Varsayım

Açılış sahnesi

Barış, dolaylı ispatla kurduğu bir türetimi tahtaya yazmış ve bir yerde takılmış. Birinci ile dördüncü satır öncüllerdi. Beşinci satır bir geçici varsayımdı: "sanık suç saatinde olay yerindeydi." Altıncı ile dokuzuncu satırlar, bu varsayımdan ve öncüllerden türetilmişti ve dokuzuncu satırda bir çelişkiye varılmıştı. Onuncu satırda varsayım bırakılmış, sonuç yazılmıştı. Barış, altıncı ile dokuzuncu satırların ne olacağını soruyor. Bunların bir kısmı varsayıma dayanıyordu; varsayım bırakıldığında onlar da geçerliliğini yitirmeliydi. Ama yedinci satır, yalnızca birinci ve ikinci öncülden türetilmişti; varsayıma hiç dokunmamıştı.

Lina, türetimde varsayıma dayanan satırların öteki satırlardan görsel olarak ayrılmasını öneriyor: bir girinti ya da solda dikey bir çizgi. Kerem ise bir türetimde birden çok varsayım açıldığında ne olacağını merak ediyor: bir varsayım açıkken ikinci bir varsayım açılırsa, hangisi önce kapanmalıydı? Defne, kendi mesleğinde varsayımların nasıl kaçak hâle geldiğini anlatıyor: bir ayırıcı tanı notunda "bu hastalık olduğunu varsayalım" diye başlayan bir paragrafın sonundaki bir istem, notu okuyan bir başka hekim tarafından bir kesin tanıya dayanan bir istem gibi uygulanmıştı. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, bir türetimde geçici bir varsayımın nasıl açıldığını, ona dayanan satırların nasıl işaretlendiğini ve bir varsayım kapatıldığında hangi satırların türetimde kalabildiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın geçerlilik modülü, çıkarımları tablolarla, karşı değerlemeyle ve kurallarla sınadı ve dolaylı ispatla bir önermenin olumsuzlamasını varsayarak bir çelişkiye varmayı gösterdi. Klasik Mantığa Giriş kursu ise Gentzen'in doğal çıkarımını, geçerliliğin öncüllerden adım adım kurulan bir türetimle gösterilmesi olarak tanıtmıştı. Bu ders, doğal çıkarım modülünü açıyor ve bu yöntemin en ayırt edici öğesine bakıyor: bir türetimin içinde geçici olarak kabul edilen ve bir noktada bırakılan varsayımlara. Modülün öteki dersleri, varsayımların koşullu önermeleri ve olumsuzlamaları kanıtlamak için nasıl kullanıldığını gösterecek; bu ders, varsayımın kendisini ve onun kayıt düzenini inceliyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Polonyalı mantıkçı Stanisław Jaśkowski, 1934'te yayımladığı Biçimsel Mantıkta Varsayım Kuralları Üzerine adlı çalışmasında, Gentzen'den bağımsız olarak, varsayımlara dayanan bir kanıt yöntemi kurar ve varsayımların kapsamını kutularla gösterir. Amerikalı mantıkçı Frederic Fitch, 1952'de yayımladığı Simgesel Mantık'ta, bu kutuları dikey çizgilere dönüştürür ve her varsayımın kapsamını, onun altından başlayıp kapandığı yere kadar inen bir çizgiyle gösterir. Patrick Suppes ise 1957'de yayımladığı Mantığa Giriş'te, her satırın yanına onun dayandığı öncül ve varsayımların numaralarını yazan bir kayıt düzeni önerir.

Ardından üç itirazı tartacağız: bir türetimde her şeyin varsayılabildiği için varsayımın keyfî olduğu, varsayımların bir kanıtta yeri olmadığı ve varsayımların nasıl işaretlendiğinin yalnızca bir yazım meselesi olduğu itirazları.

Sonda, bir türetimde bir varsayımla çalışmanın dört adımını göstereceğiz: varsayımı ayrı bir satıra açıp işaretlemek, ona dayanan her satırı aynı kapsamın içine yazmak, iç içe varsayımları son açılan ilk kapanacak biçimde düzenlemek ve bir varsayım kapandığında yalnızca ona dayanmayan satırları kullanmaya devam etmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir türetimde geçici bir varsayım nasıl açılır, ona dayanan satırlar nasıl işaretlenir ve bir varsayım kapatıldığında hangi satırlar türetimde kalabilir?

Ölçülü iddiam şu: bir türetimde herhangi bir önerme, bir geçici varsayım olarak, ayrı bir satırda ve öteki satırlardan açıkça ayrılarak açılabilir; varsayımdan ve öncüllerden türetilen her satır, varsayıma dayanır ve varsayımın kapsamı içinde kalır; bir varsayım, ancak belirli bir kuralla, örneğin bir koşullu önermeyi kurmak ya da bir çelişkiden bir olumsuzlama çıkarmak için, kapatılabilir ve kapandığında kapsamı içindeki satırlar artık kullanılamaz; birden çok varsayım iç içe açıldığında, son açılan ilk kapanır ve bir iç varsayımın kapsamı dış varsayımın kapsamının içinde kalır; bir satırın hangi varsayımlara dayandığını izlemek için iki yol vardır: varsayımların kapsamını bir kutu, bir girinti ya da bir çizgiyle görsel olarak göstermek ya da her satırın yanına dayandığı öncül ve varsayımların numaralarını yazmak; türetimin sonucu, hiçbir açık varsayıma dayanmıyorsa, yalnızca öncüllerden çıkar; bu yüzden varsayımın kayıt düzeni bir yazım meselesi değil, bir türetimin hangi sonucu gerçekten kanıtladığını belirleyen düzendir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir akıl yürütmede "varsayalım ki" dendiğini duyduğunda, çoğu zaman bunun bir kolaylık ya da bir düşünce deneyi olduğunu düşünür. Varsayım, doğru olup olmadığı bilinmeyen bir önermeyi, sonuçlarını görmek için bir süreliğine kabul etmektir. Ama bir varsayımdan türetilen bir sonuç, varsayım bırakıldığında ne olur? Varsayımın sonuçları, onun kendisiyle birlikte bırakılmalıdır; aksi takdirde, yalnızca varsayılan bir şey kanıtlanmış bir şeye dönüşür.

Doğal çıkarım, bu sorunu açık bir düzenle çözer. Bir türetimde bir önerme, geçici bir varsayım olarak açılabilir; bu satır bir öncül değildir ve kanıtlanmış da değildir. Varsayımdan türetilen her satır, varsayıma dayandığı sürece, onun kapsamı içindedir. Varsayım belirli bir kuralla kapatıldığında, kapsamı içindeki satırlar kapanır; onlardan yalnızca kapatma kuralının ürettiği satır, yani varsayımın bırakılmasıyla elde edilen sonuç, türetimde kalır.

Bu düzenin gücü, bir türetimin sonucunun neye dayandığını her an görünür kılmasıdır. Bir satırın hangi varsayımların kapsamı içinde olduğu bilinirse, o satırın yalnızca bu varsayımlar doğruysa doğru olduğu bilinir. Türetimin son satırı hiçbir açık varsayımın kapsamı içinde değilse, yalnızca öncüllere dayanır ve öncüllerden gerçekten çıkar.

Görüşler ve pozisyonlar

Varsayımların bir kanıttaki yeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, aksiyom görüşüdür. Buna göre bir kanıt, yalnızca aksiyomlardan ve öncüllerden, çıkarım kurallarıyla türetilen satırlardan oluşmalıdır. Varsayımlar, doğru olup olmadığı bilinmeyen önermeler olduğu için bir kanıtta yer almamalıdır; bir varsayımla yapılan her şey, aksiyomlardan türetilen daha uzun bir kanıtla da yapılabilir.

İkinci görüş, doğal akıl yürütme görüşüdür. Buna göre varsayımlar, insanların gerçekte nasıl akıl yürüttüğünün bir parçasıdır: matematikçiler, hukukçular ve hekimler, bir şeyi kanıtlamak için sık sık bir şeyi varsayar ve sonuçlarını izler. Bir kanıt yöntemi bu pratiği yansıtmalıdır.

Üçüncü görüş, kayıt görüşüdür. Buna göre varsayımlar bir kanıtta meşrudur, ama ancak kapsamları açıkça kaydedildiğinde. Bir varsayımın gücü ile tehlikesi aynı yerdedir: bir şeyi geçici olarak kabul etmek akıl yürütmeyi kolaylaştırır, ama bu kabul unutulduğunda varsayılan şey kanıtlanmış gibi görünür. Varsayımla çalışan bir yöntemin değeri, onun kayıt düzeninin bu unutmayı önleyip önlemediğine bağlıdır.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, aksiyomlardan yapılan kanıtların varsayımla yapılanlarla aynı sonuçları verebildiğini doğru görür, ama bu kanıtların çok daha uzun ve insanların akıl yürütmesinden çok daha uzak olduğunu gözden kaçırır. İkinci görüş, varsayımların doğal bir akıl yürütme aracı olduğunu doğru görür, ama gündelik akıl yürütmede varsayımların sık sık kaçak hâle geldiğini hesaba katmaz.

Argümanın yapısı

Bir türetimde bir varsayımla çalışmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, varsayımı ayrı bir satıra açıp işaretlemektir. Türeten, varsayımı yeni bir satıra yazar, yanına "geçici varsayım" notunu düşer ve onun kapsamının başladığını, bir girinti, bir dikey çizgi ya da bir kutuyla gösterir.

İkinci adım, ona dayanan her satırı aynı kapsamın içine yazmaktır. Türeten, varsayımdan ya da varsayıma dayanan bir satırdan türetilen her satırı, varsayımın kapsamının içine yazar. Yalnızca öncüllere dayanan satırları ise, mümkünse varsayım açılmadan önce, kapsamın dışına yazar.

Üçüncü adım, iç içe varsayımları son açılan ilk kapanacak biçimde düzenlemektir. Türeten, bir varsayım açıkken ikinci bir varsayım açarsa, ikincinin kapsamını birincinin kapsamının içine yerleştirir ve ikinci varsayımı birinciden önce kapatır. Bir varsayımın kapsamı, onu kapsayan varsayımın kapsamı kapanmadan kapanmalıdır.

Dördüncü adım, bir varsayım kapandığında yalnızca ona dayanmayan satırları kullanmaya devam etmektir. Türeten, bir varsayımı belirli bir kuralla kapattıktan sonra, kapsamının içindeki satırları bir daha kullanmaz. Kapatma kuralının ürettiği satırı ve kapsamın dışındaki satırları kullanarak türetime devam eder.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Varsayımı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir türetimde herhangi bir önerme geçici bir varsayım olarak açılabilir; ondan türetilen her satır ona dayanır ve onun kapsamı içinde kalır. Bir varsayım ancak belirli bir kuralla kapatılır ve kapandığında kapsamındaki satırlar kullanılamaz; iç içe varsayımlarda son açılan ilk kapanır. Bir satırın hangi varsayımlara dayandığı, kutularla, dikey çizgilerle ya da her satırın yanına yazılan bir sayı kümesiyle izlenir. Türetimin son satırı hiçbir açık varsayıma dayanmıyorsa, sonuç yalnızca öncüllerden çıkar. Varsayımın kayıt düzeni bir yazım meselesi değildir; bir türetimin gerçekte neyi kanıtladığını belirler ve varsayılan bir şeyin kanıtlanmış bir şeyle karışmasını önler.

Açık kalan sorular

Jaśkowski, varsayım yöntemini matematikçilerin gerçek kanıt pratiğini biçimsel kurallara bağlamak için kurdu. Ama gerçek bir matematikçinin ya da bir hukukçunun akıl yürütmesinde varsayımlar her zaman açıkça kapatılır mı? Gündelik akıl yürütmede açık kalan varsayımlar, bir akıl yürütmenin kusuru mudur, yoksa gündelik düşünmenin kaçınılmaz bir özelliği mi?

Fitch'in düzeni ile Suppes'in düzeni aynı mantıksal ilişkiyi gösteriyordu, ama Selin'in sayı sütunu, Lina'nın çizgilerinin göstermediği bir şeyi, gereksiz bir öncülü, gösterdi. Bir kayıt düzeninin seçimi, bir akıl yürütmenin hangi özelliklerinin görünür, hangilerinin görünmez olacağını belirler mi? Bir düzen, onu kullananın düşüncesini de biçimlendirir mi?

Defne'nin kaçak istemi, bir varsayıma dayanan bir cümlenin bir kesin karar gibi uygulanmasının bir hastaya zarar verebileceğini gösterdi. Bir metnin yazarı, okurun bir varsayımı bir bulgu gibi okumasından ne ölçüde sorumludur? Bir varsayımın kapsamını açıkça göstermek, yazarın okura karşı bir yükümlülüğü müdür?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir türetimde herhangi bir önerme geçici bir varsayım olarak açılabilir; ondan türetilen her satır ona dayanır, onun kapsamı içinde kalır ve varsayım belirli bir kuralla kapandığında kullanılamaz.

Jaśkowski'nin varsayım kuralları bu yöntemin matematikçilerin gerçek kanıt pratiğini biçimsel kurallara bağlama çabasından doğduğunu, Fitch'in dikey çizgileri varsayımların kapsamının bir bakışta görünür kılınabileceğini, Suppes'in bağımlılık kümeleri ise bir satırın hangi varsayımlara dayandığının sayılarla kesin olarak izlenebileceğini gösterdi.

Bir varsayımla dört adımla çalışılır: varsayımı ayrı bir satıra açıp işaretlemek, ona dayanan her satırı aynı kapsamın içine yazmak, iç içe varsayımları son açılan ilk kapanacak biçimde düzenlemek ve kapanmış bir varsayımın kapsamındaki satırlara bir daha başvurmamak.

Varsayımın keyfî olduğu, kanıtta yeri olmadığı ve işaretlemenin bir yazım meselesi olduğu itirazları, açılan varsayımdan neyin kanıtlandığının keyfî olmadığını, varsayımlı ve varsayımsız yöntemlerin aynı sonuçları kanıtladığını ve kayıt düzeninin bir türetimin gerçekte neyi kanıtladığını belirlediğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir varsayımla akıl yürütmek, bir şeyi geçici olarak kabul etmek, bu kabulün kapsamını her an görünür tutmak ve varsayılan hiçbir şeyin, kapsamından kaçarak, kanıtlanmış bir şeymiş gibi görünmesine izin vermemektir.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın kaçak cümlesi için önerdiği onarım, grubu varsayımları kapatmanın ilk kuralına götürdü. Tolga, özetin "el yazması öteki el yazmasıyla aynı atölyede yazılmıştır" cümlesini "müstensih el yazmasını kopyaladıysa, el yazması öteki el yazmasıyla aynı atölyede yazılmıştır" diye yeniden yazmayı önermişti. Bu yeni cümle, kapanmamış varsayımı ön bileşen olarak içine alıyordu ve artık hiçbir varsayıma dayanmıyordu.

Kerem, bu onarımın bir kurala dönüştürülebileceğini fark ediyor: bir varsayım açılır, ondan bir sonuç türetilir, sonra varsayım kapatılır ve varsayımdan sonuca giden bir koşullu yazılır. Böylece bir varsayımın kapsamı içinde kalan bir sonuç, varsayımın dışına, bir koşullu biçiminde, güvenle taşınabiliyordu. Barış, hukukta bir hükmün de sık sık bu biçimde kurulduğunu söylüyor: bir koşulun gerçekleştiği varsayılır, sonuçları çıkarılır ve hüküm bir koşullu olarak yazılır.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Koşullu ispat dersi, bir koşullu önermeyi, onun ön bileşenini geçici olarak varsayıp art bileşenini türeterek ve ardından varsayımı kapatarak kanıtlamanın nasıl yapıldığını ve bu kuralın neden geçerli olduğunu soruyor.