Kapsam

Açılış sahnesi

Kerem, Lina'nın oyununda sorduğu soruyu tahtaya iki satır olarak yazıyor. Birinci satır: "her tanık için, o tanığın taşıdığı en az bir okunuş vardır." İkinci satır: "en az bir okunuş için, her tanık o okunuşu taşır." İki satır aynı sözcüklerden, aynı iki niceleyiciden ve aynı yüklemden kuruluyordu; yalnızca niceleyicilerin sırası farklıydı. Ama grup, iki satırın çok farklı şeyler söylediğini hemen görüyor. Birinci satır doğruydu: her tanık bir okunuş taşıyordu, iki tanık "kendiliğinden", üçüncü el yazması "zamanı gelince". İkinci satır yanlıştı: üç tanığın birden taşıdığı tek bir okunuş yoktu.

Barış, hukukta da bu türden bir farkın ciddi sonuçları olduğunu söylüyor: "her sanığın bir avukatı vardır" ile "her sanığı savunan bir avukat vardır" aynı şey değildi. Selin ise olumsuzlamanın kapsamı üzerine konuşurken karşılaştıkları bir cümleyi hatırlatıyor: "bütün tanıklar 'kendiliğinden' okunuşunu taşımıyor". O cümle iki biçimde okunabiliyordu; şimdi Selin, bu iki okumanın niceleyicilerle nasıl yazılacağını soruyor. Lina ise bir niceleyicinin önermenin hangi kısmını etkilediğinin, bir değişkenin hangi niceleyiciye bağlı olduğunun nasıl belirleneceğini merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, bir niceleyicinin önermenin hangi kısmına uygulandığını, bir değişkenin ne zaman bir niceleyiciye bağlı, ne zaman serbest olduğunu ve niceleyicilerin ya da bir niceleyici ile bir olumsuzlamanın sırası değiştiğinde önermenin anlamının nasıl değiştiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın evrensel ve varoluşsal niceleyici dersi, iki niceleyicinin bir açık önermeyi nasıl bir önermeye çevirdiğini gösterdi. Değil dersi ise bir olumsuzlamanın kapsamının, yani uygulandığı önermenin, bir cümlenin anlamını nasıl değiştirdiğini incelemişti. Bu ders, niceleme modülünü kapatırken, kapsam kavramını niceleyicilere taşıyor: bir niceleyicinin hangi değişkenleri bağladığını, bir değişkenin hangi niceleyiciye ait olduğunu ve birden çok niceleyici ya da bir niceleyici ile bir olumsuzlama bir arada olduğunda sıranın neyi değiştirdiğini gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Thomas Aquinas, on üçüncü yüzyılda yazdığı Paganlara Karşı Toplam'ın birinci kitabında, "oturan birinin yürüyebilmesi" gibi bir önermenin iki farklı biçimde, bileşik ve ayrık anlamda, okunabileceğini gösterir. Willard Van Orman Quine, 1956'da yayımladığı Niceleyiciler ve Önermesel Tutumlar adlı makalesinde, bir kişinin bir casusun var olduğuna inanması ile belirli bir kişinin casus olduğuna inanması arasındaki farkın, bir niceleyicinin inanç sözcüğünün içinde mi dışında mı durduğuna bağlı olduğunu gösterir. Robert May ise 1977'de, gündelik dildeki niceleyici ifadelerin kapsamının, cümlenin görünen dizilişinden değil, onun gizli bir mantıksal biçiminden okunduğunu savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: kapsam belirsizliklerinin gündelik dilde bağlamla kolayca çözüldüğü için mantığın bunlara ayrıca dikkat etmesinin gereksiz olduğu, serbest değişkenlerin bir önermede hiç bulunmaması gerektiği ve kapsamın bir mantık değil bir dilbilgisi sorunu olduğu itirazları.

Sonda, niceleyicili bir cümlenin kapsamını belirlemenin dört adımını göstereceğiz: her niceleyicinin hangi değişkeni bağladığını ve kapsamının nerede başlayıp bittiğini işaretlemek, cümlede serbest kalan değişken olup olmadığını denetlemek, birden çok niceleyici ya da olumsuzlama varsa olası sıraları ayrı ayrı yazmak ve bağlamın hangi okumayı istediğini açıkça belirtmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir niceleyicinin kapsamı nedir, bir değişken ne zaman bağlı ne zaman serbesttir ve niceleyicilerin ya da bir niceleyici ile bir olumsuzlamanın sırası bir önermenin anlamını nasıl değiştirir?

Ölçülü iddiam şu: bir niceleyicinin kapsamı, onun uygulandığı açık önermedir; bu açık önermede niceleyicinin değişkeniyle aynı harfi taşıyan her geçiş, o niceleyiciye bağlıdır; hiçbir niceleyicinin kapsamında olmayan bir değişken serbesttir ve serbest değişken taşıyan bir ifade, bir önerme değil, bir açık önermedir; iki niceleyici iç içe geçtiğinde, dıştaki niceleyici içtekini kapsar ve sıra değiştiğinde önermenin anlamı değişebilir: bir evrensel niceleyicinin kapsamındaki bir varoluşsal niceleyici, her nesne için ayrı bir nesne seçilmesine izin verir, bir varoluşsal niceleyicinin kapsamındaki bir evrensel niceleyici ise bütün nesneler için tek bir nesne ister; aynı türden iki niceleyicinin sırası ise anlamı değiştirmez; bir niceleyici ile bir olumsuzlama bir arada olduğunda da sıra anlamı değiştirir: "her x için değil" ile "her x için, değil" farklı önermelerdir; gündelik dil kapsamı çoğu zaman sözcüklerin dizilişiyle değil, bağlamla belirler ve bu yüzden kapsam belirsizlikleri gündelik akıl yürütmenin sık bir hata kaynağıdır; bir cümleyi sembolleştiren kişi, olası okumaları ayrı ayrı yazmalı ve hangisinin kastedildiğini açıkça belirtmelidir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir cümlenin anlamını belirlemeye çalışırken, çoğu zaman sözcüklerin anlamlarına bakar. Ama iki cümle aynı sözcüklerden kurulup yalnızca bu sözcüklerin birbirine göre konumuyla ayrıldığında, farklı şeyler söyleyebilir. Bu farkı yaratan şey, bir niceleyicinin ya da bir olumsuzlamanın önermenin hangi kısmını etkilediğidir; bu etkilenen kısım, onun kapsamıdır.

Yüklemler mantığında bir niceleyicinin kapsamı, onun hemen ardından gelen açık önermedir. "Her x için, x bir tanıksa x bir el yazmasıdır" önermesinde, evrensel niceleyicinin kapsamı koşulludur ve koşullunun iki x'i de bu niceleyiciye bağlıdır. Bir niceleyicinin kapsamı içinde, onun değişkeniyle aynı harfi taşıyan her geçiş bağlıdır; kapsamı dışında ise aynı harf başka bir şey anlatabilir.

İki niceleyici iç içe geçtiğinde, dıştaki niceleyicinin kapsamı içtekini de içerir. Bu yüzden içteki niceleyicinin değişkeninin değeri, dıştaki niceleyicinin değişkeninin değerine bağlı olabilir. "Her tanık için bir okunuş vardır" önermesinde, okunuş, tanığa göre değişebilir: her tanık için ayrı bir okunuş seçilebilir. "Bir okunuş vardır ki her tanık onu taşır" önermesinde ise okunuş bir kez seçilir ve bütün tanıklar için aynı kalır.

Görüşler ve pozisyonlar

Gündelik dildeki kapsam belirsizliklerinin mantıkla ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, dizilim görüşüdür. Buna göre gündelik dilde bir niceleyicinin kapsamı, sözcüklerin dizilişinden okunur: cümlede önce gelen niceleyici, sonra geleni kapsar. "Her sanığın bir avukatı var" cümlesinde "her" önce geldiği için "bir"i kapsar.

İkinci görüş, gizli biçim görüşüdür. Buna göre gündelik dilde bir cümlenin kapsam ilişkileri, onun görünen dizilişinden değil, gizli bir mantıksal biçiminden okunur. Aynı dizilişteki bir cümle, iki farklı gizli biçime sahip olabilir ve bu yüzden iki farklı anlam taşıyabilir. Dilbilgisi, bu gizli biçimleri kurmanın kurallarını verir.

Üçüncü görüş, bağlam görüşüdür. Buna göre gündelik dilde kapsam çoğu zaman ne dizilişten ne de bir dilbilgisi kuralından, bağlamdan ve konuşanın ne kastettiğinden okunur. Mantığın işi, bir cümlenin olası okumalarını ayrı ayrı yazmak ve bağlamın hangisini istediğini açıkça belirtmektir; hangi okumanın kastedildiğine mantık değil, bağlam karar verir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün katkısını ona ekler. Birinci görüş, dizilişin kapsam hakkında sık sık bir ipucu verdiğini doğru görür, ama Barış'ın ve Defne'nin bulduğu örneklerde, aynı dizilişin iki okumaya da açık olduğunu gözden kaçırır. İkinci görüş, bir cümlenin görünen dizilişi ile mantıksal biçiminin ayrılabildiğini doğru görür; üçüncü görüş ise bu ayrılığın hangi yönde çözüleceğini çoğu zaman bağlamın belirlediğini ekler.

Argümanın yapısı

Niceleyicili bir cümlenin kapsamını belirlemek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, her niceleyicinin hangi değişkeni bağladığını ve kapsamının nerede başlayıp bittiğini işaretlemektir. Belirleyen, her niceleyicinin ardından gelen açık önermeyi, gerekiyorsa ayraçlarla ya da bir çizgiyle, açıkça sınırlar ve o açık önermenin içinde niceleyicinin değişkenini taşıyan her geçişi o niceleyiciye bağlar.

İkinci adım, cümlede serbest kalan değişken olup olmadığını denetlemektir. Belirleyen, her değişken geçişinin bir niceleyicinin kapsamında olup olmadığına bakar. Kapsam dışında kalan bir değişken bulursa, cümlenin bir önerme değil bir açık önerme olduğunu not eder; bu genellikle bir yazım hatasıdır ve kapsam sınırının yanlış çizildiğini gösterir.

Üçüncü adım, birden çok niceleyici ya da olumsuzlama varsa olası sıraları ayrı ayrı yazmaktır. Belirleyen, cümlenin gündelik dildeki dizilişinin birden çok mantıksal sıraya açık olup olmadığını sorar. Açıksa, her sırayı ayrı bir önerme olarak yazar ve her birinin hangi durumda doğru, hangisinde yanlış olduğunu bir örnekle gösterir.

Dördüncü adım, bağlamın hangi okumayı istediğini açıkça belirtmektir. Belirleyen, olası okumalardan hangisinin kastedildiğini, cümlenin kullanıldığı bağlama bakarak belirler ve sembolleştirmenin yanına, hangi okumanın seçildiğini ve neden seçildiğini yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Kapsamı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir niceleyicinin kapsamı, onun uygulandığı açık önermedir; bu açık önermede aynı harfi taşıyan her değişken geçişi o niceleyiciye bağlıdır, hiçbir niceleyicinin kapsamında olmayan bir değişken ise serbesttir. İki niceleyici iç içe geçtiğinde, dıştaki içtekini kapsar ve sıra değiştiğinde önermenin anlamı değişebilir: bir evrensel niceleyicinin kapsamındaki varoluşsal niceleyici her nesne için ayrı bir seçime izin verir, tersi ise bütün nesneler için tek bir seçim ister. Bir niceleyici ile bir olumsuzlamanın ve bir niceleyici ile bir inanç sözcüğünün sırası da anlamı değiştirir. Gündelik dil kapsamı çoğu zaman bağlamla belirler; bu yüzden bir cümleyi sembolleştirmek, olası okumaları ayrı ayrı yazmak ve hangisinin kastedildiğini açıkça belirtmektir.

Açık kalan sorular

Aquinas, Tanrı'nın bir olayı bilmesinin o olayı zorunlu kıldığı itirazını, bileşik ve ayrık anlam ayrımıyla cevapladı. Bir felsefi güçlüğün bir kapsam ayrımıyla çözülmesi, güçlüğün gerçek olmadığını, yalnızca dilin bir belirsizliğinden doğduğunu mu gösterir? Hangi felsefi sorunlar bir kapsam belirsizliğine indirgenebilir, hangileri indirgenemez?

Quine, Ralph'ın casus olduğuna inandığı biri vardır cümlesinin, niceleyicinin bir inanç sözcüğünün dışında durmasını gerektirdiğini gösterdi. Ama bir niceleyicinin bir inanç sözcüğünün dışında durması, inanılan kişinin dünyada var olmasını gerektirir. Ralph yanılıyorsa, yani şüphelendiği kişi yoksa, ikinci cümle ne söyler?

May, bir cümlenin görünen dizilişinin altında gizli bir mantıksal biçim bulunduğunu önerdi. Bu gizli biçim, konuşanın zihninde gerçekten bulunan bir şey midir, yoksa dilbilimcinin bir cümlenin okumalarını açıklamak için kurduğu bir araç mı? Bir cümlenin mantıksal biçimi, onun anlamının bir parçası mıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir niceleyicinin kapsamı, onun uygulandığı açık önermedir; aynı harfi taşıyan ve bu kapsamda bulunan her değişken geçişi o niceleyiciye bağlıdır, hiçbir niceleyicinin kapsamında olmayan bir değişken ise serbesttir.

Aquinas'ın bileşik ve ayrık anlam ayrımı bir kip sözcüğünün kapsamının bir önermenin anlamını değiştirdiğini, Quine'ın Ralph örneği bir niceleyicinin bir inanç sözcüğüne göre kapsamının bir önermenin sonuçlarını büyük ölçüde değiştirdiğini, May'in tezi ise gündelik dilde bir cümlenin görünen dizilişinin onun kapsam ilişkilerini tek başına belirlemediğini gösterdi.

Bir cümlenin kapsamı dört adımla belirlenir: her niceleyicinin kapsamını işaretlemek, serbest kalan değişken olup olmadığını denetlemek, olası sıraları ayrı ayrı yazmak ve bağlamın hangi okumayı istediğini açıkça belirtmek.

Bağlamın belirsizliği çözdüğü, serbest değişkenin bulunmaması gerektiği ve kapsamın dilbilgisinin konusu olduğu itirazları, bağlamı paylaşmayan okurlar için belirsizliğin geri döndüğünü, bağlı ve serbest değişken ayrımının bir önermenin iskeletini görmenin aracı olduğunu ve mantığın her okumanın neyi gerektirdiğini belirlediğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden niceleyicili bir cümleyi okumak, her niceleyicinin ve olumsuzlamanın cümlenin hangi kısmını kapsadığını açıkça belirlemek, olası okumaları ayrı ayrı yazmak ve hangisinin kastedildiğini metnin kendisinde görünür kılmaktır.

Sonraki derse köprü

Barış'ın avukatları ve Kerem'in iki sırası, grubu birden çok niceleyicinin iç içe geçtiği önermelere götürdü. Grup, niceleme modülünü tamamlarken iki niceleyiciyi, onların kapsamlarını ve sıralarının önemini tanıyordu. Ama gündelik dilin ve raporun pek çok cümlesi, iki niceleyiciden fazlasını, üç ya da dört niceleyiciyi, iç içe kullanıyordu: "her tanık için, onu kopyalayan ve başka bir tanıktan önce çalışmış bir müstensih vardır."

Lina, böyle bir cümleyi yazmanın, her niceleyicinin hangi değişkeni bağladığını ve hangi niceleyicinin hangisini kapsadığını adım adım belirlemeyi gerektirdiğini fark ediyor. Defne, hasta kayıtlarında da benzer cümleler bulunduğunu söylüyor: "her hasta için, ona her gün en az bir kez uğrayan bir hemşire vardır." Bu cümlelerde niceleyicilerin sayısı arttıkça, olası sıraların sayısı da artıyordu ve bir çevirinin doğru olup olmadığını sınamak güçleşiyordu.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Çeviri modülünün ilk dersi olan Çoklu niceleme, gündelik dildeki birden çok niceleyici içeren cümlelerin yüklemler mantığına nasıl çevrileceğini, niceleyicilerin hangi sırayla yazılacağının nasıl belirleneceğini ve bir çevirinin doğru olup olmadığının nasıl sınanacağını soruyor.