Bağlaç tabloları

Açılış sahnesi

Barış, iddianamenin birinci cümlesini üç harfle yazıyor: p ve q değil ise r. p, sanığın silahı satın aldığıydı; q, ruhsat başvurusu yaptığı; r, yasayı çiğnediği. Beş bağlacın her birinin tek başına nasıl çalıştığını biliyordu; ama bu cümlede üç bağlaç iç içe geçmişti: bir olumsuzlama, bir birleşme ve bir koşullu. Barış, cümlenin hangi durumlarda doğru, hangilerinde yanlış olduğunu bir bakışta göremiyordu.

Deniz, durumları saymayı öneriyor. Üç atomik önermenin her biri ya doğru ya yanlış olabilirdi; ikinin üç kez çarpımı, sekiz durum. Deniz, sekiz satırlık bir tablo çiziyor ve her satırda önce q'nun olumsuzlamasını, sonra birleşmeyi, en son koşulluyu hesaplamayı öneriyor. Kerem ise bir sorun görüyor: cümle, "p ve, q değil ise r" diye de okunabilirdi; hangi bağlacın en son hesaplanacağı belli değildi. Defne, kendi mesleğinde on belirtiyle kurulan bir kuralın tablosunun kaç satır olacağını merak ediyor. Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, beş bağlacın doğruluk tablolarının nasıl bir arada kullanıldığını, bileşik bir önermenin doğruluk değerinin atomik önermelerin değerlerinden adım adım nasıl hesaplandığını ve bir tablonun kaç satır gerektirdiğini soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın sembolleştirme modülü, beş bağlacı, değil, ve, veya, ise ve ancak ve ancak bağlaçlarını, tek tek tanıttı ve her birinin doğruluk koşulunu küçük bir tabloyla verdi. Bu ders, doğruluk tabloları modülünü açıyor: bu küçük tabloların, birden çok bağlaç içeren bileşik önermelerin doğruluk değerini hesaplamak için nasıl bir araya getirildiğini gösteriyor. Tablo, modülün öteki derslerinde, bir önermenin her durumda doğru mu, her durumda yanlış mı, yoksa bazı durumlarda doğru mu olduğunu sınamanın aracı olacak.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Ludwig Wittgenstein, 1921'de yayımlanan Mantıksal-Felsefi İnceleme'nin 4.31 ve 4.442 numaralı önermelerinde, atomik önermelerin doğruluk olanaklarını satırlar hâlinde dizen ve bileşik bir önermenin her satırdaki değerini gösteren bir şema kullanır. Emil Post, aynı yıl yayımladığı bir makalede, aynı yöntemi bağımsız olarak geliştirir ve her doğruluk işlevinin yalnızca olumsuzlama ile ayrılma kullanılarak yazılabileceğini gösterir. Henry Sheffer ise 1913'te, bütün bağlaçların tek bir bağlaçla tanımlanabileceğini gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: tabloların mekanik olduğu için anlamaya bir katkı yapmadığı, satır sayısının atomik önermelerle hızla büyüdüğü için tabloların kullanışsız olduğu ve tabloların bağlaçların gündelik anlamlarını sildiği itirazları.

Sonda, bir bileşik önermenin doğruluk tablosunu kurmanın dört adımını göstereceğiz: atomik önermeleri sayıp satır sayısını belirlemek, satırları bütün olasılıkları bir kez kapsayacak biçimde dizmek, önermenin ana bağlacını bulup bağlaçları içeriden dışarıya doğru sıralamak ve her satırda bağlaçları bu sırayla hesaplamak.

Merkez soru

Sorumuz şu: birden çok bağlaç içeren bir bileşik önermenin doğruluk değeri, atomik önermelerin doğruluk değerlerinden nasıl hesaplanır, bu hesabın tablosu kaç satır gerektirir ve tablo bir önerme hakkında neyi gösterir?

Ölçülü iddiam şu: bileşik bir önermenin doğruluk değeri, onu oluşturan atomik önermelerin doğruluk değerleriyle tam olarak belirlenir ve bu değer, bağlaçların tabloları içeriden dışarıya doğru uygulanarak adım adım hesaplanır; n atomik önerme içeren bir önermenin tablosu, ikinin n kez çarpımı kadar satır gerektirir, çünkü her atomik önerme iki değer alabilir ve her değer birleşimi bir satırdır; bir tablonun doğru hesaplanabilmesi için önermenin ana bağlacının, yani en son hesaplanacak bağlacın, açıkça belirlenmesi gerekir ve gündelik dilde bu çoğu zaman belirsizdir; tablo, bir önermenin gerçek dünyada doğru olup olmadığını değil, atomik önermelerin alabileceği bütün değerlerde ne olacağını gösterir; bu yüzden tablo, bir önermenin doğruluk koşullarının tam bir haritasıdır ve önermenin hangi durumları dışladığını ve hangilerine izin verdiğini bir bakışta görünür kılar; ama satır sayısı atomik önermelerle hızla büyüdüğü için, tablo küçük önermeler için güvenilir bir hesap, büyük önermeler için ise ancak bir ilke olarak kalır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci karmaşık bir cümlenin doğru olup olmadığını sorduğunda, çoğu zaman cümleyi bütün hâlinde düşünür ve bir karara varmaya çalışır. Birkaç bağlaç iç içe geçtiğinde bu yol güvenilmez olur: zihin, bağlaçların hangisinin hangisini kapsadığını karıştırır ve bazı durumları atlar.

Doğruluk tablosu bu işi parçalara ayırır. Önce, önermedeki her atomik önerme için bir sütun açılır. Sonra, atomik önermelerin alabileceği her değer birleşimi için bir satır yazılır. Son olarak, her satırda, bağlaçlar birer birer hesaplanır: önce en içteki bağlaç, sonra onu kapsayan bağlaç, en son bütün önermeyi kapsayan bağlaç. En son hesaplanan bağlaç, önermenin ana bağlacıdır ve onun sütunu, önermenin o satırdaki doğruluk değerini verir.

Bu yöntemin gücü, bir önermenin doğruluğunun, onun atomik önermelerinin doğruluğundan başka hiçbir şeye bağlı olmamasından gelir. Önermeler mantığının bütün bağlaçları doğruluk işlevleri olduğu için, bileşik bir önermenin değeri, atomik önermelerin değerleri bilindiğinde tam olarak hesaplanabilir. Tablo, bu hesabı bütün olası değerler için bir kez yapar.

Görüşler ve pozisyonlar

Doğruluk tablolarının mantıktaki yeri konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, anlam görüşüdür. Buna göre bir önermenin doğruluk tablosu, onun anlamının tam bir ifadesidir: bir önermenin söylediği şey, hangi durumlarda doğru, hangilerinde yanlış olduğundan ibarettir ve tablo bunu tam olarak gösterir. Aynı tabloyu veren iki önerme, aynı şeyi söyler.

İkinci görüş, hesap aracı görüşüdür. Buna göre doğruluk tablosu, bir önermenin anlamı hakkında hiçbir şey söylemeyen, yalnızca doğruluk değerlerini hesaplamaya yarayan mekanik bir yöntemdir. Tablonun değeri, onun bir karar yöntemi olmasındadır: bir önermenin her durumda doğru olup olmadığı, tablo doldurularak sınırlı sayıda adımda bulunabilir.

Üçüncü görüş, doğruluk koşulu görüşüdür. Buna göre tablo, bir önermenin anlamının tamamını değil, onun doğruluk koşullarını, yani hangi durumlarda doğru olacağını tam olarak verir. Önermenin anlamının öteki katmanları, örneğin Frege'nin renklendirmesi ya da bir koşullunun taşıdığı bağ iddiası, tabloda görünmez. Ama doğruluk koşulları, bir önermenin çıkarımlardaki davranışını belirlemek için yeterlidir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, tablonun bir önermenin doğruluk koşullarını tam olarak verdiğini doğru görür, ama bunu anlamın tamamı saymakla, bağlaçları incelerken bulunan renklendirme ve zenginleştirme katmanlarını yok sayar. İkinci görüş, tablonun bir karar yöntemi olduğunu doğru görür, ama onun bir önermenin hangi durumları dışladığını görünür kılarak anlamaya da katkı yaptığını gözden kaçırır.

Argümanın yapısı

Bir bileşik önermenin doğruluk tablosunu kurmak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, atomik önermeleri sayıp satır sayısını belirlemektir. Kuran, önermedeki farklı atomik önermeleri sayar; bir atomik önerme için iki, iki için dört, üç için sekiz, dört için on altı satır gerekir. Her yeni atomik önerme satır sayısını iki katına çıkarır.

İkinci adım, satırları bütün olasılıkları bir kez kapsayacak biçimde dizmektir. Kuran, birinci atomik önermenin sütununu yarı yarıya doğru ve yanlış olarak, ikinci sütunu çeyrek çeyrek, üçüncü sütunu sekizde bir sekizde bir değiştirerek doldurur; son sütun her satırda değişir. Bu düzen, hiçbir birleşimin atlanmamasını ve hiçbirinin iki kez yazılmamasını güvenceye alır.

Üçüncü adım, önermenin ana bağlacını bulup bağlaçları içeriden dışarıya doğru sıralamaktır. Kuran, önermenin bütününü kapsayan bağlacı belirler ve onun bileşenlerini aynı biçimde çözer. Her bağlaç için tabloya bir sütun açılır ve sütunlar, en içteki bağlaçtan ana bağlaca doğru sıralanır.

Dördüncü adım, her satırda bağlaçları bu sırayla hesaplamaktır. Kuran, her satırda, her bağlacın sütununu, onun bileşenlerinin o satırdaki değerlerine ve bağlacın kendi tablosuna bakarak doldurur. Ana bağlacın sütunu, önermenin o satırdaki değerini verir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Doğruluk tablosunu ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bileşik bir önermenin doğruluk değeri, atomik önermelerinin değerleriyle tam olarak belirlenir ve bağlaçlar içeriden dışarıya doğru hesaplanarak bulunur. n atomik önerme için ikinin n kez çarpımı kadar satır gerekir ve her satır, olguların olası bir durumudur. Ana bağlacın açıkça belirlenmesi, tablonun doğru kurulmasının ön koşuludur. Tablo, bir önermenin gerçek dünyada doğru olup olmadığını değil, bütün olası durumlarda ne olacağını gösterir ve bu yüzden önermenin doğruluk koşullarının tam bir haritasıdır. Olumsuzlama ile ayrılma, hatta tek bir bağlaç, bütün tabloları kurmaya yeter. Tablo mekaniktir, büyük önermeler için uygulamada kısa yollar gerektirir ve gündelik anlamın doğruluk koşulu dışındaki katmanlarını göstermez; ama bu sınırlar içinde, bir önermenin hangi durumları dışladığını eksiksiz gösteren güvenilir bir hesaptır.

Açık kalan sorular

Wittgenstein, bir önermenin söylediği şeyin, hangi olanaklarda doğru olduğundan ibaret olduğunu savundu. Bu görüşe göre aynı tabloyu veren iki önerme aynı şeyi söyler. Ama "Barış bir hukukçudur" ile "Barış bir hukukçudur ve ya yağmur yağıyor ya yağmıyor" önermeleri aynı tabloyu verir. İkisi gerçekten aynı şeyi mi söyler? İkincisinin fazladan söylediği bir şey yoksa, onu söylemek neden tuhaf gelir?

Post, önermeler mantığının kanıt yönteminin tablolarla tam olarak örtüştüğünü gösterdi: her satırda doğru olan her önerme kanıtlanabiliyordu. Bir önermenin kanıtlanabilir olması ile her durumda doğru olması aynı şey değildir; biri bir kanıt dizisine, öteki bir tabloya bakar. İki farklı yöntemin tam olarak aynı sonucu vermesi, mantık hakkında ne gösterir?

Selin'in on altı sütunu, her satırda doğru olan bir sütunun ve her satırda yanlış olan bir sütunun bulunduğunu gösterdi. Hangi olgular gerçekleşirse gerçekleşsin doğru olan bir önerme, dünya hakkında bir bilgi verir mi? Vermiyorsa, mantığın bu türden önermelerle dolu olması, mantığın dünya hakkında hiçbir şey söylemediği anlamına mı gelir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bileşik bir önermenin doğruluk değeri, atomik önermelerinin değerleriyle tam olarak belirlenir ve bağlaçlar içeriden dışarıya doğru hesaplanarak bulunur; n atomik önerme için ikinin n kez çarpımı kadar satır gerekir.

Wittgenstein'ın şemaları doğruluk tablosunun bir önermenin hangi olanaklarda doğru olduğunu gösterdiğini, Post'un makalesi her doğruluk işlevinin olumsuzlama ve ayrılmayla yazılabildiğini, Sheffer'ın sonucu ise bütün bağlaçların tek bir bağlaçla tanımlanabildiğini gösterdi.

Bir doğruluk tablosu dört adımla kurulur: atomik önermeleri sayıp satır sayısını belirlemek, satırları bütün olasılıkları bir kez kapsayacak biçimde dizmek, ana bağlacı bulup bağlaçları içeriden dışarıya sıralamak ve her satırda bağlaçları bu sırayla hesaplamak.

Tabloların mekanik olduğu, satır sayısının patladığı ve tablonun gündelik anlamı sildiği itirazları, mekanikliğin tablonun gücü olduğunu, büyük önermeler için tablonun ilkesine dayanan kısa yollar bulunduğunu ve tablonun gündelik anlamın çıkarımlarda iş gören çekirdeğini hesapladığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir bileşik önermenin tablosunu kurmak, onun hangi durumlarda doğru, hangilerinde yanlış olduğunu, yani hangi durumları dışladığını, eksiksiz ve kimin elinde olursa olsun aynı sonucu veren bir hesapla görünür kılmaktır.

Sonraki derse köprü

Selin'in on altı sütunundan biri grubun aklına takılıyor: dört satırın dördünde de doğru olan sütun. Tolga, bu sütuna karşılık gelen bir önerme kuruyor: "Üçüncü el yazması 'zamanı gelince' okunuşunu taşır veya taşımaz." Tabloya döktüğünde, önermenin iki satırın ikisinde de doğru olduğunu görüyor: el yazması okunuşu taşısa da taşımasa da önerme doğruydu.

Barış, bu önermenin bir mahkemede hiçbir işe yaramayacağını söylüyor: hiçbir olgu onu çürütemezdi, ama hiçbir olguyu da desteklemiyordu. Defne ise bir tıp kitabında "hasta ya iyileşir ya iyileşmez" diye bir cümle okuduğunu ve bunun doğru ama boş bir cümle olduğunu hatırlıyor. Kerem, bu türden önermelerin mantıkta boş değil, çok önemli olduğunu duyduğunu söylüyor: geçerli çıkarımların hepsi bir biçimde bu türden önermelere bağlıydı.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Totoloji dersi, doğruluk tablosunun her satırında doğru olan önermelerin ne olduğunu, bu önermelerin neden dünya hakkında bir bilgi vermediğini ve buna karşın mantık için neden temel olduğunu soruyor.