Koşullu ispat

Açılış sahnesi

Tolga, kaçak cümleyi onarmak için önerdiği yolu bir türetim olarak yazıyor. Öncüller raporun tarihlendirme bölümündeki genellemelerdi: müstensih bir el yazmasını kopyaladıysa, onu kendi çalıştığı yıllarda kopyalamıştır; müstensihin çalıştığı yıllarda kopyaladığı her el yazması, öteki el yazmasıyla aynı atölyede yazılmıştır. Tolga, bir geçici varsayım açıyor: müstensih bu el yazmasını kopyaladı. Varsayımın kapsamı içinde, iki adımda, "bu el yazması öteki el yazmasıyla aynı atölyede yazılmıştır" sonucuna varıyor. Sonra varsayımı kapatıyor ve kapsamın dışına tek bir satır yazıyor: "Müstensih bu el yazmasını kopyaladıysa, bu el yazması öteki el yazmasıyla aynı atölyede yazılmıştır."

Kerem, bu hareketin yeni satırı hiçbir varsayıma dayanmayan bir satıra çevirdiğini fark ediyor: kapsamın içindeki sonuç, varsayıma dayanıyordu; dışındaki koşullu ise yalnızca öncüllere. Barış, hukukta bir hükmün de sık sık bu biçimde kurulduğunu söylüyor: bir koşulun gerçekleştiği varsayılır, sonuçları çıkarılır ve hüküm bir koşullu olarak yazılır. Ama Selin bir şeyden kaygılanıyor: varsayım yanlışsa, yani müstensih el yazmasını hiç kopyalamamışsa, bu koşullu yine de doğru muydu ve bir şey söylüyor muydu? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, bir koşullu önermeyi, onun ön bileşenini geçici olarak varsayıp art bileşenini türeterek ve ardından varsayımı kapatarak kanıtlamanın nasıl yapıldığını ve bu kuralın neden geçerli olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın varsayım dersi, bir türetimde geçici bir varsayımın nasıl açıldığını, ona dayanan satırların nasıl işaretlendiğini ve bir varsayım kapandığında hangi satırların türetimde kalabildiğini gösterdi. Ama bir varsayımın hangi kuralla kapatılacağını söylemedi. Bu ders, varsayımları kapatmanın ilk kuralına bakıyor: bir varsayımdan bir sonuç türetildiğinde, varsayımı kapatıp varsayımdan sonuca giden bir koşullu yazmak. Bu kural, bir koşullu önermeyi kanıtlamanın en doğrudan yoludur ve doğal çıkarımın koşullu bağlacı için verdiği kuruluş kuralıdır. Modülün bir sonraki dersi, varsayımları kapatmanın ikinci kuralını, bir çelişkiden bir olumsuzlama çıkarmayı, türetim içinde gösterecek.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Fransız mantıkçı Jacques Herbrand, 1930'da savunduğu doktora tezinde, bir önermenin başka önermelerle birlikte bir sonucu türettiği durumda, o önermeden o sonuca giden koşullunun öteki önermelerden türetilebileceğini kanıtlar; bu sonuç bugün çıkarım teoremi adıyla anılır. Frank Ramsey, 1929'da yazdığı bir notta, iki kişinin "p olursa q olur mu" diye tartıştığında, p'yi varsayımsal olarak bilgilerine ekleyip q hakkında tartıştıklarını gözlemler. Dag Prawitz ise 1965'te yayımladığı Doğal Çıkarım adlı kitabında, her bağlacın bir kuruluş ve bir kullanım kuralı olduğunu ve kullanım kurallarının kuruluş kurallarıyla uyumlu olması gerektiğini gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: koşullu ispatın gündelik "eğer"i değil yalnızca maddi koşulluyu kanıtladığı, varsayım yanlışsa kanıtlanan koşullunun bir şey söylemediği ve kuralın geçerliliğinin kendisinin bir kanıt gerektirdiği itirazları.

Sonda, bir koşulluyu koşullu ispatla kanıtlamanın dört adımını göstereceğiz: koşullunun ön bileşenini geçici bir varsayım olarak açmak, varsayımın kapsamı içinde art bileşeni türetmek, varsayımı kapatıp koşulluyu kapsamın dışına yazmak ve koşullunun bağımlılık kümesinden varsayımın numarasını çıkarmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir koşullu önerme, ön bileşeni geçici olarak varsayılıp art bileşeni türetilerek nasıl kanıtlanır, bu kural neden geçerlidir ve kanıtlanan koşullu ne söyler?

Ölçülü iddiam şu: bir koşullu önermeyi kanıtlamak için, onun ön bileşeni geçici bir varsayım olarak açılabilir, öncüller ve varsayım kullanılarak art bileşen türetilebilir ve ardından varsayım kapatılarak ön bileşenden art bileşene giden koşullu, yalnızca öncüllere dayanan bir satır olarak yazılabilir; bu kural geçerlidir, çünkü öncüller doğru olduğu her durumda ya ön bileşen yanlıştır ve koşullu bu yüzden doğrudur ya da ön bileşen doğrudur ve öncüller ile birlikte art bileşeni gerektirdiği için art bileşen de doğrudur; Herbrand'ın çıkarım teoremi, bu kuralın aksiyomlarla çalışan sistemlerde de geçerli olduğunu gösterir; koşullu ispat, bir maddi koşulluyu kanıtlar: ön bileşen yanlış olduğunda da kanıtlanan koşullu doğrudur ve bu yüzden kanıt, ön bileşenin doğru olduğunu değil, doğru olursa art bileşenin de doğru olacağını gösterir; ayrıca art bileşen varsayım kullanılmadan da türetilebiliyorsa, kanıtlanan koşullu doğru ama varsayımla ilgisiz olabilir; bu yüzden koşullu ispatın sonucu, gündelik bir "eğer" cümlesinin taşıdığı bağ iddiasını değil, onun maddi çekirdeğini güvenceye alır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir koşullu önermeyi kanıtlamak istediğinde, çoğu zaman öncüllerde tam o koşulluyu arar ya da onu öteki koşullulardan kurallarla türetmeye çalışır. Bu bazen işe yarar. Ama çoğu zaman öncüllerde istenen koşullu yoktur ve kurallar onu doğrudan vermez. Bu durumda başka bir yol vardır: koşullunun ne söylediğini doğrudan sınamak.

Bir koşullu, ön bileşeni doğru olduğunda art bileşeninin de doğru olacağını söyler. Bunu göstermenin doğal yolu, ön bileşenin doğru olduğunu varsaymak ve art bileşenin bu varsayımdan ve öncüllerden çıktığını göstermektir. Varsayım doğru olduğunda art bileşen de doğruysa, koşullu yerine getirilmiştir. Varsayım yanlışsa, koşullu, maddi koşullunun tablosuna göre, zaten doğrudur.

Koşullu ispat bu yüzden bir varsayımı kapatmanın bir yoludur. Varsayım açılır, ondan bir sonuç türetilir ve varsayım kapatılırken, kapsamın içindeki sonuç, varsayımı ön bileşen olarak içine alan bir koşulluya dönüştürülür. Bu koşullu artık varsayıma dayanmaz; varsayım onun içine taşınmıştır. Kapsamın içindeki satırlar kapanır, ama onların ne gösterdiği, koşullunun içinde korunur.

Görüşler ve pozisyonlar

Koşullu ispatın koşullu bağlacın anlamıyla ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, tablo görüşüdür. Buna göre koşullu bağlacın anlamı, onun doğruluk tablosudur ve koşullu ispat, bu tabloya uyduğu için geçerlidir. Kural, tablonun bir sonucudur: öncüller doğruyken ön bileşen doğruysa art bileşen de doğruysa, koşullu tablonun her satırında doğrudur.

İkinci görüş, kural görüşüdür. Buna göre koşullu bağlacın anlamı, onu kuran ve kullanan kurallardır: koşullu ispat, bir koşulluyu kurmanın kuralı; koyma kipi, onu kullanmanın kuralıdır. Bir koşulluyu anlamak, onun hangi durumda kurulabileceğini ve kurulduktan sonra neyi sağladığını bilmektir.

Üçüncü görüş, uyum görüşüdür. Buna göre koşullu bağlacın kuruluş kuralı ile kullanım kuralı birbiriyle uyumludur: koşullu ispatla kurulan bir koşulludan koyma kipiyle çıkarılabilen her şey, koşulluyu kurmak için kullanılan türetimden zaten çıkarılabilirdi. Bu uyum, kuralların gelişigüzel bir liste olmadığını, bağlacın anlamını birlikte belirlediğini gösterir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve birinci görüşün gerekçesini ona ekler. Birinci görüş, koşullu ispatın tabloya uyduğunu doğru görür ve kuralın geçerliliğinin bir gerekçesini verir. İkinci görüş, bağlacın anlamının kurallarda da görüldüğünü doğru görür, ama Prior'ın tonk bağlacının gösterdiği gibi, herhangi bir kural çiftinin bir bağlacı tanımlayamayacağını hesaba katmaz; üçüncü görüşün uyum koşulu bu eksiği giderir.

Argümanın yapısı

Bir koşulluyu koşullu ispatla kanıtlamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, koşullunun ön bileşenini geçici bir varsayım olarak açmaktır. Kanıtlayan, kanıtlanacak koşullunun ön bileşenini yeni bir satıra yazar, onu "geçici varsayım" olarak işaretler ve bir kapsam çizgisi açar. Kanıtlanacak koşullunun art bileşeni, kapsamın içinde ulaşılacak hedeftir.

İkinci adım, varsayımın kapsamı içinde art bileşeni türetmektir. Kanıtlayan, öncüllere ve varsayıma çıkarım kurallarını uygulayarak art bileşene ulaşmaya çalışır. Art bileşen kendisi bir koşulluysa, onun ön bileşeni için ikinci bir varsayım açılabilir ve kapsam iç içe geçer.

Üçüncü adım, varsayımı kapatıp koşulluyu kapsamın dışına yazmaktır. Kanıtlayan, art bileşene ulaştığında kapsam çizgisini bitirir ve bir sonraki satıra, kapsamın dışına, varsayımdan art bileşene giden koşulluyu yazar. Bu satırın yanına, kapsamın hangi satırlar arasında olduğunu ve koşullu ispat kuralının uygulandığını not eder.

Dördüncü adım, koşullunun bağımlılık kümesinden varsayımın numarasını çıkarmaktır. Kanıtlayan, art bileşenin bağımlılık kümesini alır ve varsayımın numarasını çıkarır; geriye kalan küme, koşullunun dayandığı öncülleri gösterir. Varsayımın numarası art bileşenin kümesinde hiç yoksa, bu not edilir: art bileşen varsayım kullanılmadan türetilmiştir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Koşullu ispatı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir koşullu önerme, ön bileşeni geçici bir varsayım olarak açılıp öncüller ve varsayımla art bileşeni türetilerek, ardından varsayım kapatılıp koşullu kapsamın dışına yazılarak kanıtlanır. Kural geçerlidir, çünkü öncüllerin doğru olduğu her durumda ya ön bileşen yanlıştır ya da türetim art bileşenin doğru olduğunu güvenceye alır; Herbrand'ın çıkarım teoremi aynı sonucu aksiyomlarla çalışan sistemler için kanıtlar. Koşullu ispat ile koyma kipi, Prawitz'in gösterdiği gibi, birbiriyle uyumlu bir kural çiftidir ve koşullu bağlacın anlamını birlikte belirler. Kanıtlanan önerme bir maddi koşulludur; ama kanıt, varsayım gerçekten kullanıldığında, ön bileşen ile art bileşen arasında öncüllerin kurduğu bir bağı gösterir. Bu yüzden koşullu ispat, bir belirsizliğe bağlı bir sonucu, belirsizliğin çözülmesini beklemeden kanıtlamanın yoludur.

Açık kalan sorular

Herbrand'ın çıkarım teoremi, bir varsayımdan bir sonuç türetmenin bir koşulluyu kanıtlamakla aynı güveni verdiğini gösterdi. Ama bu eşlik, bütün mantıklarda geçerli midir? Koşulluyu maddi koşulludan daha güçlü bir bağ olarak anlayan mantıklarda, bir varsayımdan bir sonuç türetmek, o bağı kurmaya yeter mi?

Ramsey'in gözlemi, gündelik koşulluların ön bileşeni varsayımsal olarak bilgiye ekleyerek değerlendirildiğini söyledi. Ama ön bileşen, kişinin bildiği bir şeyle çelişiyorsa, onu bilgiye eklemek ne demektir? "Müstensih bu el yazmasını kopyalamış olsaydı" diye başlayan ve gerçekleşmemiş bir durum hakkındaki bir koşullu, koşullu ispatla nasıl değerlendirilir?

Prawitz, her bağlacın kuruluş ve kullanım kurallarının uyumlu olması gerektiğini gösterdi. Bu uyum, bir bağlacın anlamının tam bir ölçütü müdür? Uyumlu kurallara sahip ama doğruluk tablosu olmayan bir bağlaç kurulabilir mi; kurulabilirse, onun anlamı nedir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir koşullu önerme, ön bileşeni geçici bir varsayım olarak açılıp öncüller ve varsayımla art bileşeni türetilerek, ardından varsayım kapatılıp koşullu kapsamın dışına yazılarak kanıtlanır; bu kural, doğal çıkarımda koşullu bağlacın kuruluş kuralıdır.

Herbrand'ın çıkarım teoremi koşullu ispatın aksiyomlarla çalışan sistemlerde de kanıtlanabilen bir sonuca dayandığını, Ramsey'in gözlemi bu kuralın gündelik koşullu akıl yürütmenin biçimini yansıttığını, Prawitz'in sonucu ise koşullu ispat ile koyma kipinin birbiriyle uyumlu ve bağlacın anlamını birlikte belirleyen bir kural çifti olduğunu gösterdi.

Bir koşullu dört adımla kanıtlanır: ön bileşeni geçici varsayım olarak açmak, kapsamın içinde art bileşeni türetmek, varsayımı kapatıp koşulluyu kapsamın dışına yazmak ve koşullunun bağımlılık kümesinden varsayımın numarasını çıkarmak.

Koşullu ispatın yalnızca maddi koşulluyu kanıtladığı, varsayım yanlışsa koşullunun boş olduğu ve kuralın geçerliliğinin kanıt gerektirdiği itirazları, kanıtın varsayım kullanıldığında bir bağı gösterdiğini, koşullunun değerinin ön bileşen belirsizken ortaya çıktığını ve kuralın geçerliliğinin sistemin dışından bir kez kanıtlandığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir koşulluyu koşullu ispatla kanıtlamak, bir belirsizliği geçici olarak kabul edip onun sonucunu türetmek ve bu sonucu, belirsizliğin kendisini içine alan bir koşullu olarak, hiçbir açık varsayıma dayanmadan güvenle yazmaktır.

Sonraki derse köprü

Selin'in ilgisiz varsayımı, varsayımları kapatmanın ikinci bir yolunu gündeme getirdi. Selin, bir varsayımı kapatırken onu bir koşullunun ön bileşeni olarak yazmıştı. Ama grubun dolaylı ispat üzerine konuşurken kullandığı yol farklıydı: bir varsayım açılmış, ondan bir çelişki türetilmiş ve varsayım, onun olumsuzlaması yazılarak kapatılmıştı. Bu da bir varsayımı boşaltmanın bir kuralıydı, ama bir koşullu değil, bir olumsuzlama kuruyordu.

Kerem, iki kuralın birbirine benzediğini fark ediyor: ikisi de bir varsayım açıyor, ondan bir şey türetiyor ve varsayımı kapatıyordu. Fark, türetilen şeydeydi: koşullu ispatta herhangi bir art bileşen, öteki kuralda ise bir çelişki. Barış, dolaylı ispatı bir türetimde yazmaya çalışırken takıldığı yeri hatırlıyor: bir çelişki türetildiğinde, onu hangi satırlarla göstermesi ve varsayımı hangi kuralla kapatması gerekiyordu? Lina ise, sezgici mantığın iki dolaylı ispat biçiminden yalnızca birini kabul ettiğini ve bunun türetimde nasıl görüneceğini merak ediyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Reductio dersi, bir geçici varsayımdan bir çelişki türetildiğinde varsayımın hangi kuralla kapatıldığını, bu kuralın olumsuzlamanın kuruluş kuralı olarak nasıl işlediğini ve çifte olumsuzlamanın kalkmasına dayanan biçiminin türetimde neden ayrı bir adım olarak yazılması gerektiğini soruyor.