Ancak ve ancak

Açılış sahnesi

Lina, kütüphanenin iki kuralını yan yana tahtaya yazıyor. Birincisi: "Kütüphane izni olmadıkça hiçbir el yazması ödünç verilmez." İkincisi, yönetmeliğin yeni baskısından: "Bir el yazması, ancak ve ancak kütüphane izni varsa ödünç verilir." Lina, birinci kuralın yalnızca bir yönde işlediğini daha önce görmüştü: ödünç verilen her el yazması için izin vardı, ama izin verilen her el yazmasının ödünç verileceği söylenmiyordu. İkinci kural ise iki yönde birden işliyordu: ödünç verme izni gerektiriyordu, izin de ödünç vermeyi. Yeni baskıyla birlikte, izin alan bir okur el yazmasını ödünç almaya hak kazanmış oluyordu.

Barış, hukuk dilinde bu farkın çok önemli olduğunu söylüyor: bir yasanın "ancak" diye başlayan bir maddesi, bir hakkın yalnızca bir koşulunu mu sayıyordu, yoksa bütün koşullarını mı? Kerem ise burs komitesinden Mert'in grubun rapor taslağına yazdığı bir notu hatırlıyor: "Raporu ay sonuna kadar bitirirseniz, basım giderini komite karşılar." Grup, ay sonunu kaçırırsa giderin karşılanmayacağını anlamıştı; ama not bunu gerçekten söylüyor muydu? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Önermeler Mantığı kursunda, iki koşullunun birleşmesi olan iki yönlü koşul bağlacının doğruluk koşulunu, gerekli koşul ile yeterli koşul arasındaki farkın bu bağlaçla nasıl yazıldığını ve gündelik dilde tek yönlü bir koşulun iki yönlü gibi okunmasının hangi hatalara yol açtığını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Bu programın koşullu dersi, "eğer ... ise" bağlacını ve onun yönünü inceledi. Bu ders, sembolleştirme modülünün son dersi olarak, iki koşullunun birleşmesinden kurulan iki yönlü koşul bağlacına bakıyor. Düşünme, Okuma ve Felsefi Yöntemler programı, gerekli ve yeterli koşul kavramlarını bir tanımı sınamak için kullanmıştı; bu ders aynı kavramların önermeler mantığında nasıl yazıldığını ve iki yönlü koşulun, bir koşulun hem gerekli hem yeterli olduğunu nasıl söylediğini gösteriyor.

Sonra üç kaynağa bakacağız. Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, 1910'da yayımlanmaya başlayan Principia Mathematica'nın 4.01 numaralı tanımında, iki önermenin eşdeğerliğini iki yönlü gerektirme olarak, yani iki koşullunun birleşmesi olarak tanımlar. Matematikçi Paul Halmos, 1985'te yayımladığı anı kitabında, matematik yazısında "ancak ve ancak" anlamında kullanılan kısaltmayı kendisinin ortaya attığını anlatır; matematik yazısında ise tanımların "eğer" yazıp "ancak ve ancak" kastetmesi yaygın bir alışkanlıktır. Michael Geis ve Arnold Zwicky ise 1971'de yayımladıkları makalede, dinleyicilerin tek yönlü bir koşulluyu sık sık iki yönlü anladığını ve bu anlamanın bir çıkarım değil, bir davet olduğunu gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: gündelik "ancak" sözcüğünün birden çok anlamı olduğu için iki yönlü koşulun güvenle tanınamadığı, tanımlarda tek yönlü "eğer" yazılıp iki yönlü kastedilmesinin sembolleştirmeyi güvenilmez kıldığı ve koşul tamamlamanın bir hata değil gündelik anlamanın meşru bir parçası olduğu itirazları.

Sonda, bir koşul cümlesinin tek yönlü mü iki yönlü mü olduğunu belirlemenin dört adımını göstereceğiz: koşul ifadelerini yönleriyle birlikte bulmak, iki yönün her birini ayrı bir koşullu olarak yazmak, her yönün metinde gerçekten ileri sürülüp sürülmediğini sınamak ve iki yönlü bir koşulu iki koşullunun birleşmesi olarak yazmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: iki yönlü koşul bağlacıyla kurulan bir önerme ne zaman doğrudur, gerekli koşul ile yeterli koşul bu bağlaçla nasıl yazılır ve gündelik dilde tek yönlü bir koşulun iki yönlü gibi okunması neden bu kadar sık olur?

Ölçülü iddiam şu: önermeler mantığında iki yönlü koşul, iki bileşeni aynı doğruluk değerini taşıdığında, yani ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış olduğunda doğru, farklı değerler taşıdığında yanlıştır; iki yönlü koşul, "p ise q" ile "q ise p" koşullularının birleşmesine eşdeğerdir ve dışlayıcı ayrılmanın olumsuzlamasıyla her durumda aynı değeri taşır; "p ise q" önermesinde p, q için yeterli bir koşul, q ise p için gerekli bir koşuldur; "ancak p ise q" ya da "p olmadıkça q olmaz" gibi ifadeler p'yi q için gerekli bir koşul olarak sunar ve tek yönlüdür; iki yönlü koşul ise p'nin q için hem gerekli hem yeterli olduğunu söyler; gündelik dilde tek yönlü bir koşullu çoğu zaman iki yönlü gibi anlaşılır, çünkü dinleyici konuşanın koşulu tam olarak saydığını varsayar; bu anlama bir çıkarım değil bir davettir ve geri alınabilir; bu yüzden bir koşul cümlesi, ters yönün metinde gerçekten ileri sürüldüğü gösterilmedikçe tek yönlü yazılmalıdır.

Sıfır noktası

Bir öğrenci "ancak ve ancak" ifadesini ilk kez duyduğunda, çoğu zaman onu "ancak" sözcüğünün vurgulu bir tekrarı sanır. Oysa ifade, iki ayrı koşulu bir arada söyler: "p ise q" ve "ancak p ise q". Birincisi p'nin q için yeterli olduğunu, ikincisi p'nin q için gerekli olduğunu söyler. İkisi birlikte, p ile q'nun birbirine bağlı olduğunu, birinin doğru olduğu her durumda ötekinin de doğru olduğunu söyler.

İki yönlü koşulun doğruluk tablosu bu bağlılığı gösterir. İki bileşen de doğruysa, iki yönlü koşul doğrudur. İki bileşen de yanlışsa, yine doğrudur: ikisi aynı değeri taşıdığı için, birbirine bağlı olmaları çiğnenmemiştir. Yalnızca bir bileşen doğru, öteki yanlışsa, iki yönlü koşul yanlıştır. Tablonun iki doğru, iki yanlış satırı vardır.

Gerekli ve yeterli koşul kavramları, koşullunun iki bileşeninin rollerini adlandırır. "p ise q" doğruysa, p'nin doğru olması q'nun doğru olması için yeterlidir: p gerçekleştiğinde q da gerçekleşir. Aynı koşullu, q'nun p için gerekli olduğunu da söyler: q gerçekleşmeden p gerçekleşemez. Bir koşulun bir şey için gerekli mi yeterli mi olduğunu söylemek, koşullunun hangi yönde yazıldığını söylemektir.

Görüşler ve pozisyonlar

Gündelik koşul cümlelerinin tek yönlü mü iki yönlü mü okunması gerektiği konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, sözcük görüşüdür. Buna göre koşul cümlesinin yönü, kullanılan sözcüklerden okunur: "eğer" tek yönlüdür, "ancak ve ancak" iki yönlüdür, "ancak" ters yönde tek yönlüdür. Sözcükleri doğru okuyan, yönü de doğru okur.

İkinci görüş, niyet görüşüdür. Buna göre koşul cümlesinin yönü, konuşanın ne kastettiğine bağlıdır ve konuşanlar çoğu zaman "eğer" deyip iki yönlü bir koşul kastederler. Mert'in notu, grubun anladığı gibi, iki yönlü okunmalıdır, çünkü Mert bunu kastetmişti.

Üçüncü görüş, varsayılan tek yön görüşüdür. Buna göre bir koşul cümlesi, ters yönün metinde ya da bağlamda açıkça ileri sürüldüğü gösterilmedikçe tek yönlü okunur. Dinleyicinin iki yönlü anlaması bir davettir; bu davet konuşanın niyetini doğru tahmin edebilir, ama bir akıl yürütmede öncül olarak kullanılmadan önce ayrıca doğrulanmalıdır.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, sözcüklerin yön hakkında güçlü bir ipucu verdiğini doğru görür, ama gündelik dilde ve matematik yazısında sözcüklerin yönü sabitlemediğini gözden kaçırır. İkinci görüş, konuşanların sık sık iki yönlü kastettiğini doğru görür, ama bir niyetin bir metinden çıkarılmasının kendisinin bir tahmin olduğunu ve bu tahminin bir öncül gibi kullanılmasının bir akıl yürütmeyi zayıflattığını hesaba katmaz.

Argümanın yapısı

Bir koşul cümlesinin tek yönlü mü iki yönlü mü olduğunu belirlemek için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, koşul ifadelerini yönleriyle birlikte bulmaktır. Yazan, "eğer p ise q" ve "p ise q" ifadelerinin p'yi yeterli koşul yaptığını; "ancak p ise q", "p olmadıkça q olmaz" ve "q için p gerekir" ifadelerinin p'yi gerekli koşul yaptığını; "ancak ve ancak", "yalnızca ve yalnızca" ve "gerekli ve yeterli" ifadelerinin ise iki yönlü bir koşul kurduğunu işaretler.

İkinci adım, iki yönün her birini ayrı bir koşullu olarak yazmaktır. Yazan, "p ise q" yönünü ve "q ise p" yönünü ayrı ayrı yazar ve her birinin ne söylediğini, hangi durumda çiğneneceğini bir cümleyle belirtir.

Üçüncü adım, her yönün metinde gerçekten ileri sürülüp sürülmediğini sınamaktır. Yazan, metnin ters yönü açıkça söyleyip söylemediğine bakar. Söylemiyorsa, ters yönün çiğnendiği bir durumu metnin sonuna ekler ve metnin çelişkiye düşüp düşmediğine bakar: düşmüyorsa, ters yön ileri sürülmemiştir.

Dördüncü adım, iki yönlü bir koşulu iki koşullunun birleşmesi olarak yazmaktır. Yazan, iki yön de ileri sürülmüşse, cümleyi iki yönlü koşul olarak yazar ve onun iki koşullunun birleşmesine eşdeğer olduğunu, bu yüzden her iki yönün de ayrıca doğrulanması gerektiğini not eder.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

İki yönlü koşulu ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. İki yönlü koşul, iki bileşeni aynı doğruluk değerini taşıdığında doğru, farklı değerler taşıdığında yanlıştır ve iki koşullunun birleşmesine eşdeğerdir. "p ise q" önermesinde p yeterli, q gerekli bir koşuldur; "ancak p ise q" ise p'yi gerekli bir koşul yapar ve tek yönlüdür. Gündelik dilde tek yönlü koşullar sık sık iki yönlü anlaşılır; bu koşul tamamlaması bir çıkarım değil bir davettir ve geri alınabilir. Tanımlar ve ölçütler iki yönlü, gözleme dayanan iddialar ise çoğunlukla tek yönlüdür. Bu yüzden bir koşul cümlesi, ters yönün metinde ileri sürüldüğü gösterilmedikçe tek yönlü yazılır ve iki yönlü bir koşul, iki yönün her biri ayrıca doğrulanarak kullanılır.

Açık kalan sorular

Russell ile Whitehead, iki yönlü koşulu iki koşullunun birleşmesi olarak tanımladı ve eşdeğerlik adını verdi. Ama iki önermenin maddi olarak eşdeğer olması, yani yalnızca aynı doğruluk değerini taşıması, onların aynı şeyi söylediği anlamına gelir mi? "Bu okunuş özgündür" ile "bu okunuş iki tanıkta geçer" önermeleri, rastlantıyla aynı doğruluk değerini taşıyorsa, eşdeğer midir?

Geis ile Zwicky, koşul tamamlamanın bir davet olduğunu gösterdi. Bir yasa metni, bir sözleşme ya da bir yönetmelik, koşul tamamlamanın davetini açıkça reddetmeli midir? Yazarların bir koşulu tek yönlü mü iki yönlü mü kastettiği belirsiz kaldığında, bir mahkeme hangi okumayı benimsemelidir?

Defne'nin tanı ölçütü, tanımların iki yönlü, gözlemlerin tek yönlü olduğunu gösterdi. Ama bir tanım, gözlemlere dayanarak değiştirilebilir mi? Bir tanı ölçütü yeni bulgularla yeniden yazıldığında, eski ölçütün iki yönlü koşulu yanlış mı çıkmıştır, yoksa yalnızca yerini başka bir uzlaşıma mı bırakmıştır?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

İki yönlü koşul, iki bileşeni aynı doğruluk değerini taşıdığında doğru, farklı değerler taşıdığında yanlıştır; iki koşullunun birleşmesine eşdeğerdir ve dışlayıcı ayrılmanın tam tersidir.

Russell ile Whitehead'in tanımı iki yönlü koşulun iki koşullunun birleşmesine indirgenebildiğini, Halmos'un kısaltması ve matematik yazısının alışkanlığı "eğer"in tanımlarda iki yönlü kullanıldığını, Geis ile Zwicky'nin makalesi ise tek yönlü koşulların iki yönlü anlaşılmasının bir çıkarım değil bir davet olduğunu gösterdi.

Bir koşulun yönü dört adımla belirlenir: koşul ifadelerini yönleriyle bulmak, iki yönü ayrı koşullular olarak yazmak, her yönün metinde ileri sürülüp sürülmediğini sınamak ve iki yönlü bir koşulu iki koşullunun birleşmesi olarak yazmak.

"Ancak"ın güvenilmez olduğu, tanımların sembolleştirmeyi bozduğu ve koşul tamamlamanın meşru olduğu itirazları, sözcüğün cümledeki işinin ve ters yön sınamasının yönü güvenle belirlediğini, tanımlar ile iddiaların ayrılabildiğini ve doğru bir tahminin yine de bir çıkarım olmadığını gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir koşul cümlesini okumak, onun bir koşulu gerekli mi yeterli mi yoksa ikisi birden mi yaptığını sormak ve ters yönü, metinde ileri sürüldüğü gösterilmedikçe, eklememektir.

Sonraki derse köprü

Tolga'nın üç eşliği, grubun elinde bir yöntem bıraktı: iki bileşik önermenin aynı şeyi söyleyip söylemediğini, her satırda aynı doğruluk değerini verip vermediklerine bakarak sınamak. Grup artık beş bağlacı tanıyordu: değil, ve, veya, ise ve ancak ve ancak. Her birinin doğruluk koşulunu biliyordu. Ama iddianamenin cümleleri gibi, birden çok bağlacın iç içe geçtiği önermelerin doğruluk değerini hesaplamak için, bağlaçların tablolarını bir arada kullanmanın bir yolu gerekiyordu.

Barış, iddianamenin birinci cümlesini yeniden yazıyor: "p ve q değil ise r." Üç atomik önerme vardı ve her biri doğru ya da yanlış olabilirdi; bu da sekiz olası durum demekti. Barış, sekiz durumun her birinde cümlenin doğru mu yanlış mı olduğunu adım adım hesaplamak için bir tabloya ihtiyaç duyuyor: önce olumsuzlama, sonra birleşme, en son koşullu.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. Bağlaç tabloları dersi, beş bağlacın doğruluk tablolarının nasıl bir arada kullanıldığını, bileşik bir önermenin doğruluk değerinin atomik önermelerin değerlerinden adım adım nasıl hesaplandığını ve bir tablonun kaç satır gerektirdiğini soruyor.