Alt ispat

Açılış sahnesi

Barış, müvekkili için hazırladığı bir savunmanın taslağını gruba gösteriyor. Ana iddia, sanığın suçu işlemediğiydi. Bu iddia üç alt iddiaya dayanıyordu: sanık suç saatinde olay yerinde değildi; silah sanığa ait değildi; tanığın teşhisi güvenilir değildi. Her alt iddianın kendi kanıtı vardı ve her kanıt kendi içinde birkaç adımdan oluşuyordu. Barış, bu kanıtları tek bir uzun türetim olarak yazmayı denemiş ve karışık bir sonuç elde etmişti: hangi satırın hangi alt iddiaya ait olduğu, hangi varsayımın hangi kanıtın içinde açıldığı artık seçilemiyordu.

Kerem, Selin'in üçüncü hâlin olmazlığı türetimini hatırlatıyor: orada bir kapsamın içinde bir kapsam açılmış, iç kapsamın ürünü dış kapsamda kullanılmıştı. Her kapsam, kendi başlangıcı, sonu ve ürünü olan küçük bir türetim gibiydi. Lina, bu küçük türetimlerin ana türetime nasıl bağlandığını soruyor: iç kapsamdaki bir satır dışarıda kullanılabilir miydi, dıştaki bir satır içeride? Defne ise bir tanı ölçütünü, yani ölçütlerin tanıyı ve tanının ölçütleri gerektirdiğini, iki ayrı küçük türetimle kanıtlamayı düşünüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, bir türetimin içinde kendi varsayımı ve kendi sonucu olan küçük türetimlerin nasıl kurulduğunu, bir alt ispatın ürününün ana türetime nasıl aktarıldığını ve bir alt ispatın iç satırlarının neden ana türetimde kullanılamayacağını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın varsayım, koşullu ispat ve reductio dersleri, bir geçici varsayımın nasıl açılıp kapatıldığını ve bir varsayımı kapatmanın iki kuralını gösterdi. Her kapatma, bir kapsamı, yani bir alt ispatı, tek bir satıra dönüştürüyordu. Bu ders, bu alt ispatları kendi başlarına ele alıyor: onların bir türetimin yapı taşları olarak nasıl davrandığını, aralarında hangi satırların aktarılabildiğini ve birden çok alt ispat gerektiren kuralları inceliyor. Bu kuralların en önemlisi, bir ayrılmadan, iki ayrılanın her biri için ayrı bir alt ispatla aynı sonuca vararak o sonucu çıkaran kuraldır.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Öklid, Elemanlar'ın birinci kitabının kırk yedinci önermesinde, dik üçgenin kenarları üzerine kurulan kareler arasındaki ilişkiyi kanıtlarken, kitabın daha önce kanıtlanmış önermelerine birer adım olarak başvurur ve her birini yeniden kanıtlamaz. Donald Kalish ile Richard Montague, 1964'te yayımladıkları Mantık ders kitabında, türetimleri iç içe kutulardan oluşan bir yapı olarak yazar ve bir kutu kapandığında içindeki satırların üzerini çizer. Leslie Lamport ise 1995'te yayımladığı Bir Kanıt Nasıl Yazılır adlı makalesinde, matematiksel kanıtların numaralı adımlardan ve bu adımların alt adımlarından oluşan hiyerarşik bir biçimde yazılmasını önerir.

Ardından üç itirazı tartacağız: alt ispatların bir türetimi gereksiz yere karmaşıklaştırdığı, durumlara göre ispatın kapsayıcı bir ayrılmada iki durum birden gerçekleşirse bozulduğu ve hiyerarşik yazımın bir kanıtı anlamayı güçleştirdiği itirazları.

Sonda, bir türetimi alt ispatlarla kurmanın dört adımını göstereceğiz: ana sonucu hangi alt sonuçların desteklediğini belirlemek, her alt sonuç için kendi varsayımıyla ayrı bir alt ispat açmak, dış satırları iç alt ispatlara tekrar kuralıyla taşımak ama iç satırları dışarı taşımamak ve her alt ispatın ürününü, onu kapatan kuralla ana türetime tek bir satır olarak aktarmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir türetimin içinde kendi varsayımı ve kendi sonucu olan bir alt ispat nasıl kurulur, bir alt ispatın ürünü ana türetime nasıl aktarılır ve bir alt ispatın iç satırları neden ana türetimde kullanılamaz?

Ölçülü iddiam şu: bir alt ispat, bir geçici varsayımla başlayan, o varsayımın kapsamı içinde bir sonuca varan ve belirli bir kuralla kapatılan bir türetim parçasıdır; alt ispatın ürünü, onu kapatan kuralın ürettiği tek bir satırdır ve bu satır, varsayımı boşaltılmış olarak, ana türetime aktarılır; alt ispatın iç satırları ise, varsayıma dayandıkları için, alt ispat kapandıktan sonra ne ana türetimde ne de başka bir alt ispatta kullanılabilir; dış bir satır, iç bir alt ispata tekrar kuralıyla taşınabilir, çünkü içerideki varsayımlar dıştaki satırın doğruluğunu değiştirmez; bazı kurallar birden çok alt ispat gerektirir: bir ayrılmadan, her iki ayrılan için ayrı bir alt ispatla aynı sonuca varıldığında o sonucu çıkaran durumlara göre ispat ve iki yönlü bir koşulu, her iki yön için ayrı bir koşullu ispatla kuran kural bunlardandır; alt ispatlar, bir türetimi bağımsız olarak denetlenebilen parçalara ayırır ve uzun bir akıl yürütmenin yapısını görünür kılar; ama bu yararı, ancak her alt ispatın varsayımı, ürünü ve kapsamı açıkça kaydedildiğinde verir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci uzun bir kanıtla karşılaştığında, çoğu zaman onu baştan sona tek bir satır dizisi olarak okur. Bu okuma, kanıt kısa olduğunda işe yarar. Kanıt uzadığında ise, okur hangi satırın hangi amaca hizmet ettiğini, hangi satırların birlikte bir ara sonuca vardığını ve hangi varsayımların hâlâ açık olduğunu kaybeder.

Alt ispat, bu kaybı önler. Uzun bir kanıt, her biri kendi amacı olan parçalara ayrılır. Her parça, kendi varsayımıyla açılır, kendi içinde bir sonuca varır ve bir kuralla kapatılarak ana kanıta tek bir satır olarak katılır. Ana kanıtı okuyan, bu satırın bir alt ispatın ürünü olduğunu bilir ve alt ispatın içine girmeden, onun ürününü kullanabilir. Alt ispatın içini denetlemek isteyen ise, onu ana kanıttan bağımsız olarak, kendi başına denetleyebilir.

Alt ispatlar arasındaki satır aktarımı, iki yönlü değildir. Dıştaki bir satır, içerideki bir alt ispata taşınabilir: dıştaki satır içerideki varsayımlardan bağımsız olarak doğrudur ve içeride de doğru kalır. İçerideki bir satır ise dışarı taşınamaz: içerideki satır, içerideki varsayıma dayanır ve varsayım kapandığında o da kapanır. Dışarı çıkabilen tek şey, alt ispatı kapatan kuralın ürettiği satırdır.

Görüşler ve pozisyonlar

Alt ispatların bir kanıttaki işlevi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, düzenleme görüşüdür. Buna göre alt ispatlar, bir kanıtı daha okunaklı kılan bir düzenleme aracıdır; mantıksal bir işlevleri yoktur. Aynı kanıt, alt ispatlara ayrılmadan, tek bir satır dizisi olarak da yazılabilir ve aynı sonuca varır.

İkinci görüş, zorunluluk görüşüdür. Buna göre alt ispatlar, doğal çıkarımda bazı kuralların vazgeçilmez bir parçasıdır: koşullu ispat, olumsuzlama tanıtma ve durumlara göre ispat, bir alt ispatı girdi olarak alır. Bu kurallar olmadan, bazı önermeler ancak çok daha dolambaçlı yollardan kanıtlanabilir.

Üçüncü görüş, denetim görüşüdür. Buna göre alt ispatların asıl değeri, bir kanıtı bağımsız olarak denetlenebilen parçalara ayırmasıdır. Her alt ispat, kendi varsayımı ve kendi ürünüyle, ayrı bir birim olarak sınanabilir; ana kanıt ise, alt ispatların ürünlerini, onların içine girmeden, güvenle kullanabilir. Bu, uzun bir kanıtın bir hatasının nerede olduğunu bulmayı ve bir alt ispatı düzeltirken öteki parçalara dokunmamayı sağlar.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün gözlemini ona ekler. Birinci görüş, alt ispatların bir kanıtı okunaklı kıldığını doğru görür, ama onların bazı kuralların girdisi olduğunu ve bir kanıtın hangi satırının hangi varsayıma dayandığını belirlediğini gözden kaçırır. İkinci görüş, alt ispatların bazı kurallar için vazgeçilmez olduğunu doğru görür; üçüncü görüş ise bu vazgeçilmezliğin, bir kanıtı parçalara ayırıp her parçayı bağımsız olarak denetleme olanağını da beraberinde getirdiğini gösterir.

Argümanın yapısı

Bir türetimi alt ispatlarla kurmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, ana sonucu hangi alt sonuçların desteklediğini belirlemektir. Kuran, ana sonuca hangi kuralla ulaşılacağını sorar ve bu kuralın gerektirdiği ara sonuçları listeler. Ana sonuç bir ayrılmadan çıkacaksa, her ayrılan için bir alt sonuç; bir iki yönlü koşulsa, her yön için bir koşullu; bir olumsuzlamaysa, bir çelişki gerekir.

İkinci adım, her alt sonuç için kendi varsayımıyla ayrı bir alt ispat açmaktır. Kuran, her alt ispatı ayrı bir kapsam çizgisiyle açar, varsayımını en üste yazar ve alt ispatın hedefini, yani ulaşması gereken satırı, not eder. Bir alt ispatın içinde başka bir alt ispat gerekiyorsa, onu iç içe açar.

Üçüncü adım, dış satırları iç alt ispatlara tekrar kuralıyla taşımak ama iç satırları dışarı taşımamaktır. Kuran, bir alt ispatın içinde dıştaki bir satıra ihtiyaç duyarsa, onu tekrar kuralıyla içeri yazar ve yanına dıştaki satırın numarasını not eder. Bir alt ispatın içindeki bir satırı ise, alt ispat kapandıktan sonra, ne dışarıda ne de başka bir alt ispatta kullanır.

Dördüncü adım, her alt ispatın ürününü, onu kapatan kuralla ana türetime tek bir satır olarak aktarmaktır. Kuran, alt ispatın hedefine ulaştığında kapsamı kapatır ve kapatma kuralının ürettiği satırı, koşullu ispatta bir koşulluyu, olumsuzlama tanıtmada bir olumsuzlamayı, durumlara göre ispatta ortak sonucu, ana türetime yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Alt ispatı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir alt ispat, bir geçici varsayımla başlayan, kapsamı içinde bir sonuca varan ve bir kuralla kapatılan bir türetim parçasıdır; ürünü, kapatma kuralının ürettiği tek satırdır ve bu satır varsayımı boşaltılmış olarak ana türetime aktarılır. Dış satırlar tekrar kuralıyla iç alt ispatlara taşınabilir; iç satırlar ise ne dışarıda ne de kardeş alt ispatlarda kullanılabilir. Durumlara göre ispat ve iki yönlü koşulun kuruluşu gibi kurallar birden çok alt ispat gerektirir ve durumlara göre ispat, kapsayıcı bir ayrılmada iki durum birden gerçekleştiğinde de geçerli kalır. Alt ispatlar, Öklid'in önermelerinden Kalish ile Montague'ün kutularına ve Lamport'un numaralı adımlarına kadar, bir kanıtı bağımsız olarak denetlenebilen parçalara ayırır ve kanıtı olmayan bir adımı görünür kılar.

Açık kalan sorular

Öklid, kırk yedinci önermenin kanıtında daha önce kanıtlanmış önermelere başvurdu ve onları yeniden kanıtlamadı. Ama bir önceki önermenin kanıtında bir hata varsa, ona dayanan bütün sonraki önermeler de etkilenir. Uzun bir kanıt zincirinde, her parçanın bağımsız olarak denetlenmesi, bütünün doğruluğunu güvenceye almaya yeter mi, yoksa parçalar arasındaki bağlar da ayrıca denetlenmeli midir?

Kalish ile Montague, kapanmış bir kutunun satırlarının üzerini çizdi. Bir satırın üzerini çizmek, onun yanlış olduğunu değil, artık kullanılamayacağını gösteriyordu. Bir akıl yürütmede, doğru ama artık kullanılamayan bir satır ne anlama gelir? Bir hukuk kararında, bir varsayım altında ulaşılmış bir ara sonuç, varsayım reddedildiğinde nasıl bir statü taşır?

Lamport, hiyerarşik yazımın düz yazıda gizlenen hataları ortaya çıkardığını savundu. Ama bir kanıtın bütün adımlarının açıkça yazılması, onu anlaşılır mı kılar, yoksa yalnızca denetlenebilir mi? Bir kanıtı anlamak ile onun her adımının doğru olduğunu doğrulamak aynı şey midir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir alt ispat, bir geçici varsayımla başlayan, kapsamı içinde bir sonuca varan ve bir kuralla kapatılan bir türetim parçasıdır; ürünü, kapatma kuralının ürettiği tek satırdır ve varsayımı boşaltılmış olarak ana türetime aktarılır.

Öklid'in kırk yedinci önermesi uzun bir kanıtın bağımsız olarak kanıtlanmış parçalardan kurulabileceğini, Kalish ile Montague'ün kutuları kapanmış bir alt ispatın satırlarının kullanılamayacağının yazımla güvenceye alınabileceğini, Lamport'un hiyerarşik yazımı ise bir kanıtın yapısını açık kılmanın onun kanıtsız adımlarını görünür kıldığını gösterdi.

Bir türetim dört adımla alt ispatlarla kurulur: ana sonucu destekleyen alt sonuçları belirlemek, her biri için kendi varsayımıyla ayrı bir alt ispat açmak, dış satırları içeri taşıyıp iç satırları dışarı taşımamak ve her alt ispatın ürününü ana türetime tek bir satır olarak aktarmak.

Alt ispatların gereksiz karmaşıklık olduğu, iki durum birden gerçekleşirse durumlara göre ispatın bozulduğu ve hiyerarşik yazımın anlamayı güçleştirdiği itirazları, alt ispatların var olan karmaşıklığı düzenlediğini, durumlara göre ispatın iki durum birden gerçekleştiğinde de geçerli kaldığını ve hiyerarşik yazımın ana fikri gizlemeden her adımın kanıtlandığını güvenceye aldığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden uzun bir akıl yürütmeyi alt ispatlarla kurmak, onu her biri kendi varsayımıyla açılan, kendi içinde denetlenebilen ve ana kanıta yalnızca bir ürün bırakan parçalara ayırmak ve bu parçalar arasındaki kapıyı yalnızca dıştan içeri açık tutmaktır.

Sonraki derse köprü

Barış'ın üç alt iddiası ve Tolga'nın numaralı raporu, grubun elinde bir soru bıraktı. Bir türetimin hangi alt ispatlara ayrılacağına nasıl karar veriliyordu? Barış, savunmasının yapısını zaten biliyordu: üç alt iddia vardı. Ama bir öğrenci, kanıtlaması istenen bir önermeyle karşılaştığında, onun hangi alt sonuçlara ayrılacağını, hangi alt ispatların açılacağını ve hangi kuralların kullanılacağını nereden bilecekti?

Kerem, kendi deneyimini anlatıyor: bir türetime başlarken çoğu zaman öncüllerden başlayıp rastgele kurallar uyguluyor, bazen sonuca varıyor, bazen bir çıkmaza giriyordu. Lina ise sonuçtan geriye doğru düşünmenin, yani sonucun hangi kuralla elde edilebileceğini sorup o kuralın gerektirdiği alt hedeflere inmenin, çok daha verimli olduğunu fark etmişti. Selin, sonucun biçiminin, yani bir koşullu mu, bir olumsuzlama mı, bir ayrılma mı olduğunun, hangi alt ispatın açılacağını çoğu zaman belirlediğini ekliyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Türetim stratejisi dersi, bir türetimi kurarken sonuçtan geriye ve öncüllerden ileriye doğru düşünmenin nasıl birleştirildiğini, sonucun ve öncüllerin biçiminin hangi kuralların ve hangi alt ispatların kullanılacağını nasıl belirlediğini ve bir türetim bir çıkmaza girdiğinde ne yapılacağını soruyor.