Reductio

Açılış sahnesi

Barış, dolaylı ispatla kurduğu savunma türetimini, varsayım ve koşullu ispat üzerine öğrendikleriyle yeniden yazmaya çalışıyor. Geçici varsayımı açmak kolaydı: "sanık suç saatinde olay yerindeydi." Kapsamın içinde iki satır türetmişti: kamera kaydından "sanık suç saatinde başka bir şehirdeydi" ve varsayım ile bir kişinin aynı anda iki yerde bulunamayacağı öncülünden "sanık suç saatinde başka bir şehirde değildi." İki satır birbirinin olumsuzlamasıydı. Barış, burada bir koşullu yazamayacağını biliyordu; istediği, varsayımın olumsuzlamasıydı. Ama hangi kuralla?

Kerem, varsayımı kapatmanın ikinci bir kuralı olması gerektiğini söylüyor: bir varsayımdan bir çelişki türetilirse, varsayım kapatılır ve onun olumsuzlaması yazılır. Lina ise dolaylı ispatın iki biçimini hatırlatıyor ve bu kuralın yalnızca birinci biçimi verdiğini fark ediyor: bir önermeyi varsayıp olumsuzlamasını kurmak. İkinci biçim, bir önermenin olumsuzlamasını varsayıp önermenin kendisini kurmak, bu kuralla doğrudan elde edilemiyordu; araya bir adım daha giriyordu. Tolga, o fazladan adımın bir türetimde ayrıca yazılması gerekip gerekmediğini soruyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, bir geçici varsayımdan bir çelişki türetildiğinde varsayımın hangi kuralla kapatıldığını, bu kuralın olumsuzlamanın kuruluş kuralı olarak nasıl işlediğini ve çifte olumsuzlamanın kalkmasına dayanan biçiminin türetimde neden ayrı bir adım olarak yazılması gerektiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın dolaylı ispat dersi, bir önermenin olumsuzlamasını varsayıp bir çelişkiye varmanın neden geçerli olduğunu, tutarsızlık ile geçerlilik arasındaki bağı göstererek açıkladı ve bu kanıtın iki biçimini ayırdı. Koşullu ispat dersi ise bir varsayımı kapatmanın ilk kuralını gösterdi. Bu ders, varsayımları kapatmanın ikinci kuralına, doğal çıkarımda olumsuzlamanın kuruluş kuralına bakıyor. Dolaylı ispatın neden geçerli olduğunu yeniden anlatmıyor; onun bir türetimde hangi satırlarla ve hangi kurallarla yazıldığını gösteriyor ve iki biçimin türetimde nasıl ayrı adımlar olarak göründüğünü açığa çıkarıyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Rus matematikçi Andrey Kolmogorov, 1925'te yayımladığı bir makalesinde, üçüncü hâlin olmazlığı ilkesini kullanmayan bir mantık kurar ve klasik mantığın her önermesinin, uygun biçimde çifte olumsuzlamalarla yeniden yazıldığında, bu mantıkta kanıtlanabileceğini gösterir. Valery Glivenko, 1929'da, önermeler mantığı için daha kesin bir sonuç kanıtlar: bir önerme klasik mantıkta kanıtlanabiliyorsa, onun çifte olumsuzlaması sezgici mantıkta kanıtlanabilir. Michael Dummett ise 1973'te bir mantık toplantısında sunduğu Sezgici Mantığın Felsefi Temeli adlı makalesinde, bir önermenin anlamının onun kanıtlanma koşullarıyla verildiği bir anlam kuramının, çifte olumsuzlamanın kalkmasını reddetmeye götürdüğünü savunur.

Ardından üç itirazı tartacağız: çifte olumsuzlamanın kalkmasını ayrı bir adım olarak yazmanın klasik mantıkta gereksiz olduğu, bir çelişkiden her önermenin çıkarılmasına izin veren kuralın sezgiye aykırı olduğu ve iki biçim arasındaki ayrımın yalnızca bir azınlık görüşü için önemli olduğu itirazları.

Sonda, bir türetimde bir varsayımı bir çelişkiyle kapatmanın dört adımını göstereceğiz: olumsuzlaması kanıtlanacak önermeyi geçici varsayım olarak açmak, kapsamın içinde bir önerme ile onun olumsuzlamasını türetip bir çelişki satırı yazmak, varsayımı kapatıp onun olumsuzlamasını kapsamın dışına yazmak ve bir önermenin kendisi kanıtlanacaksa, elde edilen çifte olumsuzlamayı ayrı bir adımla kaldırmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir geçici varsayımdan bir çelişki türetildiğinde, varsayım hangi kuralla kapatılır, bu kural olumsuzlamanın kuruluş kuralı olarak nasıl işler ve bir önermeyi olumsuzlamasını çürüterek kanıtlamak neden türetimde ayrı bir adım gerektirir?

Ölçülü iddiam şu: doğal çıkarımda olumsuzlamanın kuruluş kuralı şöyledir: bir önerme geçici varsayım olarak açılır, kapsamın içinde bir önerme ile onun olumsuzlaması türetilir, bu çelişki ayrı bir satırda kaydedilir ve varsayım kapatılarak onun olumsuzlaması kapsamın dışına yazılır; bu kural, bir önermeyi çürütmenin doğrudan yoludur ve klasik mantıkta da sezgici mantıkta da kabul edilir; bir önermenin kendisini, olumsuzlamasını varsayıp bir çelişkiye vararak kanıtlamak ise iki adım gerektirir: önce olumsuzlamanın kuruluş kuralıyla çifte olumsuzlama elde edilir, sonra çifte olumsuzlama eleme kuralıyla önermenin kendisine geçilir; bu ikinci adım yalnızca klasik mantıkta geçerlidir ve onu ayrı yazmak, bir türetimin klasik mantığın hangi varsayımına dayandığını görünür kılar; ayrıca bir çelişki satırından herhangi bir önermenin çıkarılmasına izin veren bir kural vardır ve bu kural klasik ve sezgici mantıkta kabul edilir, ama bazı mantıklarda reddedilir; Kolmogorov'un ve Glivenko'nun sonuçları, sezgici mantığın klasik mantıktan daha zayıf ama onunla sistemli biçimde ilişkili olduğunu, çifte olumsuzlamanın iki mantık arasında bir köprü kurduğunu gösterir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir türetimde bir çelişkiye vardığında, çoğu zaman işin bittiğini düşünür: varsayım yanlıştır, öyleyse tersi doğrudur. Bu sezgi doğrudur, ama türetimde iki farklı hareketi birbirine karıştırır. Birinci hareket, varsayımın yanlış olduğunu, yani onun olumsuzlamasının doğru olduğunu kaydetmektir. İkinci hareket, varsayımın kendisi bir olumsuzlamaysa, onun olumsuzlamasından, yani bir çifte olumsuzlamadan, olumsuzlanan önermenin kendisine geçmektir.

Doğal çıkarım bu iki hareketi iki ayrı kurala ayırır. Olumsuzlamanın kuruluş kuralı, birinci hareketi yapar: bir varsayımdan bir çelişki türetilmişse, varsayımın olumsuzlaması yazılır. Varsayım p ise, sonuç "p değil" olur. Varsayım "p değil" ise, sonuç "p değil, değil" olur; yani bir çifte olumsuzlama. Çifte olumsuzlama eleme kuralı ise ikinci hareketi yapar: "p değil, değil" satırından p satırına geçer.

Bu ayrım, klasik mantıkta iki kuralın birlikte kullanılmasını engellemez; ama türetimde ikinci kuralın ne zaman kullanıldığını görünür kılar. Birinci kural, iki mantıkta da vardır; ikinci kural yalnızca klasik mantıkta vardır. Bir türetim ikinci kuralı kullanmıyorsa, sezgici mantıkta da geçerlidir; kullanıyorsa, klasik mantığın her önermenin ya doğru ya yanlış olduğu varsayımına dayanır.

Görüşler ve pozisyonlar

Çifte olumsuzlama eleme kuralının doğal çıkarımdaki yeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, klasik görüştür. Buna göre çifte olumsuzlama eleme, öteki kurallar kadar temel bir kuraldır: her önerme ya doğru ya yanlıştır, bu yüzden olumsuzlamasının olumsuzlaması doğru olan bir önerme doğrudur. Kuralı ayrı yazmak, klasik mantıkta bir incelik olabilir, ama kuralın geçerliliği hakkında hiçbir şüphe yoktur.

İkinci görüş, sezgici görüştür. Buna göre çifte olumsuzlama eleme, bir kanıt kuralı olarak meşru değildir: bir önermeyi kanıtlamak, onun doğru olduğunu gösteren bir yapı vermektir ve olumsuzlamasının bir çelişkiye götürdüğünü göstermek bu yapıyı vermez. Kural, doğal çıkarımdan çıkarılmalıdır.

Üçüncü görüş, izleme görüşüdür. Buna göre çifte olumsuzlama eleme klasik mantıkta geçerlidir ve kullanılabilir, ama ayrı bir kural olarak yazılmalı ve her kullanımı işaretlenmelidir. Bu, bir türetimin sezgici mantıkta da geçerli olup olmadığını ve dolayısıyla onun bir yapı verip vermediğini görmeyi sağlar. Kolmogorov'un ve Glivenko'nun sonuçları, bu izlemenin iki mantık arasında kesin bir ilişki kurduğunu gösterir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, çifte olumsuzlama elemenin klasik mantıkta geçerli olduğunu doğru görür, ama kuralı ayrı yazmanın bir türetimin ne tür bir bilgi verdiğini görünür kıldığını gözden kaçırır. İkinci görüş, kuralın bir yapı vermediğini doğru görür, ama klasik mantığın paylaştığı varsayımın gündelik ve bilimsel akıl yürütmenin büyük bir kısmında meşru olduğunu hesaba katmaz.

Argümanın yapısı

Bir türetimde bir varsayımı bir çelişkiyle kapatmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, olumsuzlaması kanıtlanacak önermeyi geçici varsayım olarak açmaktır. Kanıtlayan, "p değil" önermesini kanıtlamak istiyorsa, p'yi geçici varsayım olarak açar. p'nin kendisini kanıtlamak istiyorsa, "p değil"i açar; bu durumda dördüncü adım da gerekecektir.

İkinci adım, kapsamın içinde bir önerme ile onun olumsuzlamasını türetip bir çelişki satırı yazmaktır. Kanıtlayan, öncülleri ve varsayımı kullanarak herhangi bir q önermesini ve onun olumsuzlamasını ayrı satırlarda türetir ve bir sonraki satıra, bu iki satırın bir çelişki oluşturduğunu kaydeden bir çelişki satırı yazar.

Üçüncü adım, varsayımı kapatıp onun olumsuzlamasını kapsamın dışına yazmaktır. Kanıtlayan, kapsam çizgisini bitirir ve bir sonraki satıra varsayımın olumsuzlamasını, yanına varsayımın ve çelişki satırının numaralarını ve olumsuzlama tanıtma kuralını yazarak, ekler.

Dördüncü adım, bir önermenin kendisi kanıtlanacaksa, elde edilen çifte olumsuzlamayı ayrı bir adımla kaldırmaktır. Kanıtlayan, varsayım "p değil" idiyse, üçüncü adımda "p değil, değil" satırını elde etmiştir. Bir sonraki satıra p'yi yazar ve yanına çifte olumsuzlama eleme kuralını not eder. Bu adım, türetimin klasik mantığa dayandığı yeri işaretler.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Reductio'yu ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Doğal çıkarımda olumsuzlamanın kuruluş kuralı, bir geçici varsayımdan bir çelişki türetildiğinde varsayımı kapatıp onun olumsuzlamasını yazmaktır; bu kural, bir önermeyi çürütmenin doğrudan yoludur ve klasik ve sezgici mantıkta kabul edilir. Bir önermenin kendisini, olumsuzlamasını varsayıp bir çelişkiye vararak kanıtlamak iki adım gerektirir: önce olumsuzlama tanıtma ile bir çifte olumsuzlama elde edilir, sonra çifte olumsuzlama eleme ile önermeye geçilir; ikinci adım yalnızca klasik mantıkta geçerlidir ve ayrı yazılması, türetimin nerede klasik mantığın varsayımına dayandığını gösterir. Bir çelişki satırından, aynı kapsamın içinde, herhangi bir önerme çıkarılabilir. Kolmogorov ile Glivenko'nun sonuçları, çifte olumsuzlamanın iki mantık arasında kesin bir köprü kurduğunu; Dummett'in görüşü ise bu köprünün, anlamın doğruluğa mı kanıta mı dayandığı sorusuyla bağlı olduğunu gösterir.

Açık kalan sorular

Glivenko, klasik mantıkta kanıtlanabilen her önermenin çifte olumsuzlamasının sezgici mantıkta kanıtlanabildiğini gösterdi. Bu, iki mantığın aynı şeyleri farklı biçimlerde söylediği anlamına mı gelir, yoksa sezgici mantığın klasik mantığın söylediği bazı şeyleri söyleyemediği anlamına mı? Bir önermenin çifte olumsuzlamasını bilmek, onun kendisini bilmekten ne kadar uzaktır?

Dummett, bir önermenin anlamını bilmenin onun kanıtlanma koşullarını bilmek olduğunu savundu. Ama geçmiş hakkındaki pek çok önerme, örneğin müstensihin belirli bir gün ne yaptığı, hiçbir zaman kanıtlanamayacaktır. Dummett'in görüşüne göre bu önermeler ne doğru ne yanlış mıdır? Bir tarihçi, kanıtlanamayacak bir önermenin doğru ya da yanlış olduğunu varsaymadan geçmiş hakkında nasıl akıl yürütebilir?

Johansson'ın en küçük mantığı, bir çelişkiden her şeyin çıkmasına izin vermedi. Böyle bir mantıkta, çelişkili bir öncül kümesiyle akıl yürütmek mümkün müdür? Çelişkili bir rapor ya da bir veri tabanı üzerinde çalışan biri için, hangi mantık daha uygundur?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Doğal çıkarımda olumsuzlamanın kuruluş kuralı, bir geçici varsayımdan bir çelişki türetildiğinde varsayımı kapatıp onun olumsuzlamasını yazmaktır; bu kural klasik ve sezgici mantıkta kabul edilir.

Kolmogorov'un makalesi klasik mantığın çifte olumsuzlamalarla daha zayıf bir mantığa çevrilebildiğini, Glivenko'nun sonucu klasik mantıkta kanıtlanabilen her önermenin çifte olumsuzlamasının sezgici mantıkta kanıtlanabildiğini, Dummett'in makalesi ise çifte olumsuzlamanın kalkmasının anlamın doğruluğa mı kanıta mı dayandığı sorusuyla bağlı olduğunu gösterdi.

Bir varsayım dört adımla bir çelişkiyle kapatılır: olumsuzlaması kanıtlanacak önermeyi varsayım olarak açmak, kapsamın içinde bir çelişki türetip bir çelişki satırı yazmak, varsayımı kapatıp olumsuzlamasını yazmak ve önermenin kendisi kanıtlanacaksa çifte olumsuzlamayı ayrı bir adımla kaldırmak.

Ayrı adımın gereksiz olduğu, çelişkiden her şeyin çıkmadığı ve ayrımın bir azınlık görüşü olduğu itirazları, ayrı adımın bir türetimin klasik mantığa dayandığı yeri gösterdiğini, çelişkiden çıkan kuralın geçerli ama ilgililiği güvenceye almayan bir kural olduğunu ve ayrımın bir kanıtın ne tür bir bilgi verdiğine dair bir soru olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir varsayımı bir çelişkiyle kapatmak, bir önermeyi çürütmekle bir çürütmeyi çürütmeyi ayrı adımlarda yazmak ve türetimin hangi adımda her önermenin ya doğru ya yanlış olduğu varsayımına dayandığını açıkça işaretlemektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in türetimi, grubu doğal çıkarımın bir başka özelliğine götürdü. Selin, bir kapsamın içinde ikinci bir kapsam açmış, iç kapsamı kapatıp elde ettiği sonucu dış kapsamda kullanmış, sonra dış kapsamı da kapatmıştı. Türetimin bir parçası, kendi varsayımı ve kendi sonucuyla, bir bütün olarak daha büyük türetimin içine yerleştirilmişti. Kerem, bu iç parçaların birer küçük türetim gibi davrandığını fark ediyor: her birinin bir başlangıcı, bir sonu ve bir ürünü vardı.

Barış, uzun bir savunmanın da böyle kurulduğunu söylüyor: ana iddia birkaç alt iddiaya dayanıyordu ve her alt iddia, kendi başına kanıtlanıp ana iddianın kanıtına bir satır olarak katılıyordu. Ama Barış, alt kanıtların ana kanıta nasıl bağlanacağını, bir alt kanıtın içindeki satırların ana kanıtta ne zaman kullanılabileceğini ve ne zaman kullanılamayacağını açıkça bilmiyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Alt ispat dersi, bir türetimin içinde kendi varsayımı ve kendi sonucu olan küçük türetimlerin nasıl kurulduğunu, bir alt ispatın ürününün ana türetime nasıl aktarıldığını ve bir alt ispatın iç satırlarının neden ana türetimde kullanılamayacağını soruyor.