Giriş
Bir giyim mağazasının vitrininde şu yazı var: "Bugün 500 lira üzeri alışveriş yaparsanız ya da sadakat kartı sahibiyseniz yüzde on indirim." Bir müşteri hem 600 liralık alışveriş yapıyor hem de kart sahibi; kasada indirim istiyor ve kasiyer duraksıyor: "İkisinden biri olunca veriyoruz, ikisi birden olunca ne olacak, sistem bilmiyor." Müşteri gülüyor ama kasiyerin sorusu ciddi. "Ya da" kelimesi iki şekilde okunabilir: biri ya da öbürü ya da ikisi birden; veya yalnızca biri, ikisi birden değil. Gündelik konuşmada hangisinin kastedildiğini bağlam söyler. Bir sözleşmede, bir yasada, bir yazılımda ise bu belirsizlik bir anlaşmazlığa dönüşebilir.
Önceki derste geçerliliği karşı-örnek arayarak sınadık ve bir boşlukla karşılaştık: karşı-örnek bulamamak, geçerliliği kanıtlamıyordu. Bu ders, belirli bir argüman türü için o boşluğu kapatıyor. "Ve", "veya", "değil", "eğer... ise" gibi bağlaçlarla kurulan argümanlarda, bütün olası durumları tek tek tarayan mekanik bir yöntem vardır: doğruluk tablosu. Bu yöntem bir argümanın geçerli olup olmadığına kesin bir cevap verir. Ama önce bağlaçların ne anlama geldiğine karar vermek gerekir ve vitrindeki "ya da" gösteriyor ki bu karar sanıldığı kadar kolay değil.
Bu dersin kazanımları:
- Temel bağlaçların (değil, ve, veya, eğer... ise, ancak ve ancak) doğruluk koşullarını ve doğruluk-işlevsellik kavramını açıklarsın. (anla)
- Gündelik bir argümanı önermeler mantığı diline çevirir, doğruluk tablosunu kurar ve geçerli olup olmadığını gösterirsin. (uygula)
- Bir doğruluk tablosu sonucunun, gündelik cümleyi mantık diline çevirirken yapılan seçimlere ne kadar bağlı olduğunu değerlendirirsin. (değerlendir)
Kavramlar
Önermeler mantığı, önermeleri iç yapılarına bakmadan, bütün olarak ele alır ve onları bağlaçlarla birleştirerek daha büyük önermeler kurar. Bu derste sekiz kavramla çalışacağız: önce yapı taşları, sonra beş temel bağlaç, en sonda tablonun kendisi ve onunla tanımlanan üç önerme türü.
Önceki derste mantıksal biçimi çıkarırken içerik kelimelerini harflerle değiştirdik. Önermeler mantığında bu işlem daha kaba yapılır: bütün bir önerme tek bir harf olur. "Bugün yağmur yağıyor" P, "Toplantı iptal edildi" Q olur. Bu kabalığın bir bedeli vardır: "Bütün insanlar ölümlüdür" ile "Sokrates insandır" önermelerinin ortak bir parçası olan "insan" kelimesi, önermeler mantığında görünmez; iki önerme yalnızca P ve Q olur. Bu yüzden önceki derste gördüğümüz Sokrates argümanı önermeler mantığı düzeyinde geçersiz görünür. Bu sınır, bir sonraki dersin konusudur. Ama kabalığın bir kazancı da vardır: önermelerin iç yapısını görmezden geldiğimiz için, bağlaçlarla kurulan argümanlar tamamen mekanik bir biçimde sınanabilir.
"Yağmur yağıyor ve toplantı iptal edildi" önermesinin doğru olup olmadığını bilmek için yalnızca iki şeyi bilmek yeter: yağmur yağıyor mu, toplantı iptal edildi mi? İkisi de doğruysa bileşik önerme doğrudur; biri bile yanlışsa yanlıştır. "Ve" bu yüzden doğruluk-işlevseldir. Şimdi "Toplantı iptal edildi, çünkü yağmur yağıyor" önermesine bakalım. İki bileşen de doğru olabilir: toplantı gerçekten iptal edilmiş, yağmur da gerçekten yağıyordur. Ama toplantı başka bir nedenle, örneğin konuşmacı hastalandığı için iptal edildiyse, bileşik önerme yanlıştır. Bileşenlerin doğruluk değerlerini bilmek, "çünkü" ile kurulan önermenin doğru olup olmadığını bilmeye yetmez; nedensellik ilişkisini de bilmek gerekir. "Çünkü" bu yüzden doğruluk-işlevsel değildir ve önermeler mantığı onu temsil edemez. Bu ayrım önermeler mantığının gücünün ve sınırının kaynağıdır: yalnızca doğruluk-işlevsel bağlaçlarla çalıştığı için mekanik olabilir; ama gündelik dilin pek çok bağlacını ancak bir kısmıyla yakalar.
Değilleme bağlaçların en basitidir ama Türkçede birkaç tuzağı vardır. "Herkes gelmedi" cümlesi iki biçimde okunabilir: "Hiç kimse gelmedi" ya da "Herkes gelmiş değil, bazıları gelmedi". İlki "herkes" kelimesini değillemenin dışında, ikincisi içinde tutar. Bu belirsizlik niceleyicilerle ilgilidir ve bir sonraki dersin konusudur; ama şimdiden şunu söyleyebiliriz: bir önermenin değillemesini yazarken, en güvenli yol başına "... olduğu doğru değildir" koymaktır. "Herkesin geldiği doğru değildir" ifadesi ikinci okumayı belirsizlik olmadan verir.
Birleşme, gündelik dildeki "ve", "ama", "fakat", "ancak", "üstelik", "hem ... hem ..." gibi bağlaçların ortak doğruluk-işlevsel çekirdeğidir. "Hava soğuk ama güneşli" ile "Hava soğuk ve güneşli" aynı doğruluk koşullarına sahiptir: ikisi de hava hem soğuk hem güneşliyse doğrudur. "Ama" fazladan bir şey iletir, iki bileşen arasında bir karşıtlık beklentisi; ama bu beklenti önermenin doğruluk koşullarının değil, ima edilen şeyin parçasıdır; Grice "ama"nın taşıdığı karşıtlığı, Ders Ç0.1'de gördüğümüz konuşma imasından ayırarak uzlaşımsal ima (conventional implicature) sayar. Mantık yalnızca doğruluk koşullarını taşır.
Ayrılmada durum daha incedir ve giriş örneğindeki kasiyerin sorusu tam buradadır. Kapsayıcı "veya" (inclusive or), iki bileşen birden doğru olduğunda da doğrudur: "500 lira üzeri alışveriş ya da kart sahibi" okumasında, iki koşulu birden sağlayan müşteri de indirim alır. Dışlayıcı "veya" (exclusive or) ise yalnızca tam olarak bir bileşen doğruyken doğrudur: "Ya çay ya kahve alabilirsiniz" diyen bir menü, ikisini birden almayı dışlıyor olabilir. Türkçede "ya ... ya ..." yapısı çoğu zaman dışlayıcı okumayı, "... veya ..." ise kapsayıcı okumayı çağrıştırır, ama bu bir kural değil, bir eğilimdir. Mantık kapsayıcı "veya"yı standart alır, çünkü dışlayıcı "veya" ondan kolayca kurulabilir: "(P veya Q) ve değil (P ve Q)". Bir metni çevirirken hangisinin kastedildiğine bağlamdan karar vermek gerekir ve karar verilemiyorsa, belirsizlik açıkça not edilmelidir.
Koşullu, bağlaçlar arasında en tartışmalı olanıdır ve bu derste en çok ona zaman ayıracağız. Maddi koşullunun doğruluk koşulunu anlamanın en iyi yolu bir sözü düşünmektir. Bir öğretmen öğrencilerine "Sınavdan 90 alırsan sana bir kitap hediye ederim" diyor. Bu söz ne zaman tutulmamış olur? Öğrenci 90 aldı ve kitap verildi: söz tutuldu. Öğrenci 90 aldı ve kitap verilmedi: söz bozuldu. Öğrenci 90 alamadı ve kitap verilmedi: söz bozulmadı. Öğrenci 90 alamadı ama öğretmen yine de kitap verdi: söz bozulmadı; öğretmen yalnızca sözünün gerektirdiğinden fazlasını yaptı. Dört durumdan yalnızca biri, öncelin doğru, artçılın yanlış olduğu durum, sözü bozar. Maddi koşullu tam olarak bu sezgiyi yakalar.
Ama sezgi her durumda bu kadar iyi uymaz. Maddi koşulluya göre öncel yanlışsa koşullu her zaman doğrudur. Bu da "Eğer ay peynirden yapılmışsa İstanbul Türkiye'nin başkentidir" gibi bir cümleyi doğru yapar, çünkü öncel yanlıştır. Ya da artçıl doğruysa koşullu her zaman doğrudur. Bu da "Eğer bugün salıysa su yüz derecede kaynar" cümlesini doğru yapar. Bu sonuçlar "maddi koşullunun paradoksları" adıyla bilinir ve gündelik "eğer... ise"nin maddi koşulluyla aynı şey olup olmadığı, mantık ve dil felsefesinin en uzun süren tartışmalarından biridir. Aşağıda bu tartışmaya döneceğiz.
Türkçede koşulluyla ilgili en sık çeviri hatası, "yalnızca ... ise" yapısındadır. "Ehliyetin varsa araba kullanabilirsin" ile "Yalnızca ehliyetin varsa araba kullanabilirsin" farklı şeyler söyler. Birincisi "Ehliyet → izin" biçimindedir: ehliyet izin için yeterlidir. İkincisi "İzin → ehliyet" biçimindedir: ehliyet izin için gereklidir; ehliyetin yoksa araba kullanamazsın, ama ehliyetin olması tek başına yeterli olmayabilir. Burada gerekli koşul ile yeterli koşul ayrımı ortaya çıkar ve bu ayrım Ders Ç0.9'da kavram analizinin temel aracı olacak. Kural şudur: "P ise Q" ifadesinde P, Q için yeterli; Q, P için gerekli koşuldur. "P yalnızca Q ise" ifadesi ise "P → Q" demektir: Q, P için gerekli koşuldur.
Karşılıklı koşullu, gerekli ve yeterli koşulun birlikte ifadesidir. "Bir sayı ancak ve ancak ikiye tam bölünüyorsa çifttir" cümlesi, ikiye bölünebilmenin çiftlik için hem yeterli hem gerekli olduğunu söyler. Tanımlar çoğu zaman bu biçimdedir. Gündelik dilde ise insanlar çoğu zaman yalnızca "eğer" deyip "ancak ve ancak" kastederler: "Ödevini bitirirsen dışarı çıkabilirsin" diyen bir ebeveyn, büyük olasılıkla ödev bitmeden çıkılamayacağını da kastediyordur. Yine de söz edilmeyen o ikinci yön, cümlenin söylediği değil, ima ettiği şeydir. Bir metni çevirirken bu ikinci yönü eklemek ya da eklememek bir yorum kararıdır ve hayırseverlik ilkesi gereği, bağlam onu açıkça destekliyorsa eklenir.
Doğruluk tablosu, doğruluk-işlevselliğin doğrudan bir sonucudur. Bileşik önermenin doğruluğu yalnızca bileşenlerinkine bağlıysa, bütün olası bileşen birleşimlerini listeleyip her birinde bileşik önermenin değerini hesaplayabiliriz. İki değişken için dört birleşim vardır: ikisi de doğru, ilki doğru ikincisi yanlış, ilki yanlış ikincisi doğru, ikisi de yanlış. Üç değişken için sekiz, dört değişken için on altı birleşim vardır. Her değişken eklendiğinde satır sayısı iki katına çıkar.
Bir argümanın geçerliliğini sınamak için, öncülleri ve sonucu aynı tabloya yazar ve her satırda değerlerini hesaplarız. Sonra tek bir soruyu sorarız: öncüllerin hepsinin doğru, sonucun yanlış olduğu bir satır var mı? Varsa, o satır bir karşı-örnektir ve argüman önermeler mantığı düzeyinde geçersizdir; argümanın geçerliliği niceleyicilerden ya da kelimelerin anlamından geliyorsa bu hüküm onu yakalamaz (Ders Ç0.4'teki asimetri). Yoksa argüman geçerlidir. Önceki dersin Karşı-Örnek Testi'nden farkı şudur: orada karşı-örneği hayal gücümüzle arıyorduk ve bulamamak bir şey kanıtlamıyordu; burada bütün olası durumları tek tek taradığımız için, karşı-örnek satırının olmaması geçerliliğin kanıtıdır.
Bu üç tür, önermeler mantığında "mantıksal olarak doğru", "mantıksal olarak yanlış" ve "dünyaya bağlı" önermelerin karşılığıdır. Bir totolojinin doğruluğunu öğrenmek için dünyaya bakmak gerekmez; "Yarın yağmur yağacak ya da yağmayacak" cümlesi yarının havasından bağımsız olarak doğrudur. Ama tam da bu yüzden dünya hakkında hiçbir bilgi vermez. Bir hava durumu sunucusu bu cümleyi söylese, yanılmış olmaz ama hiçbir işe de yaramaz. Bu gözlem epistemoloji için önemlidir: bir önermenin kesinliği ile bilgi verme gücü arasında bir gerilim vardır. Hiçbir durumda yanlış olamayan bir önerme, hiçbir durumu da dışlamaz. Bilgi veren önermeler, yanlış olabilecekleri için bilgi verirler. Bu fikre Modül P2'de, bilimsel kuramların yanlışlanabilirliği tartışılırken döneceğiz.
Tablonun geçerlilikle bağı da bu türler üzerinden kurulabilir. Bir argüman, ancak ve ancak karşılık koşullusu, yani "(öncüller birlikte) → sonuç" önermesi bir totolojiyse geçerlidir. Ders Ç0.2'de karşılık koşullusunun neden boş bir gizli öncül olduğunu görmüştük; burada aynı koşullunun, argüman geçerli olduğunda neden "boş" olduğunu görüyoruz: geçerli bir argümanın karşılık koşullusu bir totolojidir ve dünya hakkında hiçbir şey söylemez.
Argüman
Bu dersin tezi iki parçalıdır: doğruluk tablosu, bağlaçlarla kurulan argümanlar için kesin bir geçerlilik sınamasıdır; ama bu sınamanın sonucu, gündelik dili mantık diline çevirmenin doğruluğuna bağlıdır. Tezi standart biçimde kuralım.
- Önermeler mantığının bağlaçları doğruluk-işlevseldir: bileşik önermenin doğruluk değeri yalnızca bileşenlerinkine bağlıdır.
- n önerme değişkeni içeren bir argümanda, bileşenlerin olası doğruluk değeri birleşimleri sonlu sayıdadır (2ⁿ).
- Önermeler mantığı düzeyinde bir argüman, ancak ve ancak öncüllerinin hepsinin doğru, sonucunun yanlış olduğu bir birleşim yoksa geçerlidir.
- (Ara sonuç, 1–3'ten) Doğruluk tablosu, bütün birleşimleri tarayarak bir önermeler mantığı argümanının geçerli olup olmadığına kesin bir cevap verir.
- Gündelik dilin bağlaçları her zaman önermeler mantığının bağlaçlarıyla örtüşmez; bazıları ("çünkü") hiç doğruluk-işlevsel değildir, bazıları ("veya", "eğer... ise") birden çok biçimde çevrilebilir.
Sonuç: Doğruluk tablosu, bağlaçlarla kurulan bir argümanın biçimsel geçerliliğini kesin olarak sınar; ama gündelik bir argüman hakkında verdiği hüküm, o argümanı mantık diline çevirirken yapılan seçimler kadar güvenilirdir.
Argümanın ilk dört satırı neden doğruluk tablosunun bu kadar güçlü bir araç olduğunu açıklar. Birinci öncül tablonun kurulabilmesinin koşuludur: bileşik önermelerin değerleri bileşenlerden hesaplanabilmelidir. İkinci öncül tablonun bitebilmesinin koşuludur: taranacak durum sayısı sonludur. Üçüncü öncül, Ders Ç0.4'teki geçerlilik tanımının önermeler mantığındaki karşılığıdır. Üçü birlikte ara sonucu verir: tablo, karşı-örnek aramayı tam ve kesin bir taramaya dönüştürür. Bu, önceki dersin bıraktığı boşluğu, yani karşı-örnek bulamamanın geçerliliği kanıtlamamasını, bu tür argümanlar için kapatır.
Beşinci öncül ise gücün sınırını çizer. Tablonun kesinliği, mantık dilindeki argüman için geçerlidir. Gündelik bir argümanın hangi mantık argümanına karşılık geldiği ise bir çeviri kararıdır ve bu karar kesin değildir. Vitrindeki "ya da"yı kapsayıcı mı dışlayıcı mı çevireceğimiz, "eğer"i tek yönlü mü iki yönlü mü okuyacağımız, tablonun vereceği hükmü değiştirebilir. Sonuç bu yüzden iki şeyi birlikte söyler: tablonun kendisine güven, ama çeviriye ayrıca bak.
En tartışmalı öncül: Hiçbir öncül tek başına değil, beşinci öncülden sonuca geçerken örtük kalan adım: çevirinin, gündelik hükmü etkileyen tek hata kaynağı olduğu. Bu adım eksiktir. Çeviri doğru olsa bile tablonun iki hükmü simetrik değildir: "geçerli" hükmü gündelik argümana taşınır, "geçersiz" hükmü ise yalnızca önermeler mantığı biçiminin geçersizliğini gösterir; argüman niceleyici yapısı ya da kelimelerin anlamı yüzünden yine de geçerli olabilir. Sonuç bu yüzden bir kayıtla okunmalıdır: geçersizlik hükmü, çevirinin yanında argümanın önermeler mantığının göremediği bir yapı taşıyıp taşımadığına da bağlıdır. Birinci öncül de gündelik "eğer... ise" için tartışmalıdır. Önermeler mantığının koşullusu doğruluk-işlevseldir; ama gündelik dildeki "eğer... ise"nin doğruluk-işlevsel olup olmadığı tartışmalıdır. Maddi koşullunun paradoksları, gündelik koşullu cümlelerin çoğunun yalnızca bileşenlerin doğruluk değerlerine bağlı olmadığını, öncel ile artçıl arasında bir bağlantı gerektirdiğini düşündürür. Öncül, önermeler mantığının kendi koşullusu için tartışmasız doğrudur; çünkü o koşullu bu şekilde tanımlanmıştır. Tartışma, gündelik koşulluların bu tanıma ne kadar uyduğu hakkındadır. Bu tartışma, beşinci öncülün en önemli örneğidir ve birinci itirazın konusudur.
İtirazlar ve cevaplar
İtiraz 1: Maddi koşullu, "eğer... ise"nin anlamını çarpıtır
Maddi koşulluya göre "Eğer ay peynirden yapılmışsa İstanbul Türkiye'nin başkentidir" doğrudur. Hiçbir Türkçe konuşucu bu cümleyi doğru bulmaz. "Eğer... ise" öncel ile artçıl arasında bir bağlantı, bir dayanak ilişkisi kurar; maddi koşullu ise bu bağlantıyı tamamen yok sayar. O hâlde koşullu cümleler içeren gündelik argümanları maddi koşulluyla çevirip doğruluk tablosuyla sınamak, onları çarpıtılmış bir biçimde sınamaktır.
Cevap: İtirazın işaret ettiği paradokslar gerçektir ve dil felsefesinde hâlâ tartışılmaktadır. Ama itiraz, doğruluk tablosu sınamasının değerini sanıldığı kadar zayıflatmaz. Birincisi, Paul Grice gibi filozoflar maddi koşulluyu savunmak için güçlü bir argüman geliştirdi. Grice'a göre gündelik "eğer... ise"nin doğruluk koşulları maddi koşullununkilerle aynıdır; paradoksların garip gelmesinin nedeni, bu cümleleri söylemenin konuşma kurallarını ihlal etmesidir. Öncelin yanlış olduğunu bilen biri "eğer" diye konuşmaz, çünkü daha bilgilendirici bir şey söyleyebilirdi. Garipleşen şey cümlenin doğruluğu değil, söylenmesinin uygunluğudur. İkincisi, argüman değerlendirmede maddi koşullu çoğu zaman güvenli tarafta kalır: modus ponens ve modus tollens gibi temel kalıplar, koşullu kuramlarının neredeyse hepsinde geçerli sayılır; bunlara bile özel durumlar için karşı-örnekler önerilmiştir (Vann McGee 1985'te modus ponens'e, Seth Yalcin 2012'de modus tollens'e). Sorun daha çok, maddi koşullu ile geçerli görünen ama gündelik koşulluyla şüpheli olan bazı kalıplarda çıkar. Bu yüzden doğru tutum, tabloyu terk etmek değil, koşullu içeren bir argümanda geçerlilik hükmünün koşullunun yorumuna bağlı olup olmadığına ayrıca bakmaktır. Koşulluların ayrıntılı tartışması teknik katmandadır ve olasılıkla bağı Modül P1'de ele alınacak.
İtiraz 2: Bağlaçlar gündelik dilin zenginliğini yok eder
"Evlendiler ve çocukları oldu" ile "Çocukları oldu ve evlendiler" önermeler mantığında aynı önermedir, çünkü "ve" sıra gözetmez. Ama Türkçe konuşan herkes bu iki cümlenin farklı bir hikâye anlattığını bilir. "Ama", "üstelik", "hatta" gibi bağlaçlar da mantıkta "ve"ye indirgenir ve taşıdıkları karşıtlık, artış, şaşkınlık kaybolur. Bu kadar çok şeyi atan bir çeviriyle yapılan sınama, gerçek argümanlar hakkında ne kadar güvenilir olabilir?
Cevap: İtiraz, çevirinin neyi attığını doğru tespit ediyor ama attığı şeyin geçerlilik için ne kadar önemli olduğunu abartıyor. Geçerlilik, öncüller doğruyken sonucun yanlış olup olamayacağı sorusudur; yani yalnızca doğruluk koşullarıyla ilgilidir. "Ama"nın taşıdığı karşıtlık ya da "ve"nin ima ettiği zaman sırası, çoğu durumda doğruluk koşullarının değil, imanın parçasıdır. Ders Ç0.1'de Grice'ın söylenen ile ima edilen ayrımını görmüştük; burada aynı ayrım iş görüyor. Yine de itirazın haklı olduğu bir durum var: ima edilen bilgi argümanın gerçek bir öncülü olduğunda. "Evlendiler ve çocukları oldu" cümlesinden "çocukları evlilikten sonra oldu" sonucunu çıkaran bir argüman, sıra bilgisini mantık diline taşımadığımızda geçersiz görünür. Bu durumda çözüm, sıra bilgisini ayrı bir öncül olarak açıkça yazmaktır: "Evlilik çocuktan önceydi." Bu, Ders Ç0.2'deki gizli öncül yönteminin bir uygulamasıdır. Çeviri bilgi kaybederse, kaybolan bilgiyi açık bir öncüle dönüştürmek, onu sınanabilir kılar.
İtiraz 3: Doğruluk tabloları gerçek problemler için kullanışsızdır
Doğruluk tablosu iki ya da üç değişkenli ders kitabı argümanlarında güzel çalışır. Ama satır sayısı her değişkenle iki katına çıkar: on değişken için 1.024, yirmi değişken için bir milyonu aşkın satır gerekir. Gerçek bir sözleşmenin ya da bir yazılım koşulunun içerdiği önerme sayısı düşünüldüğünde, bu yöntem pratikte kullanılamaz. Kesinliği kâğıt üzerinde kalan bir yöntem, gerçek akıl yürütme için ne kadar yararlı olabilir?
Cevap: Satır sayısının üstel büyümesi gerçek bir sınırdır ve bilgisayar biliminde iyi bilinir. Bir önermeler mantığı formülünü doğru yapan bir değer ataması olup olmadığı sorusu (SAT problemi), Stephen Cook'un 1971'de gösterdiği gibi, NP-tam problemlerin ilk örneğidir. Bu, SAT'ı her durumda verimli biçimde çözen bir algoritmanın, NP sınıfındaki bütün problemleri verimli biçimde çözeceği anlamına gelir; bugüne kadar böyle bir algoritma bulunamadı. Geçerliliği sınamak da aynı aileden bir iştir: "öncüller ve değil-sonuç" formülünü doğru yapan bir atama olmadığını göstermektir. Ama itiraz iki şeyi gözden kaçırıyor. Birincisi, tam tablo tek yöntem değildir. Kısaltılmış tablo yöntemi (aşağıda çözümlü örnekte göreceğiz) yalnızca karşı-örnek olabilecek satırı arar. Sonucun yanlış, öncüllerin doğru olduğunu varsayar ve bu varsayımdan geriye doğru değerleri hesaplar; çelişkiye düşerse karşı-örnek yoktur. Bugün SAT çözücü adı verilen programlar milyonlarca değişkenli formülleri pratikte sık sık çözebilir ve donanım tasarımından yazılım doğrulamasına kadar geniş bir alanda kullanılır. İkincisi, bu dersin amacı büyük formülleri elle çözmek değil, geçerliliğin ne demek olduğunu kesin bir biçimde kavramaktır. Küçük bir tabloyu kurabilen biri, karşı-örneğin bir satır olduğunu, geçerliliğin ise o satırın yokluğu olduğunu bir kez görmüş olur. Bu kavrayış, tabloyu hiç kurmadığı durumlarda da düşüncesine yön verir.
Örnekler
Basit örnek: indirim kampanyası
Giriş örneğine dönelim. P: "Müşteri 500 lira üzeri alışveriş yaptı." Q: "Müşteri sadakat kartı sahibi." Kampanya şunu söylüyor: "(P veya Q) ise indirim." Müşteri hem P hem Q durumunda.
Kapsayıcı okumada "P veya Q", iki bileşen de doğruyken doğrudur; dolayısıyla müşteri indirim alır. Dışlayıcı okumada "P veya Q", iki bileşen de doğruyken yanlıştır; bu okumaya göre kampanya, iki koşulu birden sağlayan müşteri hakkında hiçbir şey söylemez. Kampanyanın bu müşteriye indirim yasakladığını da söylemez; yalnızca indirim vaat etmez. Bu ince ama önemli bir noktadır: koşullunun önceli yanlışsa koşullu artçıl hakkında hiçbir şey söylemez. Dışlayıcı okumayla bile kasiyerin "indirim veremem" demesi kampanyadan çıkmaz; yalnızca "kampanya bu durumu kapsamıyor" demesi çıkar.
Hangi okuma doğrudur? Hayırseverlik ilkesi burada açıkça kapsayıcı okumayı destekler. İki koşulu birden sağlayan, yani hem çok alışveriş yapan hem sadık olan bir müşteriyi indirimden dışlamak, kampanyanın akla yatkın bir amacıyla bağdaşmaz. Ama örnek bir şey daha öğretiyor: çeviri kararı açık bir karar olmalıdır. Kasiyerin "sistem bilmiyor" demesi, kampanyayı yazan kişinin bu kararı vermediğini gösterir. İyi yazılmış bir kampanya metni ya "ya da ikisi birden" ekler ya da "kampanyalar birleştirilemez" der.
Orta örnek: kira sözleşmesi ve "yalnızca"
Bir kira sözleşmesinde şu madde var: "Depozito yalnızca daire hasarsız teslim edilirse iade edilir." Kiracı daireyi hasarsız teslim ediyor ama depozito iade edilmiyor; ev sahibi, kiracının son ayın faturasını ödemediğini söylüyor. Kiracı sözleşmeye dayanarak itiraz ediyor: "Daireyi hasarsız teslim ettim, depozito iade edilmeli."
Kiracının argümanı:
- Depozito yalnızca daire hasarsız teslim edilirse iade edilir.
- Daire hasarsız teslim edildi.
Sonuç: Depozito iade edilmelidir.
P: "Depozito iade edilir." Q: "Daire hasarsız teslim edildi." "P yalnızca Q ise" ifadesi "P → Q" demektir. Argümanın biçimi şudur: "P → Q. Q. O hâlde P." Doğruluk tablosu:
| P | Q | P → Q | Q | P (sonuç) |
|---|---|---|---|---|
| D | D | D | D | D |
| D | Y | Y | Y | D |
| Y | D | D | D | Y |
| Y | Y | D | Y | Y |
Üçüncü satırda öncüllerin ikisi de doğru, sonuç yanlıştır. Argüman geçersizdir; biçim, Ders Ç0.4'te gördüğümüz sonucu onaylama safsatasıdır. Sözleşme maddesi hasarsız teslimi depozito iadesi için gerekli bir koşul yapıyor, yeterli bir koşul yapmıyor. Kiracı maddeyi "hasarsız teslim edilirse iade edilir" diye, yani yeterli koşul olarak okumuş.
Bu kiracının haksız olduğu anlamına gelmez. Sözleşmenin başka maddeleri depozitonun hangi durumlarda kesilebileceğini sayıyor olabilir ve fatura borcu onlardan biri olmayabilir. Ayrıca yasal düzenlemeler sözleşmeden bağımsız haklar tanıyabilir. Ama bu maddeye dayanan argüman, kendi başına sonucu taşımaz. Tablo, kiracıya argümanını hangi öncülle güçlendirmesi gerektiğini gösteriyor: "Sözleşmede depozitonun kesilebileceği durumlar yalnızca hasarla sınırlıdır." Bu öncül eklenirse argüman geçerli hâle gelir ve tartışma, bu öncülün doğru olup olmadığına, yani sözleşmenin tamamına taşınır.
Gerçek hayat örneği: seçmen olma koşulları
Türkiye'de seçme hakkı için bir yaş sınırı vardır ve oy kullanabilmek için seçmen kütüğüne kayıtlı olmak gerekir. Bir genç, on sekizinci doğum gününden bir gün sonra arkadaşına şöyle diyor: "On sekiz yaşını doldurdum, demek ki bu seçimde oy kullanabilirim."
Bu argümanı önermeler mantığına çevirelim. Y: "On sekiz yaşını doldurmuştur." K: "Seçmen kütüğüne kayıtlıdır." O: "Oy kullanabilir." Kural, kabaca "O → (Y ve K)" biçimindedir: oy kullanabilmek için hem yaş hem kayıt gereklidir. Gencin argümanı: "Y. O hâlde O." Kuralla birlikte: "O → (Y ve K). Y. O hâlde O." Bu argümanda üç değişken var, dolayısıyla sekiz satır. Karşı-örnek olabilecek satırı doğrudan arayalım: öncüller doğru, sonuç yanlış. Sonuç yanlış: O yanlış. Öncül Y doğru. Öncül "O → (Y ve K)": O yanlış olduğu için koşullu doğrudur, K ne olursa olsun. Demek ki Y doğru, O yanlış ve K herhangi bir değer olan satırlar karşı-örnektir. Argüman geçersizdir.
Tablonun gösterdiği şey, gencin bir gerekli koşulu yeterli koşulmuş gibi kullanmasıdır. Yaş, oy kullanmak için gereklidir ama yeterli değildir; kütüğe kayıt da gerekir. Türkiye'de kayıt adres kayıt sistemine göre kendiliğinden yapılır ama seçimden önce belirli bir tarihte kesinleşir; ayrıca Anayasa'nın 67. maddesi silah altındaki er ve erbaşlar gibi bazı grupların oy kullanamayacağını belirtir. Ayrıca kuralın gerçek hâli bu çevirideki kadar basit olmayabilir: ek koşullar ya da istisnalar bulunabilir. Bu da beşinci öncülün bir örneğidir: bir yasal kuralı mantık diline çevirmek, onu basitleştirmeyi gerektirir ve tablonun hükmü yalnızca bu basitleştirilmiş kural için kesindir. Gencin pratik sorusu için doğru adım, tablonun ötesine geçip seçmen kütüğünü kontrol etmektir. Ama tablo, neyi kontrol etmesi gerektiğini ona göstermiştir.
Araç kartı: Doğruluk Tablosu
| Satır | İçerik |
|---|---|
| Ne işe yarar | Bağlaçlarla kurulan bir argümanın geçerli olup olmadığını, bütün olası doğruluk değeri birleşimlerini tarayarak kesin olarak gösterir; geçersizse karşı-örnek satırını verir. |
| Adımlar | 1) Argümandaki her basit önermeye bir harf ver; aynı önermeye hep aynı harfi ver. 2) Bağlaçları çevir; "veya"nın kapsayıcı mı dışlayıcı mı, "eğer"in tek yönlü mü iki yönlü mü olduğunu, "yalnızca ... ise"nin yönünü açıkça kararlaştır ve not et. 3) n değişken için 2ⁿ satırlık tabloyu kur. 4) Her satırda öncüllerin ve sonucun değerini hesapla. 5) Öncüllerin hepsinin doğru, sonucun yanlış olduğu satırı ara; varsa argüman geçersizdir ve o satır karşı-örnektir, yoksa geçerlidir. 6) Hükmün çeviri kararlarına bağlı olup olmadığını, alternatif çeviriyle tabloyu yeniden kurarak sına. |
| Ne zaman kullanılır | Bir argüman "ve", "veya", "değil", "eğer... ise" gibi bağlaçlarla kurulmuşsa; bir kural, sözleşme maddesi ya da yönergedeki koşulların ne gerektirdiğini kesin olarak görmek istendiğinde; karşı-örnek aramak sonuçsuz kaldığında. |
| Sınırı | Yalnızca doğruluk-işlevsel bağlaçları görür; "çünkü", niceleyiciler ("bütün", "bazı") ve kiplik ("zorunlu", "mümkün") bu düzeyde görünmez. Hüküm çeviri kadar güvenilirdir. Değişken sayısı arttıkça tablo üstel olarak büyür. |
| 5K kapısı | Kavram |
Özet
- Önermeler mantığı önermeleri bütün olarak ele alır ve onları doğruluk-işlevsel bağlaçlarla birleştirir: bileşik önermenin değeri yalnızca bileşenlerinkine bağlıdır. "Çünkü" gibi bağlaçlar doğruluk-işlevsel değildir.
- Değilleme değeri tersine çevirir; birleşme iki bileşen doğruysa, ayrılma en az biri doğruysa doğrudur. Mantıktaki "veya" kapsayıcıdır; dışlayıcı okuma bağlamdan çıkar ve açıkça kararlaştırılmalıdır.
- Maddi koşullu yalnızca öncel doğru, artçıl yanlışken yanlıştır; bu tanım paradokslara yol açar ve gündelik "eğer"e ne kadar uyduğu tartışmalıdır.
- "P ise Q"da P yeterli, Q gerekli koşuldur; "P yalnızca Q ise" ifadesi "P → Q" demektir. Karşılıklı koşullu gerekli ve yeterli koşulun birlikte ifadesidir.
- Doğruluk tablosu 2ⁿ satırda bütün birleşimleri tarar; öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu satır yoksa argüman geçerlidir. Bu, karşı-örnek aramayı kesin bir taramaya dönüştürür.
- Totoloji her satırda doğru, çelişki her satırda yanlış, olumsal önerme bazı satırlarda doğrudur. Totolojiler kesin ama dünya hakkında bilgi vermezler.
- Tablonun hükmü kesindir; gündelik bir argüman hakkındaki hüküm ise çeviri kararları kadar güvenilirdir.
Derinleş — isteğe bağlı katmanlar
Birincil metin
Önermeler mantığının ilk sistemli işlenişi, Aristoteles'in tasım mantığından ayrı olarak, Stoacı filozoflara aittir. Stoacıların eserlerinin çoğu kayboldu; onları büyük ölçüde sonraki yazarların, özellikle Stoacılara karşı yazan şüpheci Sextus Empiricus'un aktarımlarından tanıyoruz. Sextus Pyrrhonculuğun Ana Hatlarında, koşullu önermenin ne zaman doğru olduğu konusundaki tartışmayı şöyle aktarır:
Philon, sağlam koşullunun doğru bir önermeyle başlayıp yanlış bir önermeyle bitmeyen koşullu olduğunu söyler; örneğin gündüz olduğunda ve ben konuşurken "Gündüzse konuşuyorum" gibi.
Bu, maddi koşullunun Antik Çağ'daki ilk bilinen tanımıdır. Diyalektikçi Philon'a (geleneksel olarak "Megaralı" diye anılır, ama doğduğu şehir bilinmiyor) göre bir koşullu, yalnızca doğru bir öncelden yanlış bir artçıla geçtiğinde yanlıştır; öbür durumlarda doğrudur. Bu tam olarak bu dersin maddi koşullusudur. Sextus aynı bağlamda Philon'un görüşüne karşı çıkan başka görüşleri de aktarır: Philon'un hocası Diodoros'un, koşullunun yalnızca şimdi değil hiçbir zaman doğru bir öncelden yanlış bir artçıla geçemediği durumda doğru olduğunu savunduğu görüşü, ve öncel ile artçıl arasında bir bağlantı (sunartesis) arayan görüş. Yani maddi koşullunun paradokslarının ilk tartışması da Antik Çağ'a uzanır. Sextus başka bir eserinde, şair Kallimakhos'un, damlardaki kargaların bile hangi koşulluların doğru olduğunu tartıştığını söylediğini aktarır. Bu tartışma o kadar yaygındı ki bir şairin alayına konu olmuştu.
Sextus aynı eserde Stoacıların "kanıtlanamazlar" (anapodeiktoi) adını verdiği beş temel çıkarım kalıbını da aktarır. Bunlardan ilk ikisi bugünkü modus ponens ve modus tollens'tir: "Gündüzse aydınlıktır; gündüzdür; o hâlde aydınlıktır" ve "Gündüzse aydınlıktır; aydınlık değildir; o hâlde gündüz değildir." Öbür üçü birleşme ve ayrılmayla ilgilidir; bunlardan biri, "Ya gündüzdür ya gecedir; gündüzdür; o hâlde gece değildir" kalıbı, dışlayıcı "veya"yı kullanır. Stoacılar bu beş kalıbı, başka bir şeyle kanıtlanmaya ihtiyaç duymayan apaçık kalıplar saydı ve öbür geçerli çıkarımları bunlara indirgemeye çalıştı.
Teknik ayrıntı
Doğruluk tablolarının tarihi. Bağlaçların doğruluk değerleriyle tanımlanması fikri Stoacılara kadar gider, ama sistemli tablolar çok daha yenidir. George Boole 1854'te yayımlanan The Laws of Thought kitabında mantığı cebirsel bir sistem olarak kurdu ve doğruyu 1, yanlışı 0 olarak ele aldı. Gottlob Frege 1879'da önermeler mantığını ve niceleyicileri birlikte içeren ilk tam biçimsel sistemi yayımladı. Charles Sanders Peirce, yayımlanmamış notlarında 1880'lerden itibaren tablo benzeri gösterimler kullandı. Doğruluk tablosunun bugünkü biçimi ise 1921'de, birbirinden bağımsız olarak, Ludwig Wittgenstein'ın Tractatus Logico-Philosophicus'unda ve Emil Post'un bir makalesinde yaygınlaştı. Wittgenstein tabloyu, mantıksal doğruların, yani totolojilerin, dünya hakkında hiçbir şey söylemediği fikrini göstermek için kullandı. Bu fikri bu dersin Kavramlar bölümünde gördük.
Bağlaçların karşılıklı tanımlanabilirliği. Beş bağlacın hepsine ihtiyaç yoktur. "Değil" ve "ve" ile öbür bütün doğruluk-işlevsel bağlaçlar tanımlanabilir: "P veya Q", "değil (değil P ve değil Q)" ile eşdeğerdir; "P → Q", "değil (P ve değil Q)" ile eşdeğerdir. Bu eşdeğerliklerin bir kısmı De Morgan yasaları adıyla bilinir: "değil (P ve Q)" ile "değil P veya değil Q" eşdeğerdir; "değil (P veya Q)" ile "değil P ve değil Q" eşdeğerdir. Daha da şaşırtıcı olanı, tek bir bağlaç bile yeterlidir: Henry Sheffer 1913'te tek bir bağlacın, "ne... ne" (NOR) bağlacının, yettiğini gösterdi; bugün "Sheffer çizgisi" adıyla anılan "ve-değil" (NAND, "ikisi birden doğru değil") yorumu ise Jean Nicod'dan (1917) gelir. İkisinden herhangi biriyle bütün doğruluk-işlevsel bağlaçlar tanımlanabilir. Bu sonuç bilgisayar donanımında doğrudan uygulama bulur: dijital devreler, tek bir mantık kapısı türünün kombinasyonlarıyla kurulabilir.
Önemli eşdeğerlikler ve tuzaklar. Türkçe mantık geleneğinde "P → Q" koşullusunun karşıtı "Q → P" (converse), tersi "değil P → değil Q" (inverse), karşıt tersi ise "değil Q → değil P" (contrapositive) diye adlandırılır. Bir koşullunun karşıt tersi onunla eşdeğerdir: "P → Q" ile "değil Q → değil P" her satırda aynı değeri alır. "Yağmur yağarsa yol ıslanır" ile "Yol ıslak değilse yağmur yağmamıştır" maddi koşullu olarak okunduğunda aynı şeyi söyler; olasılıkçı koşullu kuramlarında bu eşdeğerlik her zaman korunmaz. Koşullunun karşıtı ve tersi ise onunla eşdeğer değildir. "Yol ıslaksa yağmur yağmıştır" cümlesi yanlış olabilir, çünkü yol başka bir nedenle de ıslanmış olabilir. Ders Ç0.4'teki sonucu onaylama safsatası, bir koşulluyu karşıtıyla karıştırmaktır; önceli değilleme safsatası (denying the antecedent) ise onu tersiyle karıştırmaktır. Doğruluk tablosu bu karışıklıkları mekanik olarak ortaya çıkarır.
Koşullu kuramları. Gündelik "eğer... ise" üzerine birkaç rakip kuram vardır. Maddi koşullu kuramı, Grice'ın savunusuyla birlikte, doğruluk koşullarının maddi koşullununkiyle aynı olduğunu söyler. Frank Ramsey'e dayandırılan bir fikre göre ise bir koşulluyu değerlendirmek için önceli varsayımsal olarak inançlarımıza ekler ve artçılın ne kadar olası olduğuna bakarız; buna Ramsey testi denir. Bu fikirden, bir koşullunun olasılığının artçılın öncele göre koşullu olasılığına eşit olduğu tezi doğar. Bu tez Ernest Adams'ın çalışmalarıyla ilişkilendirilir. David Lewis 1976'da yayımlanan bir makalede, bu tezin genel olarak, koşullunun sıradan bir önerme olduğu varsayımıyla birlikte tutulamayacağını gösteren bir "önemsizlik sonucu" kanıtladı. Bu sonuç, bazı filozofları koşullu cümlelerin doğru ya da yanlış olabilen önermeler olmadığı, olasılık değerlendirmelerinin ifadesi olduğu görüşüne götürdü. Robert Stalnaker ve Lewis ise karşı-olgusal koşullular için olası dünyalar anlambilimi geliştirdi: "Eğer olsaydı ... olurdu" cümlesi, öncelin doğru olduğu en yakın olası dünyada (Lewis'te: dünyalarda) artçılın doğru olup olmadığına bakılarak değerlendirilir. Bu araç Ders Ç1.13'te bilginin güvenlik ve duyarlılık koşullarını işlerken karşımıza çıkacak.
Güncel tartışma
İnsanlar koşulluları nasıl anlıyor? Psikolog Peter Wason'ın 1960'larda geliştirdiği seçim görevi (Wason selection task), koşullu akıl yürütmenin en çok çalışılan deneylerinden biridir. Katılımcılara bir yüzünde harf, öbür yüzünde sayı olan dört kart gösterilir ve "Bir kartın bir yüzünde ünlü harf varsa, öbür yüzünde çift sayı vardır" kuralını sınamak için hangi kartları çevirmeleri gerektiği sorulur. Mantık açısından doğru cevap, ünlü harfi gösteren kartı ve tek sayıyı gösteren kartı çevirmektir, çünkü kuralı ancak bu kartlar yanlışlayabilir. Soyut sürümde katılımcıların genellikle yüzde onundan azı doğru kartları seçer; çoğu tek sayılı kartı atlar ve çift sayılı kartı çevirir. Aynı mantıksal yapı tanıdık bir sosyal kurala, örneğin "Bir kişi alkol içiyorsa yasal yaş sınırının üzerinde olmalıdır" kuralına dönüştürüldüğünde, başarı belirgin biçimde arttı (Griggs ve Cox, 1982). Bu bulgunun nasıl açıklanacağı hâlâ tartışmalıdır. Bazı açıklamalar insanların sosyal kuralların ihlallerini saptamaya özel bir yatkınlığı olduğunu, bazıları ise insanların koşulluyu mantıktaki gibi değil, olasılıklı bir biçimde yorumladığını öne sürer. Epistemoloji için ders şudur: bir kuralı sınamak, onu doğrulayan örnekleri değil, onu yanlışlayabilecek örnekleri aramayı gerektirir ve bu, insan zihninin kendiliğinden yaptığı bir şey değildir. Bu ilke Modül P2'de Popper'ın yanlışlanabilirlik ölçütüyle yeniden karşımıza çıkacak.
Yeni paradigma: olasılıklı akıl yürütme. Son otuz yılda akıl yürütme psikolojisinde "yeni paradigma" adı verilen bir yaklaşım gelişti. Bu yaklaşıma göre insanların gündelik akıl yürütmesi klasik iki değerli mantıkla değil, olasılık kuramıyla daha iyi betimlenir. Bu yaklaşımın savunucuları, insanların bir koşullunun olasılığını çoğu zaman koşullu olasılık olarak değerlendirdiğini gösteren deneysel bulgulara dayanır. Bu, Ramsey testinin ve Adams'ın tezinin psikolojideki karşılığıdır. Tartışma, mantığın insan akıl yürütmesi için bir norm mu yoksa yalnızca bir model mi olduğu sorusuna uzanır: insanlar mantıktan saptığında hata mı yapıyorlar, yoksa farklı ama akılcı bir standarda mı uyuyorlar? Bu soru Modül P1'de olasılık ve inanç dereceleri işlenirken yeniden açılacak.
Doğrulama ve yapay zekâ. Önermeler mantığı bugün yazılım ve donanım doğrulamasının temel araçlarından biridir. Bir mikroişlemcinin tasarımının belirli koşullar altında hata vermeyeceğini göstermek, çoğu zaman o koşulları büyük bir önermeler mantığı formülüne çevirip bir SAT çözücüyle karşı-örnek aramak demektir. Burada da bu dersin beşinci öncülü geçerlidir: çözücünün hükmü kesindir, ama tasarımı formüle çevirirken yapılan bir hata, kesin ama yanlış bir güvenceye yol açabilir. Akademinin laboratuvarındaki Geçerlilik Denetleyici aracı, girdiğin öncüller ve sonuç için tam doğruluk tablosunu kurar ve karşı-örnek satırlarını işaretler. Aracı kullanırken çeviri kararlarını, yani hangi cümleye hangi harfi verdiğini ve hangi bağlacı seçtiğini, ayrıca not etmek iyi bir alışkanlıktır.
Pratik: Çözümlü örnek
Bir iş yeri yönergesi: "Çalışan uzaktan çalışıyorsa, ya şirket bilgisayarını kullanır ya da güvenli bağlantı yazılımını kurar. Selin şirket bilgisayarını kullanmıyor ve güvenli bağlantı yazılımını kurmamış. O hâlde Selin uzaktan çalışmıyor."
Adım 1, harfleri ver. U: "Selin uzaktan çalışıyor." B: "Selin şirket bilgisayarını kullanıyor." G: "Selin güvenli bağlantı yazılımını kurmuş."
Adım 2, bağlaçları çevir. Yönerge: "U → (B veya G)". Burada "ya ... ya da" yapısı var; dışlayıcı mı kapsayıcı mı? Yönergenin amacı güvenliği sağlamaktır ve hem şirket bilgisayarını kullanıp hem de güvenli yazılımı kuran biri yönergeyi ihlal etmiş sayılmaz. Hayırseverlik ilkesi kapsayıcı okumayı destekler. İkinci öncül: "değil B ve değil G". Sonuç: "değil U".
Adım 3, kısaltılmış tabloyla karşı-örnek ara. Üç değişken için tam tablo sekiz satırdır; ama yalnızca karşı-örnek olabilecek satırı arayalım. Sonuç yanlış olmalı: "değil U" yanlış, yani U doğru. İkinci öncül doğru olmalı: B yanlış ve G yanlış. Şimdi birinci öncülü bu değerlerle hesaplayalım: U doğru, "B veya G" yanlış (ikisi de yanlış). Koşullu, doğru bir öncelden yanlış bir artçıla gittiği için yanlıştır. Ama karşı-örnek için birinci öncülün de doğru olması gerekiyordu. Bir çelişkiye düştük: öncüllerin hepsinin doğru, sonucun yanlış olduğu bir satır yoktur.
Adım 4, hükmü ver. Argüman geçerlidir. Biçimi aslında modus tollens'in bir uygulamasıdır: "U → X. Değil X. O hâlde değil U." Burada X, "B veya G"dir ve ikinci öncül, De Morgan yasasıyla "değil (B veya G)" ile eşdeğerdir.
Adım 5, çeviriyi sına. Dışlayıcı "veya" ile tablo yeniden kurulsaydı hüküm değişir miydi? Karşı-örnek için yine U doğru, B ve G yanlış olmalı. Dışlayıcı "veya" da iki bileşen yanlışken yanlıştır; koşullu yine yanlış olur ve yine çelişkiye düşeriz. Hüküm bu çeviri kararına bağlı değildir. Bu iyi bir haberdir: argümanın geçerliliği, belirsiz kalan bağlacın yorumundan etkilenmiyor.
Adım 6, sağlamlığa bak. Geçerlilik sonucun doğru olduğunu garanti etmez; öncüllerin doğru olması gerekir. Birinci öncül bir yönergedir: yönerge uygulanıyor mu, yoksa bazı çalışanlar kuralı çiğneyerek uzaktan mı çalışıyor? Selin yönergeye uymadan uzaktan çalışıyorsa, birinci öncül onun için yanlıştır ve sonuç da yanlış olabilir. Tablo geçerliliği gösterdi; Selin'in gerçekten uzaktan çalışıp çalışmadığını ise yönergenin uygulanıp uygulanmadığı belirler. Bu, Ders Ç0.4'teki iki soru ayrımının tablo düzeyindeki karşılığıdır.
Pratik: Alıştırmalar
- Şu cümlelerden hangisi "P → Q", hangisi "Q → P" biçimindedir? P: "Sınava girersin." Q: "Kayıt ücretini ödemişsindir." (a) "Sınava ancak kayıt ücretini ödemişsen girersin." (b) "Kayıt ücretini ödersen sınava girersin."
- Şu argümanın geçerli olup olmadığını doğruluk tablosuyla göster: "Ya Ahmet ya Ayşe toplantıya katıldı (kapsayıcı okuma). Ahmet katılmadı. O hâlde Ayşe katıldı."
- "Eğer şirket kâr ederse çalışanlara ikramiye verilir" önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yaz. Bunlardan hangisi asıl önermeyle eşdeğerdir?
Cevapları göster
- (a) "Sınava ancak kayıt ücretini ödemişsen girersin" ifadesi, kayıt ücretini ödemeyi sınava girmek için gerekli koşul yapar: "Sınava girersen kayıt ücretini ödemişsindir", yani "P → Q". (b) "Kayıt ücretini ödersen sınava girersin" ifadesi, ödemeyi sınava girmek için yeterli koşul yapar: "Q → P". İki cümle farklı şeyler söyler; birincisi ödemenin tek başına yeterli olduğunu söylemez, ikincisi ödemenin gerekli olduğunu söylemez.
- P: "Ahmet katıldı." Q: "Ayşe katıldı." Biçim: "P veya Q. Değil P. O hâlde Q." Tablo: P D, Q D: birinci öncül D, ikinci öncül Y. P D, Q Y: birinci öncül D, ikinci öncül Y. P Y, Q D: iki öncül de D, sonuç D. P Y, Q Y: birinci öncül Y. Öncüllerin ikisinin de doğru olduğu tek satır üçüncü satırdır ve orada sonuç doğrudur. Karşı-örnek satırı yoktur; argüman geçerlidir. Bu kalıbın adı ayırıcı tasımdır (disjunctive syllogism) ve Stoacıların beş kanıtlanamazından birine karşılık gelir.
- P: "Şirket kâr eder." Q: "Çalışanlara ikramiye verilir." Asıl önerme: "P → Q". Karşıt: "Çalışanlara ikramiye verilirse şirket kâr etmiştir" (Q → P). Ters: "Şirket kâr etmezse çalışanlara ikramiye verilmez" (değil P → değil Q). Karşıt ters: "Çalışanlara ikramiye verilmezse şirket kâr etmemiştir" (değil Q → değil P). Yalnızca karşıt ters asıl önermeyle eşdeğerdir. Karşıt ve ters birbiriyle eşdeğerdir ama asıl önermeyle değildir: şirket kâr etmediği hâlde başka bir nedenle, örneğin bir yıldönümü nedeniyle, ikramiye verilebilir.
Pratik: Argüman görevi
Neyin arandığını görmek için kısa bir karşılaştırma. Kural: "Öğrenci devamsızlık sınırını aşmazsa ve ödevlerini teslim ederse final sınavına girebilir." Zayıf çözüm: "Kurala göre devamsızlık sınırını aşmayan öğrenci sınava girer." Bu çözüm "ve"nin ikinci bileşenini düşürmüş ve koşulun yeterli mi gerekli mi olduğunu sormamış. Güçlü çözüm: "D: Devamsızlık sınırını aşmadı. Ö: Ödevleri teslim etti. F: Final sınavına girebilir. Kural: (D ve Ö) → F. Karar: kural yeterli koşul olarak yazılmış; iki yönlü okumak (F → (D ve Ö)) metinde açık değil, ama okul yönetmeliklerinde sık görülen bir niyettir; iki okumayı da not ediyorum. Argüman: 'D ve Ö doğru, o hâlde F' geçerlidir (modus ponens). Argüman: 'F doğru, o hâlde Ö' tek yönlü okumada geçersiz, iki yönlü okumada geçerli. Hüküm çeviri kararına bağlı."
| Ölçüt | Ne aranır |
|---|---|
| Çeviri | Her basit önermeye tutarlı bir harf verilmiş, bağlaçlar doğru biçimde çevrilmiş |
| Çeviri kararları | Belirsiz bağlaçlar için seçim yapılmış ve gerekçelendirilmiş |
| Tablo | Doğruluk tablosu ya da kısaltılmış tablo doğru kurulmuş, değerler doğru hesaplanmış |
| Hüküm | Karşı-örnek satırı varsa gösterilmiş, yoksa geçerlilik gerekçelendirilmiş |
| Çeviriye duyarlılık | Hükmün belirsiz bir bağlacın yorumuna bağlı olup olmadığı alternatif çeviriyle sınanmış |
Argüman koçu
Görevi buraya yaz; koç argümanını standart biçime çevirir, rubriğin her ölçütüne 0–3 puan verir, en güçlü itirazı söyler. Vardığın görüşü değil, argümanın yapısını değerlendirir.
Tekrar
- (Ders Ç0.2) "Ehliyetin yoksa araba kullanamazsın; araba kullanıyorsun; o hâlde ehliyetin var" argümanında gizli bir öncül var mı? Doğruluk tablosu bu soruya nasıl bir cevap verir?
- (Ders Ç0.3) Bir sözleşme maddesindeki "veya" kelimesini kapsayıcı mı dışlayıcı mı çevireceğine karar verirken hayırseverlik ilkesi sana ne söyler? Bu ilke sözleşmenin taraflarından birini kayırma riski taşır mı?
- (Ders Ç0.4) Ders Ç0.4'te karşı-örnek bulamamanın geçerliliği kanıtlamadığını gördük. Doğruluk tablosu bu durumu neden değiştirir ve hangi tür argümanlar için değiştirmez?
Cevapları göster
- Cevap çeviriye bağlıdır. "Kullanamazsın"ı olgu olarak (değil A) çevirirsek gizli öncül yoktur. Argüman E: "Ehliyetin var", A: "Araba kullanıyorsun" harfleriyle "değil E → değil A. A. O hâlde E" biçimindedir. Doğruluk tablosu öncüllerin ikisinin de doğru olduğu tek satırda (E doğru, A doğru) sonucun doğru olduğunu gösterir; argüman geçerlidir. Birinci öncül "A → E" ile eşdeğerdir (karşıt ters) ve argüman modus ponens'e indirgenir. Ders Ç0.2'deki yöntem, bir boşluk olduğunda gizli öncül aramayı söylüyordu; tablo burada boşluk olmadığını kesin olarak gösteriyor. Ama "kullanamazsın" çoğu zaman bir olgu değil, bir izin bildirir. İzin okumasıyla birinci öncül "Ehliyetin yoksa araba kullanma iznin yoktur" olur; argümanın geçerli olması için "Araba kullanıyorsan izinlisin" gibi bir gizli öncül gerekir ve bu öncül tam da tartışmalı olandır, çünkü insanlar izinleri olmadan da araba kullanabilir.
- Hayırseverlik ilkesi, metinle ve bağlamla tutarlı okumalar arasından maddeyi en anlamlı ve tutarlı kılanı seçmeyi söyler: maddenin amacına hangi okuma daha iyi uyuyorsa o. Kayırma riski gerçektir, çünkü "en anlamlı okuma" çoğu zaman bir tarafın çıkarına daha uygundur. Bu yüzden bir sözleşmede hayırseverlik, sadakat ölçütüyle ve sözleşmenin öbür maddeleriyle birlikte uygulanmalıdır; belirsizlik gerçekten çözülemiyorsa, onu açıkça adlandırmak ve tarafların niyetini sormak gerekir.
- Ders Ç0.4'te karşı-örneği hayal gücümüzle arıyorduk; bulamamak, yeterince aramadığımız anlamına da gelebilirdi. Doğruluk tablosu, önermeler mantığı argümanlarında bütün olası durumların sonlu sayıda olduğunu ve hepsinin taranabileceğini gösterir; karşı-örnek satırı yoksa, karşı-örnek yoktur. Bu, yalnızca önermeler mantığı düzeyinde çevrilebilen argümanlar için geçerlidir. "Bütün", "bazı" gibi niceleyiciler içeren argümanlarda tablo yetersiz kalır.
Flashcard'lar
| Ön yüz | Arka yüz |
|---|---|
| Doğruluk-işlevsellik nedir? | Bileşik önermenin doğruluk değerinin yalnızca bileşenlerinin doğruluk değerlerine bağlı olması. |
| "Çünkü" neden önermeler mantığında temsil edilemez? | Doğruluk-işlevsel değildir; iki bileşen doğru olsa bile aralarındaki nedensellik ilişkisi yoksa önerme yanlış olabilir. |
| Kapsayıcı ve dışlayıcı "veya" nasıl ayrılır? | Kapsayıcı "veya" iki bileşen birden doğruyken de doğrudur; dışlayıcı "veya" yalnızca tam olarak biri doğruyken doğrudur. |
| Maddi koşullu ne zaman yanlıştır? | Yalnızca öncel doğru, artçıl yanlış olduğunda. |
| "P yalnızca Q ise" hangi koşulluya çevrilir? | P → Q; Q, P için gerekli koşuldur. |
| Doğruluk tablosuyla geçerlilik nasıl sınanır? | Öncüllerin hepsinin doğru, sonucun yanlış olduğu bir satır aranır; varsa geçersiz, yoksa geçerlidir. |
| Bir koşullunun hangi dönüşümü onunla eşdeğerdir? | Karşıt tersi (değil Q → değil P); karşıtı (Q → P) ve tersi (değil P → değil Q) eşdeğer değildir. |
| Totolojiler neden bilgi vermez? | Her durumda doğru oldukları için hiçbir durumu dışlamazlar. |
Okuma listesi
- Sextus Empiricus, Pyrrhonculuğun Ana Hatları, II. kitap. Stoacı mantığın, koşullu tartışmasının ve beş kanıtlanamazın en önemli antik aktarımı.
- George Boole, An Investigation of the Laws of Thought (1854). Mantığın cebirsel bir sistem olarak kurulması.
- Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (1921). Doğruluk tablolarının ve totolojilerin felsefi yorumu.
- Paul Grice, Studies in the Way of Words (Harvard University Press, 1989). Maddi koşullunun ima kuramıyla savunusu.
- David Lewis, "Probabilities of Conditionals and Conditional Probabilities", The Philosophical Review 85 (1976). Önemsizlik sonucu.
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, "Indicative Conditionals" maddesi. Koşullu kuramlarına güncel bir giriş.
Sonraki derse köprü
Bu derste önermeleri bütün olarak ele aldık ve iç yapılarını görmezden geldik. Bu kabalık doğruluk tablosunu mümkün kıldı, ama bir bedeli vardı: "Bütün insanlar ölümlüdür; Sokrates insandır; o hâlde Sokrates ölümlüdür" argümanı bu düzeyde geçersiz görünüyor, çünkü geçerliliği "bütün" kelimesinden geliyor. Ders Ç0.6 bu kelimeleri ele alıyor: "bütün" ve "bazı" gibi niceleyicileri, "zorunlu" ve "mümkün" gibi kiplik ifadelerini ve bunların değillemeyle girdiği ilişkileri.
Günlük sorusu: Son imzaladığın ya da onayladığın bir metni düşün: bir sözleşme, bir kullanım koşulları onayı, bir form. İçindeki bir "veya" ya da "eğer" kelimesini iki farklı biçimde okumak, senin haklarını ya da yükümlülüklerini değiştirir miydi?