Karşı değerleme

Açılış sahnesi

Barış, savcının barut izi akıl yürütmesini bu kez tablo kurmadan sınamayı deniyor. Tablonun dört satırına bakmak yerine, aradığı tek satırdan başlıyor: öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu satır. Sonuç "sanık silahı ateşledi" idi; Barış onu yanlış varsayıyor. İkinci öncül "sanığın elinde barut izi bulundu" idi; Barış onu doğru varsayıyor. Geriye birinci öncül kalıyordu: "sanık silahı ateşlediyse, elinde barut izi bulunur." Ön bileşeni yanlış, art bileşeni doğruydu; koşullu doğruydu. Hiçbir çelişki çıkmamıştı. Barış, öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olduğu bir durumu, tek bir satırı hesaplayarak bulmuştu.

Defne, bu yöntemin kendi on belirtili kuralı için bir kurtuluş olabileceğini görüyor. Bin yirmi dört satırın hepsine bakmak yerine, sonucu yanlış, öncülleri doğru yapan bir değer birleşimi aranabilirdi. Ama Defne bir şeyi merak ediyor: arama bir çelişkiye varırsa, yani sonucu yanlış yapmaya çalışırken öncüllerden biri yanlış çıkarsa, bu çıkarımın geçerli olduğunu mu gösterirdi, yoksa yalnızca aramanın yanlış yerden başladığını mı? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, bir çıkarımın geçersizliğini, bütün tabloyu kurmadan, sonucu yanlış ve öncülleri doğru yapan bir değer birleşimi arayarak nasıl sınanacağını, bu aramanın bir çelişkiye varmasının neyi gösterdiğini ve yöntemin büyük tablolar için neden bu kadar kullanışlı olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın argüman tablosu dersi, bir çıkarımın geçerliliğini, öncüllerin hepsinin doğru olduğu kritik satırlarda sonucun değerine bakarak sınadı ve sonucun yanlış olduğu bir kritik satırın bir karşı örnek olduğunu gösterdi. Bu ders, aynı soruyu tersinden soruyor: karşı örneği, bütün satırları sıralayıp içlerinden seçmek yerine, doğrudan kurmaya çalışıyor. Sonucun yanlış, öncüllerin doğru olduğunu varsayıp bu varsayımların atomik önermelere hangi değerleri zorladığını izliyor. Bu yöntem, doğruluk tablosunun ilkesine dayanır, ama onun bütün satırlarını hesaplamaz.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Hollandalı mantıkçı Evert Willem Beth, 1955'te yayımladığı bir makalede, bir çıkarımın geçerliliğini sınamanın, onun bir karşı örneğini sistemli olarak kurmaya çalışmak olduğunu savunur ve bu arayışı anlamsal çizelge adını verdiği bir yöntemle düzenler. Raymond Smullyan, 1968'de yayımladığı Birinci Dereceden Mantık'ta, Beth'in yöntemini tek bir ağaç biçiminde sadeleştirir ve her bağlaç için dallanan ve dallanmayan kuralları ayırır. Martin Davis, George Logemann ve Donald Loveland ise 1962'de, karşı değerleme aramasını bir bilgisayar programına dönüştürür ve zorunlu atamaları önce yapıp ancak gerektiğinde dallanan bir yöntem önerir.

Ardından üç itirazı tartacağız: karşı değerleme yönteminin hataya açık olduğu için tablodan daha az güvenilir olduğu, yöntemin bir karşı örnek bulduğunda öteki karşı örnekleri gözden kaçırdığı ve yöntemin en kötü durumda tablodan daha hızlı olmadığı itirazları.

Sonda, bir çıkarımı karşı değerlemeyle sınamanın dört adımını göstereceğiz: sonucu yanlış, öncülleri doğru varsaymak, varsayımların zorladığı değerleri atomik önermelere yaymak, bir önerme iki farklı biçimde doğru olabiliyorsa aramayı dallara ayırmak ve her dalın ya bir karşı örnekle ya da bir çelişkiyle bitip bitmediğine bakmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir çıkarımın geçerliliği, bütün doğruluk tablosunu kurmadan, bir karşı örnek aranarak nasıl sınanır, bu aramanın bir çelişkiye varması neyi gösterir ve yöntem hangi durumlarda tablodan daha kullanışlıdır?

Ölçülü iddiam şu: karşı değerleme, bir çıkarımın sonucunu yanlış, öncüllerini doğru varsayıp bu varsayımların atomik önermelere zorladığı değerleri izleyerek bir karşı örnek kurmaya çalışmaktır; arama tutarlı bir değer birleşimine varırsa, çıkarım geçersizdir ve bu birleşim bir karşı örnektir; arama bütün olası yollarda bir çelişkiye, yani bir atomik önermenin hem doğru hem yanlış olması gerektiğine varırsa, karşı örnek yoktur ve çıkarım geçerlidir; bir varsayım tek bir biçimde karşılanabiliyorsa değerler zorla belirlenir, birden çok biçimde karşılanabiliyorsa arama dallara ayrılır ve her dal ayrı ayrı izlenir; geçerlilik, ancak bütün dallar çelişkiyle kapandığında gösterilmiş olur; yöntem, zorunlu atamaların çok, dallanmaların az olduğu çıkarımlarda bütün tabloyu kurmaktan çok daha kısadır; ama en kötü durumda, çok sayıda dallanma gerektiren çıkarımlarda, tablodan daha kısa olmayabilir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir çıkarımın geçerli olup olmadığını sınamak istediğinde, argüman tablosu ona güvenilir bir yol verir: bütün satırları yazmak ve kritik satırlarda sonucun değerine bakmak. Ama bu yol, çoğu satırı boş yere hesaplar. Öncüllerden birinin yanlış olduğu satırlar, geçerlilik için önemsizdir; yine de tabloya yazılır ve hesaplanır.

Karşı değerleme bu israfı ortadan kaldırır. Bir çıkarım geçersizse, öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olduğu en az bir satır vardır. Karşı değerleme, bu satırı doğrudan aramak için sonuçtan başlar: sonucu yanlış yapan değerler neler olabilir? Sonra öncüllere döner: bu değerler altında öncüllerin doğru olması için öteki atomik önermelerin hangi değerleri alması gerekir?

Arama iki biçimde bitebilir. Birincisinde, bütün öncülleri doğru, sonucu yanlış yapan bir değer birleşimi bulunur; bu, bir karşı örnektir ve çıkarım geçersizdir. İkincisinde, arama bir atomik önermeye aynı anda iki değer vermeyi gerektirir; bu, aranan satırın bulunmadığı anlamına gelir. Aramanın bütün olası yolları böyle bir çelişkiye varıyorsa, hiçbir karşı örnek yoktur ve çıkarım geçerlidir.

Görüşler ve pozisyonlar

Karşı değerleme yönteminin doğruluk tablosuyla ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, kısaltma görüşüdür. Buna göre karşı değerleme, doğruluk tablosunun yalnızca bir kısaltmasıdır: tablonun satırlarından ilgisiz olanları atlayarak, geriye kalanlara bakar. Kendi başına yeni bir şey getirmez; tablonun ilkesine dayanır ve onun yerini tutamayan durumlarda ona geri dönülür.

İkinci görüş, arama görüşüdür. Buna göre karşı değerleme, doğruluk tablosundan farklı bir düşünme biçimidir: tablo bütün olasılıkları sırayla sayar, karşı değerleme ise bir amaçla, yani bir karşı örnek bulma amacıyla, olasılıklar arasında yol arar. Bu arama, bir çıkarımın neden geçerli ya da geçersiz olduğunu, tablonun satırlarından daha açık gösterir.

Üçüncü görüş, kanıt görüşüdür. Buna göre karşı değerleme, sistemli bir biçimde yapıldığında, bir kanıt yöntemidir: bütün dalların çelişkiyle kapandığını gösteren bir arama, çıkarımın geçerliliğinin bir kanıtıdır ve bu kanıt, tablonun bir hesabından farklı olarak, adım adım izlenebilir ve denetlenebilir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır ve ikinci görüşün vurgusunu ona ekler. Birinci görüş, karşı değerlemenin tablonun ilkesine dayandığını doğru görür, ama onu bir kısaltmadan ibaret saymakla, onun bir karşı örneği bir amaçla kurma biçiminin, çıkarımın hangi öncülünün hangi işi gördüğünü görünür kıldığını gözden kaçırır. Beth'in gösterdiği gibi, başarısız bir karşı örnek arayışı, düzenli yapıldığında, geçerliliğin bir kanıtıdır.

Argümanın yapısı

Bir çıkarımı karşı değerlemeyle sınamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, sonucu yanlış, öncülleri doğru varsaymaktır. Sınayan, sonucun yanına "yanlış", her öncülün yanına "doğru" yazar. Bu varsayımlar, aranan karşı örneğin ne olması gerektiğini söyler.

İkinci adım, varsayımların zorladığı değerleri atomik önermelere yaymaktır. Sınayan, varsayımların tek bir biçimde karşılanabildiği yerlerden başlar: doğru olması gereken bir birleşme, iki bileşeninin de doğru olmasını; yanlış olması gereken bir ayrılma, iki bileşeninin de yanlış olmasını; yanlış olması gereken bir koşullu, ön bileşeninin doğru ve art bileşeninin yanlış olmasını zorlar. Zorlanan her değer öteki önermelere yayılır.

Üçüncü adım, bir önerme iki farklı biçimde doğru ya da yanlış olabiliyorsa, aramayı dallara ayırmaktır. Sınayan, doğru olması gereken bir ayrılma ya da bir koşullu, yanlış olması gereken bir birleşme gibi, birden çok biçimde karşılanabilen bir varsayımla karşılaştığında, her biçim için ayrı bir dal açar ve her dalı ayrı ayrı izler.

Dördüncü adım, her dalın ya bir karşı örnekle ya da bir çelişkiyle bitip bitmediğine bakmaktır. Sınayan, bir dalda bir atomik önermenin hem doğru hem yanlış olması gerekirse, o dalı çelişkiyle kapatır. Bir dal çelişkisiz bir değer birleşimiyle biterse, o birleşim bir karşı örnektir ve çıkarım geçersizdir. Bütün dallar çelişkiyle kapanırsa, çıkarım geçerlidir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Karşı değerlemeyi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Karşı değerleme, bir çıkarımın sonucunu yanlış, öncüllerini doğru varsayıp bu varsayımların atomik önermelere zorladığı değerleri izleyerek bir karşı örnek kurma yöntemidir. Arama tutarlı bir değer birleşimine varırsa çıkarım geçersizdir ve bu birleşim bir karşı örnektir; bütün dallar çelişkiyle kapanırsa çıkarım geçerlidir. Zorunlu atamalar önce yapılır ve dallanmalar en sona bırakılır; bir çıkarım ancak bütün dallar kapandığında geçerli sayılır. Açık kurallarla yapılan bir karşı değerleme tablo kadar güvenilirdir, bir karşı örnek bulduğunda geçersizliği göstermeye yeter ve zorunlu atamaların çok olduğu çıkarımlarda tablodan çok daha kısadır; en kötü durumda ise tablodan daha kısa olmayabilir.

Açık kalan sorular

Beth, başarısız bir karşı örnek kurma girişiminin kendisinin bir kanıt olduğunu savundu. Ama bir kanıt, genellikle bir şeyin neden doğru olduğunu gösteren bir akıl yürütme olarak düşünülür. Bir karşı örneğin bulunamadığını göstermek, bir çıkarımın neden geçerli olduğunu mu açıklar, yoksa yalnızca geçerli olduğunu mu gösterir?

Lina'nın başlama sırası, karşı değerlemenin hızının hangi varsayımdan başlandığına bağlı olduğunu gösterdi. Bir akıl yürütmeyi değerlendiren bir insan, hangi varsayımdan başlayacağına nasıl karar verir? Deneyimli bir hâkim ya da hekimin bir akıl yürütmenin zayıf noktasını hızla görmesi, bu türden bir sezgisel başlama sırasının ürünü müdür?

Davis, Logemann ve Loveland'ın yöntemi, bir makinenin karşı değerleme yapmasını sağladı. Bir makinenin bir çıkarımı geçerli bulması, bir insanın onu geçerli bulmasıyla aynı türden bir bilgi midir? Bir insanın hiçbir zaman izleyemeyeceği kadar uzun bir aramanın sonucuna, o aramayı izlemeden güvenmek, ne tür bir güvendir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Karşı değerleme, bir çıkarımın sonucunu yanlış, öncüllerini doğru varsayıp bu varsayımların atomik önermelere zorladığı değerleri izleyerek bir karşı örnek kurma yöntemidir; tutarlı bir birleşim bulunursa çıkarım geçersiz, bütün dallar çelişkiyle kapanırsa geçerlidir.

Beth'in anlamsal çizelgeleri başarısız bir karşı örnek arayışının geçerliliğin bir kanıtı sayılabileceğini, Smullyan'ın çözümleyici çizelgeleri dallanan ve dallanmayan adımların açık kurallarla ayrılabileceğini, Davis, Logemann ve Loveland'ın programı ise bu aramanın mekanik bir yönteme dönüştürülebileceğini gösterdi.

Bir çıkarım dört adımla sınanır: sonucu yanlış, öncülleri doğru varsaymak, zorunlu değerleri atomik önermelere yaymak, bir varsayım birden çok biçimde karşılanabiliyorsa dallara ayırmak ve her dalın bir karşı örnekle mi bir çelişkiyle mi bittiğine bakmak.

Yöntemin hataya açık olduğu, bir karşı örneğin yetmediği ve en kötü durumda kısa olmadığı itirazları, açık kurallarla yapılan karşı değerlemenin tablo kadar güvenilir olduğunu, geçersizliği göstermek için tek bir karşı örneğin yettiğini ve zorunlu atamaların çok olduğu çıkarımlarda yöntemin tablodan çok daha kısa olduğunu gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir çıkarımı karşı değerlemeyle sınamak, onun bir karşı örneğini bir amaçla kurmaya çalışmak, zorunlu adımları önce atmak ve ancak bütün yollar kapandığında çıkarımı geçerli ilan etmektir.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın geri yürüyüşü, zinciri beş adımda geçerli bulmuştu; ama Tolga, adımların her birinin aynı biçimi taşıdığını fark ediyor. Her adımda bir koşullunun art bileşeni yanlış olduğunda ön bileşeninin de yanlış olması gerektiğini çıkarmıştı. Bu, grubun daha önce geçerli bulduğu bir çıkarım biçimiydi: art bileşenin olumsuzlamasından ön bileşenin olumsuzlamasını çıkarmak. Zincirin bütün geçerliliği, bu tek biçimin tekrar tekrar uygulanmasına dayanıyordu.

Kerem, bir çıkarımı her seferinde tablo ya da karşı değerleme ile sınamak yerine, bir kez geçerliliği gösterilmiş kısa biçimleri bir araya getirerek uzun çıkarımlar kurmanın mümkün olup olmadığını soruyor. "p ise q; p; öyleyse q" biçimi bir kez geçerli bulunmuştu; her kullanıldığında yeniden sınanması gerekmiyordu. Barış, hukukta da böyle olduğunu söylüyor: yerleşik bir içtihat, her davada baştan tartışılmaz, bir kural olarak uygulanır.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Çıkarım kuralları dersi, geçerliliği bir kez gösterilmiş kısa çıkarım biçimlerinin, yani çıkarım kurallarının neler olduğunu, uzun bir çıkarımın bu kuralların adım adım uygulanmasıyla nasıl kurulduğunu ve her adımın hangi kurala dayandığının neden açıkça yazılması gerektiğini soruyor.