Çelişki

Açılış sahnesi

Kerem, totolojiyi olumsuzlayarak kurduğu önermeyi tahtaya yazıyor: "Üçüncü el yazması 'zamanı gelince' okunuşunu taşır ve taşımaz." Tablonun iki satırı vardı ve iki satırda da önerme yanlıştı: el yazması okunuşu taşıyorsa ikinci birleşen yanlıştı, taşımıyorsa birinci. Totoloji hiçbir durumu dışlamıyordu; bu önerme bütün durumları dışlıyordu. Hangi olgular gerçekleşirse gerçekleşsin, önerme yanlıştı.

Barış, grubun klasik mantığa giriş yaparken çelişkiyi iki önerme arasındaki bir ilişki olarak incelediğini hatırlıyor: bir önerme ile onun olumsuzlaması birlikte doğru olamazdı. Şimdi karşılarında bir ilişki değil, tek bir önerme duruyordu. Barış, bir tanığın ifadesinde böyle bir önermenin açıkça söylenmediğini, ama bir tanığın farklı zamanlarda söylediği cümlelerin birlikte ele alındığında böyle bir önermeye dönüşebildiğini söylüyor. Defne ise bir hasta kaydında üç cümle bulduğunu, bunların hiçbir ikisinin birbiriyle çelişmediğini, ama üçünün birlikte doğru olamayacağını sezdiğini söylüyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, doğruluk tablosunun her satırında yanlış olan önermelerin ne olduğunu, bu önermelerin totolojilerle nasıl bir ilişkisi olduğunu ve bir öncül kümesinin böyle bir önermeyi gerektirmesinin o küme hakkında ne gösterdiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Klasik Mantığa Giriş kursu, çelişkiyi iki önerme arasındaki bir ilişki olarak, bir önerme ile onun çelişiği arasındaki ilişki olarak inceledi ve bir önermeler kümesinin tutarlı olmasının ne demek olduğunu tanımladı. Bu programın totoloji dersi ise, doğruluk tablosunun her satırında doğru olan önermeleri inceledi. Bu ders, iki çizgiyi birleştiriyor: çelişkiyi, tablonun her satırında yanlış olan tek bir önerme olarak ele alıyor ve bir öncül kümesinin tutarsızlığının, öncüllerin birleşmesinin böyle bir önerme olmasıyla aynı şey olduğunu gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Aristoteles, Metafizik'in dördüncü kitabının üçüncü ve dördüncü bölümlerinde, aynı şeyin aynı şeye aynı zamanda ve aynı bakımdan hem ait olup hem ait olmamasının olanaksız olduğunu bütün ilkelerin en sağlamı sayar ve bu ilkeyi reddeden birinin, bir şey söylediği anda onu kullanmak zorunda kaldığını gösterir. İbn Sînâ, Şifâ'nın metafizik kısmının birinci kitabında, bu ilkeyi reddeden birine nasıl karşılık verileceğini tartışır. Stephen Cook ise 1971'de yayımladığı bir makalede, bir önermenin her satırda yanlış olup olmadığını belirleme sorununun, bilgisayar biliminin en zor sorun sınıflarından birinin temsilcisi olduğunu gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: tek önerme olarak çelişkinin, iki önerme arasındaki çelişki ilişkisinden farklı bir şey olmadığı, bazı çelişkilerin gerçekten doğru olabildiği ve bir öncül kümesinin tutarsızlığını tabloyla bulmanın uygulamada olanaksız olduğu itirazları.

Sonda, bir önermenin ya da bir öncül kümesinin çelişkili olup olmadığını sınamanın dört adımını göstereceğiz: önermeyi ya da kümenin öncüllerinin birleşmesini tabloya dökmek, ana bağlacın sütununda tek bir doğru değer aramak, öncüller arasındaki anlam bağlarını ayrı öncüller olarak eklemek ve çelişki bulunduğunda hangi öncülün bırakılabileceğini belirlemek.

Merkez soru

Sorumuz şu: doğruluk tablosunun her satırında yanlış olan bir önerme nedir, böyle bir önermenin totolojiyle ilişkisi nedir ve bir öncül kümesinin tutarsız olması tablo aracılığıyla nasıl gösterilir?

Ölçülü iddiam şu: önermeler mantığında çelişki, doğruluk tablosunun her satırında yanlış olan önermedir; bir önerme, ancak ve ancak olumsuzlaması bir totolojiyse çelişkidir ve bu yüzden totoloji ile çelişki, bilgi ölçeğinin iki ucudur: biri hiçbir durumu dışlamaz, öteki bütün durumları dışlar; bir öncül kümesi, ancak ve ancak öncüllerinin birleşmesi bir çelişkiyse tutarsızdır ve bu, tablonun hiçbir satırında bütün öncüllerin birden doğru olmaması demektir; bir kümenin tutarsızlığı, öncüllerinin hiçbir ikisinin tek başına çelişmediği durumlarda da ortaya çıkabilir ve bu gizli tutarsızlık, ancak bütün öncüller birlikte ele alındığında görülür; bir kümenin tutarlı olduğunu göstermek için tek bir satır yeter, tutarsız olduğunu göstermek için ise bütün satırlara bakmak gerekir ve bu bakışımsızlık, çelişkiyi bulmayı uygulamada tutarlılığı göstermekten çok daha zor kılar.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "çelişki" sözcüğünü duyduğunda, çoğu zaman iki kişinin ya da iki cümlenin birbirine ters düştüğünü düşünür. Bu, çelişkinin bir yüzüdür: bir önerme ile onun olumsuzlaması birbirine ters düşer ve birlikte doğru olamaz. Ama iki çelişik önerme bir birleşmeyle birleştirildiğinde, ortaya tek bir önerme çıkar ve bu önerme, hiçbir durumda doğru olamaz.

Önermeler mantığında çelişki, bu türden bir önermedir: tablonun her satırında yanlış olan önerme. "p ve p değil" önermesi, p'nin iki değerinde de yanlıştır. Ama çelişki yalnızca bu biçimde görünmez. "p ve q ve, p ise q değil" önermesi de her satırda yanlıştır, çünkü p ve q ikisi birden doğruyken koşullu yanlıştır, başka bir satırda ise birleşme yanlıştır.

Çelişki ile totoloji arasında bir ayna ilişkisi vardır. Bir totolojinin olumsuzlaması her satırda yanlıştır; bir çelişkinin olumsuzlaması her satırda doğrudur. Totoloji hiçbir durumu dışlamadığı için bilgi vermez; çelişki bütün durumları dışladığı için, dünyanın hiçbir hâliyle bağdaşmaz ve bu yüzden de dünya hakkında doğru bir şey söylemez.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir öncül kümesinde çelişki bulunduğunda ne yapılması gerektiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, bütünüyle reddetme görüşüdür. Buna göre çelişkili bir öncül kümesi, bütünüyle güvenilmezdir: klasik mantıkta çelişkili bir kümeden her önerme çıktığı için, kümenin hiçbir öncülüne dayanarak bir sonuca varılamaz. Çelişkili bir tanıklık ya da rapor, bütünüyle bir yana konmalıdır.

İkinci görüş, en küçük onarım görüşüdür. Buna göre çelişkili bir kümede, çelişkiyi ortadan kaldırmak için bırakılması gereken en az sayıda öncül bulunmalı ve yalnızca bu öncüller bırakılmalıdır. Hangi öncülün bırakılacağı, öncüllerin ne kadar güvenilir olduğuna, hangi kanıtlara dayandığına bakılarak belirlenir.

Üçüncü görüş, çelişkiyi taşıma görüşüdür. Buna göre bazı durumlarda, örneğin büyük bir veri tabanında ya da uzun bir raporda, çelişki hemen giderilemez ve çelişkili bir kümeyle akıl yürütmeyi sürdürmek gerekir. Bunun için, çelişkiden her şeyin çıkmasına izin vermeyen mantıklar kullanılabilir.

Bu ders ikinci görüşü temel alır ve üçüncü görüşün uyarısını ona ekler. Birinci görüş, klasik mantıkta çelişkili bir kümenin her şeyi gerektirdiğini doğru görür, ama bundan kümenin her öncülünün eşit derecede güvenilmez olduğu sonucunu çıkarmakla, çelişkinin çoğu zaman tek bir öncülden kaynaklandığını gözden kaçırır. Üçüncü görüş, uygulamada çelişkilerin hemen giderilemediğini doğru görür; ama bu, çelişkiyi bulmanın ve onu gideren öncülü aramanın gereğini ortadan kaldırmaz.

Argümanın yapısı

Bir önermenin ya da bir öncül kümesinin çelişkili olup olmadığını sınamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, önermeyi ya da kümenin öncüllerinin birleşmesini tabloya dökmektir. Sınayan, tek bir önermeyi sınıyorsa onun tablosunu kurar; bir kümeyi sınıyorsa, kümenin bütün öncüllerini bir birleşmeyle birleştirir ve bu birleşmenin tablosunu kurar.

İkinci adım, ana bağlacın sütununda tek bir doğru değer aramaktır. Sınayan, sütunu tarar. Tek bir satırda doğru değer bulursa, önerme çelişki değildir ve küme tutarlıdır; o satır, bütün öncüllerin birlikte doğru olduğu bir durumu gösterir. Hiçbir satırda doğru değer yoksa, önerme çelişkidir ve küme tutarsızdır.

Üçüncü adım, öncüller arasındaki anlam bağlarını ayrı öncüller olarak eklemektir. Sınayan, atomik önermeler arasında anlamları gereği var olan dışlama ya da gerektirme ilişkilerini, örneğin aynı anda iki yerde bulunulamayacağını, ayrı öncüller olarak kümeye ekler. Bu bağlar eklenmeden bulunan bir tutarlılık, yalnızca biçimsel bir tutarlılıktır.

Dördüncü adım, çelişki bulunduğunda hangi öncülün bırakılabileceğini belirlemektir. Sınayan, öncüllerden birini kümeden çıkarıp kalan kümenin tutarlı olup olmadığına bakar; bunu her öncül için yapar. Tutarlılığı geri getiren öncüller, çelişkinin olası kaynaklarıdır ve aralarından hangisinin bırakılacağı, öncüllerin kanıtlarına bakılarak seçilir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Çelişkiyi ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Mantıksal çelişki, doğruluk tablosunun her satırında yanlış olan önermedir ve bir önerme, ancak ve ancak olumsuzlaması bir totolojiyse çelişkidir; totoloji ile çelişki, hiçbir durumu dışlamayan ve bütün durumları dışlayan iki uçtur. Bir öncül kümesi, ancak ve ancak öncüllerinin birleşmesi bir çelişkiyse tutarsızdır ve bu tutarsızlık, hiçbir iki öncülün tek başına çelişmediği durumlarda da gizli olarak bulunabilir. Bir çelişki tanısından önce, iki önermenin gerçekten aynı bakımdan ve aynı zamanda söylenip söylenmediği sorulmalı ve öncüller arasındaki anlam bağları ayrı öncüller olarak eklenmelidir. Tutarlılığı göstermek için tek bir satır yeter, tutarsızlığı göstermek için bütün satırlara bakmak gerekir; bu yüzden uygulamada tutarsızlık, birbirine bağlı küçük alt kümeler sınanarak aranır.

Açık kalan sorular

Aristoteles, çelişmezlik ilkesinin kanıtlanamayacağını, çünkü her kanıtın onu kullandığını söyledi. Kanıtlanamayan bir ilkeye neden güvenilir? Aristoteles'in çürütmesi, ilkeyi reddeden birinin bir şey söylediği anda onu kullandığını gösteriyor; ama bir ilkeyi kullanmak zorunda olmak, onun doğru olduğunu gösterir mi?

İbn Sînâ, çelişmezlik ilkesine karşı çıkan birinin ya bakımları karıştırmış ya da inatçı olduğunu söyledi. Ama bir çelişkiyi, bakımları ayırarak gidermenin bir sınırı var mıdır? Her çelişki, yeterince ince bir bakım ayrımıyla giderilebilir mi; giderilebiliyorsa, bu, çelişmezlik ilkesini sınanamaz bir ilke yapmaz mı?

Cook'un bakışımsızlığı, tutarlılığı göstermenin tutarsızlığı göstermekten çok daha kolay olduğunu gösterdi. Bir inanç kümesinin tutarlı olduğuna, tek bir durumda bütün inançların doğru olabildiği görülerek güvenilebilir; ama tutarsız olduğunu fark etmek çok daha zordur. Bu, bir kişinin kendi inançlarının tutarsızlığını fark etmesinin neden bu kadar güç olduğunu açıklar mı?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Mantıksal çelişki, doğruluk tablosunun her satırında yanlış olan önermedir; bir önerme, ancak ve ancak olumsuzlaması bir totolojiyse çelişkidir ve totoloji ile çelişki, hiçbir durumu dışlamayan ve bütün durumları dışlayan iki uçtur.

Aristoteles'in bölümleri çelişmezlik ilkesinin anlamlı konuşmanın bir koşulu olarak savunulduğunu, İbn Sînâ'nın ayrımı bir çelişki tanısından önce bakımların ve zamanların ayrılması gerektiğini, Cook'un makalesi ise tutarlılığı göstermenin tutarsızlığı göstermekten çok daha kolay olduğunu gösterdi.

Bir önerme ya da bir öncül kümesi dört adımla sınanır: birleşmeyi tabloya dökmek, ana bağlacın sütununda tek bir doğru değer aramak, anlam bağlarını ayrı öncüller olarak eklemek ve çelişki bulunduğunda bırakılabilecek öncülleri belirlemek.

Tek önerme olarak çelişkinin gereksiz olduğu, bazı çelişkilerin doğru olduğu ve tutarsızlığı tabloyla bulmanın olanaksız olduğu itirazları, gizli tutarsızlığın ancak bütün öncüllerin birleşmesiyle görüldüğünü, çelişkinin tanımının klasik mantığın olgusal önermeler için güvenilir biçimde işlediğini ve tutarsızlığın küçük alt kümeler sınanarak arandığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir öncül kümesinin tutarlılığını sınamak, öncülleri tek tek değil birlikte ele almak, bir çelişki ilan etmeden önce bakımları ayırmak ve bir tutarsızlık bulunduğunda, kümeyi bütünüyle bırakmak yerine, tutarsızlığın kaynağı olan öncülü aramaktır.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın rapor taraması, özetin dört cümlesinin birlikte doğru olamayacağını gösterdi. Ama Tolga, cümlelerin her birinin tek başına ne tür bir önerme olduğunu da merak ediyor. "Hiçbir tanık tarih taşımaz" cümlesi ne bir totolojiydi ne bir çelişki: bazı satırlarda doğru, bazılarında yanlıştı. Doğru olup olmadığı, tablodan değil, tanıklara bakılarak bulunabiliyordu.

Kerem, raporun önermelerinin çok büyük bir kısmının bu türden olduğunu fark ediyor. Totolojiler ve çelişkiler, tablonun iki ucuydu; ama raporun asıl söylediği her şey, iki ucun arasında, bazı durumlarda doğru, bazılarında yanlış olan önermelerdeydi. Bu önermelerin doğruluğunu mantık değil, olgular belirliyordu.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Olumsallık dersi, doğruluk tablosunun bazı satırlarında doğru, bazılarında yanlış olan önermelerin ne olduğunu, bu önermelerin neden dünya hakkında bir bilgi verdiğini ve bir önermenin olumsal olmasının onun doğruluğu hakkında ne söylediğini ve ne söylemediğini soruyor.