Evrensel ve varoluşsal niceleyici

Açılış sahnesi

Deniz, kıyasın birinci öncülünü artık yüklemlerle yazabiliyordu: "x bir tanıksa, x bir el yazmasıdır." T ve E iki yüklemdi, x aynı nesnenin yerini tutuyordu. Ama açık önerme ne doğru ne yanlıştı. Deniz, "her tanık bir el yazmasıdır" demek için bir sözcüğe ihtiyaç duyuyor: bu koşullunun x'in hangi değeri alınırsa alınsın doğru olduğunu söyleyen bir sözcüğe. Önüne şöyle bir ön ek koyuyor: "her x için". Önerme artık doğru ya da yanlış olabiliyordu: söylem evreninin her nesnesi için, o nesne bir tanıksa, bir el yazmasıydı.

Tolga, kendi varlık iddiasını aynı biçimde yazmaya çalışıyor: "müstensihin kopyaladığı ve kaybolan bir el yazması vardır." Burada koşullu değil, bir birleşme gerekiyordu: kopyalanmış ve kaybolmuş olan bir şey. Tolga, önüne başka bir ön ek koyuyor: "en az bir x için". Selin ise, klasik mantığa giriş yaparken tümel ve tikel önermeler diye ayırdıkları dört önerme türünün, bu iki ön ekle nasıl yazılacağını soruyor. Defne ise hastane raporlarının sık kullandığı bir sözcüğün, "çoğu" sözcüğünün, bu iki ön ekten hangisiyle yazılabileceğini merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, bir açık önermeyi değişkenin bütün değerleri için ya da en az bir değeri için doğru olduğunu söyleyerek bir önermeye çeviren iki niceleyicinin ne olduğunu, nasıl okunduğunu ve klasik mantığın tümel ve tikel önermeleriyle nasıl ilişkili olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın değişken ve yüklem dersleri, bir açık önermenin nasıl kurulduğunu ve onun bir sabitle doldurularak bir önermeye çevrilebileceğini gösterdi. Klasik Mantığa Giriş kursunun nicelik dersi ise bir önermenin bir sınıfın bütün üyeleri hakkında mı yoksa en az bir üyesi hakkında mı konuştuğunu belirten sözcüklere niceleyici adını vermişti. Bu ders, bu iki çizgiyi birleştiriyor: bir açık önermeyi bir önermeye çevirmenin ikinci yolunu, değişkeni bir niceleyiciyle bağlamayı inceliyor ve yüklemler mantığının iki temel niceleyicisinin, klasik mantığın dört önerme türünü nasıl yeniden yazdığını gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Fin mantıkçı Jaakko Hintikka, 1973'te yayımladığı Mantık, Dil Oyunları ve Bilgi adlı kitabında, niceleyicili bir önermenin doğruluğunu, onu doğrulamaya ve yanlışlamaya çalışan iki oyuncu arasındaki bir oyunla açıklar. Amerikalı mantıkçı Richard Montague, 1973'te yayımlanan Gündelik İngilizcede Nicelemenin Uygun Ele Alınışı adlı makalesinde, "her tanık" gibi ifadelerin, gündelik dilde tek bir birim olarak işlediğini ve mantıksal biçimlerinin bu birimi bozmadan yazılabileceğini gösterir. Jon Barwise ile Robin Cooper ise 1981'de, "çoğu" gibi gündelik niceleyicilerin, yüklemler mantığının iki temel niceleyicisiyle tanımlanamadığını kanıtlar.

Ardından üç itirazı tartacağız: iki niceleyicinin klasik mantığın tümel ve tikel önermelerini yalnızca yeniden yazdığı, gündelik dilin niceleyicilerinin bu iki niceleyiciden çok daha zengin olduğu ve tümel önermelerin bu yazımla varlık yükünü yitirdiği itirazları.

Sonda, niceleyicili bir cümleyi yazmanın dört adımını göstereceğiz: cümlenin bütün nesneler hakkında mı yoksa en az bir nesne hakkında mı konuştuğunu belirlemek, evrensel niceleyiciyi bir koşulluyla, varoluşsal niceleyiciyi bir birleşmeyle kısıtlamak, niceleyicili bir önermenin olumsuzlamasını öteki niceleyiciyle yazmak ve cümlenin varlık yükü taşıyıp taşımadığını ayrıca belirtmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: yüklemler mantığının evrensel ve varoluşsal niceleyicileri nedir, bir açık önermeyi bir önermeye nasıl çevirir ve klasik mantığın tümel ve tikel önermeleriyle nasıl ilişkilidir?

Ölçülü iddiam şu: evrensel niceleyici, bir açık önermenin önüne konduğunda, o açık önermenin değişkenin söylem evrenindeki her değeri için doğru olduğunu söyleyen önermeyi kurar ve "her x için" diye okunur; varoluşsal niceleyici ise, açık önermenin değişkenin en az bir değeri için doğru olduğunu söyleyen önermeyi kurar ve "en az bir x için" diye okunur; bir sınıf hakkında konuşan tümel bir önerme, evrensel niceleyicinin bir koşulluyla birlikte kullanılmasıyla, "her x için, x bir T ise x bir E'dir" diye; tikel bir önerme ise varoluşsal niceleyicinin bir birleşmeyle birlikte kullanılmasıyla, "en az bir x için, x bir T ve x bir E'dir" diye yazılır; iki niceleyici birbirine olumsuzlamayla bağlıdır: "her x için" önermesinin olumsuzlaması, olumsuzlanan açık önermenin "en az bir x için" önermesine eşdeğerdir, tersi de; bu yazım, klasik mantığın dört önerme türünü ve onların çelişiklik ilişkilerini korur, ama tümel önermeleri varlık yükünden arındırır: hiçbir tanık yoksa, "her tanık bir el yazmasıdır" önermesi boş yere doğrudur; iki niceleyici birlikte, klasik mantığın dört önerme türünden çok daha fazlasını, özellikle birden çok niceleyicinin iç içe geçtiği önermeleri yazmayı sağlar; ama "çoğu" gibi bazı gündelik niceleyiciler, bu iki niceleyiciyle tanımlanamaz.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "her" ve "bazı" sözcüklerinin anlamını sorduğunda, çoğu zaman cevabı kolay sanar: biri hepsini, öteki bir kısmını anlatır. Ama bu sözcüklerin bir önermenin içinde tam olarak ne yaptığı, ilk bakışta göründüğünden daha incedir. "Her tanık bir el yazmasıdır" önermesi, tanıkların her biri hakkında mı, yoksa söylem evreninin her nesnesi hakkında mı bir şey söyler?

Yüklemler mantığı bu soruya kesin bir cevap verir. Evrensel niceleyici, söylem evreninin her nesnesi hakkında konuşur. "Her tanık bir el yazmasıdır" önermesi, söylem evreninin her nesnesi için bir koşul koyar: o nesne bir tanıksa, bir el yazmasıdır. Tanık olmayan nesneler için koşullu, ön bileşeni yanlış olduğu için, doğrudur; bu yüzden önerme, yalnızca tanıklar hakkında bir şey söylüyor gibi görünür. Varoluşsal niceleyici de söylem evreninin nesneleri arasında arar: "bazı tanıklar 'zamanı gelince' okunuşunu taşır" önermesi, en az bir nesnenin hem bir tanık olduğunu hem de bu okunuşu taşıdığını söyler.

İki niceleyicinin arasındaki bağ, bir olumsuzlamayla kurulur. Bir açık önermenin her değer için doğru olmadığını söylemek, onun en az bir değer için yanlış olduğunu söylemektir. Bir açık önermenin en az bir değer için doğru olmadığını söylemek ise, onun her değer için yanlış olduğunu söylemektir. Bu iki eşdeğerlik, De Morgan yasalarının niceleyicilerdeki karşılığıdır.

Görüşler ve pozisyonlar

İki niceleyicinin gündelik dilin niceleme sözcükleriyle ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, çeviri görüşüdür. Buna göre gündelik dilin "her", "bütün", "bazı", "bir", "hiçbir" gibi niceleme sözcükleri, yüklemler mantığının iki niceleyicisine ve olumsuzlamaya çevrilebilir. Bu çeviri, gündelik niceleme sözcüklerinin mantıksal içeriğini tam olarak verir.

İkinci görüş, zenginlik görüşüdür. Buna göre gündelik dilin niceleme sözcükleri, iki niceleyiciden çok daha zengindir: "çoğu", "pek çok", "birkaç", "ancak birkaç" gibi sözcükler, iki niceleyiciyle çevrilemez ve gündelik akıl yürütmenin büyük bir kısmı bu sözcüklere dayanır.

Üçüncü görüş, çekirdek görüşüdür. Buna göre iki niceleyici, gündelik niceleme sözcüklerinin tamamını değil, onların kesin bir çekirdeğini verir: "her" ve "bazı" sözcükleri iki niceleyiciye çevrilebilir; "çoğu" gibi sözcükler ise ayrı niceleyiciler gerektirir. İki niceleyicinin gücü, birbirleriyle ve bağlaçlarla birleştirilerek, klasik mantığın göremediği pek çok yapıyı yazabilmesindedir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, "her" ve "bazı" sözcüklerinin iki niceleyiciye çevrilebildiğini doğru görür, ama Barwise ile Cooper'ın kanıtladığı gibi, bütün gündelik niceleyicilerin bu biçimde çevrilebildiği iddiası yanlıştır. İkinci görüş, gündelik niceleyicilerin zenginliğini doğru görür, ama iki niceleyicinin, birleştirildiklerinde, gündelik dilin pek çok önemli yapısını kesin biçimde yazabildiğini gözden kaçırır.

Argümanın yapısı

Niceleyicili bir cümleyi yazmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, cümlenin bütün nesneler hakkında mı yoksa en az bir nesne hakkında mı konuştuğunu belirlemektir. Yazan, "her", "bütün", "hiçbir" gibi sözcüklerin evrensel, "bazı", "bir", "en az bir", "vardır" gibi sözcüklerin varoluşsal bir niceleme bildirdiğini işaretler. "Hiçbir" sözcüğünün, bir evrensel niceleyici ile bir olumsuzlamanın birleşimi olduğunu gözetir.

İkinci adım, evrensel niceleyiciyi bir koşulluyla, varoluşsal niceleyiciyi bir birleşmeyle kısıtlamaktır. Yazan, "her T bir E'dir" önermesini "her x için, x bir T ise x bir E'dir" diye; "bazı T'ler E'dir" önermesini "en az bir x için, x bir T ve x bir E'dir" diye yazar. Evrensel niceleyiciyi bir birleşmeyle ya da varoluşsal niceleyiciyi bir koşulluyla kısıtlamanın, Tolga'nın birleşmesinde görüldüğü gibi, cümlenin anlamını bozduğunu bilir.

Üçüncü adım, niceleyicili bir önermenin olumsuzlamasını öteki niceleyiciyle yazmaktır. Yazan, "her x için, A" önermesinin olumsuzlamasını "en az bir x için, A değil" diye; "en az bir x için, A" önermesinin olumsuzlamasını "her x için, A değil" diye yazar.

Dördüncü adım, cümlenin varlık yükü taşıyıp taşımadığını ayrıca belirtmektir. Yazan, evrensel bir önermenin, kısıtlayıcı yüklemin hiçbir nesne tarafından doyurulmadığı durumda boş yere doğru olduğunu bilir. Cümle, kısıtlayıcı yüklemi taşıyan en az bir nesnenin var olduğunu da ileri sürüyorsa, bunu ayrı bir varoluşsal önerme olarak ekler.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

İki niceleyiciyi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Evrensel niceleyici, bir açık önermenin değişkenin her değeri için doğru olduğunu, varoluşsal niceleyici ise en az bir değeri için doğru olduğunu söyleyen önermeyi kurar. Tümel önermeler evrensel niceleyicinin bir koşulluyla, tikel önermeler varoluşsal niceleyicinin bir birleşmeyle kısıtlanmasıyla yazılır; kısıtlamanın yanlış bağlaçla yapılması önermenin anlamını bozar. İki niceleyici olumsuzlamayla birbirine bağlıdır ve bu bağ, bir iddiayı çürütmenin yükünün niceleyiciye göre nasıl değiştiğini gösterir. Bu yazım, klasik mantığın dört önerme türünü ve çelişiklik ilişkilerini korur, ama tümel önermelerin varlık yükünü ayrı bir iddiaya taşır. İki niceleyici, iç içe geçerek ve çok yerli yüklemlerle birleşerek kıyas kuramının çok ötesine geçer; ama "çoğu" gibi bazı gündelik niceleyiciler onlarla tanımlanamaz.

Açık kalan sorular

Hintikka'nın oyunu, bir niceleyicili önermeyi anlamanın, onun nasıl doğrulanıp yanlışlanacağını bilmek olduğunu düşündürür. Ama sonsuz bir söylem evreninde, evrensel bir önermeyi doğrulamak için bütün nesnelere karşı sınanmak gerekir; bu hiçbir zaman tamamlanamaz. Böyle bir önermeyi anlamak, onun doğrulanamayacağını bilmek midir?

Montague, niceleyici ifadelerin gündelik dilde tek bir birim olarak işlediğini gösterdi. Yüklemler mantığının niceleyici yazımı bu birimi parçalıyordu. Bir mantıksal biçimin gündelik dilin dilbilgisi yapısından bu kadar uzaklaşması, onun gündelik dilin mantığını değil, başka bir şeyi betimlediğini mi gösterir?

Barwise ile Cooper, "çoğu" niceleyicisinin iki niceleyiciyle tanımlanamadığını gösterdi. Tıp, hukuk ve sosyal bilimlerdeki akıl yürütmenin büyük bir kısmı "çoğu", "genellikle" ve "nadiren" gibi sözcüklere dayanır. Bu akıl yürütmelerin mantığı, bir istatistik ya da olasılık kuramına mı devredilmelidir, yoksa kendine özgü bir mantığı var mıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Evrensel niceleyici bir açık önermenin değişkenin her değeri için, varoluşsal niceleyici ise en az bir değeri için doğru olduğunu söyleyen önermeyi kurar; tümel önermeler evrensel niceleyicinin bir koşulluyla, tikel önermeler varoluşsal niceleyicinin bir birleşmeyle kısıtlanmasıyla yazılır.

Hintikka'nın oyunu evrensel niceleyicinin her nesneye karşı sınanmayı, varoluşsal niceleyicinin tek bir tanık nesne bulmayı gerektirdiğini, Montague'nün makalesi niceleyici ifadelerin gündelik dilde tek bir birim olarak işlediğini, Barwise ile Cooper'ın sonucu ise "çoğu" gibi niceleyicilerin iki niceleyiciyle tanımlanamadığını gösterdi.

Niceleyicili bir cümle dört adımla yazılır: evrensel mi varoluşsal mı olduğunu belirlemek, evrenseli koşulluyla ve varoluşsalı birleşmeyle kısıtlamak, olumsuzlamayı öteki niceleyiciyle yazmak ve varlık yükünü ayrı bir önerme olarak belirtmek.

İki niceleyicinin yalnızca bir yeniden yazım olduğu, gündelik niceleyicilerin daha zengin olduğu ve tümel önermelerin varlık yükünü yitirdiği itirazları, niceleyicilerin iç içe geçerek kıyas kuramının ötesine geçtiğini, iki niceleyicinin gündelik nicelemenin kesin bir çekirdeğini verdiğini ve varlık yükünün ayrı bir iddia olarak açıkça yazılabildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden niceleyicili bir cümleyi yazmak, onun bütün nesneler hakkında mı yoksa en az bir nesne hakkında mı konuştuğunu açıkça belirlemek, niceleyiciyi doğru bağlaçla kısıtlamak ve onu çürütmek için neyin gösterilmesi gerektiğini niceleyicinin olumsuzlamasıyla görünür kılmaktır.

Sonraki derse köprü

Lina'nın oyunu, grubun dikkatini niceleyicilerin sırasına çekti. "Her tanık için, o tanık en az bir okunuş taşır" önermesinde, önce evrensel sonra varoluşsal niceleyici geliyordu ve oyunda önce Barış, sonra Kerem seçim yapıyordu. Kerem, niceleyicilerin sırası değişirse ne olacağını soruyor: "en az bir okunuş için, her tanık o okunuşu taşır." Bu önermede önce Kerem seçim yapacak, sonra Barış; Kerem, bütün tanıkların taşıdığı tek bir okunuş bulmak zorunda kalacaktı.

Grup, iki önermenin çok farklı şeyler söylediğini fark ediyor: birincisi, her tanığın bir okunuş taşıdığını, belki her birinin farklı bir okunuş taşıdığını söylüyordu; ikincisi, bütün tanıkların ortak bir okunuş taşıdığını. Barış, bir niceleyicinin önermenin hangi kısmını etkilediğinin, yani onun kapsamının, önermenin anlamını belirlediğini söylüyor. Selin ise olumsuzlamanın kapsamı üzerine konuşurken benzer bir sorunla karşılaştıklarını hatırlatıyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Kapsam dersi, bir niceleyicinin önermenin hangi kısmına uygulandığını, bir değişkenin ne zaman bir niceleyiciye bağlı, ne zaman serbest olduğunu ve niceleyicilerin ya da bir niceleyici ile bir olumsuzlamanın sırası değiştiğinde önermenin anlamının nasıl değiştiğini soruyor.