Değişken

Açılış sahnesi

Kerem, Tolga'nın varlık iddiasını tahtaya yazıyor: "Müstensihin kopyaladığı ve kaybolan bir el yazması vardır." Cümledeki "bir el yazması" ifadesine bir birey sabiti veremiyordu; belirli bir el yazmasını göstermiyordu. Kerem, ifadenin yerine bir boşluk bırakmayı deniyor: "falanca, müstensihin kopyaladığı ve kaybolan bir el yazmasıdır." "Falanca" sözcüğü bir boşluk gibi çalışıyordu; bu boşluk, herhangi bir el yazmasıyla doldurulabilirdi; bazılarıyla doldurulduğunda cümle doğru, bazılarıyla yanlış olurdu. Varlık iddiası, bu boşluğu doğru kılan en az bir el yazmasının bulunduğunu söylüyordu.

Deniz, aynı boşluğun kendi kıyasında da gizli olduğunu görüyor. "Her tanık bir el yazmasıdır" önermesinde "her tanık", belirli bir tanığı değil, tanıkların her birini gösteriyordu. Ama cümlenin iki yarısı, aynı nesne hakkında konuşuyordu: tanık olan şey ile el yazması olan şey aynıydı. Deniz, bu "aynılığın" bir boşlukla nasıl gösterileceğini soruyor: iki boşluk açılırsa, aynı nesneyle mi dolacaklardı? Lina ise gündelik dilin bu işi zamirlerle yaptığını hatırlatıyor: "bir el yazması bulunursa, o müzeye verilir" cümlesinde "o", "bir el yazması"nın yerini tutan bir boşluk gibi çalışıyordu. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Yüklemler Mantığı kursunda, belirli bir nesneyi değil söylem evreninin herhangi bir nesnesini gösterebilen simgelerin ne olduğunu, bir değişkenin bir birey sabitinden nasıl ayrıldığını ve "bir el yazması" ya da "her tanık" gibi ifadelerin yazılmasında değişkenlerin nasıl kullanıldığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın birey sabiti dersi, belirli tek bir nesneyi gösteren simgeleri inceledi ve bir atomik önermeyi bir sabit ile bir yüklemden kurulan bir yapı olarak ayırdı. Ama sabitler, yalnızca belirli nesneler hakkında konuşmaya izin veriyordu. Bu ders, belirli olmayan nesneler hakkında konuşmanın ilk aracına, değişkenlere bakıyor. Bir değişken, bir sabit gibi bir önermede bir nesnenin yerini tutar, ama hangi nesnenin yerini tuttuğu önceden belirlenmemiştir. Değişkenler, sonraki derslerde niceleyicilerle birleştirilerek "her" ve "bazı" gibi ifadeleri yazmayı sağlayacak.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Fransız matematikçi François Viète, 1591'de yayımladığı Çözümleme Sanatına Giriş'te, cebirde bilinmeyen nicelikleri ünlü harflerle, bilinen nicelikleri ünsüz harflerle göstermeyi önerir ve böylece belirli sayılar yerine genel niceliklerle hesap yapmanın yolunu açar. Bertrand Russell, 1903'te yayımladığı Matematiğin İlkeleri'nin değişkene ayırdığı bölümünde, değişkenin matematiğin en güç kavramlarından biri olduğunu yazar ve onun ne olduğunu açıklamaya çalışır. Moses Schönfinkel ise 1924'te, mantığın değişkenler kullanılmadan, yalnızca birkaç temel işlemle kurulabileceğini gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: değişkenin belirsiz bir nesneyi gösterdiği ve böyle bir nesnenin var olmadığı, değişkenlerin Schönfinkel'in gösterdiği gibi gereksiz olduğu ve değişken içeren bir cümlenin doğru ya da yanlış olmadığı için bir önerme sayılamayacağı itirazları.

Sonda, bir cümlede değişkenlerle çalışmanın dört adımını göstereceğiz: belirli olmayan nesneleri gösteren ifadeleri bulup onların yerine değişkenler koymak, aynı nesneyi gösteren yerlere aynı değişkeni, farklı nesneleri gösterebilen yerlere farklı değişkenleri vermek, açık önermenin hangi değerlerle doğru olduğunu sınamak ve açık önermeyi, bir sabit koyarak ya da bir niceleyici ekleyerek, doğru ya da yanlış olabilen bir önermeye çevirmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: değişken nedir, bir değişken bir birey sabitinden nasıl ayrılır ve değişken içeren bir ifade doğru ya da yanlış olabilen bir önermeyle nasıl ilişkilidir?

Ölçülü iddiam şu: yüklemler mantığında bir birey değişkeni, bir önermede bir nesnenin yerini tutan ama hangi nesnenin yerini tuttuğu belirlenmemiş olan simgedir; genellikle x, y, z gibi harflerle yazılır ve söylem evreninin her nesnesini değer olarak alabilir; bir değişken, bir birey sabitinden şu bakımdan ayrılır: sabit belirli bir nesneyi gösterir, değişken ise yalnızca bir yer tutar; "x bir tanıktır" gibi değişken içeren bir ifade, bir açık önermedir: kendi başına doğru ya da yanlış değildir, ama x'e bir değer verildiğinde doğru ya da yanlış olur; bir açık önermeyi doğru kılan değerlere, o önermeyi doyuran değerler denir ve bu değerlerin kümesi, önermenin yüklemi ile aynı kaplamı taşır; aynı değişkenin bir önermede birden çok geçmesi, bu yerlerin aynı nesneyle dolacağını gösterir ve "her tanık bir el yazmasıdır" gibi bir cümlenin iki yarısının aynı nesne hakkında konuştuğunu yazmayı sağlar; açık önerme, bir sabitle doldurularak ya da bir niceleyiciyle bağlanarak doğru ya da yanlış olabilen bir önermeye çevrilir; değişken, belirsiz bir nesnenin adı değil, bir yer tutucudur ve bu yüzden onun hangi nesneyi gösterdiği sorusu anlamsızdır, yalnızca hangi değerleri alabildiği ve hangi değerlerin onu içeren açık önermeyi doyurduğu sorulabilir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci cebirde x harfini ilk kez gördüğünde, çoğu zaman onu bilinmeyen tek bir sayının adı sanır. Bir denklemde bu doğrudur: "x artı üç eşittir beş" denkleminde x, bulunacak tek bir sayıyı gösterir. Ama "x artı sıfır eşittir x" ifadesinde x, belirli bir sayıyı göstermez; herhangi bir sayının yerini tutar ve ifade, her sayı için doğrudur. Harf, iki kullanımda farklı işler görür.

Yüklemler mantığında değişkenler, ikinci kullanıma daha yakındır. Bir değişken, söylem evreninin herhangi bir nesnesinin yerini tutabilen bir boşluktur. "x bir tanıktır" ifadesi, x'in yerine bir nesne konmadıkça ne doğru ne yanlıştır; x'in yerine üçüncü el yazması konursa doğru, grubun bir monografisi konursa yanlış olur. Bu türden ifadelere açık önerme denir: bir yüklemin bir değişkene uygulanmasıyla kurulur ve değişkenin değerine göre doğru ya da yanlış olur.

Açık önermeler, doğru ya da yanlış olabilen önermelerin yapı taşlarıdır. Bir açık önerme iki yolla bir önermeye dönüştürülebilir. Birincisi, değişkenin yerine bir birey sabiti koymaktır: "c bir tanıktır." İkincisi, değişkeni bir niceleyiciyle bağlamaktır: "her x için, x bir tanıktır" ya da "en az bir x için, x bir tanıktır." İkinci yol, sonraki derslerde incelenecek; bu ders, açık önermenin kendisine ve onun içindeki değişkenlere bakıyor.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir değişkenin ne olduğu konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, belirsiz nesne görüşüdür. Buna göre bir değişken, belirsiz bir nesneyi, yani herhangi bir nesneyi ya da her nesneyi, gösterir. "x bir tanıktır" ifadesindeki x, belirli olmayan bir el yazmasını, adı konmamış bir el yazmasını gösterir.

İkinci görüş, yer tutucu görüşüdür. Buna göre bir değişken hiçbir nesneyi göstermez; bir önermede bir nesnenin konabileceği bir yeri işaretler. Değişken, bir adın değil, bir boşluğun simgesidir ve onun hakkında sorulabilecek tek şey, hangi nesnelerin o boşluğa konabileceği ve konduklarında önermenin doğru mu yanlış mı olacağıdır.

Üçüncü görüş, bağlantı görüşüdür. Buna göre bir değişkenin asıl işi, bir nesneyi göstermek ya da yalnızca bir yer tutmak değil, bir önermenin farklı yerlerini birbirine bağlamaktır: aynı değişkenin iki yerde geçmesi, bu iki yerin aynı nesneyle dolacağını söyler. Değişken, gündelik dilde zamirlerin gördüğü işi, bir ifadenin bir başka ifadeyle aynı nesneye işaret ettiğini gösterme işini, kesin biçimde yapar.

Bu ders ikinci ve üçüncü görüşü birlikte temel alır. Birinci görüş, değişkenin belirli olmayan nesneler hakkında konuşmayı sağladığını doğru görür, ama Russell'ın ve Frege'nin gösterdiği gibi, belirsiz nesne diye bir nesne yoktur: her nesne belirli bir nesnedir. İkinci görüş, değişkenin bir yer tutucu olduğunu doğru görür; üçüncü görüş ise bu yer tutucunun, aynı harfle yazıldığında, bir önermenin parçalarını birbirine bağladığını ekler.

Argümanın yapısı

Bir cümlede değişkenlerle çalışmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, belirli olmayan nesneleri gösteren ifadeleri bulup onların yerine değişkenler koymaktır. Çalışan, "bir el yazması", "her tanık", "hiçbir kişi", "biri" gibi ifadeleri ve onlara dönen "o", "onu", "kendisi" gibi zamirleri işaretler ve bunların yerine değişken harfleri koyar. Belirli tek bir nesneyi gösteren ifadelere ise birey sabitleri verir.

İkinci adım, aynı nesneyi gösteren yerlere aynı değişkeni, farklı nesneleri gösterebilen yerlere farklı değişkenleri vermektir. Çalışan, bir cümlenin iki yerinin aynı nesne hakkında olup olmadığını sorar; öyleyse, iki yere aynı harfi verir. Farklı nesneler hakkında olabiliyorlarsa, farklı harfler verir; farklı harflerin aynı nesneyle dolmasını bir şey engellemez.

Üçüncü adım, açık önermenin hangi değerlerle doğru olduğunu sınamaktır. Çalışan, söylem evreninin nesnelerini değişkenin yerine tek tek koyar ve açık önermenin hangileriyle doğru, hangileriyle yanlış olduğunu belirler. Açık önermeyi doğru kılan değerlerin kümesi, onun hangi nesneler hakkında doğru olduğunu gösterir.

Dördüncü adım, açık önermeyi bir sabit koyarak ya da bir niceleyici ekleyerek doğru ya da yanlış olabilen bir önermeye çevirmektir. Çalışan, belirli bir nesne hakkında konuşmak istiyorsa değişkenin yerine onun sabitini koyar; bütün nesneler ya da en az bir nesne hakkında konuşmak istiyorsa, değişkeni bir niceleyiciyle bağlar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Değişkeni ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Birey değişkeni, bir önermede bir nesnenin yerini tutan ama hangi nesnenin yerini tuttuğu belirlenmemiş olan bir simgedir; bir nesneyi göstermez, bir yer tutar ve söylem evreninin her nesnesini değer olarak alabilir. Değişken içeren bir ifade bir açık önermedir: kendi başına doğru ya da yanlış değildir, ama değişkene bir değer verildiğinde doğru ya da yanlış olur; onu doyuran değerlerin kümesi, yüklemin kaplamıdır. Aynı değişkenin birden çok geçmesi, bu yerlerin aynı nesneyle dolacağını söyler; farklı değişkenler ise aynı nesneyle dolmayı dışlamaz. Açık önerme, bir sabitle doldurularak ya da bir niceleyiciyle bağlanarak bir önermeye çevrilir. Değişkenler ilke olarak ortadan kaldırılabilir, ama gündelik dilin zamirlerle yaptığı işi kesin ve okunaklı biçimde yaparlar.

Açık kalan sorular

Viète, cebirde bilinmeyenler için ünlüleri, bilinenler için ünsüzleri kullandı. Bir denklemdeki bilinmeyen ile bir yasadaki "bir kişi" aynı türden bir simge midir? Birincisi bulunacak tek bir nesneyi, ikincisi herhangi bir nesneyi gösteriyorsa, aynı harfle yazılmaları bir karışıklığa yol açar mı?

Russell, değişkenin matematiğin en güç kavramlarından biri olduğunu yazdı. Bir kavramın güç olması, onun henüz tam anlaşılmadığını mı, yoksa çok temel olduğu için başka kavramlarla açıklanamadığını mı gösterir? Değişken, başka kavramlarla tanımlanabilir mi, yoksa mantığın tanımlanamayan temel kavramlarından biri midir?

Selin'in zamirleri, gündelik dildeki zamirlerin değişkenlere yakın olduğunu, ama "başka" gibi sözcüklerin ayrıca yazılması gerektiğini gösterdi. Gündelik dildeki zamirler, her zaman bir değişkenle yazılabilir mi? Bir zamirin hangi ifadeye döndüğü belirsiz olduğunda, bu belirsizlik bir mantık sorunu mudur, yoksa bir dil sorunu mu?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Birey değişkeni, bir önermede bir nesnenin yerini tutan ama hangi nesnenin yerini tuttuğu belirlenmemiş olan bir simgedir; bir nesneyi göstermez, bir yer tutar ve söylem evreninin her nesnesini değer olarak alabilir.

Viète'in tür cebiri herhangi bir niceliğin yerini tutan simgelerle çalışmanın cebirde kurulduğunu, Russell'ın değişken bölümü değişkenin bir nesneyi değil önermeler arasındaki bir yapıyı işaretlediğini, Schönfinkel'in makalesi ise değişkenlerin ilke olarak ortadan kaldırılabildiğini ama bunun ifadeleri çok daha okunaksız kıldığını gösterdi.

Bir cümlede değişkenlerle dört adımla çalışılır: belirli olmayan nesneleri gösteren ifadelerin yerine değişkenler koymak, aynı nesne hakkındaki yerlere aynı harfi vermek, açık önermenin hangi değerlerle doğru olduğunu sınamak ve açık önermeyi bir sabitle ya da bir niceleyiciyle bir önermeye çevirmek.

Değişkenin belirsiz bir nesne olduğu, değişkenlerin gereksiz olduğu ve açık önermenin önerme olmadığı itirazları, değişkenin bir nesneyi değil bir yeri gösterdiğini, değişkenlerin zamirlerin işini kesin ve okunaklı biçimde yaptığını ve açık önermenin önermelerin doğruluğunu açıklamanın vazgeçilmez bir basamağı olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir cümleyi değişkenlerle yazmak, onun belirli olmayan nesneler hakkında konuştuğu yerleri boşluklarla göstermek, bu boşlukların hangilerinin aynı nesneyle dolacağını harflerle işaretlemek ve boşlukları hangi nesnelerin doyurduğunu tek tek sınamaktır.

Sonraki derse köprü

Kerem'in doldurulan boşluğu ve Defne'nin tanı kümesi, grubu açık önermelerin öteki parçasına götürdü. "x bir tanıktır" ifadesinde x bir yer tutuyordu; ama "bir tanıktır" ifadesi ne yapıyordu? Kerem, onun bir nesneyi göstermediğini, ama nesnelere uygulanarak onları iki kümeye, önermeyi doğru kılanlara ve yanlış kılanlara, ayırdığını fark etmişti. Bu ifade, kavram ve tanım üzerine konuşurken bir terimin kaplamı dedikleri şeyi belirliyordu.

Lina, bir başka ifade türünün de dikkatini çektiğini söylüyor. "x, y'yi kopyaladı" ifadesinde "kopyaladı", tek bir nesneye değil, iki nesneye birden uygulanıyordu: bir müstensihe ve bir el yazmasına. Bu ifade de nesneleri ikiye ayırıyordu, ama tek tek nesneleri değil, nesne çiftlerini. Barış, hukukta "reşit olmak" gibi tek bir kişiye yüklenen nitelikler ile "sözleşme yapmak" gibi iki kişi arasında kurulan ilişkilerin ayrı ele alındığını hatırlatıyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Yüklem dersi, bir açık önermede değişkenlere uygulanan ve onları doğru ya da yanlış kılan ifadelerin ne olduğunu, tek bir nesneye uygulanan yüklemler ile birden çok nesneye uygulanan yüklemlerin nasıl ayrıldığını ve bir yüklemin kaplamının söylem evreninde nasıl belirlendiğini soruyor.