmadığını, dolayısıyla aynı kanıtın başka herhangi bir nesne için de aynen yürütülebileceğini güvence altına alır; evrensel genelleme, bu yüzden, tek bir örnekten tümevarımla genelleme yapmak değil, bir kanıt biçiminin her örnek için işlediğini göstermektir; "keyfi nesne" ifadesi, bir nesnenin adı olarak değil, bir kanıtın hiçbir özel bilgi kullanmadığının kısa bir anlatımı olarak okunduğunda güvenlidir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci evrensel bir öncülle karşılaştığında, çoğu zaman onu önerme mantığının kurallarıyla doğrudan kullanmaya çalışır. "Her tanık bir kaynağın kopyasıdır" ve "birinci tanık bir tanıktır" öncüllerini yan yana koyar ve koşulu kaldırma kuralını uygular. Ama bu kural, "p ise q" ve "p" biçiminde iki öncül ister; birinci öncül bu biçimde değildir. Birinci öncülün ana işleci bir koşul değil, bir evrensel niceleyicidir ve önerme mantığının hiçbir kuralı niceleyicinin içine giremez.

Evrensel açma, bu boşluğu kapatır. "Her x için, x bir tanıksa, x bir kaynağın kopyasıdır" öncülünden, x yerine "birinci tanık" konarak, "birinci tanık bir tanıksa, birinci tanık bir kaynağın kopyasıdır" koşulu çıkarılır. Bu koşul, önerme mantığının bir koşuludur ve koşulu kaldırma kuralıyla ikinci öncülle birleştirilebilir. Evrensel açma, bu yüzden, niceleyicili bir öncülü önerme mantığının kurallarının kullanabileceği bir biçime getirir.

Ters yön daha incedir. Belirli bir nesne hakkında bir şey kanıtlamak, çoğu zaman o nesneye özgü bilgilere dayanır: birinci tanığın tarih taşımadığını, birinci tanığa bakarak biliriz. Böyle bir kanıttan, her tanığın tarih taşımadığı sonucu çıkmaz. Ama bazı kanıtlar, belirli bir nesne hakkında yürütüldükleri hâlde, o nesneye özgü hiçbir bilgiye dayanmaz. Böyle bir kanıt, adı değiştirildiğinde başka herhangi bir nesne için de aynen yürütülebilir; ve bu, evrensel bir sonuca geçmeyi haklı kılar.

Görüşler ve pozisyonlar

Evrensel genellemenin neyi haklı kıldığı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, soyut nesne görüşüdür. Buna göre evrensel genelleme, bir kanıtın belirli bir nesne üzerinde değil, soyut ve genel bir nesne, örneğin hiçbir belirli özelliği olmayan "üçgen olarak üçgen" üzerinde yürütülmesiyle haklı kılınır. Bu nesne hakkında kanıtlanan, onun altına düşen her tek nesne hakkında da doğrudur.

İkinci görüş, kanıt biçimi görüşüdür. Buna göre evrensel genelleme, kanıtın belirli bir ad üzerinde yürütülmesine rağmen, o adın gösterdiği nesneye özgü hiçbir bilgiye dayanmamasıyla haklı kılınır. Kanıt, adı değiştirildiğinde başka herhangi bir nesne için aynen yürütülebilir; genelleme, bu tekrarlanabilirliğin kısa bir kaydıdır.

Üçüncü görüş, keyfi nesne görüşüdür. Buna göre "herhangi bir tanık" ya da "keyfi bir üçgen" ifadeleri, gerçekten bir tür nesneyi, keyfi nesneyi, gösterir. Keyfi bir tanık, bütün tanıkların ortak özelliklerini taşıyan ve başka hiçbir özellik taşımayan bir nesnedir; onun hakkında kanıtlanan, her tanık hakkında doğrudur.

Bu ders ikinci görüşü temel alır. Birinci görüş, Berkeley'in eleştirdiği biçimiyle, hiçbir belirli özelliği olmayan bir üçgenin nasıl bir üçgen olabileceğini açıklayamaz. Üçüncü görüş, bu güçlüğü daha dikkatli bir kuramla karşılamaya çalışır ve ilginç sonuçlar verir, ama doğal çıkarımın kuralları, keyfi nesneleri varsaymadan, yalnızca kanıtın yapısına bakan bir koşulla da doğru biçimde kurulabilir.

Argümanın yapısı

Evrensel niceleyiciyle çalışmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, evrensel bir öncülü istenen bir ada açmaktır. Kanıtı yapan, hangi nesne hakkında sonuç istediğine bakar ve evrensel öncülü o nesnenin adına açar. Açma, değişkenin her geçtiği yere aynı adı koyar; bir yerine konup ötekine konmaması bir hatadır.

İkinci adım, açılmış öncülü önerme mantığının kurallarıyla kullanmaktır. Açılmış öncül artık bir koşullu, bir ayrılma ya da bir birleşme olabilir ve önerme mantığının bütün kuralları ona uygulanabilir.

Üçüncü adım, genellemek istenen adın keyfi olup olmadığını denetlemektir. Kanıtı yapan, evrensel bir sonuca geçmeden önce, genellemek istediği adı, kanıtın dayandığı her öncülde ve o satırda hâlâ boşaltılmamış her geçici varsayımda arar. Ad bunlardan birinde geçiyorsa, keyfi değildir.

Dördüncü adım, ancak bu denetimden sonra genellemektir. Ad keyfiyse, kanıtı yapan, adın her geçtiği yere bir değişken koyar ve cümlenin başına "her x için" ifadesini ekler. Ad keyfi değilse, genelleme yapılmaz; kanıtı yapan, ya yeni bir kanıt yolu arar ya da sonucu belirli bir nesne hakkında bırakır.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Evrensel niceleyiciyi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Evrensel açma, her şey hakkında doğru olanın her tek şey hakkında da doğru olduğuna dayanır ve hiçbir koşula bağlı değildir; bir evrensel öncülü önerme mantığının kurallarının kullanabileceği bir biçime getirir. Evrensel genelleme ise belirli bir ad hakkında kanıtlanmış bir cümleden evrensel bir sonuca geçer ve yalnızca o ad keyfiyse, yani kanıtın dayandığı hiçbir öncülde ve hiçbir boşaltılmamış geçici varsayımda geçmiyorsa, güvenlidir. Bu koşul, kanıtın o nesneye özgü hiçbir bilgiye dayanmadığını ve aynı kanıtın her nesne için aynen yürütülebileceğini güvence altına alır. Evrensel genelleme, bu yüzden, tek bir örnekten tümevarımla genelleme değil, bir kanıt biçiminin genelliğinin kaydıdır; keyfi ad da tuhaf bir nesnenin adı değil, hakkında hiçbir özel bilgi kullanılmamış sıradan bir addır.

Açık kalan sorular

Berkeley, belirli bir üçgen üzerindeki bir kanıtın, üçgenin kullanılmayan özelliklerinden bağımsız olduğu için genel olduğunu savundu. Ama bir kanıtın bir özelliği "kullanıp kullanmadığı", bir çizimle yürütülen bir geometri kanıtında her zaman açık mıdır? Bir çizimin kendisi, kanıtı yapanın farkına varmadığı bir özelliği gizlice kullandırabilir mi?

Keyfilik koşulu, bir adın kanıtın dayandığı öncüllerde geçip geçmediğine bakar. Ama gündelik akıl yürütmede öncüller her zaman açıkça yazılmaz. Yazılmamış bir öncülde geçen bir ad, bir genellemenin haklı olup olmadığını nasıl etkiler? Gündelik akıl yürütmede keyfilik koşulu nasıl denetlenebilir?

Fine, keyfi nesnelerin sıradan nesnelerden farklı bir mantığa uyduğunu savundu. Matematikçilerin "keyfi bir sayı alalım" diye başlayan kanıtları, gerçekten keyfi nesneler hakkında mı konuşur, yoksa bu ifade yalnızca bir kanıt biçiminin kısaltması mıdır? Bu sorunun cevabı, matematiğin neyin bilgisi olduğu sorusunu etkiler mi?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Evrensel açma, "her x için" ile başlayan bir öncülden x'in yerine herhangi bir ad konarak elde edilen cümleyi koşulsuz çıkarır; evrensel genelleme ise belirli bir ad hakkında kanıtlanmış bir cümleden evrensel bir sonuca, yalnızca o ad keyfiyse, geçer.

Berkeley'in geometri kanıtı genelliğin kaynağının örnekte değil kanıtın o örneğin özel niteliklerini kullanmamasında olduğunu, Gentzen'in kuralları bu sezginin biçimsel bir değişken koşulu olarak yazılabildiğini, Fine'ın kitabı ise keyfi nesneleri nesne olarak okumanın sıradan mantıkla çatışan sonuçlar doğurduğunu gösterdi.

Evrensel niceleyiciyle dört adımla çalışılır: öncülü istenen bir ada açmak, açılmış öncülü önerme mantığının kurallarıyla kullanmak, genellenecek adın hiçbir öncülde ve hiçbir açık varsayımda geçmediğini denetlemek ve ancak ondan sonra genellemek.

Genellemenin tek örnekten genelleme olduğu, keyfilik koşulunun dışarıdan bir kısıt olduğu ve keyfi nesnenin tutarsız olduğu itirazları, genellemenin bir gözleme değil bir kanıt biçiminin tekrarlanabilirliğine dayandığını, koşulun kuralın kendi iddiasından geldiğini ve keyfi adın tuhaf bir nesnenin değil hakkında özel bilgi kullanılmamış sıradan bir nesnenin adı olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden evrensel bir sonuca geçmek, bir örneği ne kadar dikkatle incelediğimizi değil, kanıtımızın o örnek hakkında hiçbir özel bilgi kullanmadığını göstermeyi gerektirir.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın kanıtı, grubu varoluşsal öncüllere götürdü. Raporda "bazı tanıklar müstensihin elinden çıkmıştır" gibi cümleler de vardı ve grup, bu cümlelerle nasıl kanıt yürüteceğini bilmiyordu. Kerem, evrensel açmaya benzer bir şey deniyor: "bazı tanıklar müstensihin elinden çıkmıştır" öncülünden, "birinci tanık müstensihin elinden çıkmıştır" sonucunu çıkarmak. Ama öncül, hangi tanığın müstensihin elinden çıktığını söylemiyordu; birinci tanığı seçmek, öncülün vermediği bir bilgiyi eklemekti.

Selin ters yönün kolay olduğunu fark ediyor: birinci tanığın tarih taşımadığı biliniyorsa, bazı tanıkların tarih taşımadığı sonucu güvenle çıkıyordu. Ama varoluşsal bir öncülü kullanmak için, bir ad seçip o adla ilerlemek gerekiyor gibiydi ve o adın, keyfilik koşuluna benzer, belki daha da sıkı bir koşula uyması gerekiyordu.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Varoluşsal açma ve genelleme dersi, belirli bir nesne hakkındaki bir cümleden "en az bir x için" ile başlayan bir sonuç çıkaran varoluşsal genelleme kuralını, "en az bir x için" ile başlayan bir öncülü yeni bir adla kullanmaya izin veren varoluşsal açma kuralını ve bu yeni adın neden kanıtın hiçbir yerinde daha önce geçmemesi gerektiğini soruyor.