Çoklu niceleme

Açılış sahnesi

Defne, bir servis yönetmeliğinden bir cümleyi tahtaya yazıyor: "Her hasta için, ona her gün en az bir kez uğrayan bir hemşire vardır." Cümlede üç niceleme vardı: her hasta, bir hemşire, her gün. Defne, cümleyi yüklemler mantığına çevirmeye çalışıyor ve niceleyicilerin sırasına takılıyor. Hemşire, günden bağımsız olarak mı seçiliyordu, yoksa her gün için ayrı bir hemşire mi olabilirdi? Birinci okumada her hastanın, her gün ona uğrayan kendi hemşiresi vardı; ikinci okumada her hastaya her gün birileri uğruyordu, ama bu kişi günden güne değişebilirdi. Servisin nöbet çizelgesi ikinci okumaya uyuyordu; yönetmeliği yazanlar ise birincisini kastetmiş olabilirdi.

Kerem, bu türden cümleleri çevirmenin bir yöntemi olması gerektiğini düşünüyor: dıştan içe, her niceleyiciyi sırayla yazarak. Selin ise raporda bir cümleye takılmış: "Bir el yazmasını kopyalayan her müstensih onu tarihlendirmiştir." Cümlede "bir el yazması" ifadesi vardı; bu, bir varoluşsal niceleyici gibi görünüyordu. Ama cümle, bir el yazmasını kopyalayan müstensihin kopyaladığı her el yazmasını tarihlendirdiğini söylüyor gibiydi. Selin, "bir" sözcüğünün burada neden "her" gibi davrandığını soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, gündelik dildeki birden çok niceleyici içeren cümlelerin yüklemler mantığına nasıl çevrileceğini, niceleyicilerin hangi sırayla yazılacağının nasıl belirleneceğini ve bir çevirinin doğru olup olmadığının nasıl sınanacağını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın niceleme modülü, birey sabitlerini, değişkenleri, yüklemleri, iki niceleyiciyi ve onların kapsamını inceledi. Kapsam dersi, iki niceleyicinin sırasının bir önermenin anlamını değiştirebildiğini gösterdi. Bu ders, çeviri modülünü açıyor ve bu bilgiyi gündelik dilin daha karmaşık cümlelerine uyguluyor: üç ya da daha çok niceleyicinin iç içe geçtiği cümleleri çevirmenin bir yöntemini gösteriyor ve gündelik dilin niceleme sözcüklerinin, özellikle "bir" sözcüğünün, her zaman görünen niceleyiciye karşılık gelmediği durumları inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. İngiliz felsefeci Michael Dummett, 1973'te yayımladığı Frege: Dil Felsefesi adlı kitabında, Frege'nin iç içe geçmiş niceleyicileri yazmanın bir yolunu bulmasının, mantık tarihinin en büyük adımlarından biri olduğunu savunur. Norveçli mantıkçı Thoralf Skolem, 1920'de yayımladığı bir makalede, bir evrensel niceleyicinin kapsamındaki bir varoluşsal niceleyicinin, her nesneye bir nesne atayan bir işlevle yazılabileceğini gösterir. Hollandalı mantıkçı Hans Kamp ise 1981'de, "bir el yazmasını kopyalayan her müstensih onu tarihlendirmiştir" türünden cümlelerin, gündelik dildeki belirsiz ifadelerin her zaman bir varoluşsal niceleyiciye çevrilemeyeceğini gösterdiğini savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: çoklu niceleyicili çevirilerin gündelik dilin kolaylıkla yaptığı bir işi gereksiz yere ağırlaştırdığı, bir cümlenin tek bir doğru çevirisinin bulunmadığı ve gündelik dilin belirsiz ifadelerinin niceleyicilerle çevrilemediği itirazları.

Sonda, çoklu niceleyicili bir cümleyi çevirmenin dört adımını göstereceğiz: cümledeki bütün niceleme ifadelerini ve onların değişkenlerini belirlemek, niceleyicileri dıştan içe, hangisinin hangisine bağlı olduğuna göre sıralamak, her niceleyiciyi uygun bağlaçla kısıtlayıp iç açık önermeyi yazmak ve çeviriyi, niceleyicilerin başka bir sırasıyla karşılaştırıp bir durumda sınamak.

Merkez soru

Sorumuz şu: birden çok niceleyici içeren bir gündelik dil cümlesi yüklemler mantığına nasıl çevrilir, niceleyicilerin sırası nasıl belirlenir ve bir çevirinin doğru olup olmadığı nasıl sınanır?

Ölçülü iddiam şu: çoklu niceleyicili bir cümle, dıştan içe doğru, her niceleyici sırayla yazılarak çevrilir: önce en dıştaki niceleyici ve onun kısıtlayıcı yüklemi, sonra onun kapsamında kalan niceleyiciler; bir niceleyicinin değişkeninin değeri bir başkasının değerine bağlıysa, bağlı olan içte, bağlandığı dışta yazılır; bir evrensel niceleyicinin kapsamındaki bir varoluşsal niceleyici, her nesne için ayrı bir nesne seçer ve bu seçim, Skolem'in gösterdiği gibi, bir işlevle ifade edilebilir; gündelik dilin dizilişi niceleyicilerin sırası hakkında bir ipucu verir, ama bağlam bu ipucunu geçersiz kılabilir; bu yüzden bir çeviri, başka bir sıradaki çeviriyle karşılaştırılmalı ve ikisinin ayrıldığı bir durumda, cümlenin hangisini söylediği sorulmalıdır; ayrıca gündelik dildeki "bir" sözcüğü her zaman bir varoluşsal niceleyiciye karşılık gelmez: bir koşulun ya da bir göreli tümcenin içinde geçtiğinde ve dışarıdan bir zamirle ona dönüldüğünde, çoğu zaman bir evrensel niceleyiciye çevrilmesi gerekir; bu durumlar, gündelik dilin niceleme yapısının yüzeydeki sözcüklerden okunamadığını gösterir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci birden çok niceleme sözcüğü içeren bir cümleyle karşılaştığında, çoğu zaman sözcükleri cümledeki sıralarıyla çevirir: önce gelen niceleyiciyi dışa, sonra geleni içe yazar. Bu yöntem pek çok durumda işe yarar, ama her zaman değil. Gündelik dil, niceleyicilerin sırasını her zaman sözcüklerin dizilişiyle göstermez ve bazı niceleme sözcükleri, görünüşlerinden farklı bir niceleyiciye karşılık gelir.

Çoklu niceleyicili bir cümleyi çevirmenin temel sorusu, hangi nesnenin hangisine bağlı olarak seçildiğidir. "Her tanık için onu kopyalayan bir müstensih vardır" cümlesinde, müstensih tanığa bağlı olarak seçilir: farklı tanıklar farklı müstensihler tarafından kopyalanmış olabilir. Bu bağlılık, varoluşsal niceleyicinin evrenselin kapsamında, yani içinde yazılmasıyla gösterilir. "Her tanığı kopyalamış bir müstensih vardır" cümlesinde ise müstensih bir kez seçilir ve bütün tanıklar için aynıdır; varoluşsal niceleyici dışta yazılır.

Bir çeviriyi sınamanın en güvenilir yolu, onu başka bir sıradaki çeviriyle karşılaştırmak ve iki çevirinin ayrıldığı bir durum kurmaktır. İki çeviri bir durumda farklı doğruluk değerleri alıyorsa, cümlenin hangi çeviriyi kastettiği, o durumda cümlenin doğru mu yanlış mı sayılacağına bakılarak belirlenebilir.

Görüşler ve pozisyonlar

Çoklu niceleyicili gündelik cümlelerin çevirisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, diziliş görüşüdür. Buna göre bir cümlenin niceleyicileri, gündelik dildeki sıralarıyla çevrilmelidir: cümlede önce gelen niceleyici dışta, sonra gelen içte yazılır. Bu yöntem, çevirinin keyfî olmasını önler ve cümlenin kendi yapısına sadık kalır.

İkinci görüş, anlam görüşüdür. Buna göre bir cümlenin niceleyicileri, cümlenin ne demek istediğine göre sıralanmalıdır: hangi nesnenin hangisine bağlı olarak seçildiği, bağlamdan ve konuşanın niyetinden belirlenir ve çeviri, bu bağlılığı yansıtmalıdır.

Üçüncü görüş, açık seçim görüşüdür. Buna göre dizilim bir ilk ipucudur, ama bir cümle birden çok sıraya açıksa, çeviren kişi bu sıraları ayrı ayrı yazmalı, onların ayrıldığı bir durum kurmalı ve cümlenin hangi sırayı kastettiğini bu durumda sınayarak ya da cümlenin yazarına sorarak belirlemelidir. Seçim, gizli bir karar olarak değil, açık ve gerekçeli bir karar olarak yapılır.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, dizilimin çoğu zaman doğru sırayı gösterdiğini doğru görür, ama Defne'nin iki çizelgesinde görüldüğü gibi, aynı dizilişin iki sıraya da açık olabildiğini gözden kaçırır. İkinci görüş, çevirinin anlama dayanması gerektiğini doğru görür, ama anlamın kendisi belirsiz olduğunda, çevirenin bu belirsizliği gizlemesi yerine açıkça göstermesi gerektiğini yeterince vurgulamaz.

Argümanın yapısı

Çoklu niceleyicili bir cümleyi çevirmek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, cümledeki bütün niceleme ifadelerini ve onların değişkenlerini belirlemektir. Çeviren, "her", "bütün", "bir", "bazı", "hiçbir" gibi sözcükleri ve onlara dönen zamirleri işaretler ve her niceleme ifadesine ayrı bir değişken harfi verir.

İkinci adım, niceleyicileri dıştan içe, hangisinin hangisine bağlı olduğuna göre sıralamaktır. Çeviren, her niceleme ifadesi için, onun gösterdiği nesnenin başka bir nesneye bağlı olarak seçilip seçilmediğini sorar. Bağlı olarak seçiliyorsa, onu bağlandığı niceleyicinin içine yazar. Birden çok sıra mümkünse, hepsini not eder.

Üçüncü adım, her niceleyiciyi uygun bağlaçla kısıtlayıp iç açık önermeyi yazmaktır. Çeviren, evrensel niceleyicileri bir koşulluyla, varoluşsal niceleyicileri bir birleşmeyle kısıtlar ve en içteki açık önermeyi, bütün değişkenleri kullanan yüklemlerle yazar.

Dördüncü adım, çeviriyi niceleyicilerin başka bir sırasıyla karşılaştırıp bir durumda sınamaktır. Çeviren, ikinci adımda not ettiği öteki sıraları da yazar, iki çevirinin farklı doğruluk değerleri aldığı bir durum kurar ve cümlenin bu durumda doğru mu yanlış mı sayılacağına bakarak hangi çevirinin kastedildiğini belirler.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Çoklu nicelemeyi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Birden çok niceleyici içeren bir cümle, dıştan içe doğru, her niceleyici sırayla yazılarak çevrilir; bir niceleyicinin değişkeninin değeri bir başkasına bağlıysa, bağlı olan içte yazılır. Bir evrenselin kapsamındaki bir varoluşsal, Skolem'in gösterdiği gibi, her nesneye bir nesne atayan bir seçim işleviyle anlaşılabilir ve niceleyicilerin sırası bu işlevin sabit olup olmadığı sorusuna dönüşür. Gündelik dilin dizilişi sıra hakkında bir ipucu verir, ama bağlam onu geçersiz kılabilir; bu yüzden bir çeviri başka bir sıradaki çeviriyle karşılaştırılmalı ve ikisinin ayrıldığı bir durumda sınanmalıdır. Gündelik dildeki "bir" sözcüğü, Kamp'ın eşek cümlelerinde görüldüğü gibi, her zaman bir varoluşsal niceleyiciye karşılık gelmez; gündelik dilin niceleme yapısı yüzeyden okunamaz, sınanan çevirilerle ortaya çıkarılır.

Açık kalan sorular

Dummett, Frege'nin çoklu nicelemeyi yazmanın bir yolunu bulmasını mantık tarihinin en büyük adımlarından biri saydı. Ama Aristoteles'ten Frege'ye kadar insanlar, çoklu niceleyicili cümleleri kurup anlamayı biliyordu. Bir mantığın bir akıl yürütme biçimini yazamaması, insanların o biçimde akıl yürütemediğini mi gösterir, yoksa yalnızca o akıl yürütmeyi denetleyemediklerini mi?

Skolem, bir evrensel niceleyicinin kapsamındaki bir varoluşsalın bir seçim işleviyle yazılabileceğini gösterdi. Ama böyle bir işlevin var olduğunu söylemek, onu hesaplamanın bir yolunun bulunduğunu söylemek değildir. Bir işlevin var olup hesaplanamaması, onun var olduğu iddiası hakkında ne söyler? Sezgici mantığın bu iddiaya yaklaşımı, klasik mantığınkinden nasıl ayrılır?

Kamp'ın eşek cümleleri, gündelik dilin belirsiz ifadelerinin niceleme gücünü cümlenin geri kalanından aldığını gösterdi. Gündelik dilin mantıksal yapısı, sözcüklerinden değil cümlelerin bütününden okunuyorsa, bir sözcüğün anlamı nedir? Bir sözcüğün anlamı, içinde geçtiği bütün cümlelerin anlamlarına yaptığı katkının toplamı mıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Birden çok niceleyici içeren bir cümle, dıştan içe doğru, her niceleyici sırayla yazılarak çevrilir; bir niceleyicinin değişkeninin değeri bir başkasına bağlıysa, bağlı olan içte yazılır ve sıra değiştiğinde önermenin anlamı değişebilir.

Dummett'in kitabı çoklu nicelemenin yüklemler mantığını kıyas kuramından ayıran temel güç olduğunu, Skolem'in makalesi bir evrenselin kapsamındaki bir varoluşsalın bir seçim işleviyle anlaşılabileceğini, Kamp'ın eşek cümleleri ise gündelik dildeki "bir" sözcüğünün her zaman bir varoluşsal niceleyiciye karşılık gelmediğini gösterdi.

Çoklu niceleyicili bir cümle dört adımla çevrilir: niceleme ifadelerini ve değişkenlerini belirlemek, niceleyicileri hangisinin hangisine bağlı olduğuna göre dıştan içe sıralamak, her niceleyiciyi uygun bağlaçla kısıtlamak ve çeviriyi başka bir sırayla karşılaştırıp bir durumda sınamak.

Çevirinin gereksiz ağır olduğu, tek doğru çevirinin bulunmadığı ve belirsiz ifadelerin niceleyiciyle çevrilemediği itirazları, çevirinin gündelik anlamanın belirsiz kaldığı yerleri görünür kıldığını, eşdeğer çevirilerin aynı çevirinin farklı yazımları olduğunu ve gündelik dilin niceleme yapısının sınanan çevirilerle ortaya çıkarılabildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden çoklu niceleyicili bir cümleyi çevirmek, her nesnenin hangi nesneye bağlı olarak seçildiğini sormak, bu bağlılığı niceleyicilerin sırasıyla yazmak ve çeviriyi, onu başka bir sıradan ayıran somut bir durumda sınayarak cümlenin gerçekten ne söylediğini ortaya çıkarmaktır.

Sonraki derse köprü

Kerem'in çevirisi ve Lina'nın kopyacı işlevi, grubun dikkatini çoklu niceleyicilerin içindeki bir yükleme çekti. "x, y'yi kopyalamıştır" yüklemi, iki nesneye birden uygulanıyordu ve grubun kurduğu bütün çoklu niceleyicili cümlelerin çekirdeğinde bu türden iki yerli yüklemler vardı: kopyalamak, önce çalışmak, uğramak, işlemek. Barış, bu yüklemlerin kendilerine özgü özellikleri olduğunu hatırlatıyor: "x, y'den önce çalışmıştır" ilişkisinde, x y'den önceyse y x'ten önce olamazdı; "x, y ile aynı atölyede çalışmıştır" ilişkisinde ise, x y ile aynı atölyedeyse, y de x ile aynı atölyedeydi.

Lina, yüklem üzerine konuşurken iki yerli bir yüklemin kaplamının sıralı çiftlerden oluştuğunu ve bu sıranın ayrıca incelenmesi gerektiğini not etmişti. Selin, bu ilişkilerin bazılarının bir akıl yürütmede, niceleyicilerle birlikte, gizli öncüller gibi çalıştığını fark ediyor: x y'den önce çalıştıysa ve y z'den önce çalıştıysa, x z'den önce çalışmıştı; ama bu, yüklemin kendisinden değil, ilişkinin bir özelliğinden çıkıyordu.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. İlişkiler dersi, iki ya da daha çok nesneye uygulanan yüklemlerin nasıl yazıldığını, bir ilişkinin simetrik, geçişli ya da yansımalı olmasının ne anlama geldiğini ve bu özelliklerin çoklu niceleyicili akıl yürütmelerde nasıl kullanıldığını soruyor.