İlişkiler

Açılış sahnesi

Barış, raporun tarihlendirme bölümünden iki cümleyi yan yana yazıyor. Birincisi: "Birinci tanığın müstensihi, ikinci tanığın müstensihinden önce çalışmıştır." İkincisi: "İkinci tanığın müstensihi, üçüncü el yazmasının müstensihinden önce çalışmıştır." Raporun yazarları bu iki cümleden bir sonuç çıkarmıştı: birinci tanığın müstensihi, üçüncü el yazmasınınkinden önce çalışmıştı. Barış, sonucun doğru olduğunu seziyor, ama onun iki öncülden yüklemler mantığıyla nasıl çıkarılacağını göremiyor. Öncüllerde "önce çalışmıştır" diye iki yerli bir yüklem vardı; sonuç da aynı yüklemi kullanıyordu. Ama hiçbir öncül, bu yüklemin bir zincir oluşturduğunu söylemiyordu.

Lina, başka bir ilişkinin başka bir davranışı olduğunu fark ediyor: "aynı atölyede çalışmıştır". Bir müstensih bir başkasıyla aynı atölyede çalıştıysa, o da onunla aynı atölyede çalışmıştı; "önce çalışmıştır" ise böyle değildi. Defne, akrabalık ilişkilerinin de kendilerine özgü davranışları olduğunu hatırlatıyor: bir kişi bir başkasının kardeşiyse, o da onun kardeşiydi; ama bir kişi bir başkasının babasıysa, o onun babası değildi. Selin ise bütün bu ilişkilerin gerçekten iki nesne arasında bir şey olup olmadığını, yoksa her birinin iki ayrı nesnenin iki ayrı özelliğine indirgenip indirgenemeyeceğini soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, iki ya da daha çok nesneye uygulanan yüklemlerin nasıl yazıldığını, bir ilişkinin simetrik, geçişli ya da yansımalı olmasının ne anlama geldiğini ve bu özelliklerin çoklu niceleyicili akıl yürütmelerde nasıl kullanıldığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın yüklem dersi, yüklemleri yer sayılarına göre ayırdı ve iki yerli bir yüklemin kaplamının sıralı nesne çiftlerinden oluştuğunu gösterdi. Çoklu niceleme dersi ise iki yerli yüklemlerin iç içe niceleyicilerle birlikte nasıl kullanıldığını gösterdi. Bu ders, iki yerli yüklemlere, yani ilişkilere, kendi başlarına bakıyor: onların sıra özelliklerini, simetri, geçişlilik ve yansımalılık gibi yapısal özelliklerini ve bu özelliklerin bir akıl yürütmede nasıl gizli öncüller olarak iş gördüğünü inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Augustus De Morgan, 1860'ta sunduğu Kıyas Üzerine başlıklı dizinin dördüncü makalesinde, ilişkiler mantığını ayrı bir alan olarak kurmayı önerir ve kıyas kuramının açıklayamadığı ilişkisel çıkarımlara dikkat çeker. Gottfried Wilhelm Leibniz, ilişkiler üzerine bir notunda, "Paris Helena'yı sever" cümlesini, iki ayrı kişinin iki ayrı özelliği olarak yeniden yazmaya çalışır. Bertrand Russell ise 1903'te yayımladığı Matematiğin İlkeleri'nin asimetrik ilişkiler bölümünde, bu türden bir indirgemenin olanaksız olduğunu ve ilişkilerin kendi başlarına gerçek olduğunu savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: ilişkilerin iki nesnenin özelliklerine indirgenebildiği, ilişkilerin yapısal özelliklerinin mantığın değil konunun bilgisi olduğu ve gündelik ilişkilerin bu yapısal özellikleri çoğu zaman tam olarak taşımadığı itirazları.

Sonda, bir ilişkiyi yazmanın ve kullanmanın dört adımını göstereceğiz: ilişkinin boşluklarını ve sırasını sözlükte açıkça yazmak, ilişkinin simetrik, geçişli ya da yansımalı olup olmadığını sınamak, bu özellikleri bir akıl yürütmede kullanılıyorsa ayrı öncüller olarak yazmak ve ilişkinin söylem evreninde bir karşı örneği olup olmadığını denetlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: iki yerli bir ilişki nasıl yazılır, bir ilişkinin simetrik, geçişli ya da yansımalı olması ne anlama gelir ve bu özellikler bir akıl yürütmede nasıl kullanılır?

Ölçülü iddiam şu: iki yerli bir ilişki, sıralı nesne çiftlerine uygulanan bir yüklemdir ve boşluklarının sırası anlamının bir parçasıdır; bir ilişki, her x ve y için x'in y ile ilişkili olması y'nin x ile ilişkili olmasını gerektiriyorsa simetrik, hiçbir zaman gerektirmiyorsa asimetriktir; her x, y ve z için x y ile, y z ile ilişkiliyse x z ile de ilişkiliyse geçişlidir; her x kendisiyle ilişkiliyse yansımalıdır; yansımalı, simetrik ve geçişli bir ilişki bir denklik ilişkisidir ve söylem evrenini birbirinden ayrık sınıflara böler; bu özellikler, bir ilişkinin anlamından gelir, yüklemler mantığının kendisinden değil: "önce çalışmıştır" ilişkisinin geçişli olduğu mantıksal bir doğru değil, zamanın bir özelliğidir; bu yüzden bir akıl yürütme bir ilişkinin geçişliliğine dayanıyorsa, bu geçişlilik ayrı bir öncül olarak açıkça yazılmalıdır; ilişkiler, iki nesnenin ayrı ayrı özelliklerine indirgenemez, çünkü bir ilişki hangi nesnenin hangisiyle ilişkili olduğunu söyler ve iki ayrı özellik bunu söylemez.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "önce çalışmıştır" gibi bir ilişki içeren iki cümleden bir sonuç çıkarırken, çoğu zaman bir zincir görür: A B'den önce, B C'den önce, öyleyse A C'den önce. Bu zincir o kadar açık görünür ki, onun bir öncüle dayandığı fark edilmez. Ama zincir, "önce" sözcüğünün bir özelliğine, geçişliliğine dayanır ve bu özellik, her ilişkide bulunmaz. "Babasıdır" ilişkisinde, A B'nin babasıysa ve B C'nin babasıysa, A C'nin babası değil, dedesidir.

Yüklemler mantığı, iki yerli bir ilişkiyi, iki boşluklu bir yüklem olarak yazar ve bu yüklemin hiçbir yapısal özelliğini kendiliğinden varsaymaz. "x, y'den önce çalışmıştır" yüklemi, O harfiyle yazılırsa, yüklemler mantığı O'nun geçişli olduğunu bilmez; bunu bir öncül olarak ister: her x, y ve z için, x y'den önce ve y z'den önce çalıştıysa, x z'den önce çalışmıştır. Bu öncül eklenmeden, Barış'ın zinciri yüklemler mantığında geçersizdir.

Bir ilişkinin yapısal özellikleri, onun kaplamının, yani onu doğru kılan sıralı çiftlerin, bir özelliğidir. Simetrik bir ilişkinin kaplamında, her çiftin tersi de bulunur. Geçişli bir ilişkinin kaplamında, bir zincirin iki halkası bulunuyorsa, zincirin iki ucunu birleştiren çift de bulunur. Yansımalı bir ilişkinin kaplamında, her nesnenin kendisiyle oluşturduğu çift bulunur.

Görüşler ve pozisyonlar

İlişkilerin gerçekliği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, indirgeme görüşüdür. Buna göre bir ilişki, kendi başına gerçek değildir; iki nesnenin ayrı ayrı özelliklerinin bir sonucudur. "Birinci müstensih ikinciden önce çalışmıştır" cümlesi, aslında iki ayrı özelliği, birinci müstensihin belirli bir yılda, ikincinin başka bir yılda çalışmış olmasını, anlatır. İlişki, bu iki özelliğin bir karşılaştırmasından ibarettir.

İkinci görüş, gerçek ilişki görüşüdür. Buna göre ilişkiler, nesnelerin özelliklerine indirgenemeyen, kendi başlarına gerçek yapılardır. "Önce" ilişkisi, iki nesnenin ayrı ayrı özelliklerinden çıkarılamaz; hangi nesnenin hangisinden önce olduğunu söyler ve bu bilgi, iki ayrı özellikte bulunmaz.

Üçüncü görüş, mantıksal gereklilik görüşüdür. Buna göre ilişkilerin metafizik olarak gerçek olup olmadığı sorusu bir yana bırakılabilir; ama mantıkta ilişkiler, iki nesnenin ayrı ayrı özellikleriyle yazılamaz. Bir akıl yürütme ilişkilere dayanıyorsa, bu ilişkiler iki yerli yüklemler olarak yazılmalıdır; tek yerli yüklemlerle yazmak, akıl yürütmenin geçerliliğini gösteremez.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün argümanını ona ekler. Birinci görüş, bazı ilişkilerin iki nesnenin özelliklerine dayandığını doğru görür, ama bir ilişkinin yönünü, yani hangi nesnenin hangisiyle ilişkili olduğunu, iki ayrı özelliğin taşıyamayacağını gözden kaçırır. İkinci görüş, bu yönün indirgenemediğini doğru görür; üçüncü görüş ise bu indirgenemezliğin, ilişkilerin metafizik durumu ne olursa olsun, mantığın iki yerli yüklemlere ihtiyaç duymasının nedeni olduğunu gösterir.

Argümanın yapısı

Bir ilişkiyi yazmak ve kullanmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, ilişkinin boşluklarını ve sırasını sözlükte açıkça yazmaktır. Yazan, ilişkiye bir harf verir ve sözlüğe, birinci boşluğun hangi nesneyi, ikinci boşluğun hangisini aldığını yazar: "O, x, y: x, y'den önce çalışmıştır." Sıranın yazılmaması, ilişkinin tersiyle karışmasına yol açar.

İkinci adım, ilişkinin simetrik, geçişli ya da yansımalı olup olmadığını sınamaktır. Yazan, ilişkinin anlamına bakarak üç soru sorar: x y ile ilişkiliyse, y x ile ilişkili midir? x y ile, y z ile ilişkiliyse, x z ile ilişkili midir? Her x kendisiyle ilişkili midir? Her soru için, söylem evreninde bir karşı örnek arar.

Üçüncü adım, bu özellikleri bir akıl yürütmede kullanılıyorsa ayrı öncüller olarak yazmaktır. Yazan, bir akıl yürütmenin bir ilişkinin geçişliliğine ya da simetrisine dayanıp dayanmadığını sorar. Dayanıyorsa, bu özelliği, bir evrensel niceleyiciyle kurulan ayrı bir öncül olarak yazar; yüklemler mantığı bu özellikleri kendiliğinden varsaymaz.

Dördüncü adım, ilişkinin söylem evreninde bir karşı örneği olup olmadığını denetlemektir. Yazan, ilişkinin bir yapısal özelliği taşıdığını ileri sürdüğü her durumda, söylem evreninde bu özelliği çiğneyen bir nesne çifti ya da üçlüsü olup olmadığına bakar. Bir karşı örnek varsa, özelliği öncül olarak yazmaz ya da onu karşı örneği dışarıda bırakacak biçimde sınırlar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

İlişkileri ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. İki yerli bir ilişki, sıralı nesne çiftlerine uygulanan bir yüklemdir ve boşluklarının sırası anlamının bir parçasıdır. Bir ilişki simetrik, geçişli ya da yansımalı olabilir; üçünü birden taşıyan bir denklik ilişkisi, söylem evrenini ayrık sınıflara böler. Bu özellikler ilişkinin anlamından gelir, yüklemler mantığından değil; bu yüzden bir akıl yürütme onlara dayanıyorsa, ayrı öncüller olarak açıkça yazılmalı ve söylem evreninde bir karşı örnekle sınanmalıdır. İlişkiler, özellikle asimetrik ilişkiler, iki nesnenin ayrı ayrı özelliklerine indirgenemez, çünkü bir ilişki hangi nesnenin hangisiyle ilişkili olduğunu söyler. Bu yüzden ilişkilere dayanan bir akıl yürütmeyi yazmak, ilişkinin yönünü sözlükte belirlemek, dayandığı yapısal özellikleri görünür kılmak ve bu özelliklerin istisnalarını aramaktır.

Açık kalan sorular

De Morgan, her at bir hayvansa her atın başının bir hayvanın başı olduğu çıkarımının kıyas kuramıyla yazılamadığını gösterdi. Ama Aristoteles'ten De Morgan'a kadar mantıkçılar, bu türden çıkarımları gündelik akıl yürütmede sürekli yaptı. Bir akıl yürütme biçimini binlerce yıl kullanıp onun mantığını yazamamak, mantık ile düşünme arasındaki ilişki hakkında ne söyler?

Russell, simetrik ilişkilerin belki ortak bir özelliğe indirgenebileceğini, asimetrik ilişkilerin ise indirgenemeyeceğini savundu. Ama "aynı yaştadır" ilişkisini iki kişinin aynı yaşı taşımasına indirgemek, iki yaşın aynı olması ilişkisini varsaymayı gerektirmez mi? Hiçbir ilişki, gerçekten, ilişkisiz özelliklere indirgenebilir mi?

Lina'nın atölyeleri, bir denklik ilişkisinin söylem evrenini ayrık sınıflara böldüğünü, ama bir müstensihin iki atölyede çalışmasıyla bu bölümlemenin bozulabileceğini gösterdi. Gündelik sınıflandırmalar, hastalıklar, türler, meslekler, bir denklik ilişkisinin ürünü müdür, yoksa sınırları kaygan ve örtüşen gruplar mı? Mantığın kesin sınıfları ile gündelik dünyanın kaygan grupları arasındaki fark nasıl ele alınmalıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İki yerli bir ilişki, sıralı nesne çiftlerine uygulanan bir yüklemdir ve boşluklarının sırası anlamının bir parçasıdır; bir ilişki simetrik, geçişli ya da yansımalı olabilir ve üçünü birden taşıyan bir denklik ilişkisi söylem evrenini ayrık sınıflara böler.

De Morgan'ın makalesi ilişkilere dayanan çıkarımların kıyas kuramının sınırlarını aştığını, Leibniz'in Paris ve Helena örneği ilişkilerin nesnelerin özelliklerine indirgenebileceği görüşünün ciddi bir biçimde savunulduğunu, Russell'ın asimetrik ilişkiler bölümü ise bu indirgemenin bir ilişkinin yönünü yitirdiği için olanaksız olduğunu gösterdi.

Bir ilişki dört adımla yazılır ve kullanılır: boşluklarını ve sırasını sözlükte yazmak, simetrik, geçişli ya da yansımalı olup olmadığını sınamak, bir akıl yürütmede kullanılan özellikleri ayrı öncüller olarak yazmak ve söylem evreninde bir karşı örnek aramak.

İlişkilerin özelliklere indirgendiği, yapısal özelliklerin mantığın olmadığı ve gündelik ilişkilerin yapıya uymadığı itirazları, indirgemenin ilişkiyi ortadan kaldırmayıp başka yere taşıdığını, mantığın bu özellikleri gizli öncüller olarak görünür kıldığını ve karşı örnek aramanın gündelik ilişkilerin istisnalarını ortaya çıkardığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden ilişkilere dayanan bir akıl yürütmeyi yazmak, her ilişkinin yönünü açıkça belirlemek, akıl yürütmenin dayandığı yapısal özellikleri öncül olarak yazmak ve bu özelliklerin söylem evreninde bir istisnası olup olmadığını sormaktır.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın tablosu, grubun dikkatini ilişkilerin olumsuz kullanımlarına çekti. Raporda "hiçbir müstensih kendisinden önce çalışmamıştır" gibi cümleler vardı ve Tolga onları bir yansımalılık yokluğu olarak yazmıştı. Ama raporun başka cümleleri daha karmaşıktı: "hiçbir tanık, bazı el yazmalarının kopyası değildir", "bazı müstensihler hiçbir tarihli el yazması kopyalamamıştır". Bu cümlelerde "hiçbir" ve "bazı" sözcükleri iç içe geçiyor, bir olumsuzlukla birleşiyordu.

Selin, bu türden cümlelerin gündelik dilde ne kadar kolay yanlış anlaşıldığını fark ediyor. "Hiçbir tanık bazı el yazmalarının kopyası değildir" cümlesi, her tanığın bazı el yazmalarının kopyası olmadığını mı, yoksa hiçbir tanığın herhangi bir el yazmasının kopyası olmadığını mı söylüyordu? Barış, hukuk metinlerinde "hiçbir kişi bazı haklardan yoksun bırakılamaz" gibi cümlelerin de iki biçimde okunabildiğini ve bu belirsizliğin bir yorum tartışmasına yol açtığını hatırlatıyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Hiçbiri ve bazısı dersi, "hiçbir" ve "bazı" gibi sözcüklerin bir olumsuzlukla ve birbirleriyle birleştiği cümlelerin yüklemler mantığına nasıl çevrileceğini, "hiçbir" sözcüğünün bir evrensel niceleyici ile bir olumsuzlamanın hangi birleşimi olduğunu ve bu cümlelerin olası okumalarının nasıl ayırt edileceğini soruyor.