Tutarlılık

Açılış sahnesi

Kerem, tahtaya yazdığı üç önermeye geri dönüyor: kâğıt erken bir yüzyıla aittir; kâğıt erken bir yüzyıla aitse el yazması o yüzyılda yazılmıştır; el yazması o yüzyılda yazılmamıştır. Ece, bu üç önermenin herhangi ikisinin birbiriyle çelişmediğini fark ediyor. Birinci ile ikinci birlikte doğru olabilirdi; ikinci ile üçüncü de, kâğıt geç bir yüzyıla aitse; birinci ile üçüncü de, kâğıdın tarihi el yazmasının tarihini belirlemiyorsa. Ama üçü birlikte doğru olamıyordu. Ece, çelişki üzerine konuştuklarında yalnızca önerme çiftlerine baktıklarını ve bu üçlünün sorununu hiçbir çiftin tek başına göstermediğini söylüyor.

Ece, grubun raporunda da benzer bir durum olup olmadığını merak ediyor ve raporun farklı bölümlerinden üç cümle buluyor. Birinci bölüm: okulun temel metni, karmanın kendiliğinden işlediğini açıkça söylemez. İkinci bölüm: okulun görüşü, temel metnin söylediği şeydir. Üçüncü bölüm: okulun görüşü, karmanın kendiliğinden işlediğidir. Üç cümleyi farklı üyeler, farklı günlerde yazmıştı ve hiçbiri ötekilerle çelişmiyordu; ama üçü birlikte doğru olamazdı. Selin ise başka bir tuhaflığa dikkat çekiyor: grup, raporun başına bir düzeltme notu eklemiş ve raporun başka hatalar da içerebileceğini kabul etmişti; ama raporun her cümlesine tek tek inanıyordu. Bu da bir tür tutarsızlık değil miydi? Bu ders, Mantık ve Akıl Yürütme programının Klasik Mantığa Giriş kursunda, bir önermeler kümesinin ne zaman tutarlı olduğunu, bir kümenin tutarlılığının iki önermenin çelişmemesinden nasıl ayrıldığını ve bir kümenin tutarlı olup olmadığının nasıl sınanacağını soruyor.

Bu derste ne olacak

Önce bu dersin yerini belirleyelim. Felsefi Yazma kursunun mantık kontrolü dersi, bir felsefe yazısını, yalnızca argümanın tutarlılığı için, yani her iddianın öteki iddialarla birlikte ayakta durup durmadığına bakarak okumayı bir tutarlılık okuması olarak tanıttı. Bu programın çelişki dersi ise iki önermenin ne zaman çeliştiğini ve klasik mantıkta bir çelişkiden herhangi bir önermenin çıktığını gösterdi. Bu ders, bu iki bulgunun arasındaki kavramı açıkça tanımlıyor: bir önermeler kümesinin tutarlılığı. Bir kümenin tutarlı olması, onun hiçbir iki önermesinin çelişmemesi midir, yoksa daha güçlü bir koşul mudur? Ve bir kümenin tutarlı olduğu nasıl gösterilir?

Sonra üç kaynağa bakacağız. David Hilbert, 1899'da yayımladığı Geometrinin Temelleri'nde, geometrinin aksiyomlarının tutarlı olduğunu, onların hepsini birden doğru kılan bir yorum, yani aksiyomları sayılar hakkındaki önermeler olarak okuyan bir model kurarak gösterir. David Makinson, 1965'te, bir kitabın yazarının kitabındaki her cümleye inandığı hâlde kitabın en az bir hata içerdiğine de inanmasının, akla uygun ama tutarsız bir inançlar kümesi oluşturduğunu gösterir. Kurt Gödel ise 1931'de, aritmetiği içerecek kadar güçlü tutarlı bir biçimsel sistemin, kendi tutarlılığını kendi içinde kanıtlayamayacağını gösterir.

Ardından üç itirazı tartacağız: tutarlılığın iki önermenin çelişmemesinden başka bir şey olmadığı, tutarlılığın bir kümenin doğruluğunu güvence altına aldığı ve önsöz paradoksunun tutarsızlığın bazen akla uygun olabileceğini göstererek tutarlılık ölçütünü değersiz kıldığı itirazları.

Sonda, bir önermeler kümesinin tutarlılığını sınamanın dört adımını göstereceğiz: kümenin önermelerini açıkça listelemek, kümenin bütününden bir çelişki türetilip türetilemeyeceğini aramak, kümenin bütün önermelerini birden doğru kılan bir durum betimlemeye çalışmak ve tutarsız bir kümede hangi önermenin bırakılacağını tartmak.

Merkez soru

Sorumuz şu: bir önermeler kümesi ne zaman tutarlıdır, bir kümenin tutarlılığı iki önermenin çelişmemesinden nasıl ayrılır ve bir kümenin tutarlı olup olmadığı nasıl sınanır?

Ölçülü iddiam şu: bir önermeler kümesi, bütün önermelerinin birlikte doğru olabildiği en az bir durum varsa tutarlıdır; bu koşul, kümenin hiçbir iki önermesinin çelişmemesinden daha güçlüdür, çünkü hiçbir iki önermesi çelişmeyen bir küme, üç ya da daha fazla önermesi birlikte ele alındığında tutarsız olabilir; bir kümenin tutarsız olduğu, onun önermelerinden bir çelişki türetilerek gösterilir; tutarlı olduğu ise onun bütün önermelerini birden doğru kılan bir durum, yani bir model betimlenerek gösterilir; tutarlılık, bir kümenin doğru olduğunu değil, yalnızca doğru olabileceğini gösterir; ve bir inançlar kümesi, önsöz paradoksunun gösterdiği gibi, bazen akla uygun biçimde tutarsız olabilir, ama bu, tutarsızlığın bir sorun olmadığını değil, bir inançlar kümesinin tek tek inançların toplamından fazlası olduğunu gösterir.

Sıfır noktası

Bir öğrenci bir metnin tutarlı olup olmadığını sınarken, çoğu zaman onun cümlelerini ikişer ikişer karşılaştırır: bu cümle şu cümleyle çelişiyor mu? Hiçbir çift çelişmiyorsa, metni tutarlı sayar. Bu yöntem, kısa metinler için çoğu zaman işe yarar; ama uzun bir metinde, özellikle farklı kişilerin farklı zamanlarda yazdığı bölümlerden oluşan bir metinde, önemli bir tutarsızlık türünü gözden kaçırır.

Kerem'in üç önermesi bu türün bir örneğidir. Hiçbir iki önerme birbiriyle çelişmez; ama üçü birlikte doğru olamaz. Bu, bir tutarsızlığın bazen tek bir çiftte değil, birden fazla önermenin bir araya gelişinde ortaya çıktığı anlamına gelir. Bir önerme, bir başkasıyla bir sonuç doğurur; bu sonuç da üçüncü bir önermeyle çelişir. Üç önermeyi ikişer ikişer karşılaştıran biri, bu sonucu hiç görmez.

Bu yüzden bir kümenin tutarlılığı, onun önermelerinin ikişer ikişer uyumlu olmasıyla değil, bütün olarak birlikte doğru olabilmesiyle tanımlanır. Bir kümenin tutarlı olup olmadığını sormak, onun bütün önermelerinin aynı anda doğru olduğu bir durumun, bir dünyanın ya da bir yorumun var olup olamayacağını sormaktır.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir önermeler kümesinin tutarlılığı konusunda üç görüş var.

Birinci görüş, çift görüşüdür. Buna göre bir küme, hiçbir iki önermesi birbiriyle çelişmiyorsa tutarlıdır. Bir kümenin tutarlılığını sınamak, onun önermelerini ikişer ikişer karşılaştırmaktan ibarettir.

İkinci görüş, doğruluk görüşüdür. Buna göre bir kümenin tutarlı olması, onun önermelerinin doğru olduğunun güçlü bir göstergesidir. Tutarlı bir inançlar kümesi, dünyayı doğru betimleme olasılığı yüksek bir kümedir; tutarsız bir küme ise en azından bir yanlış içerir.

Üçüncü görüş, birlikte doğru olabilme görüşüdür. Buna göre bir küme, bütün önermelerinin birlikte doğru olabildiği en az bir durum varsa tutarlıdır. Bu koşul, çift koşulundan daha güçlüdür. Bir kümenin tutarlı olduğu, onun bütün önermelerini birden doğru kılan bir durum betimlenerek; tutarsız olduğu ise onun önermelerinden bir çelişki türetilerek gösterilir. Tutarlılık, bir kümenin doğru olabileceğini gösterir, doğru olduğunu değil: tutarlı bir küme bütünüyle yanlış olabilir. Tutarsız bir küme ise en az bir yanlış önerme içerir.

Bu ders üçüncü görüşü temel alır. Birinci görüş, çelişik önerme çiftlerinin bir kümenin tutarsızlığının en açık biçimi olduğunu doğru görür, ama Kerem'in üç önermesi ve Ece'nin üç bölümü, hiçbir çifti çelişmeyen kümelerin tutarsız olabildiğini gösterdi. İkinci görüş, tutarsız bir kümenin en az bir yanlış içerdiğini doğru görür, ama tutarlı bir kümenin de bütünüyle yanlış olabileceğini gözden kaçırır.

Argümanın yapısı

Bir önermeler kümesinin tutarlılığını sınamak için dört adım izlenebilir.

Birinci adım, kümenin önermelerini açıkça listelemektir. Sınayan, bir metnin, bir raporun ya da bir inançlar bütününün tutarlılığını sorarken, önce onun bütün önemli önermelerini, farklı bölümlerde ya da farklı zamanlarda yazılmış olanlar da dâhil, tek bir listede toplar.

İkinci adım, kümenin bütününden bir çelişki türetilip türetilemeyeceğini aramaktır. Sınayan, yalnızca önermeleri ikişer ikişer karşılaştırmakla kalmaz; birkaç önermeyi bir araya getirerek bir sonuç türetir ve bu sonucun kümenin başka bir önermesiyle çelişip çelişmediğine bakar.

Üçüncü adım, kümenin bütün önermelerini birden doğru kılan bir durum betimlemeye çalışmaktır. Sınayan, bir çelişki türetemiyorsa, kümenin bütün önermelerinin aynı anda doğru olduğu bir durumu, gerçek olması gerekmeyen ama mümkün olan bir durumu, betimlemeye çalışır. Böyle bir durum betimlenebiliyorsa, küme tutarlıdır.

Dördüncü adım, tutarsız bir kümede hangi önermenin bırakılacağını tartmaktır. Sınayan, bir çelişki türettiğinde, bu çelişkiye katkıda bulunan önermeleri belirler ve bunlardan en zayıf desteklenenini, ya da Ece'nin durumunda olduğu gibi, gereğinden güçlü söyleneni bırakır ya da düzeltir.

En güçlü itiraz

Bu yaklaşıma üç yönden ciddi itiraz yapılabilir.

Tutarlılığı ciddiye alan düşünce şu cevabı verebilir. Bir önermeler kümesi, bütün önermelerinin birlikte doğru olabildiği en az bir durum varsa tutarlıdır; bu koşul, hiçbir iki önermenin çelişmemesinden daha güçlüdür, çünkü bir tutarsızlık çoğu zaman birkaç önermenin bir araya gelişinden türetilen bir sonuçta ortaya çıkar. Bir kümenin tutarsız olduğu bir çelişki türetilerek, tutarlı olduğu ise bir model betimlenerek gösterilir. Tutarlılık bir kümenin doğru olduğunu değil, doğru olabileceğini gösterir. Önsöz paradoksu, bilinmeyen bir hatanın varlığını kabul etmenin akla uygun bir tutarsızlık doğurabileceğini gösterir; ama hangi önermenin sorunlu olduğu bilinebilen bir tutarsızlık düzeltilir. Ve bir kümenin tutarlılığından emin olmak, çoğu zaman onun dışından bir bakışı gerektirir.

Açık kalan sorular

Hilbert, geometrinin tutarlılığını aritmetiğin tutarlılığına dayandırdı; Gödel ise aritmetiği içeren bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını gösterdi. Aritmetiğin tutarlı olduğuna neden inanırız? Bu inanç bir kanıta mı, yoksa aritmetiği yüzyıllardır bir çelişkiye rastlamadan kullanmamıza mı dayanır? Bir sistemin tutarlılığına duyulan güven, bir kanıt olmadan akla uygun olabilir mi?

Makinson'ın önsöz paradoksu, akla uygun bir kişinin inançlarının tutarsız olabileceğini gösterdi. Bu, tutarlılığın akla uygun inancın bir koşulu olmadığı anlamına mı gelir, yoksa akla uygun inancın tutarlılıktan başka ölçütlere de bağlı olduğu anlamına mı? Bir kişi, tutarsız olduğunu bildiği bir inançlar kümesini ne zaman korumakta haklıdır?

Barış'ın normlar çatışması, hukukun tutarsızlığı ortadan kaldıramadığı için onu yönetmeyi öğrendiğini gösterdi. Bir inançlar kümesi ya da bir kuram için de benzer çatışma kuralları kurulabilir mi? Bir bilim insanı, kuramının bir gözlemle tutarsız olduğunu gördüğünde, hangi önermeyi bırakacağına önceden belirlenmiş kurallarla mı, yoksa her durumda yeniden bir yargıyla mı karar vermelidir?

Yaygın hatalar

Kendin dene

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Bir önermeler kümesi, bütün önermelerinin birlikte doğru olabildiği en az bir durum varsa tutarlıdır ve bu koşul, hiçbir iki önermenin çelişmemesinden daha güçlüdür, çünkü bir tutarsızlık çoğu zaman birkaç önermeden türetilen bir sonuçta ortaya çıkar.

Hilbert'in geometri modeli bir kümenin tutarlılığının onu birden doğru kılan bir yorumla gösterilebildiğini, Makinson'ın önsöz paradoksu akla uygun inançlardan oluşan bir kümenin bütün olarak tutarsız olabildiğini, Gödel'in sonucu ise yeterince güçlü bir sistemin kendi tutarlılığını kendi içinden güvence altına alamayacağını gösterdi.

Bir kümenin tutarlılığı dört adımla sınanır: önermeleri tek bir listede toplamak, bütünden bir çelişki türetmeye çalışmak, bütün önermeleri birden doğru kılan bir model betimlemeye çalışmak ve tutarsız bir kümede hangi önermenin bırakılacağını tartmak.

Tutarlılığın çiftlerin çelişmemesi olduğu, tutarlılığın doğruluğu güvence altına aldığı ve önsöz paradoksunun tutarlılığı değersizleştirdiği itirazları, çelişkinin çoğu zaman türetilen sonuçlarda ortaya çıktığını, tutarlılığın yalnızca doğru olabilmeyi gösterdiğini ve paradoksun tutarsızlığın bilgimizin sınırında kaçınılmaz olabildiğini gösterdiğini gördüğümüzde cevaplanabilir.

Bu yüzden bir metnin tutarlılığını sınamak, onun cümlelerini ikişer ikişer karşılaştırmak değil, bütününün aynı anda doğru olabileceği bir dünyanın mümkün olup olmadığını sormaktır.

Sonraki derse köprü

Ece'nin üç bölümündeki tutarsızlık, grubu tek bir ifadeye götürdü: "okulun görüşü". Raporun bir bölümünde bu ifade, temel metnin söylediği şeyi; bir başka bölümünde, okulun sonraki düşünürlerinin yorumlarını da içeren bir gelenek bütününü anlatıyordu. Tutarsızlık, aynı ifadenin iki farklı anlamda kullanılmasından doğmuştu. Tolga, bir ifadenin anlamı ile onun gösterdiği şeyler arasında bir fark olup olmadığını soruyor: "okulun görüşü" ifadesi, hangi metinleri ve hangi düşünürleri kapsıyordu? Ve bu kapsam değiştiğinde, ifadenin anlamı da mı değişiyordu? Lina, "karma" sözcüğünün de benzer bir durumda olduğunu hatırlatıyor: sözcük, bir yandan belirli bir kavramı, eylemin sonucunu adlandırıyordu; öte yandan, bu kavramın altına düşen sayısız tekil eylemi gösteriyordu.

Bir kavramın ne olduğunu anlamak, onun hem hangi özellikleri taşıdığını hem de hangi şeyleri kapsadığını bilmeyi gerektirir. Bu iki şey arasındaki ilişki, bir kavramı tanımlamanın ve bir akıl yürütmede tutarlı kullanmanın temelidir.

Bir sonraki ders bu soruya dönüyor. İçlem ve kaplam dersi, bir kavramın içleminin, yani taşıdığı özelliklerin, ile kaplamının, yani altına düşen şeylerin, nasıl ayrıldığını, bu ikisi arasındaki ilişkinin nasıl işlediğini ve bu ayrımın bir tanımı ve bir akıl yürütmeyi nasıl etkilediğini soruyor.