Mantıksal eşdeğerlik

Açılış sahnesi

Barış, bir yönetmelik taslağındaki bir maddeyi tahtaya yazıyor: "Bir okura, hem kimlik belgesini göstermiş hem de önceki ödünç aldığı el yazmasını geri getirmiş olduğu doğru değilse, yeni bir el yazması verilmez." Madde doğruydu, ama okunması güçtü: bir olumsuzlama, bir birleşmenin içine ve bir koşullunun ön bileşenine gömülmüştü. Barış, maddeyi söylediği şeyi değiştirmeden daha açık bir biçimde yazmanın mümkün olup olmadığını soruyor.

Lina, daha önce bulduğu bir eşliği hatırlatıyor: "ne tarih ne müstensih adı taşır" cümlesi ile "tarih taşımaz ve müstensih adı taşımaz" cümlesi, dört satırın dördünde aynı değeri veriyordu. Selin de benzer bir eşlik bulmuştu: bir birleşmenin olumsuzlaması, bileşenlerinin olumsuzlamalarının birleşmesi değildi, ama başka bir şeyle eşti. Kerem ise, koşullunun bir ayrılmayla eş olduğunu göstermişti. Defne, bu eşliklerin bir hastaya verilen talimatı yeniden yazarken kullanılabileceğini, ama yanlış bir eşlik kurulursa hastanın yanlış bir şey yapacağını söylüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, iki önermenin doğruluk tablosunun her satırında aynı değeri taşımasının ne demek olduğunu, bağlaçlar arasındaki başlıca eşdeğerliklerin neler olduğunu ve eşdeğer iki önermenin birbirinin yerine ne zaman güvenle konabileceğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın olumsallık dersi, her önermenin totoloji, çelişki ya da olumsal önerme sınıflarından birine girdiğini gösterdi ve bir önermeyi doğru olduğu satırlarla tanımladı. Bu ders, doğruluk tabloları modülünü kapatırken, iki önermeyi birbiriyle karşılaştırıyor: iki önerme aynı satırlarda doğruysa, mantıksal olarak eşdeğerdir. Grubun sembolleştirme sırasında tek tek bulduğu eşlikler, bu dersin konusu olan eşdeğerliklerin örnekleriydi. Bu ders onları adlandırıyor, bir araya getiriyor ve kullanım sınırlarını gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. William of Ockham, on dördüncü yüzyılda yazdığı mantık kitabının önermeleri inceleyen ikinci bölümünde, birleşik ve ayrık önermelerin çelişiklerinin nasıl kurulacağını açıklar; bugün De Morgan yasaları diye anılan eşdeğerlikler bu açıklamada yer alır. George Boole, 1854'te yayımladığı Düşünce Yasalarının Araştırılması'nda, bir sınıfın kendisiyle kesişiminin yine kendisi olduğunu söyleyen bir yasayı mantığın temel yasası sayar ve çelişmezlik ilkesini bu yasadan türetir. Benson Mates ise 1950'de yayımladığı Eşanlamlılık adlı makalesinde, eşdeğer, hatta eşanlamlı iki ifadenin bile, bir kişinin inancını bildiren bir cümlenin içinde birbirinin yerine konduğunda cümlenin doğruluğunu değiştirebildiğini gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: eşdeğer önermelerin aynı anlama sahip olduğu, eşdeğerliğin kullanılan mantığa bağlı olduğu için güvenilmez olduğu ve bir metni eşdeğer bir biçimde yeniden yazmanın onun yorumunu değiştirdiği itirazları.

Sonda, iki önermenin eşdeğer olup olmadığını sınamanın ve bir önermeyi eşdeğer bir biçimle yeniden yazmanın dört adımını göstereceğiz: iki önermenin tablolarını aynı satırlar üzerinde kurmak, ana bağlaçların sütunlarını satır satır karşılaştırmak, bilinen eşdeğerlikleri kullanarak bir önermeyi adım adım dönüştürmek ve eşdeğer biçimin, önermenin kullanıldığı bağlamda yerine konup konamayacağını denetlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: iki önermenin mantıksal olarak eşdeğer olması ne demektir, bağlaçlar arasındaki başlıca eşdeğerlikler nelerdir ve eşdeğer iki önerme birbirinin yerine ne zaman güvenle konabilir?

Ölçülü iddiam şu: iki önerme, doğruluk tablosunun her satırında aynı değeri taşıyorsa mantıksal olarak eşdeğerdir; bu, iki önermeyi birleştiren iki yönlü koşulun bir totoloji olmasıyla aynı şeydir; başlıca eşdeğerlikler şunlardır: bir birleşmenin olumsuzlaması, bileşenlerin olumsuzlamalarının ayrılmasıyla, bir ayrılmanın olumsuzlaması ise bileşenlerin olumsuzlamalarının birleşmesiyle eşdeğerdir; bir koşullu, ön bileşeninin olumsuzlaması ile art bileşeninin ayrılmasıyla ve art bileşenin olumsuzlamasından ön bileşenin olumsuzlamasına giden koşulluyla eşdeğerdir, ama ters yöndeki koşulluyla eşdeğer değildir; çifte olumsuzlama önermenin kendisiyle, bir önermenin kendisiyle birleşmesi ya da ayrılması da önermenin kendisiyle eşdeğerdir; eşdeğer iki önerme, doğruluk değerini yalnızca bileşenlerinin doğruluk değerlerine göre hesaplayan her bağlamda birbirinin yerine konabilir; ama bir inancı, bir sözü ya da bir vurguyu bildiren bağlamlarda eşdeğerlik yerine koymayı güvenceye almaz, çünkü eşdeğerlik aynı doğruluk koşullarını, aynı anlamı değil, güvenceye alır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci iki cümlenin aynı şeyi söyleyip söylemediğini sorduğunda, çoğu zaman sözcüklerine bakar: aynı sözcükleri kullanıyorlarsa aynı şeyi söylediklerini, farklı sözcükleri kullanıyorlarsa farklı şeyler söylediklerini düşünür. Ama iki cümle farklı sözcüklerle ve farklı bağlaçlarla kurulmuş olsa da, aynı durumlarda doğru ve aynı durumlarda yanlış olabilir.

Önermeler mantığı bu durumu kesin bir biçimde tanımlar. İki önermenin tabloları aynı atomik önermeler üzerinde kurulur ve ana bağlaçlarının sütunları satır satır karşılaştırılır. Her satırda iki sütun aynı değeri taşıyorsa, iki önerme mantıksal olarak eşdeğerdir. Tek bir satırda farklı değerler taşıyorlarsa, eşdeğer değildir ve o satır, iki önermeyi birbirinden ayıran durumu gösterir.

Eşdeğerlik, bir önermeler kümesini sınıflara ayırır: aynı tabloyu veren bütün önermeler bir sınıftadır. İki atomik önermeli önermeler için on altı sınıf vardır; bu, on altı olası sütunun sayısıdır. Her sınıfta sonsuz sayıda önerme bulunur, çünkü bir önermeye her zaman eşdeğer ama daha uzun bir önerme eklenebilir. Bir önermeyi eşdeğer bir biçimle yeniden yazmak, aynı sınıftan başka bir önermeyi seçmektir.

Görüşler ve pozisyonlar

Mantıksal eşdeğerliğin anlamla ilişkisi konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, aynı anlam görüşüdür. Buna göre mantıksal olarak eşdeğer iki önerme aynı şeyi söyler: bir önermenin söylediği şey, hangi durumlarda doğru olduğundan ibarettir ve eşdeğer önermeler aynı durumlarda doğrudur. İki önerme arasındaki farklar, yalnızca yazım farklarıdır.

İkinci görüş, farklı anlam görüşüdür. Buna göre mantıksal olarak eşdeğer iki önerme farklı şeyler söyleyebilir: bir önermenin anlamı, onun doğruluk koşullarından fazlasını, örneğin onun hangi bileşenlerden nasıl kurulduğunu, hangi noktayı vurguladığını ve hangi düşünce yolunu izlediğini de içerir. Eşdeğerlik, anlamın yalnızca bir katmanını paylaşır.

Üçüncü görüş, bağlam görüşüdür. Buna göre eşdeğer iki önermenin birbirinin yerine konup konamayacağı, bağlama bağlıdır. Bir bağlam, içine konan önermenin doğruluğunu yalnızca onun doğruluk değerine göre hesaplıyorsa, eşdeğer önermeler birbirinin yerine konabilir. Bir bağlam, bir inancı, bir sözü ya da bir vurguyu bildiriyorsa, eşdeğer önermeler yer değiştirdiğinde bağlamın doğruluğu değişebilir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, eşdeğer önermelerin aynı doğruluk koşullarını taşıdığını doğru görür, ama bunu anlamın tamamı saymakla, Frege'nin renklendirmesini ve bir koşullunun talimat ya da tahmin olarak okunması arasındaki farkı gözden kaçırır. İkinci görüş, eşdeğer önermelerin farklı biçimlerde anlaşılabildiğini doğru görür; ama bu farkın ne zaman önemli olduğunu belirlemek için, önermenin hangi bağlamda kullanıldığına bakmak gerekir.

Argümanın yapısı

İki önermenin eşdeğer olup olmadığını sınamak ve bir önermeyi eşdeğer bir biçimle yeniden yazmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, iki önermenin tablolarını aynı satırlar üzerinde kurmaktır. Sınayan, iki önermenin içerdiği bütün atomik önermeleri bir araya toplar ve iki tabloyu aynı satır düzeniyle kurar; bir önermede geçmeyen bir atomik önerme, o önermenin sütununu etkilemez ama satırları çoğaltır.

İkinci adım, ana bağlaçların sütunlarını satır satır karşılaştırmaktır. Sınayan, iki sütunu yan yana koyar ve her satırda aynı değeri taşıyıp taşımadıklarına bakar. Tek bir satırda farklıysalar, iki önerme eşdeğer değildir ve o satır, onları ayıran durumu gösterir.

Üçüncü adım, bilinen eşdeğerlikleri kullanarak bir önermeyi adım adım dönüştürmektir. Sınayan, De Morgan yasalarını, koşullunun ayrılmaya eşdeğerliğini, karşıt tersi, yani "p ise q" ile "q değilse p değil" arasındaki eşdeğerliği ve çifte olumsuzlamanın kalkmasını kullanarak, bir önermenin bir parçasını, ona eşdeğer bir parçayla değiştirir. Her adım eşdeğerliği koruduğu için, sonuç da özgün önermeyle eşdeğerdir.

Dördüncü adım, eşdeğer biçimin, önermenin kullanıldığı bağlamda yerine konup konamayacağını denetlemektir. Sınayan, önermenin bir inanç, bir söz, bir alıntı ya da bir vurgu bildiren bir cümlenin içinde olup olmadığına bakar. Öyleyse, eşdeğer biçimin o cümlenin doğruluğunu koruyup korumadığını ayrıca sorar.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Eşdeğerliği ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. İki önerme, doğruluk tablosunun her satırında aynı değeri taşıyorsa mantıksal olarak eşdeğerdir ve bu, onları birleştiren iki yönlü koşulun bir totoloji olmasıyla aynı şeydir. De Morgan yasaları, koşullunun ayrılmaya ve karşıt tersine eşdeğerliği, çifte olumsuzlamanın kalkması ve bir önermenin kendisiyle birleşmesinin kendisine eşdeğerliği, en sık kullanılan eşdeğerliklerdir; bir koşullunun tersi ise onun eşdeğeri değildir. Eşdeğer önermeler, doğruluğu yalnızca bileşenlerin doğruluk değerlerine göre hesaplanan her bağlamda birbirinin yerine konabilir. Ama bir inancı, bir sözü ya da bir vurguyu bildiren bağlamlarda eşdeğerlik yerine koymayı güvenceye almaz, çünkü eşdeğerlik aynı doğruluk koşullarını, aynı anlamı değil, güvenceye alır. Bu yüzden eşdeğer yeniden yazım, bir metnin doğruluk koşullarını sınamanın ve açıklığını artırmanın güçlü bir aracıdır, ama bir kişinin ne düşündüğünü betimlemenin değil.

Açık kalan sorular

Ockham, De Morgan yasalarını çelişik önermeler kurmanın kuralları olarak açıkladı ve bu kurallar beş yüz yıl sonra De Morgan'ın adıyla anılmaya başladı. Bir mantık yasasının kimin adını taşıdığı, onun ilk kez kim tarafından bulunduğunu mu, yoksa kim tarafından yaygınlaştırıldığını mı gösterir? Bir düşünce tarihçisi, bir fikrin kaynağını ararken bu iki soruyu nasıl ayırır?

Mates, eşanlamlı ifadelerin bile inanç bağlamlarında birbirinin yerine konamayabileceğini gösterdi. Ama bir kişi, inandığı her önermenin bütün eşdeğerlerini fark edemiyorsa, onun inançlarının tutarlı olup olmadığı nasıl değerlendirilir? Bir kişi, "p ise q" önermesine inanıp "q değilse p değil" önermesine inanmıyorsa, tutarsız mıdır?

Tolga'nın gereksiz tekrarları, uzun bir cümlenin bazı parçalarının hiçbir şey söylemediğini gösterdi. Bir cümlede hiçbir şey söylemeyen bir parça, okur üzerinde bir etki yaratabilir mi? Bir metnin mantıksal içeriği ile okura ilettiği arasındaki fark, bir yazarın sorumluluğu hakkında ne söyler?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İki önerme, doğruluk tablosunun her satırında aynı değeri taşıyorsa mantıksal olarak eşdeğerdir; bu, onları birleştiren iki yönlü koşulun bir totoloji olmasıyla aynı şeydir.

Ockham'ın kuralları De Morgan yasalarının orta çağda çelişik önermeler kurmanın kuralları olarak bilindiğini, Boole'un yasası bir önermenin kendisiyle birleşmesinin kendisine eşdeğerliğinden çelişmezlik ilkesinin türetilebildiğini, Mates'in makalesi ise eşdeğer, hatta eşanlamlı ifadelerin inanç bağlamlarında birbirinin yerine konamayabileceğini gösterdi.

Eşdeğerlik dört adımla sınanır ve kullanılır: iki önermenin tablolarını aynı satırlar üzerinde kurmak, ana bağlaçların sütunlarını satır satır karşılaştırmak, bilinen eşdeğerliklerle bir önermeyi adım adım dönüştürmek ve eşdeğer biçimin bağlamda yerine konup konamayacağını denetlemek.

Eşdeğer önermelerin aynı şeyi söylediği, eşdeğerliğin mantığa bağlı olduğu ve yeniden yazımın yorumu değiştirdiği itirazları, eşdeğerliğin dünya hakkında söyleneni ama bir kişinin kafasındakini değil güvenceye aldığını, eşdeğerliklerin büyük kısmının farklı mantıklarda ortak olduğunu ve eşdeğer yeniden yazımın özgün metnin yerine değil yanına konarak onu sınadığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir önermeyi eşdeğer bir biçimle yeniden yazmak, onun doğruluk koşullarını değiştirmeden açıklığını artırmak ve bir kısaltmanın ya da bir çevirinin söyleneni değiştirip değiştirmediğini satır satır sınamaktır.

Sonraki derse köprü

Defne'nin yanlış eşliği, grubu tablolarla yapılan bir sınamanın başka bir kullanımına getirdi. Defne iki önermeyi karşılaştırmıştı; ama asıl merak ettiği şey, bir hastanın talimattan hangi sonuçları güvenle çıkarabileceğiydi. "Ateşin düşmezse ve ağrın geçmezse, acile gel" talimatı ve "ateşim düşmedi, ağrım da geçmedi" gözlemi, "acile gitmeliyim" sonucunu gerçekten gerektiriyor muydu?

Kerem, bir çıkarımın geçerliliğinin, karşılık gelen koşullusunun bir totoloji olmasıyla aynı şey olduğunu daha önce göstermişti. Ama bir çıkarımın öncüllerini ve sonucunu tek bir koşulluya dönüştürmeden, doğrudan bir tabloda sınamanın daha açık bir yolu var mıydı? Barış, bir duruşmada karşı tarafın akıl yürütmesini sınarken öncülleri ve sonucu ayrı sütunlarda görmenin çok daha kullanışlı olacağını söylüyor.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Argüman tablosu dersi, bir çıkarımın öncüllerini ve sonucunu aynı doğruluk tablosunda yan yana nasıl dizileceğini, geçerliliğin bu tabloda nasıl okunacağını ve öncüllerin hepsinin doğru, sonucun yanlış olduğu bir satırın bulunmasının neyi gösterdiğini soruyor.