Türetim stratejisi

Açılış sahnesi

Kerem, grubun önüne bir türetim sorusu koyuyor ve kendi deneyimini anlatıyor. Öncüller şunlardı: el yazması eğik yazıyla yazıldıysa ya da cilalı kâğıda yazıldıysa, o dönemden sonra yazılmıştır; el yazması o dönemden sonra yazıldıysa ve bir tarih taşımıyorsa, bir kopyadır; el yazması bir tarih taşımıyor. Kanıtlanacak sonuç: el yazması eğik yazıyla yazıldıysa, bir kopyadır. Kerem, bu soruya ilk kez baktığında öncüllerden başladığını, rastgele kurallar uyguladığını ve birkaç kez bir çıkmaza girdiğini söylüyor: öncüllerden pek çok şey türetilebiliyordu, ama hiçbiri sonuca yaklaşmıyordu.

Lina, başka bir yoldan gittiğini anlatıyor: sonuçtan geriye doğru düşünmüştü. Sonuç bir koşulluydu; bir koşullu, koşullu ispatla kurulurdu; bu yüzden ilk iş, ön bileşeni varsaymak ve art bileşeni hedeflemekti. Selin, sonucun biçiminin hangi kuralın kullanılacağını çoğu zaman belirlediğini ekliyor. Barış ise bir türetimin bazen hiçbir yoldan ilerlemediğini hatırlatıyor ve böyle bir durumda ne yapılacağını soruyor: vazgeçmek mi, başka bir yol denemek mi, yoksa çıkarımın geçerli olup olmadığını yeniden sınamak mı? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, bir türetimi kurarken sonuçtan geriye ve öncüllerden ileriye doğru düşünmenin nasıl birleştirildiğini, sonucun ve öncüllerin biçiminin hangi kuralların ve hangi alt ispatların kullanılacağını nasıl belirlediğini ve bir türetim bir çıkmaza girdiğinde ne yapılacağını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın doğal çıkarım modülü, varsayımları, koşullu ispatı, reductio'yu ve alt ispatları tek tek inceledi; her ders, bir türetimin bir öğesini ve onu kuran kuralı gösterdi. Ama bir türetimin öğelerini bilmek, onu kurmayı bilmek değildir. Bu ders, modülü ve Önermeler Mantığı kursunu kapatırken, bu öğelerin bir türetimde nasıl bir araya getirileceğine, yani türetim stratejisine bakıyor: hangi kuralın ne zaman seçileceğine, hangi alt ispatın ne zaman açılacağına ve bir çıkmazdan nasıl çıkılacağına.

Sonra üç kaynağa bakacağız. İskenderiyeli Pappos, dördüncü yüzyılın başında yazdığı Derleme'nin yedinci kitabında, geometricilerin kullandığı iki yöntemi anlatır: aranan şeyi bulunmuş varsayıp ondan geriye doğru, zaten bilinen bir şeye varana kadar ilerleyen çözümleme ve bu yolu tersine izleyerek bilinenden arananı kuran bireşim. George Pólya, 1945'te yayımladığı Nasıl Çözmeli adlı kitabında, bir problemi çözmenin genel buluşsal yöntemlerini sıralar ve bunların arasında sonuçtan geriye doğru çalışmaya ve yardımcı problemler kurmaya özel bir yer verir. Allen Newell, John Clifford Shaw ve Herbert Simon ise 1956'da, önermeler mantığının teoremlerini bu türden buluşsal yöntemlerle kanıtlayan bir bilgisayar programını anlatır.

Ardından üç itirazı tartacağız: türetim stratejisinin mantığın değil psikolojinin konusu olduğu, stratejilerin bir türetimin bulunacağını güvenceye almadığı ve bir makinenin türetimleri bir insandan daha iyi bulduğu için strateji öğrenmenin gereksiz olduğu itirazları.

Sonda, bir türetimi kurmanın dört adımını göstereceğiz: önce çıkarımın geçerli olup olmadığını kısaca sınamak, sonucun ana bağlacına bakarak geriye doğru bir alt hedef belirlemek, öncüllerin ana bağlaçlarına bakarak ileriye doğru kolay adımları atmak ve bir çıkmaza girildiğinde dolaylı bir yola geçmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir türetimi kurarken hangi kuralın ve hangi alt ispatın kullanılacağına nasıl karar verilir, sonuçtan geriye ve öncüllerden ileriye düşünme nasıl birleştirilir ve bir türetim bir çıkmaza girdiğinde ne yapılır?

Ölçülü iddiam şu: bir türetimi kurmanın güvenilir bir yolu, önce sonuçtan geriye doğru düşünmektir: sonucun ana bağlacı, onu kurmak için hangi kuralın kullanılacağını çoğu zaman belirler: bir koşullu koşullu ispatla, bir olumsuzlama olumsuzlama tanıtmayla, bir birleşme iki ayrı alt hedefle, bir iki yönlü koşul iki koşullu ispatla kurulur; bir ayrılma ya da bir atomik önerme ise öncüllerden, eleme kurallarıyla çıkarılır; aynı anda öncüllerden ileriye doğru kolay adımlar atılır: birleşmeler ayrılır, koyma kipi ve kaldırma kipi uygulanabildiği her yerde uygulanır ve bir ayrılma öncülü durumlara göre ispata işaret eder; iki yön bir noktada buluşursa türetim tamamlanır; buluşmazsa, sonucun olumsuzlamasını varsayıp bir çelişki aramak her zaman denenebilecek bir son yoldur; bu stratejiler bir türetimin bulunacağını her durumda güvenceye almaz, ama önermeler mantığında her geçerli çıkarımın bir türetimi vardır ve bir türetim bulunamıyorsa, çıkarımın geçerliliği bir tabloyla ya da karşı değerlemeyle yeniden sınanabilir; bu yüzden strateji, mantığın kurallarına bir şey eklemez, ama onları kullanmanın bilgisini verir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir türetim sorusuyla karşılaştığında, çoğu zaman öncüllerden başlar ve uygulanabilen her kuralı uygular. Bu yol, türetim kısa olduğunda işe yarar. Uzun bir türetimde ise, öncüllerden türetilebilecek şeylerin sayısı hızla büyür ve öğrenci, sonuca yaklaşmayan satırlarla dolu bir sayfada kaybolur. Kurallar her adımda pek çok seçenek sunar; hangisinin sonuca götüreceği önceden bilinmez.

Türetim stratejisi, bu seçenekleri daraltmanın yollarını verir. En güçlü yol, sonuçtan geriye doğru düşünmektir. Sonucun biçimi, onun hangi kuralla elde edilebileceğini söyler; bu kural, bir alt hedef belirler; alt hedefin biçimi de, onun hangi kuralla elde edilebileceğini söyler. Geriye doğru düşünme, öğrenciyi sonuca giden yola odaklar ve sonuçla ilgisiz satırları türetmekten korur.

Geriye doğru düşünme, ileriye doğru düşünmeyle birleştirilir. Öncüllerden, hiçbir seçenek gerektirmeyen kolay adımlar atılır: bir birleşmeden bileşenleri çıkarılır, bir koşullu ile ön bileşeni birlikte bulunuyorsa art bileşen çıkarılır. Bu adımlar, geriye doğru belirlenen alt hedeflere doğru ilerler. İki yön bir satırda buluştuğunda, türetim tamamlanmıştır.

Görüşler ve pozisyonlar

Türetim stratejisinin mantıktaki yeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, dışsallık görüşüdür. Buna göre türetim stratejisi mantığın bir parçası değildir; mantık, hangi çıkarımların geçerli olduğunu ve hangi kuralların bir türetimde kullanılabileceğini belirler, bir türetimin nasıl bulunacağı ise psikolojinin ya da eğitimin konusudur. Bir türetim, nasıl bulunmuş olursa olsun, kuralları doğru uyguluyorsa geçerlidir.

İkinci görüş, yöntem görüşüdür. Buna göre türetim stratejisi mantığın ayrılmaz bir parçasıdır: bir kural listesi, onu kullanmanın bir yöntemi olmadan, bir öğrenciye ya da bir makineye bir türetim bulmayı öğretmez. Doğal çıkarımın kuralları, tam da her bağlacın bir kuruluş ve bir kullanım kuralı olacak biçimde düzenlendiği için, sonucun ve öncüllerin biçimine göre bir strateji önerir.

Üçüncü görüş, buluşsallık görüşüdür. Buna göre türetim stratejisi, bir türetimi bulmanın güvenilir ama güvenceli olmayan kurallarından, yani buluşsal yöntemlerden oluşur. Bu yöntemler, çoğu durumda bir türetimi hızla bulur, ama bazı durumlarda bir çıkmaza götürebilir. Önermeler mantığında, bir türetimin bulunamadığı durumlarda, çıkarımın geçerliliği bir karar yöntemiyle, yani bir tabloyla, kesin olarak sınanabilir; bu yüzden buluşsal yöntemler bir güvence değil, bir kısa yoldur.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün gözlemini ona ekler. Birinci görüş, bir türetimin geçerliliğinin onun nasıl bulunduğuna bağlı olmadığını doğru görür, ama bir türetim bulmanın bilgisini mantığın dışına atmakla, doğal çıkarım kurallarının bu bilgiyi zaten yapılarında taşıdığını gözden kaçırır. İkinci görüş, kuralların bir strateji önerdiğini doğru görür; üçüncü görüş ise bu stratejinin sınırlarını ve bir çıkmazda başvurulabilecek kesin bir yolun bulunduğunu açıkça söyler.

Argümanın yapısı

Bir türetimi kurmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, önce çıkarımın geçerli olup olmadığını kısaca sınamaktır. Kuran, türetime başlamadan önce, bir karşı değerlemeyle sonucun yanlış ve öncüllerin doğru olabileceği bir durum arar. Böyle bir durum bulursa, çıkarım geçersizdir ve bir türetim aramak boşunadır. Bulamazsa, bir türetimin var olduğunu bilerek başlar.

İkinci adım, sonucun ana bağlacına bakarak geriye doğru bir alt hedef belirlemektir. Kuran, Selin'in biçim tablosunu kullanarak sonucun hangi kuralla kurulacağını belirler, gerekiyorsa bir varsayım açar ve yeni alt hedefi yazar. Alt hedef için aynı soruyu tekrar sorar ve öncüllerde bulunan ya da onlardan kolayca türetilebilen satırlara varana kadar iner.

Üçüncü adım, öncüllerin ana bağlaçlarına bakarak ileriye doğru kolay adımları atmaktır. Kuran, öncüllerdeki birleşmeleri bileşenlerine ayırır, bir koşullu ile ön bileşeni birlikte bulunuyorsa koyma kipini, bir koşullu ile art bileşeninin olumsuzlaması birlikte bulunuyorsa kaldırma kipini uygular. Bir öncül bir ayrılmaysa, durumlara göre ispatın gerekip gerekmediğine bakar.

Dördüncü adım, bir çıkmaza girildiğinde dolaylı bir yola geçmektir. Kuran, geriye ve ileriye doğru çalışma bir noktada buluşmuyorsa, sonucun olumsuzlamasını geçici varsayım olarak açar ve öncüllerle birlikte bir çelişki arar. Bu yol, sonucun biçimi ne olursa olsun denenebilir, ama bir önermenin kendisini kanıtlamak için kullanıldığında çifte olumsuzlama eleme adımını gerektirir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Türetim stratejisini ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir türetimi kurmanın güvenilir yolu, önce çıkarımın geçerli olup olmadığını kısaca sınamak, sonra sonucun ana bağlacına bakarak geriye doğru alt hedefler belirlemek ve öncüllerden ileriye doğru seçim gerektirmeyen kolay adımları atmaktır. Sonucun biçimi kuralı belirler: bir koşullu koşullu ispatla, bir olumsuzlama olumsuzlama tanıtmayla, bir birleşme iki alt hedefle kurulur; bir ayrılma öncülü durumlara göre ispata işaret eder. İki yön buluşmazsa, sonucun olumsuzlamasını varsayıp bir çelişki aramak her zaman denenebilecek bir son yoldur. Bu stratejiler buluşsal yöntemlerdir ve bir türetimi her durumda güvenceye almaz; ama önermeler mantığında her geçerli çıkarımın bir türetimi vardır ve geçerlilik bir tabloyla kesin olarak sınanabilir. Strateji, mantığın kurallarından türetilen ve onları kullanmanın bilgisini veren bir yöntemdir.

Açık kalan sorular

Pappos, çözümlemeyi bir keşif yöntemi, bireşimi ise bir kanıtlama yöntemi saydı. Bir kanıtın nasıl bulunduğunu gösteren bir çözümleme, kanıtın kendisinden daha çok şey öğretir mi? Matematik ve mantık kitaplarının kanıtları çoğu zaman bireşim biçiminde, bulunuş yollarını gizleyerek sunması, okurun anlamasına bir zarar verir mi?

Pólya, buluşsal yöntemlerin bir çözümü güvenceye almadığını, ama bulma olasılığını artırdığını savundu. Önermeler mantığında her geçerli çıkarımın bir türetimi vardır ve geçerlilik kesin olarak sınanabilir. Ama yüklemler mantığında, bir önermenin geçerli olup olmadığını her durumda belirleyen bir yöntem bulunmadığı gösterilmiştir. Bu durumda buluşsal yöntemlerin değeri artar mı, yoksa onların sınırları daha mı belirgin hâle gelir?

Newell, Shaw ve Simon'un programı, en az bir teorem için Principia Mathematica'daki kanıttan daha kısa bir kanıt buldu. Bir kanıtın kısa olması, onun daha iyi bir kanıt olduğunu mu gösterir? Bir makinenin bulduğu kısa bir kanıt ile bir insanın bulduğu uzun ama anlaşılır bir kanıt arasında, hangisi bir teoremi daha iyi açıklar?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir türetimi kurmanın güvenilir yolu, önce çıkarımın geçerli olup olmadığını sınamak, sonra sonucun ana bağlacına bakarak geriye doğru alt hedefler belirlemek ve öncüllerden ileriye doğru seçim gerektirmeyen kolay adımları atmaktır.

Pappos'un çözümleme ile bireşim ayrımı sonuçtan geriye düşünmenin bir kanıtı bulmak, öncüllerden ileriye yazmanın ise onu sunmak için kullanıldığını, Pólya'nın buluşsal yöntemleri türetim stratejisinin genel problem çözmenin bir özel hâli olduğunu, Newell, Shaw ve Simon'un programı ise bu stratejilerin açık kurallara dönüştürülüp bir makineye öğretilebileceğini gösterdi.

Bir türetim dört adımla kurulur: geçerliliği kısaca sınamak, sonucun biçimine göre geriye doğru alt hedefler belirlemek, öncüllerden ileriye doğru kolay adımlar atmak ve bir çıkmazda sonucun olumsuzlamasını varsayıp bir çelişki aramak.

Stratejinin psikoloji olduğu, bir türetimi güvenceye almadığı ve makinenin daha iyi bulduğu itirazları, stratejinin mantığın kurallarının yapısından türetildiğini, önermeler mantığında her geçerli çıkarımın bir türetimi olduğunu ve geçerliliğin kesin olarak sınanabildiğini ve bir türetimi kendisi bulanın onun yapısını anladığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir türetimi kurmak, sonuca giden yolu sonuçtan başlayarak aramak, öncüllerden atılacak adımları seçim gerektirmeyenlerle sınırlamak, bir çıkmazda dolaylı yola geçmek ve bulunan yolu öncüllerden sonuca doğru, denetlenebilir bir kanıt olarak yazmaktır.

Sonraki derse köprü

Önermeler Mantığı kursunun son türetimi, grubu kursun bir sınırına geri götürüyor. Deniz, önermeler mantığıyla yazıldığında geçersiz görünen bir kıyası hatırlatıyor: her tanık bir el yazmasıdır; her el yazması elle kopyalanmıştır; öyleyse her tanık elle kopyalanmıştır. Önermeler mantığı bu üç önermeyi p, q ve r diye üç ayrı harf olarak yazıyordu ve aralarında hiçbir bağ göremiyordu. Oysa kıyas geçerliydi. Geçerliliği, önermelerin iç yapısından, "tanık", "el yazması" ve "elle kopyalanmış" terimlerinin nasıl iç içe geçtiğinden geliyordu.

Kerem, önermelerin içine bakan bir mantığın, önce önermelerin neden söz ettiğini ayırması gerektiğini fark ediyor. "Üçüncü el yazması bir tanıktır" önermesinde, belirli bir şeyden, üçüncü el yazmasından, söz ediliyordu ve ona bir özellik, tanık olmak, yükleniyordu. "Üçüncü el yazması" ifadesi, belirli tek bir nesneyi adlandırıyordu; "tanıktır" ifadesi ise pek çok nesneye yüklenebilecek bir özelliği. Barış, hukuk metinlerinde de bir kişinin adı ile bir kişiye yüklenen bir niteliğin, örneğin "davacı" ile "reşit olmak"ın, farklı işler gördüğünü söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Yüklemler Mantığı kursunun ilk dersi olan Birey sabiti, bir önermede belirli tek bir nesneyi adlandıran ifadelerin nasıl simgeleştirildiğini, bu ifadelerin yüklemlerden nasıl ayrıldığını ve önermeler mantığının atomik önermelerinin bu ayrımla nasıl iç yapı kazandığını soruyor.