Özdeşlik

Açılış sahnesi

Kerem, raporun tarihlendirme bölümünün dayandığı bir cümleyi yazıyor: "Birinci tanığın müstensihi ile ikinci tanığın müstensihi aynı kişidir." Raporun yazarları bu cümleyi el yazısı karşılaştırmasından çıkarmıştı ve ondan bir sonuç daha çıkarıyorlardı: birinci tanığın müstensihi atölyede çalışmıştı; öyleyse ikinci tanığın müstensihi de atölyede çalışmıştı. Kerem, çıkarımı yüklemler mantığıyla kurmayı deniyor. "Aynı kişidir" ifadesine, öteki ilişkiler gibi bir harf veriyor ve iki yerli bir ilişki olarak yazıyor. Ama bu harf, yüklemler mantığına hiçbir şey söylemiyordu: iki kişinin bu ilişkide durması, birinin taşıdığı her özelliği ötekinin de taşıdığını gerektirmiyordu. Çıkarım, yazıldığı biçimiyle, geçersizdi.

Defne, nöbet notunun çevirisinde bıraktığı güçlüğü hatırlatıyor: "yalnızca üçüncü yataktaki hasta ateşli" cümlesinin olumsuz bileşeni, ateşli olan herkesin o hastayla aynı kişi olduğunu söylüyordu. Selin, "en az iki müstensih vardır" cümlesinin de aynı sözcüğe dayandığını ekliyor: iki müstensihin aynı kişi olmadığı söylenmedikçe, cümle yalnızca en az bir müstensih bulunduğunu söylüyordu. Lina ise "aynı" sözcüğünün Türkçede iki ayrı şey söyleyebildiğini fark ediyor: iki tanık "aynı metni" taşıyordu, ama aynı el yazması değildi. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, iki adın aynı nesneyi gösterdiğini söyleyen cümlelerin yüklemler mantığına nasıl yazılacağını, özdeşliğin neden sıradan bir iki yerli ilişki gibi değil mantığın kendi ilişkisi olarak ele alındığını ve "başka", "en az iki" ve "tam olarak bir" gibi ifadelerin özdeşlikle nasıl çevrileceğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. İlişkiler dersi, iki yerli ilişkilerin simetri, geçişlilik ve yansımalılık gibi özelliklerini inceledi ve bu özelliklerin ilişkinin anlamından geldiğini, bir akıl yürütme onlara dayanıyorsa ayrı öncüller olarak yazılması gerektiğini gösterdi. Yalnızca dersi, tek bir nesneyle kullanılan "yalnızca" cümlelerinin bir aynılık iddiası taşıdığını gösterdi ve bu iddiayı yazmayı açık bıraktı. Bu ders, bu aynılığı, özdeşliği, ele alıyor: onun neden öteki ilişkilerden farklı olduğunu, hangi kurallara uyduğunu ve hangi bağlamlarda bu kuralların işlemediğini inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Gottfried Wilhelm Leibniz, mantık üzerine notlarında, iki şeyin, biri ötekinin yerine her yerde doğruluğu bozmadan konabiliyorsa aynı olduğunu söyleyen bir tanım önerir. Ludwig Wittgenstein, 1921'de yayımladığı Mantıksal-Felsefi İnceleme'nin 5.53 ile 5.5303 arasındaki önermelerinde, özdeşlik işaretinin gereksiz olduğunu ve aynılığın göstergelerin aynılığıyla ifade edilmesi gerektiğini savunur. Willard Van Orman Quine ise 1953'te yayımladığı Gönderim ve Kiplik makalesinde, Leibniz'in yerine koyma ilkesinin çöktüğü görünen bağlamları inceler ve bu bağlamlara göndergesel olarak geçirimsiz bağlamlar adını verir.

Ardından üç itirazı tartacağız: özdeşliğin sıradan bir iki yerli ilişki olarak yazılabileceği, özdeşlik işaretinin Wittgenstein'ın savunduğu gibi gereksiz olduğu ve yerine koyma ilkesinin bazı bağlamlarda çöktüğü için bir mantık yasası olamayacağı itirazları.

Sonda, özdeşlik içeren bir cümleyi çevirmenin ve kullanmanın dört adımını göstereceğiz: "aynı" sözcüğünün sayısal mı nitel mi olduğunu belirlemek, özdeşliği mantığın kendi yüklemiyle yazmak, "başka", "en az" ve "tam olarak" gibi ifadeleri özdeşlik ve olumsuzluğuyla çevirmek ve yerine koymadan önce bağlamın geçirimsiz olup olmadığını sormak.

Merkez soru

Sorumuz şu: iki adın aynı nesneyi gösterdiğini söyleyen cümleler yüklemler mantığına nasıl yazılır ve özdeşlik neden mantığın kendi ilişkisi olarak ele alınır?

Ölçülü iddiam şu: özdeşlik, her nesnenin yalnızca kendisiyle durduğu iki yerli ilişkidir ve yüklemler mantığında, öteki ilişkilerden farklı olarak, sözlükte tanımlanan bir harfle değil, mantığın kendi yüklemiyle yazılır; bu yüklem iki kurala uyar: her nesne kendisiyle özdeştir, ve iki nesne özdeşse, biri hakkında doğru olan her şey öteki hakkında da doğrudur; ikinci kural, Leibniz'in yerine koyma ilkesinin bir biçimidir ve özdeşliği öteki denklik ilişkilerinden ayıran şey budur; özdeşlik, "başka", "en az iki", "en fazla bir" ve "tam olarak bir" gibi ifadeleri yazmayı mümkün kılar ve bu ifadeler, sayı sözcükleri kullanmadan, yalnızca niceleyiciler, özdeşlik ve olumsuzlamayla yazılabilir; gündelik dildeki "aynı" sözcüğü ise çoğu zaman özdeşliği değil, iki ayrı nesnenin bir özelliği paylaşmasını söyler ve çeviri bu iki kullanımı ayırmalıdır; yerine koyma ilkesi, bir cümlenin bir nesne hakkında değil, o nesnenin nasıl adlandırıldığı ya da bilindiği hakkında konuştuğu bağlamlarda işlemez ve bu, ilkenin yanlış olduğunu değil, o bağlamların nesneler hakkında olmadığını gösterir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "a ile b aynı kişidir" cümlesini çevirirken, çoğu zaman özdeşliği öteki ilişkiler gibi yazar: bir harf verir, sözlüğe "x, y ile aynı kişidir" yazar ve geçer. Bu yazım, cümlenin kendisini doğru kaydeder, ama cümleden çıkan sonuçları kaydetmez. "a ile b aynı kişidir" ve "a atölyede çalışmıştır" öncüllerinden "b atölyede çalışmıştır" sonucu, öteki ilişkiler için geçerli olmayan bir kurala, aynı nesne hakkında doğru olanın her adıyla doğru olacağı kuralına dayanır.

Bu kural, İlişkiler dersinin geçişlilik öncülüne benzemez. Geçişlilik, bir ilişkinin anlamından gelir ve ilişkiden ilişkiye değişir: "önce çalışmıştır" geçişlidir, "kardeşidir" değildir. Yerine koyma kuralı ise yüklemden yükleme değişmez: a ile b özdeşse, "atölyede çalışmıştır", "tarihli el yazması kopyalamıştır", "üçüncü el yazmasının müstensihidir" ve akla gelebilecek her yüklem, a için doğruysa b için de doğrudur. Bu kural, tek tek yüklemlerin değil, bütün yüklemlerin, dolayısıyla mantığın bir kuralıdır.

Bu yüzden yüklemler mantığı, özdeşliği sözlükte tanımlanan bir harf olarak değil, anlamı her yorumda sabit kalan kendi yüklemi olarak yazar. Bu yüklem, "x, y ile özdeştir" diye okunur ve iki kurala uyar: her x için, x x ile özdeştir; ve x y ile özdeşse, x hakkında doğru olan her şey y hakkında da doğrudur. Bu iki kural, özdeşliğin simetrik ve geçişli olduğunu da kendiliğinden verir.

Görüşler ve pozisyonlar

Özdeşliğin mantıktaki yeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, sıradan ilişki görüşüdür. Buna göre özdeşlik, öteki iki yerli ilişkiler gibi bir ilişkidir; yansımalı, simetrik ve geçişli olduğu için bir denklik ilişkisidir ve bu özellikler, gerektiğinde, ayrı öncüller olarak yazılabilir. Mantığın özdeşlik için ayrı bir yükleme ihtiyacı yoktur.

İkinci görüş, gereksizlik görüşüdür. Buna göre özdeşlik işareti, bir mantık dilinden çıkarılabilir. İki ad aynı nesneyi gösteriyorsa, bir tek ad kullanmak yeterlidir; iki farklı nesne söz konusuysa, iki farklı ad kullanmak yeterlidir. Aynılık ve farklılık, göstergelerin aynılığı ve farklılığıyla ifade edilir.

Üçüncü görüş, mantıksal sabit görüşüdür. Buna göre özdeşlik, anlamı her yorumda sabit kalan ve yerine koyma kuralına uyan bir mantıksal sabittir. Bu kural, tek tek yüklemlerin değil bütün yüklemlerin bir özelliği olduğu için mantığa aittir; özdeşlik işareti ise, iki adın aynı nesneyi gösterdiğinin sonradan öğrenildiği durumlarda, vazgeçilmezdir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, özdeşliğin bir denklik ilişkisi olduğunu doğru görür, ama Kerem'in iki müstensihinde görüldüğü gibi, her denklik ilişkisinin yerine koymaya izin vermediğini gözden kaçırır. İkinci görüş, bir mantık dilinin özdeşlik işareti olmadan da kurulabileceğini doğru görür, ama iki farklı adın aynı nesneyi gösterdiğini bir bilgi olarak bildiren cümleleri yazmayı olanaksız kılar.

Argümanın yapısı

Özdeşlik içeren bir cümleyi çevirmek ve kullanmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, "aynı" sözcüğünün sayısal mı nitel mi olduğunu belirlemektir. Çeviren, Lina'nın sınamasını uygular: "aynı" sözcüğünden sonra "ama iki ayrı" eklenebiliyorsa, sözcük nitel aynılık bildirir ve paylaşılan bir yüklemle yazılır; eklenemiyorsa, sayısal aynılık bildirir ve özdeşlik yüklemiyle yazılır.

İkinci adım, sayısal aynılığı mantığın özdeşlik yüklemiyle yazmaktır. Çeviren, özdeşliği sözlükte bir harfle tanımlamaz; mantığın kendi yüklemini kullanır ve bu yüklemin iki kuralını, yansımalılığı ve yerine koymayı, ayrı öncül olarak yazmaya gerek duymaz.

Üçüncü adım, "başka", "en az", "en fazla" ve "tam olarak" gibi ifadeleri özdeşlik ve olumsuzluğuyla çevirmektir. "a'dan başka" ifadesi, a ile özdeş olmayan anlamına gelir. "En az iki" ifadesi, iki niceleyici ve iki nesnenin özdeş olmadığını söyleyen bir koşulla yazılır. "En fazla bir" ifadesi, bu türden iki nesnenin özdeş olduğunu söyleyen bir koşulla yazılır. "Tam olarak bir" ifadesi, bu ikisinin birleşimidir.

Dördüncü adım, yerine koymadan önce bağlamın geçirimsiz olup olmadığını sormaktır. Çeviren, bir adı özdeş bir adla değiştirmeden önce, cümlenin nesnenin kendisi hakkında mı yoksa nesnenin nasıl adlandırıldığı, bilindiği ya da düşünüldüğü hakkında mı konuştuğuna bakar. İkinci türden bir bağlamda, yerine koyma güvenli değildir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Özdeşliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Özdeşlik, her nesneyi yalnızca kendisiyle ilişkilendiren iki yerli bir ilişkidir ve yüklemler mantığında, sözlükte tanımlanan bir harfle değil, mantığın kendi yüklemiyle yazılır. Bu yüklem, her nesnenin kendisiyle özdeş olduğu kuralına ve özdeşlerin ayırt edilemezliğini söyleyen yerine koyma kuralına uyar; öteki denklik ilişkilerinden onu ayıran, ikinci kuraldır. Özdeşlik, "başka", "en az iki", "en fazla bir" ve "tam olarak bir" gibi ifadeleri sayı sözcükleri kullanmadan yazmayı mümkün kılar. Gündelik dildeki "aynı" sözcüğü çoğu zaman nitel aynılık bildirir ve bir paylaşılan yüklemle yazılır; yalnızca sayısal aynılık özdeşlik yüklemiyle yazılır. Yerine koyma, nesneler hakkındaki cümlelerde güvenlidir; bilgi, inanç, kiplik ve adlandırma bağlamlarında ise geçirimsizdir ve orada kullanılmadan önce bağlam sorulmalıdır.

Açık kalan sorular

Leibniz'in tanımının ters yönü, hiçbir özellikte ayrılmayan nesnelerin özdeş olduğunu söyler. Ama her özelliği paylaşan, yalnızca sayıca iki olan iki nesne, örneğin boş bir evrende birbirinden ayırt edilemeyen iki küre, düşünülebilir mi? Düşünülebilirse, ayırt edilemezlerin özdeşliği bir mantık yasası mı, yoksa dünyanın nasıl olduğuna dair bir iddia mıdır?

Wittgenstein, özdeşlik işaretinin gereksiz olduğunu savundu; Tolga'nın işaretsiz dili, bu önerinin bilgi edinen bir araştırmacının dili olamayacağını gösterdi. Ama bir mantık dili, dünyayı betimlemek için mi, yoksa dünya hakkında bilgi edinmenin sürecini kaydetmek için mi kurulmalıdır? Bu iki amaç aynı dili mi gerektirir?

Quine, geçirimsiz bağlamlarda adların bir nesneyi göstermenin ötesinde bir iş gördüğünü savundu. Bir kişinin bir nesneyi bir ad altında bilip başka bir ad altında bilmemesi, bilginin nesnelerle değil, nesnelerin veriliş biçimleriyle ilgili olduğunu mu gösterir? Bir inancın içeriği, inanılan nesneyle mi, yoksa o nesnenin inanana nasıl verildiğiyle mi belirlenir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Özdeşlik, her nesneyi yalnızca kendisiyle ilişkilendiren iki yerli bir ilişkidir ve yüklemler mantığında sözlükte tanımlanan bir harfle değil, her nesnenin kendisiyle özdeş olduğu kuralına ve yerine koyma kuralına uyan mantığın kendi yüklemiyle yazılır.

Leibniz'in notları özdeşliğin doğruluğu bozmadan yerine koymayla tanımlanabileceğini, Wittgenstein'ın İnceleme'si özdeşlik işaretinin gerekliliğinin ciddi bir soru olduğunu, Quine'ın makalesi ise yerine koymanın bilgi, kiplik ve adlandırma bağlamlarında işlemediğini gösterdi.

Özdeşlik içeren bir cümle dört adımla çevrilir ve kullanılır: "aynı" sözcüğünün sayısal mı nitel mi olduğunu belirlemek, sayısal aynılığı özdeşlik yüklemiyle yazmak, "başka", "en az", "en fazla" ve "tam olarak" ifadelerini özdeşlik ve olumsuzluğuyla çevirmek ve yerine koymadan önce bağlamın geçirimsiz olup olmadığını sormak.

Özdeşliğin sıradan bir ilişki olduğu, özdeşlik işaretinin gereksiz olduğu ve yerine koyma ilkesinin çöktüğü itirazları, yerine koymanın bütün yüklemler hakkında bir kural olduğunu, iki farklı adın aynı nesneyi gösterdiğinin sonradan öğrenilen bir bilgi olabildiğini ve geçirimsiz bağlamların nesneler hakkında olmadığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden özdeşlik içeren bir cümleyi çevirmek, iki adın gerçekten tek bir nesneyi mi gösterdiğini yoksa iki nesnenin bir özelliği mi paylaştığını sormak, sayı ifadelerini özdeşlikle kurmak ve bir adı başka bir adla değiştirmeden önce cümlenin nesneden mi yoksa adından mı söz ettiğini denetlemektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in sayıları ve Kerem'in iki müstensihi, grubu çeviriden kanıtlamaya götürdü. Grup artık raporun cümlelerini yüklemler mantığına yazabiliyordu; ama yazılan cümlelerden sonuç çıkarmak için, önerme mantığında kullandıkları çıkarım kurallarının niceleyicilerle nasıl birleşeceğini bilmiyordu. Kerem, raporun bir öncülünü örnek veriyor: "her tanık, bir kaynağın kopyasıdır." Bu öncülden, birinci tanığın bir kaynağın kopyası olduğu sonucu çıkıyor gibiydi, ama hangi kuralla çıktığı yazılmamıştı.

Selin ters yönde bir soru soruyor: bir tanık hakkında bir şey kanıtladıklarında, bunun her tanık hakkında doğru olduğunu ne zaman söyleyebilirlerdi? Birinci tanığın tarih taşımadığını göstermek, her tanığın tarih taşımadığını göstermek değildi. Ama bir kanıt, hiçbir tanığa özgü bir bilgi kullanmadan, herhangi bir tanık için yürütülmüşse, belki bir genellemeye izin veriyordu.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Evrensel açma ve genelleme dersi, "her x için" ile başlayan bir öncülden belirli bir nesne hakkında bir sonuç çıkaran evrensel açma kuralını, belirli bir nesne hakkındaki bir kanıttan bir evrensel sonuç çıkaran evrensel genelleme kuralını ve ikinci kuralın hangi koşullarda güvenli olduğunu soruyor.