Açık problem kavramı

Açılış sahnesi

Bir kişi yeni bir ekibe katılıyor ve ilk gün soruyor: ben ne üzerinde çalışayım?

Kendisine bir sayfa veriliyor. Üstünde beş madde var.

Her madde üç satır. Birinci satır bu konuda neyin bilindiğini söylüyor. İkinci satır neyin bilinmediğini söylüyor. Üçüncü satır şunu söylüyor: bu soruya cevap verilmiş sayılması için ne gösterilmesi gerekir.

Kişi sayfayı okuyor ve kendi defterini açıyor. Orada kırk soru var; katıldığı alanla ilgili, aylardır biriktirdiği sorular.

Kırk sorunun hiçbirinde üçüncü satır yok.

Kişi o an bir şey fark ediyor. Kendi sorularının hiçbiri üzerinde çalışılamaz durumda ve bunun sebebi soruların kötü olması değil; hiçbirinde neyin cevap sayılacağı yazılı değil.

Bu ders o üçüncü satırın peşinde. Aynı zamanda hem bu modülü hem de bu kursu kapatıyor.

Bu derste ne olacak

Önce bir sorunun ne zaman açık problem sayıldığını belirleyeceğiz. Cevaplanmamış olmak yetmiyor ve ek şartlar var.

Sonra bu şartların nereden geldiğine bakacağız. Bir alanın problem listesi kendiliğinden oluşmuyor; birileri yazıyor ve yazılışı sonraki yılları belirliyor.

Ardından bir problemin listeden çıkmasının iki yolunu ayıracağız. Biri çözülmek, öteki dağılmak.

En sonda en sert itirazı alacağız: felsefede hiçbir problem listeden çıkmıyor ve bu ada «açık problem» demek, kalıcı başarısızlığı bilimsel bir kılıkla sunmak olabilir.

Merkez soru

Sorumuz şu: cevaplanmamış bir soruyu, üzerinde çalışılabilir bir probleme çeviren nedir?

Sorunun içinde bir kabul var ve baştan söyleyelim. Cevaplanmamış soru ile açık problem aynı şey değil; birincisi sayısız, ikincisi az.

Sıfır noktası

Farkı kuralım.

Şimdi bu üç şartın ne kadar eski olduğuna bakalım.

Aristoteles'in yaptığı şey bir açık problem listesi. İkinci derste aporia dediğimiz düğüm burada bir çalışma birimine dönüşüyor.

Argümanın yapısı

İddiayı öncüllere ayıralım.

Birinci öncül: bir soru üzerinde çalışmak, cevaba yaklaşıldığının ölçülebilmesini gerektirir.

İkinci öncül: yaklaşma ancak varış noktası tarif edilmişse ölçülebilir.

Üçüncü öncül: öyleyse çözüm ölçütü yazılmamış bir soruda ilerleme de ölçülemez ve o soru üzerinde çalışılamaz; yalnız hakkında konuşulabilir.

Sonuç: bir soruyu açık problem yapan şey zorluğu değil, çözümünün tarif edilmiş olması.

Bu sonucun en açık örneği bir listede görülüyor ve o liste bir yüzyılı belirledi.

Aynı iş bambaşka bir gelenekte, bir otoriteye karşı yapılmış.

Görüşler ve pozisyonlar

Bir problemin listeden nasıl çıktığı üzerine üç görüş var.

Birinci görüş problemlerin çözülerek çıktığını savunuyor. Çözüm ölçütü sağlanır, cevap kabul edilir ve madde listeden silinir.

Savunucuları Hilbert'in kanaatini gösteriyor: yeterince açık kurulmuş her problem, ya çözülür ya da çözülemezliği gösterilir. İkincisi de bir sonuç ve listeyi kapatıyor.

İkinci görüş problemlerin bir kısmının çözülmeden, dağılarak çıktığını savunuyor.

Üçüncü görüş bu dersin ölçülü iddiası ve problemin listede kalmasının kendisine bakıyor.

Bir problem yıllarca listede kalabilir ve o süre boyunca çalışılıyor olabilir. Çalışmanın ürünü bir cevap olmasa da boş olmuyor.

En güçlü itiraz

Şimdi en sert itiraz ve doğrudan felsefeye geliyor.

İtiraz şu: matematikte bir problem çözülüyor ve listeden çıkıyor. Felsefede çıkmıyor. İki bin beş yüz yıldır aynı sorular tartışılıyor ve hiçbiri kapanmadı. Bu duruma «açık problem» demek, kalıcı bir başarısızlığa bilimsel bir kılık giydirmek ve ilerleme varmış izlenimi vermek olabilir.

Bu cevap itirazın bir yarısını karşılıyor ve öteki yarısı ayakta.

Çünkü listeden çıkanların çoğu başka alanlara gitti ve felsefede kalanlar kapanmadı. Kalanların bir kısmı için kapanma ihtimali de görünmüyor.

Ölçülü iddia şu: bir soruyu açık problem yapan şey zorluğu değil, üç şartı sağlaması. Netleştirilmiş olması, bir alan tarafından meşru sayılması ve çözümünün neye benzeyeceğinin yazılı olması. Problem listesi bir envanter değil bir gündem; yol gösterirken sınır da çiziyor. Ve bir problemin listede uzun süre kalması, çalışmanın boş geçtiği anlamına gelmiyor.

Açık kalan sorular

Dört soru açık kalıyor.

Birincisi: bir soruyu listeye kim koyuyor? Hilbert'in listesi bir kişinin seçimiydi ve bir yüzyılı belirledi; bu yetkinin nasıl dağıtıldığı yazılı bir kural değil.

İkincisi: çözüm ölçütü yazılamayan bir soru üzerinde nasıl çalışılır? Böyle sorular var ve bu derste onlara ne yapılacağı söylenmedi.

Üçüncüsü: bir problemin dağıtıldığı mı yoksa terk mi edildiği, tartışma bittikten sonra nasıl ayırt edilir? Ölçüt yerine ne sorulacağının yazılması ve bu, sonradan yazılabiliyor.

Dördüncüsü: verimli problem ile verimsiz problemi önceden ayıran bir işaret var mı? Verim ancak sonradan görülüyor ve kaynak kararları önceden veriliyor.

Yaygın hatalar

Bu konuda beş yaygın yanlış var.

Kendin dene

Birinci adım: beş sorudan birini seç. En çok merak ettiğini değil, en somut olanını seç.

İkinci adım: altına üç satır yaz. Bu konuda ne biliniyor? Ne bilinmiyor? Bir cevabın kabul edilmesi için ne gösterilmesi gerekir?

Üçüncü adım: üçüncü satırı yazmakta zorlanıyorsan sebebini bul. Kırk ikinci dersteki altı belirsizlik kaynağına bak; hangisi seninkine uyuyor?

Dördüncü adım: üçüncü satır yazılabildiyse soruyu birine anlat ve şunu sor: benim yazdığım şey sana da cevap sayılır mıydı? Ölçütün paylaşılabilir olup olmadığı ancak burada anlaşılıyor.

Beşinci adım: üçüncü satır yazılamıyorsa soruyu defterde bırak ve tarih at. Bu bir başarısızlık değil; bir sorunun listeye girmeye hazır olmadığını bilmek de bir bilgi ve o soru bir yıl sonra hazır olabilir.

Aklında kalsın

Beş cümlede dersin iskeleti.

Cevaplanmamış soru sayısızdır ve açık problem azdır; farkı yaratan üç şart, netleştirilmiş olması, bir alanın onu meşru sayması ve çözümünün neye benzeyeceğinin önceden yazılması.

Bir soruyu üzerinde çalışılabilir kılan şey zorluğu değil çözüm ölçütü; ölçüt olmadan cevaba yaklaşıldığı ölçülemiyor ve soru hakkında yalnız konuşulabiliyor.

Problem listesi bir envanter değil bir gündem: Hilbert'in listesi bir yüzyılın çalışmasını yönlendirdi ve aynı liste, üzerinde olmayan sorularla çalışanlara bir kapı olarak da işledi.

Bir problem listeden iki yolla çıkıyor, çözülerek ve dağılarak; dağılan problem çözülmemiştir ve geriye ne sorulması gerektiğine dair bir bilgi bırakır.

Kapanmayan bir problem ile ölçütsüz bir merak arasındaki fark ölçütün yazılı olması: bilinç tartışması kapanmadı ve ölçütü yazılı olduğu için taraflar birbirinin ne söylediğini biliyor.

Sonraki derse köprü

Bu dersle hem modül hem de kurs kapandı.

Bu kursta soruyla ilgili her şeyi yaptık. Türlerini ayırdık, büyük soruları parçalarına böldük, iyi soru kurmayı öğrendik ve cevapsızlıkla çalışmayı öğrendik.

Şimdi elinde iyi kurulmuş bir soru var ve biri sana bir cevap veriyor.

Ne yapacaksın?

Bu kurs boyunca cevapları hep aldık ve üzerlerinde durmadık. «Gerekçeleri sağlam» dedik, «kanıt bu yöne ağırlık veriyor» dedik, «bu iddia şu öncüle dayanıyor» dedik. Bu cümlelerin hepsi bir yapıyı varsayıyordu ve o yapıyı hiç açmadık.

Bir cevap bir iddiadır. Bir iddia gerekçelerle desteklenir. Gerekçeler öncüllere ayrılır ve öncüllerden sonuca bir çıkarımla geçilir. Bu parçaların her birinin kendine ait bir işi ve kendine ait bir bozulma biçimi var.

Sonraki kurs onları tek tek ele alıyor: İddia, Gerekçe ve Argüman. İlk modülü temel parçaları ayırıyor ve ilk dersi en başından başlıyor: iddia. Bir cümlenin ne zaman iddia sayıldığını, ne zaman sayılmadığını ve bu ayrımın neden bütün argümanın taşıyıcısı olduğunu göreceğiz.