Çıkarım kuralları

Açılış sahnesi

Tolga, tanık sırasını tartışan zinciri karşı değerlemeyle beş adımda geçerli bulmuştu. Şimdi aynı zincire başka bir gözle bakıyor. Her adımda aynı hareketi yapmıştı: bir koşullunun art bileşeni yanlış olduğunda, ön bileşeninin de yanlış olması gerektiğini çıkarmıştı. Bu hareketin geçerli olduğunu grup çok önce, argüman tablosuyla göstermişti. Tolga, her seferinde yeniden bir tablo kurmanın ya da bir karşı değerleme yapmanın gereksiz olduğunu düşünüyor: hareket bir kez geçerli bulunmuştu; bir kural gibi uygulanabilirdi.

Kerem, bu fikri daha ileri götürüyor: grubun geçerli bulduğu bütün kısa çıkarım biçimleri bir listeye yazılabilir ve uzun bir akıl yürütme, bu biçimlerin adım adım uygulanmasıyla kurulabilirdi. Her adımın yanına, hangi biçime dayandığı yazılırdı. Barış, hukukta da böyle olduğunu söylüyor: yerleşik bir ilke her davada baştan tartışılmaz, adıyla anılır ve uygulanır. Ama Selin bir şeyden kaygılanıyor: listeye hangi biçimlerin gireceğine kim karar verecekti ve yanlış bir biçim listeye girerse ne olacaktı? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, geçerliliği bir kez gösterilmiş kısa çıkarım biçimlerinin, yani çıkarım kurallarının neler olduğunu, uzun bir çıkarımın bu kuralların adım adım uygulanmasıyla nasıl kurulduğunu ve her adımın hangi kurala dayandığının neden açıkça yazılması gerektiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Klasik Mantığa Giriş kursunun çıkarım dersi, bir çıkarım kuralının ne olduğunu ve bir türetimin, her adımı bir kuralla gerekçelendirilmiş bir akıl yürütme olduğunu tanımladı. Bu programın argüman tablosu ve karşı değerleme dersleri ise bir çıkarımın geçerliliğini anlamsal yollarla, doğruluk değerlerine bakarak sınadı. Bu ders, iki çizgiyi birleştiriyor: önermeler mantığının başlıca çıkarım kurallarını adlarıyla tanıtıyor, her birinin geçerliliğinin bir kez tabloyla gösterildiğini hatırlatıyor ve uzun bir çıkarımın bu kurallarla nasıl kurulduğunu gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Jean Buridan, on dördüncü yüzyılın ilk yarısında yazdığı Sonuçlar Üzerine İnceleme'de, bir önermeden ötekine geçişleri, yani sonuçları, sistemli olarak sınıflandırır ve biçimi bakımından geçerli olan sonuçları, içeriği bakımından geçerli olanlardan ayırır. David Hilbert ile Wilhelm Ackermann, 1928'de yayımladıkları Kuramsal Mantığın Ana Hatları'nda, önermeler mantığını birkaç aksiyom ve çok az sayıda çıkarım kuralıyla kurar ve her geçerli önermenin bu kurallarla türetilebileceğini gösterme sorununu ortaya koyar. Arthur Prior ise 1960'ta yayımladığı kısa bir makalede, bir bağlacı yalnızca çıkarım kurallarıyla tanımlamaya çalışmanın, her şeyi her şeyden çıkaran bir bağlaca yol açabileceğini gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: doğruluk tabloları varken çıkarım kurallarına gerek olmadığı, kural listelerinin keyfî olduğu ve bazı kuralların sonuçla ilgisiz önermelerin çıkarılmasına izin verdiği itirazları.

Sonda, bir çıkarımı kurallarla kurmanın dört adımını göstereceğiz: öncülleri numaralı satırlara yazmak, sonuca ulaşmak için hangi ara önermelere ihtiyaç duyulduğunu geriye doğru düşünmek, her yeni satırı bir kuralla ve dayandığı satırların numaralarıyla gerekçelendirmek ve çıkarım kurallarının yalnızca bütün satırlara, yerine koyma kurallarının ise satırların parçalarına da uygulanabileceğini gözetmek.

Merkez soru

Sorumuz şu: önermeler mantığının başlıca çıkarım kuralları nelerdir, uzun bir çıkarım bu kuralların adım adım uygulanmasıyla nasıl kurulur ve bir kural listesinin güvenilir olduğu nasıl bilinir?

Ölçülü iddiam şu: bir çıkarım kuralı, geçerliliği bir kez argüman tablosuyla gösterilmiş kısa bir çıkarım biçimidir; önermeler mantığının başlıca kuralları şunlardır: bir koşulludan ve ön bileşeninden art bileşenini çıkaran koyma kipi, bir koşulludan ve art bileşeninin olumsuzlamasından ön bileşeninin olumsuzlamasını çıkaran kaldırma kipi, iki koşulluyu zincirleyen koşullu kıyas, bir ayrılmadan ve bir ayrılanın olumsuzlamasından ötekini çıkaran ayrık kıyas, bir birleşmeden bileşenlerini çıkaran ve iki önermeden birleşmelerini kuran birleşme kuralları, bir önermeden onu içeren bir ayrılmayı kuran toplama kuralı ve iki koşulludan ve onların ön bileşenlerinin ayrılmasından art bileşenlerinin ayrılmasını çıkaran yapıcı ikilem; bunların yanında, eşdeğer önermelerin birbirinin yerine konmasına izin veren yerine koyma kuralları vardır; uzun bir çıkarım, bu kuralların her adımda açıkça gerekçelendirilerek uygulanmasıyla kurulur ve bu, tablonun satır sayısı çok büyüdüğünde ya da önermelerin iç yapısı hesaba katıldığında tablonun yapamadığını yapar; bir kural listesi, listedeki her kuralın tabloyla geçerli olduğu gösterildiğinde güvenilirdir ve bir kuralın yalnızca kendisini tanımlayan bir kural olarak konması, Prior'ın gösterdiği gibi, her şeyi her şeyden çıkaran bir sisteme yol açabilir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci uzun bir akıl yürütmeyi izlerken, çoğu zaman her adımın bir öncekinden çıkıp çıkmadığını sezgisiyle değerlendirir. Adım makul görünüyorsa geçer; tuhaf görünüyorsa durur. Bu yöntem, akıl yürütme kısa olduğunda işe yarar. Ama akıl yürütme uzadığında, sezgi yorulur ve bir adımdaki küçük bir kayma fark edilmeden geçebilir.

Çıkarım kuralları sezginin yerine açık bir denetim koyar. Her kural, belirli biçimdeki öncüllerden belirli biçimdeki bir sonuca geçişe izin verir ve bu geçişin geçerli olduğu bir kez, argüman tablosuyla, gösterilmiştir. Uzun bir akıl yürütme, bu kuralların art arda uygulanmasıyla kurulduğunda, her adımın geçerli olduğu, adımın hangi kurala dayandığına bakılarak denetlenebilir. Sezgi yerine bir liste kullanılır.

Kuralların gücü, onların biçime dayanmasındadır. Koyma kipi, "p ise q" ve p satırlarından q satırına geçişe izin verir; p ve q'nun ne olduğu önemli değildir. Aynı kural, bir yasa maddesine, bir tıp talimatına ya da bir el yazması hakkındaki bir akıl yürütmeye, hiçbir değişiklik yapılmadan uygulanabilir. Kural bir kez geçerli bulunduğu için, her uygulamasında yeniden sınanmasına gerek yoktur.

Görüşler ve pozisyonlar

Çıkarım kurallarının doğruluk tablolarıyla ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, tablonun önceliği görüşüdür. Buna göre geçerliliğin asıl tanımı doğruluk tablosudur: bir çıkarım, öncüllerinin doğru olduğu her satırda sonucu da doğruysa geçerlidir. Çıkarım kuralları, bu tanıma dayanır; her kural, tabloyla geçerli olduğu gösterildiği için kabul edilir ve kurallar, tablonun bir kısaltmasıdır.

İkinci görüş, kuralların önceliği görüşüdür. Buna göre bağlaçların anlamı, onları içeren önermelerin hangi kurallarla kurulup kullanıldığıyla belirlenir: "ve" bağlacının anlamı, bir birleşmenin iki önermeden nasıl kurulduğu ve ondan hangi önermelerin çıkarıldığıdır. Doğruluk tabloları, bu kuralların bir sonucudur.

Üçüncü görüş, uyum görüşüdür. Buna göre tablolar ve kurallar, geçerliliğin iki ayrı ama birbiriyle uyumlu betimlemesidir. Tablolar, bir çıkarımın neden geçerli olduğunu, doğruluğun korunmasıyla açıklar; kurallar, bir çıkarımın nasıl adım adım kurulacağını gösterir. İki betimlemenin uyumu, yani her kuralın tabloyla geçerli olması ve tabloyla geçerli her çıkarımın kurallarla kurulabilmesi, ayrıca gösterilmesi gereken bir sonuçtur.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, kuralların tabloyla güvenceye alındığını doğru görür, ama onları yalnızca bir kısaltma saymakla, tablonun ulaşamadığı yerlerde, örneğin önermelerin iç yapısını gören mantıklarda, kuralların tek araç olduğunu gözden kaçırır. İkinci görüş, kuralların bağlaçların kullanımını belirlediğini doğru görür, ama Prior'ın gösterdiği gibi, herhangi bir kural kümesinin bir bağlacı tanımlayabileceğini varsaymakla bir tuzağa düşer.

Argümanın yapısı

Bir çıkarımı kurallarla kurmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, öncülleri numaralı satırlara yazmaktır. Kuran, her öncülü ayrı bir satıra yazar, satırları numaralandırır ve her birinin yanına "öncül" notunu düşer. Ulaşılmak istenen sonuç, en altta ayrıca belirtilir.

İkinci adım, sonuca ulaşmak için hangi ara önermelere ihtiyaç duyulduğunu geriye doğru düşünmektir. Kuran, sonucun hangi kuralla elde edilebileceğini sorar: sonuç bir koşullunun art bileşeniyse, koşullu ve ön bileşeni gerekir; bir ayrılmanın bir ayrılanıysa, ayrılma ve öteki ayrılanın olumsuzlaması gerekir. Sonra bu ara önermelerin nasıl elde edileceğini aynı biçimde sorar ve öncüllere ulaşana kadar geriye doğru ilerler.

Üçüncü adım, her yeni satırı bir kuralla ve dayandığı satırların numaralarıyla gerekçelendirmektir. Kuran, her yeni satırın yanına, hangi kuralın uygulandığını ve bu kuralın hangi satırlara uygulandığını yazar. Gerekçesi yazılmamış bir satır, çıkarımın denetlenemeyen bir adımıdır.

Dördüncü adım, çıkarım kurallarının yalnızca bütün satırlara, yerine koyma kurallarının ise satırların parçalarına da uygulanabileceğini gözetmektir. Kuran, koyma kipi gibi bir çıkarım kuralını, bir satırın yalnızca bir parçasına uygulamaz; De Morgan yasaları ya da karşıt ters gibi bir eşdeğerliği ise, bir satırın içindeki bir bileşik önermeye uygulayabilir, çünkü eşdeğerlik her bağlamda doğruluk değerini korur.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Çıkarım kurallarını ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir çıkarım kuralı, geçerliliği bir kez argüman tablosuyla gösterilmiş kısa bir çıkarım biçimidir ve uzun bir çıkarım, bu kuralların her adımda açıkça gerekçelendirilerek uygulanmasıyla kurulur. Başlıca kurallar koyma kipi, kaldırma kipi, koşullu kıyas, ayrık kıyas, birleşme kuralları, toplama ve yapıcı ikilemdir; bunların yanında, eşdeğer önermelerin birbirinin yerine konmasına izin veren yerine koyma kuralları vardır. Çıkarım kuralları yalnızca bütün satırlara, yerine koyma kuralları satırların parçalarına da uygulanır. Bir kural listesi, her kuralı geçerli olduğunda ve geçerli her çıkarımı kurabildiğinde güvenilirdir; bir kural, yalnızca kendisini tanımlayan bir kural olarak konamaz, bağlaçların doğruluk koşullarına uyması gerekir. Kurallar geçerliliği güvenceye alır, ama bir sonucun ilgili olup olmadığını güvenceye almaz.

Açık kalan sorular

Buridan, geçerli sonuçları biçimsel ve maddi sonuçlar diye ayırdı. Ama bir sonucun biçimsel olup olmadığı, hangi sözcüklerin mantıksal sözcükler, yani yerine başka bir şey konamayan sözcükler sayıldığına bağlıdır. "Ve", "değil" ve "ise" mantıksal sözcüklerse, "önce" ya da "zorunlu olarak" da mantıksal sözcükler midir? Mantıksal sözcüklerin listesini ne belirler?

Prior'ın tonk bağlacı, bir bağlacı yalnızca kurallarla tanımlamanın tehlikesini gösterdi. Sonraki mantıkçılar, bir bağlacı kuran kurallar ile onu kullanan kurallar arasında bir uyum aranması gerektiğini önerdi. Bu uyum, doğruluk tablolarına başvurmadan tanımlanabilir mi? Tanımlanabilirse, bir bağlacın anlamı onun doğruluk koşulu mudur, yoksa kurallarının uyumu mu?

Hilbert ile Ackermann'ın kısa listesi ile uzun ders kitabı listeleri aynı çıkarımları kurabiliyordu. Bir akıl yürütmeyi kısa bir türetimle kurmak, onu daha iyi mi anlamaktır, yoksa yalnızca daha hızlı mı? Bir kanıtın zarif ya da okunaklı olması, onun mantıksal değerinin bir parçası mıdır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir çıkarım kuralı, geçerliliği bir kez argüman tablosuyla gösterilmiş kısa bir çıkarım biçimidir; koyma kipi, kaldırma kipi, koşullu kıyas, ayrık kıyas, birleşme kuralları, toplama ve yapıcı ikilem başlıca kurallardır ve yerine koyma kuralları eşdeğer önermelerin birbirinin yerine konmasına izin verir.

Buridan'ın incelemesi çıkarım kurallarının biçimsel sonuçların bir listesi olarak orta çağda sistemli biçimde kurulduğunu, Hilbert ile Ackermann'ın sistemi bir kural listesinin her kuralı geçerli olduğunda ve geçerli her şeyi kurabildiğinde güvenilir olduğunu, Prior'ın tonk bağlacı ise bir kuralın yalnızca kendisini tanımlayan bir kural olarak konamayacağını gösterdi.

Bir çıkarım dört adımla kurulur: öncülleri numaralı satırlara yazmak, sonuca ulaşmak için gereken ara önermeleri geriye doğru düşünmek, her yeni satırı bir kuralla ve dayandığı satırlarla gerekçelendirmek ve çıkarım kurallarını yalnızca bütün satırlara uygulamak.

Tablo varken kurallara gerek olmadığı, kural listelerinin keyfî olduğu ve bazı kuralların ilgisizliğe izin verdiği itirazları, kuralların bir çıkarımın nasıl kurulduğunu gösterdiğini ve tablonun ulaşamadığı yerlere ulaştığını, listenin uzunluğunun değil kuralların geçerliliğinin güvenilirliği belirlediğini ve kuralların geçerliliği ama ilgililiği değil güvenceye aldığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir çıkarımı kurallarla kurmak, onu sezgiye bırakmadan, her adımı bir kez geçerliliği gösterilmiş bir biçime dayandırarak ve bu dayanağı her satırın yanına yazarak, herkesin denetleyebileceği bir akıl yürütmeye çevirmektir.

Sonraki derse köprü

Selin'in denenmiş kuralı, grubu bir kanıt biçimine götürdü. Selin, önerilen kuralın geçersiz olduğunu göstermek için doğrudan bir türetim kurmamıştı; kuralın doğru olduğunu varsaymış ve bu varsayımın, raporun hemen her şeyi kanıtlamasına yol açacağını göstermişti. Kerem de çelişki üzerine konuşurken, bir çıkarımın geçerliliğini, sonucunun olumsuzlamasını öncüllere ekleyip bir çelişkiye varmakla sınamayı önermişti.

Barış, bu biçimin hukukta sık kullanıldığını hatırlatıyor: karşı tarafın iddiasını doğru varsaymak ve bu varsayımın saçma ya da kabul edilemez bir sonuca yol açtığını göstermek. Ama Barış, bu biçimin bir türetimde nasıl yazılacağını bilmiyor: bir satırda "varsayalım ki" demek, öteki satırlardaki öncüllerden farklı bir şeydi; varsayım bir noktada bırakılmalıydı ve onun bırakılmasının bir kuralı olmalıydı.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Dolaylı ispat dersi, bir önermenin olumsuzlamasını varsayıp bir çelişkiye vararak o önermeyi kanıtlamanın nasıl yapıldığını, bir türetimde geçici bir varsayımın nasıl açılıp kapatıldığını ve bu kanıt biçiminin neden doğrudan bir türetimle aynı güveni verdiğini soruyor.