Dolaylı ispat

Açılış sahnesi

Selin, Lina'nın önerdiği kuralı nasıl reddettiğini gruba yeniden anlatıyor. Kuralın geçersiz olduğunu doğrudan bir türetimle göstermemişti. Önce kuralın geçerli olduğunu varsaymış, sonra bu varsayımla raporun hemen her şeyi kanıtlayabileceğini, örneğin iki tanığın hem "kendiliğinden" okunuşunu taşıdığını hem taşımadığını çıkarabileceğini göstermişti. Varsayım kabul edilemez bir sonuca varmıştı; bu yüzden varsayım bırakılmalıydı. Kerem, aynı hareketi çelişki üzerine konuşurken kullandığını hatırlıyor: bir çıkarımın geçerliliğini, sonucunun olumsuzlamasını öncüllere ekleyip bir çelişkiye vararak sınamıştı.

Barış, bu biçimin mahkemelerde her gün kullanıldığını söylüyor: karşı tarafın iddiasını doğru varsaymak ve bu varsayımın kabul edilemez bir sonuca yol açtığını göstermek. Ama Barış bir şeyden emin değil. Bir iddiayı varsayıp bir çelişkiye vardığında, çelişkinin kaynağı gerçekten o iddia mıydı, yoksa yanında kullandığı öteki öncüllerden biri mi? Lina ise başka bir şeyi merak ediyor: bir önermenin olumsuzlamasını çürütmek, o önermenin kendisini göstermek miydi? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, bir önermenin olumsuzlamasını varsayıp bir çelişkiye vararak o önermeyi kanıtlamanın nasıl yapıldığını, bu kanıt biçiminin neden geçerli olduğunu ve neden bazı mantıkçıların onun bir biçimini doğrudan bir kanıtla aynı güvende saymadığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın çıkarım kuralları dersi, bir çıkarımı geçerliliği bir kez gösterilmiş kurallarla adım adım kurmayı gösterdi. Bu ders, geçerlilik modülünü kapatırken, doğrudan olmayan bir kanıt biçimine bakıyor: kanıtlanmak istenen önermeyi doğrudan türetmek yerine, onun olumsuzlamasını varsayıp bu varsayımdan bir çelişkiye varmak. Düşünme, Okuma ve Felsefi Yöntemler programı, saçmaya indirgemeyi bir felsefe metninde bir argüman kalıbı olarak incelemişti; bu ders, aynı kalıbın önermeler mantığında neden geçerli olduğunu, doğruluk tablolarıyla ve tutarsızlıkla bağını göstererek açıklıyor. Bir türetimde geçici bir varsayımın nasıl açılıp kapatılacağı ise doğal çıkarım modülünün konusu olacak.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Platon, Parmenides diyaloğunun başında, Elealı Zenon'a kitabının amacını anlattırır: çokluğun var olduğunu söyleyenlerin varsayımından, birliğin var olduğunu söyleyenlerin varsayımından çıkandan daha gülünç sonuçlar çıktığını göstermek. Aristoteles, Birinci Analitikler'in yirmi üçüncü bölümünde, olmayana ergi yoluyla yapılan kanıtları incelerken, karenin köşegeninin kenarıyla ortak ölçülemez olduğunun, ortak ölçülebilir olduğu varsayılırsa tek sayıların çift sayılara eşit olacağı gösterilerek kanıtlandığını söyler. Godfrey Harold Hardy ise 1940'ta yayımladığı Bir Matematikçinin Savunusu'nda, bu kanıt biçimini matematikçinin en güzel silahlarından biri sayar.

Ardından üç itirazı tartacağız: dolaylı ispatın varılan çelişkinin kaynağını göstermediği, bir önermenin olumsuzlamasını çürütmenin o önermenin kendisini kurmadığı ve dolaylı ispatın bir önermenin neden doğru olduğunu açıklamadığı itirazları.

Sonda, bir önermeyi dolaylı ispatla kanıtlamanın dört adımını göstereceğiz: kanıtlanacak önermenin olumsuzlamasını öncüllere eklemek, bu genişletilmiş kümeden bir önerme ile onun olumsuzlamasını türetmek, çelişkiye varıldığında eklenen varsayımı bırakıp kanıtlanacak önermeyi sonuç olarak yazmak ve kanıtın, bir önermenin olumsuzlamasını mı yoksa bir olumsuzlamanın olumsuzlamasını mı çürüttüğünü not etmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir önermenin olumsuzlamasını varsayıp bir çelişkiye vararak o önermeyi kanıtlamak nasıl yapılır, bu kanıt biçimi neden geçerlidir ve hangi durumlarda doğrudan bir kanıtla aynı güveni vermez?

Ölçülü iddiam şu: dolaylı ispat, kanıtlanacak önermenin olumsuzlamasını öncüllere ekleyip bu genişletilmiş kümeden bir çelişki türeterek, eklenen varsayımın öncüllerle birlikte tutulamayacağını ve bu yüzden kanıtlanacak önermenin öncüllerden çıktığını göstermektir; bu biçim geçerlidir, çünkü bir çıkarım, ancak ve ancak öncülleri ile sonucunun olumsuzlamasından oluşan küme tutarsızsa geçerlidir; dolaylı ispatın iki biçimi vardır: birincisi, bir p önermesini varsayıp bir çelişkiye vararak "p değil" sonucunu çıkarır; ikincisi, "p değil" önermesini varsayıp bir çelişkiye vararak p sonucunu çıkarır; birinci biçim, bir önermeyi çürütmenin doğrudan bir yoludur ve klasik mantıkta da sezgici mantıkta da kabul edilir; ikinci biçim ise çifte olumsuzlamanın kalkmasına dayanır ve sezgici mantıkta kabul edilmez, çünkü bir önermenin olumsuzlamasını çürütmek, onun doğru olduğunu gösteren bir yapı ya da örnek vermez; ayrıca dolaylı ispatın vardığı çelişki, varsayımın öncüllerle birlikte tutulamayacağını gösterir, ama öncüllerden hangisinin yanlış olduğunu göstermez; bu yüzden bir çelişkiden varsayımın bırakılması gerektiği sonucu, ancak öteki öncüller sağlam kabul edildiğinde çıkar.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir önermeyi kanıtlamaya çalıştığında, çoğu zaman öncüllerden başlayıp adım adım o önermeye ulaşmaya çalışır. Bu doğrudan yoldur ve pek çok durumda işe yarar. Ama bazı önermeler için doğrudan yol bulunmaz ya da çok uzundur. Bu durumlarda başka bir yol vardır: önermenin yanlış olduğunu varsaymak ve bu varsayımın kabul edilemez bir sonuca yol açtığını göstermek.

Bu yolun mantığı, tutarlılık ile geçerlilik arasındaki bağa dayanır. Bir çıkarım geçerliyse, öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olduğu hiçbir durum yoktur. Bu, öncüllerin ve sonucun olumsuzlamasının birlikte doğru olduğu hiçbir durumun bulunmaması, yani öncüller ile sonucun olumsuzlamasından oluşan kümenin tutarsız olması demektir. Bu kümenin tutarsız olduğu, ondan bir çelişki türetilerek gösterilebilir.

Dolaylı ispat bu yüzden iki adımlı bir harekettir. Önce, kanıtlanacak önermenin olumsuzlaması geçici bir varsayım olarak öncüllere eklenir. Sonra, bu genişletilmiş kümeden bir önerme ile onun olumsuzlaması türetilir. Çelişkiye varıldığında, geçici varsayım bırakılır ve onun olumsuzlaması, yani kanıtlanacak önerme, öncüllerden çıkan bir sonuç olarak yazılır.

Görüşler ve pozisyonlar

Dolaylı ispatın doğrudan bir kanıtla ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, eşitlik görüşüdür. Buna göre dolaylı ispat, doğrudan bir kanıtla aynı güvende bir kanıttır: bir önermenin olumsuzlamasının bir çelişkiye götürdüğü gösterildiyse, o önerme doğrudur. Klasik mantıkta her önerme ya doğru ya yanlıştır ve olumsuzlaması yanlış olan bir önerme doğrudur.

İkinci görüş, yapıcılık görüşüdür. Buna göre dolaylı ispatın bir biçimi, bir önermeyi varsayıp bir çelişkiye vararak onun olumsuzlamasını kanıtlamak, meşrudur; ama öbür biçimi, bir önermenin olumsuzlamasını varsayıp bir çelişkiye vararak önermenin kendisini kanıtlamak, meşru değildir. Bir önermeyi kanıtlamak, onun doğru olduğunu gösteren bir yapı ya da örnek vermektir; olumsuzlamasının çelişkili olduğunu göstermek bunu vermez.

Üçüncü görüş, bağlam görüşüdür. Buna göre iki biçim de klasik mantıkta geçerlidir, ama farklı işler görür. Birinci biçim, bir önermeyi çürütmenin doğrudan bir yoludur ve her bağlamda aynı güveni verir. İkinci biçim, bir önermenin doğru olduğunu gösterir, ama onun neden ya da hangi örnekte doğru olduğunu göstermez; bu yüzden bir varlık iddiasını ya da bir yapı gerektiren bir sonucu kanıtlarken, doğrudan bir kanıtın verdiği bilgiyi vermez.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, klasik mantıkta iki biçimin de geçerli olduğunu doğru görür, ama onları eşit saymakla, ikinci biçimin bazı bağlamlarda bir önermenin neden doğru olduğuna dair bilgiyi eksik bıraktığını gözden kaçırır. İkinci görüş, bu eksikliği doğru görür, ama klasik mantığın her önermenin ya doğru ya yanlış olduğu varsayımını paylaşan bağlamlarda ikinci biçimin de güvenilir bir sonuç verdiğini kabul etmez.

Argümanın yapısı

Bir önermeyi dolaylı ispatla kanıtlamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, kanıtlanacak önermenin olumsuzlamasını öncüllere eklemektir. Kanıtlayan, öncülleri numaralı satırlara yazar ve bir sonraki satıra, kanıtlanacak önermenin olumsuzlamasını, yanına "geçici varsayım" notunu düşerek ekler. Bu satırın öteki öncüllerden farklı olduğu, kanıt boyunca açıkça belli olmalıdır.

İkinci adım, bu genişletilmiş kümeden bir önerme ile onun olumsuzlamasını türetmektir. Kanıtlayan, çıkarım kurallarını hem öncüllere hem geçici varsayıma uygulayarak yeni satırlar türetir ve bir noktada bir önermeyi ve onun olumsuzlamasını ayrı satırlarda elde eder.

Üçüncü adım, çelişkiye varıldığında eklenen varsayımı bırakıp kanıtlanacak önermeyi sonuç olarak yazmaktır. Kanıtlayan, çelişkiyi içeren satırları belirtir, geçici varsayımın artık kullanılmadığını işaretler ve bir sonraki satıra kanıtlanacak önermeyi, yanına dolaylı ispatın hangi satırlara dayandığını yazarak, ekler. Bu satır artık geçici varsayıma değil, yalnızca öncüllere dayanır.

Dördüncü adım, kanıtın bir önermenin olumsuzlamasını mı yoksa bir olumsuzlamanın olumsuzlamasını mı çürüttüğünü not etmektir. Kanıtlayan, geçici varsayım bir p önermesiyse ve sonuç "p değil" ise, kanıtın birinci biçimde olduğunu; geçici varsayım "p değil" ise ve sonuç p ise, kanıtın ikinci biçimde olduğunu ve çifte olumsuzlamanın kalkmasına dayandığını yazar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Dolaylı ispatı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Dolaylı ispat, kanıtlanacak önermenin olumsuzlamasını öncüllere ekleyip bir çelişki türeterek, bu önermenin öncüllerden çıktığını gösterir ve geçerliliği, bir çıkarımın öncülleri ile sonucunun olumsuzlamasından oluşan kümenin tutarsız olmasına dayanır. İki biçimi vardır: bir önermeyi varsayıp olumsuzlamasını kanıtlayan biçim, iki mantıkta da kabul edilir; bir önermenin olumsuzlamasını varsayıp önermenin kendisini kanıtlayan biçim ise çifte olumsuzlamanın kalkmasına dayanır ve bir varlık iddiasını kanıtlarken var olan şeyi göstermez. Çelişki, varsayımın öncüllerle birlikte tutulamayacağını gösterir, ama hangi önermenin yanlış olduğunu göstermez; bu yüzden bir dolaylı ispatın sonucu, en zayıf öncülünden daha güçlü değildir. Dolaylı ispat, varılan çelişki aydınlatıcı olduğunda, bir önermenin neden doğru olduğunu doğrudan bir kanıt kadar açık gösterebilir.

Açık kalan sorular

Zenon, karşı tarafın varsayımından gülünç sonuçlar çıkararak Parmenides'i savundu. Ama bir görüşün karşıtını çürütmek, o görüşün kendisini desteklemek midir? İki görüşün de gülünç sonuçlara yol açtığı gösterilirse, hangisi kabul edilmelidir?

Aristoteles, olmayana ergi yoluyla yapılan kanıtlarda asıl kıyasın varsayımdan yanlış sonuca giden kıyas olduğunu söyledi. Bir yanlış sonucun yanlış olduğu nasıl bilinir? Dolaylı ispatın bir çelişkiye değil de yalnızca kabul edilemez görünen bir sonuca vardığı durumlarda, sonucun kabul edilemezliği bir sezgiye mi dayanır?

Lina'nın isimsiz okunuşu, bir varlık iddiasının dolaylı bir kanıtla kurulabildiğini ama var olan şeyin gösterilemediğini gösterdi. Bir tarihçi, bir edisyoncu ya da bir hekim için bir şeyin var olduğunu bilmek, onun ne olduğunu bilmeden ne işe yarar? Bir varlık kanıtının değeri, onu kullanacak kişinin amacına mı bağlıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Dolaylı ispat, kanıtlanacak önermenin olumsuzlamasını öncüllere ekleyip bir çelişki türeterek, bu önermenin öncüllerden çıktığını gösterir; geçerliliği, bir çıkarımın öncülleri ile sonucunun olumsuzlamasından oluşan küme tutarsız olduğunda geçerli olmasına dayanır.

Platon'un aktardığı Zenon yöntemi karşı tarafın varsayımından gülünç sonuçlar çıkarmanın felsefede erken bir yöntem olduğunu, Aristoteles'in bölümü olmayana ergi kanıtının doğrudan kanıtın yanında ayrı bir tür olduğunu ve köşegenin ortak ölçülemezliğinin bu yolla kanıtlandığını, Hardy'nin savunusu ise bu yöntemin matematikte bir güç ve güzellik kaynağı sayıldığını gösterdi.

Bir önerme dört adımla dolaylı olarak kanıtlanır: olumsuzlamasını geçici varsayım olarak eklemek, bir önerme ile onun olumsuzlamasını türetmek, varsayımı bırakıp kanıtlanacak önermeyi yazmak ve kanıtın hangi biçimde olduğunu not etmek.

Çelişkinin kaynağının belirsiz olduğu, olumsuzlamayı çürütmenin yetmediği ve dolaylı ispatın açıklamadığı itirazları, kanıtın yalnızca öncüller doğruysa sonucun doğru olduğunu söylediğini, iki biçimin farklı güvenler verdiğini ve aydınlatıcı bir çelişkinin bir önermenin neden doğru olduğunu gösterebildiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir önermeyi dolaylı ispatla kanıtlamak, tersini varsayıp onun tutulamayacağını göstermek, kanıtın bir önermeyi mi çürüttüğünü yoksa bir çürütmeyi mi çürüttüğünü ayırmak ve çelişkinin, varsayımdan başka hangi öncülü de sorgulattığını açıkça yazmaktır.

Sonraki derse köprü

Barış, dolaylı ispatı bir türetim olarak yazarken bir güçlükle karşılaşıyor. "Geçici varsayım" notuyla eklediği satır, öteki öncüllerden farklıydı: bir noktada bırakılması gerekiyordu. Ama bu satırdan türetilen öteki satırlar ne olacaktı? Varsayım bırakıldığında onlar da bırakılmalı mıydı, yoksa bazıları, varsayıma dayanmadıkları için, türetimde kalabilir miydi? Barış, bir türetimin hangi satırlarının hangi varsayımlara dayandığını izlemenin bir yolunun gerektiğini fark ediyor.

Kerem, aynı güçlüğün başka bir kanıt biçiminde de ortaya çıktığını söylüyor. Bir koşulluyu kanıtlamak için, onun ön bileşenini geçici olarak varsayıp art bileşenini türetmek, sonra varsayımı bırakıp koşulluyu sonuç olarak yazmak mümkün görünüyordu. Bu da bir varsayımı açıp kapatmayı gerektiriyordu. Lina, bir türetimde varsayımların ve onlara dayanan satırların, örneğin girintiyle ya da bir çizgiyle, öteki satırlardan ayrılması gerektiğini öneriyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Doğal çıkarım modülünün ilk dersi olan Varsayım, bir türetimde geçici bir varsayımın nasıl açıldığını, ona dayanan satırların nasıl işaretlendiğini ve bir varsayım kapatıldığında hangi satırların türetimde kalabildiğini soruyor.