Bayesçi epistemoloji atölyesi (gerçek sayılarla)

Giriş

Bir tarama testiyle ilgili şu soruyu düşün. Belirli bir yaş grubundaki kadınların yüzde birinde meme kanseri vardır. Hastalığı olan bir kadının mamografi sonucu yüzde seksen olasılıkla pozitif çıkar. Hastalığı olmayan bir kadının sonucu ise yüzde 9,6 olasılıkla yine de pozitif çıkar. Bu yaş grubundan bir kadının sonucu pozitif çıktı. Bu kadının gerçekten kanser olma olasılığı nedir?

Bu soru, Amerikalı hekim ve araştırmacı David Eddy'nin 1982'de hekimlere yönelttiği bir problemin ders kitaplarında yaygınlaşmış biçimidir; sayılar, belirli bir ülkenin güncel verisi değil, olasılık muhakemesini sınamak için kullanılan örnek sayılardır. Eddy'nin bildirdiğine göre hekimlerin çoğu, yüksek bir olasılık, kabaca yüzde seksene yakın bir değer tahmin etti. Doğru cevap yaklaşık yüzde sekizdir. Bir önceki dersin sonunda gerçekçilik tartışmasının bir güven sorusuna vardığını, ve "mucize yok" argümanına yöneltilen taban oranı itirazının bu soruyu sayılarla sormayı gerektirdiğini gördük. Bu derste o sayıları birlikte hesaplayacağız. Kalemini ve bir kâğıt al; bu ders okunmaktan çok çalışılmak için yazıldı.

Bu dersin kazanımları:

• Bayes kuralını, önsel ve sonsal olasılık kavramlarını ve olabilirlik oranını açıklarsın. (anla)
• Bir kanıtın bir hipotezin olasılığını ne kadar değiştirdiğini doğal frekanslarla ve olabilirlik oranıyla hesaplarsın. (uygula)
• Bir iddiaya duyduğun güvenin taban oranını hesaba katıp katmadığını değerlendirirsin. (değerlendir)

Ana anlatım

Bin kişilik bir oda

Açılıştaki soruyu formül kullanmadan, bin kişilik bir oda düşünerek çözelim. Bu yöntem, Alman psikolog Gerd Gigerenzer'in araştırmalarıyla yaygınlaşan doğal frekanslar yaklaşımıdır: olasılıkları yüzdeler yerine sayılabilir insanlar olarak düşünmek.

Odada bin kadın var. Yüzde birinde hastalık var: bu, 10 kadın eder. Bu on kadının yüzde sekseninin testi pozitif çıkar: 8 kadın. Geriye hastalığı olmayan 990 kadın kalır. Bunların yüzde 9,6'sının testi yine de pozitif çıkar: 990 çarpı 0,096, yaklaşık 95 kadın. Şimdi yalnızca testi pozitif çıkanlara bakalım: 8 hasta ve 95 sağlıklı kadın, toplam 103 kadın. Pozitif sonuç alan bir kadının gerçekten hasta olma olasılığı, 103 kişiden 8'i, yani yaklaşık yüzde 7,8.

Sezgimiz neden bu kadar yanılır? Çünkü dikkatimiz testin başarısına, yani yüzde seksene odaklanır ve hastalığın ne kadar nadir olduğunu, yani yüzde biri gözden kaçırırız. Hastalık nadir olduğunda, sağlıklı insanlar arasındaki küçük bir hata oranı bile, gerçek hastalardan daha fazla pozitif sonuç üretir. Buna taban oranı ihmali denir ve Kahneman ile Tversky'nin çalışmalarında belgelenen en sağlam düşünme hatalarından biridir.

Bayes kuralı

Az önce yaptığımız hesap, adını on sekizinci yüzyılda yaşamış İngiliz rahip ve matematikçi Thomas Bayes'ten alan bir kuralın uygulamasıdır. Kuralın sözel biçimi şudur: bir kanıtı gördükten sonra bir hipoteze vermemiz gereken olasılık, hipotezin başlangıçtaki olasılığı ile hipotez doğruysa bu kanıtı görme olasılığının çarpımının, kanıtı görmenin toplam olasılığına bölümüdür. Simgelerle yazarsak:

P(H | K) = P(K | H) × P(H) / P(K)

Burada H hipotez, K kanıttır. P(H), kanıtı görmeden önce hipoteze verdiğimiz olasılıktır; buna önsel olasılık denir. P(K | H), hipotez doğruysa bu kanıtı görme olasılığıdır; buna olabilirlik denir. P(H | K) ise kanıtı gördükten sonra hipoteze vermemiz gereken olasılıktır; buna sonsal olasılık denir. Mamografi örneğinde önsel 0,01, olabilirlik 0,8 ve kanıtın toplam olasılığı, yani herhangi bir kadının testinin pozitif çıkma olasılığı, 103 bölü 1000, yani 0,103'tür. Sonsal: 0,8 çarpı 0,01 bölü 0,103, yaklaşık 0,078.

Olabilirlik oranı: kanıtın gücü

Bayes kuralının daha kullanışlı bir biçimi, olasılıklar yerine oranlarla çalışır. Bir hipotezin oranı, doğru olma olasılığının yanlış olma olasılığına bölümüdür. Mamografi örneğinde önsel oran 1'e 99'dur, yani yaklaşık 0,0101. Kuralın oran biçimi şöyledir: sonsal oran, önsel oran ile olabilirlik oranının çarpımıdır.

Olabilirlik oranı, kanıtın hipotez doğruyken görülme olasılığının, hipotez yanlışken görülme olasılığına bölümüdür. Mamografi örneğinde bu oran 0,8 bölü 0,096, yaklaşık 8,3'tür. Bu sayı, kanıtın gücünü ölçer: pozitif bir sonuç, hasta bir kadında sağlıklı bir kadına göre yaklaşık 8,3 kat daha olasıdır. Sonsal oran: 0,0101 çarpı 8,33, yaklaşık 0,084. Bu oranı olasılığa çevirmek için oranı, bir artı orana böleriz: 0,084 bölü 1,084, yaklaşık 0,078. Aynı sonuca vardık.

Bu biçimin güzelliği, kanıtın gücü ile başlangıç noktasını birbirinden ayırmasıdır. Bir kanıtın olabilirlik oranı 8 ise, bu kanıt her durumda oranı sekiz katına çıkarır. Ama sekiz kat, yüzde birden başlayan biri için yüzde sekize, yüzde elliden başlayan biri için yüzde seksen dokuza götürür. Güçlü bir kanıt, çok düşük bir önseli yalnızca "düşük" bir sonsala taşıyabilir.

Ardışık güncelleme

Bayesçi düşüncenin en önemli yanlarından biri, güncellemenin tek seferlik olmamasıdır. Bir kanıttan sonra ulaştığın sonsal, bir sonraki kanıt için önsel olur. Mamografi sonucu pozitif çıkan kadına, birincisinden bağımsız ikinci bir test yapıldığını ve onun da pozitif çıktığını varsayalım. Yeni önsel oran, bir önceki sonsal orandır: yaklaşık 8 bölü 95, yani 0,084. Bunu aynı olabilirlik oranıyla, 8,33 ile çarparız: 0,70. Olasılık: 0,70 bölü 1,70, yaklaşık yüzde 41.

İki pozitif sonuç, olasılığı yüzde birden yüzde kırk bire çıkardı. Bu hesap, iki testin birbirinden gerçekten bağımsız olduğunu varsayar; pratikte aynı türden iki test, aynı nedenlerle yanılabilir ve bu durumda ikinci testin olabilirlik oranı daha düşük olur. Ama ilke açıktır: kanıtlar birikir ve her biri, bir öncekinin bıraktığı yerden hesaba katılır. Bu, Kesinlik termometresi dersinde gördüğümüz güven güncellemesinin sayısal biçimidir.

Bayesçi epistemoloji nedir?

Bayes kuralı bir olasılık hesabı kuralıdır. Bayesçi epistemoloji ise bu kuralı bir akılcılık kuramına dönüştürür. Bu görüşe göre inançlar ya hep ya hiç değil, derecelidir; bu dereceler olasılık kurallarına uymalıdır; ve yeni bir kanıt geldiğinde inanç dereceleri Bayes kuralına göre güncellenmelidir. Bu güncelleme kuralına koşullandırma denir.

İnanç derecelerinin neden olasılık kurallarına uyması gerektiğine dair en ünlü argüman, İngiliz felsefeci Frank Ramsey'nin 1926'da ve İtalyan matematikçi Bruno de Finetti'nin sonraki yıllarda geliştirdiği bahis argümanıdır. İnanç derecelerin olasılık kurallarını çiğniyorsa, biri sana her biri sana adil görünen bir dizi bahis sunabilir ve sen bu bahislerin hepsini kabul edersen, dünya ne olursa olsun kaybedersin. Tutarsız inanç dereceleri, garantili kayba açıktır.

Popper'a Bayesçi bir bakış

Popper dersinde, "bu ilaç hastaların çoğunda ağrıyı azaltır" gibi olasılıksal bir iddianın tek bir karşı örnekle çürütülemeyeceğini ve bu tür iddiaları tartmak için başka bir araca ihtiyaç olduğunu söylemiştik. Bayesçi hesap o araçtır. Yanlışlama, bu hesabın bir sınır durumu olarak görülebilir: hipotez doğruysa bir gözlemin görülme olasılığı sıfırsa ve o gözlem görülürse, olabilirlik oranı sıfır olur ve sonsal da sıfıra iner. Olasılıksal iddialarda ise tek bir gözlem olasılığı sıfıra indirmez, yalnızca aşağı ya da yukarı iter; ve kanıt biriktikçe güven giderek netleşir.

Bayesçi hesap, Popper'ın ve Lakatos'un sezgilerinden birini de açıklar: şaşırtıcı öngörüler neden daha değerlidir? Çünkü hipotez yanlış olsaydı, şaşırtıcı bir olgunun görülme olasılığı çok düşük olurdu; bu da olabilirlik oranını çok yükseltir. Halley'nin kuyruklu yıldızının tam zamanında dönmesi, Newton kuramı yanlış olsaydı neredeyse hiç beklenmeyecek bir olaydı. Herkesin zaten beklediği bir sonucu doğrulamak ise olabilirlik oranını bire yakın bırakır ve hipotez hakkında pek bir şey söylemez.

Önseller nereden gelir?

Bayesçi epistemolojinin en çok tartışılan sorusu, önsellerin nereden geldiğidir. Mamografi örneğinde önsel, hastalığın toplumdaki sıklığından geliyordu; bu, ölçülebilen bir taban oranıdır. Ama birçok durumda böyle bir oran yoktur. Yeni bir bilimsel hipotezin doğru olma önseli nedir? Bir tanığın dürüst olma önseli nedir?

Öznel Bayesçiler, önsellerin kişiden kişiye değişebileceğini, akılcılığın yalnızca tutarlılık ve doğru güncelleme gerektirdiğini savunur. Bu görüşe güven veren bir sonuç vardır: farklı önsellerle başlayan iki kişi, aynı kanıtları yeterince uzun süre topladıklarında, sonsalları birbirine yaklaşır. Kanıt, önsellerin etkisini zamanla "yıkar". Nesnel Bayesçiler ise önsellerin keyfi olmaması gerektiğini, mümkün olduğunda taban oranlarına, mümkün olmadığında ise en az varsayım yapan dağılımlara dayanması gerektiğini savunur. Pratik ders şudur: bir taban oranı biliniyorsa, onu yok saymak hatadır; bilinmiyorsa, önselini açıkça söylemek ve farklı önsellerle hesabı tekrarlamak dürüst bir tutumdur.

Bilimde Bayes: bir araştırma bulgusu ne kadar güvenilir?

Bayesçi hesap, bilimsel bulguların güvenilirliği hakkında da çarpıcı bir şey söyler. Yunan asıllı Amerikalı hekim John Ioannidis, 2005'te yayımlanan ve başlığıyla ünlenen "Yayımlanan Araştırma Bulgularının Çoğu Neden Yanlıştır?" makalesinde, bu mantığı araştırma sonuçlarına uyguladı. Bir çalışmanın "anlamlı" bir sonuç bulması, bir kanıttır; ama bu kanıtın hipotezi ne kadar desteklediği, o alanda sınanan hipotezlerin ne kadarının başlangıçta doğru olduğuna bağlıdır.

Örnek sayılarla hesaplayalım; sayılar herhangi bir alanın gerçek verisi değil, mantığı göstermek için seçilmiştir. Bir alanda sınanan hipotezlerin yüzde onu gerçekten doğru olsun. Çalışmalar, doğru bir etkiyi yüzde seksen olasılıkla yakalayabilsin; bu olasılığa çalışmanın gücü denir. Yanlış bir hipotez için "anlamlı" sonuç bulma olasılığı ise yüzde beş olsun. Bin hipotez düşünelim: 100'ü doğru, bunların 80'i anlamlı sonuç verir; 900'ü yanlış, bunların 45'i yine de anlamlı sonuç verir. Anlamlı sonuçların 125'inden 80'i doğrudur: yüzde 64. Çalışmaların gücü yüzde otuz beşe düşerse, doğru hipotezlerden yalnızca 35'i anlamlı sonuç verir ve oran 35 bölü 80, yani yaklaşık yüzde 44'e iner. Anlamlı bir sonucun güvenilirliği, tek başına sonuca değil, alanın taban oranına ve çalışmaların gücüne bağlıdır.

Bayes Güncellemesi ve Taban Oranı

Bu dersin aracı, bir kanıt karşısında güvenini adım adım hesaplamanı sağlar. Önce hipotezi ve kanıtı açıkça yazarsın. Sonra taban oranını bulursun: kanıtı görmeden önce bu hipotezin olasılığı nedir ve bu sayı nereden geliyor? Üçüncü olarak iki olasılığı yazarsın: hipotez doğruysa bu kanıtı görme olasılığı ve hipotez yanlışsa bu kanıtı görme olasılığı. Dördüncü olarak bin kişilik ya da bin durumluk bir tablo kurar ve dört hücreyi doldurursun. Beşinci olarak sonsal olasılığı hesaplar, sonucu bir kez de olabilirlik oranıyla kontrol eder ve kararını bu sayıya göre verirsin.

Kesinlik kapısındaki termometreye bu araç bir hesap ekler. En önemli adımı ikincisidir: taban oranını sormadan verilen her güven yargısı, açılıştaki hekimlerin düştüğü tuzağa açıktır. Hesabın her adımını iki kez kontrol etmek de aracın parçasıdır; çünkü Bayesçi hesapta küçük bir aritmetik hata, sonucu tamamen değiştirebilir.

Örnekler

Basit örnek: istenmeyen e-posta

Gelen kutuna düşen bir e-postanın konu satırında "acil ödeme" ifadesi var. Bu e-postanın istenmeyen bir e-posta, yani dolandırıcılık ya da reklam amaçlı olma olasılığı nedir? Örnek sayılarla hesaplayalım. Gelen kutundaki e-postaların yüzde yirmisi istenmeyen olsun. "Acil ödeme" ifadesi, istenmeyen e-postaların yüzde ellisinde, normal e-postaların ise yüzde ikisinde geçsin. Bayes Güncellemesi ve Taban Oranı'nı uygulayalım. Bin e-posta düşünelim: 200'ü istenmeyen, bunların 100'ünde ifade var; 800'ü normal, bunların 16'sında ifade var. İfadeyi içeren 116 e-postanın 100'ü istenmeyen: yaklaşık yüzde 86. Olabilirlik oranıyla kontrol: 0,50 bölü 0,02, yani 25; önsel oran 200 bölü 800, yani 0,25; sonsal oran 6,25; olasılık 6,25 bölü 7,25, yaklaşık yüzde 86. İki yöntem aynı sonucu veriyor. Bu örnekte kanıt güçlüdür ve taban oranı çok düşük değildir; bu yüzden sonsal yüksek çıkar. E-posta filtreleri, benzer bir mantıkla, pek çok kelimenin olabilirlik oranlarını birleştirerek çalışır.

Orta örnek: taksi ve tanık

Kahneman ve Tversky'nin ünlü bir probleminde bir şehirde iki taksi şirketi vardır: taksilerin yüzde seksen beşi yeşil, yüzde on beşi mavidir. Gece bir taksi bir kazaya karışıp kaçar. Bir tanık taksinin mavi olduğunu söyler. Mahkeme, tanığın o gece koşullarında renkleri yüzde seksen doğrulukla ayırt edebildiğini belirler. Taksinin gerçekten mavi olma olasılığı nedir? Sezgi çoğu zaman yüzde seksen der. Bayes Güncellemesi ve Taban Oranı'nı uygulayalım. Yüz kaza düşünelim: 15'inde taksi mavi, tanık bunların 12'sinde "mavi" der; 85'inde taksi yeşil, tanık bunların yüzde yirmisinde, yani 17'sinde yanılıp "mavi" der. "Mavi" denen 29 durumun 12'sinde taksi gerçekten mavidir: yaklaşık yüzde 41. Tanığın sözü önemli bir kanıttır; olasılığı yüzde on beşten yüzde kırk bire çıkarmıştır. Ama tek başına, taksinin mavi olduğunu "büyük olasılıkla" söylemeye yetmez. Tanıklık dersinde gördüğümüz yetkinlik ölçütü burada bir sayıya dönüşür; ve o sayı, taban oranı hesaba katılmadan yorumlanamaz.

Gerçek hayat örneği: ikinci görüş

Mamografi sonucu pozitif çıkan kadına dönelim. Hekimi ona hemen bir tedavi başlatmak yerine, ek bir inceleme istiyor. Bayes Güncellemesi ve Taban Oranı bu kararın neden akılcı olduğunu gösterir. İlk sonuçtan sonra hastalık olasılığı yaklaşık yüzde 7,8'dir: ciddiye alınması gereken ama tanı koymaya yetmeyen bir olasılık. Ana anlatımda hesapladığımız gibi, ilkinden bağımsız ve aynı güçte ikinci bir pozitif sonuç, olasılığı yaklaşık yüzde 41'e çıkarır. Gerçek tıbbi uygulamada ikinci adım çoğu zaman farklı ve daha ayırt edici bir incelemedir, örneğin bir doku örneğinin incelenmesi; böyle bir incelemenin olabilirlik oranı çok daha yüksektir ve sonucu olasılığı kesinliğe çok daha yaklaştırır. Bu örnek, tarama testlerinin neden "tanı" değil "ilk adım" olarak tasarlandığını gösterir: düşük taban oranlı bir durumda, ilk pozitif sonucun görevi, olasılığı daha ayırt edici bir incelemeyi haklı kılacak düzeye çıkarmaktır. Bu hesabı bilen bir hasta, pozitif bir sonuç karşısında ne gereksiz paniğe kapılır ne de sonucu önemsiz sayar.

Vakaya dönüş

Ego tükenmesi hikâyesine Bayesçi bir gözle bakalım. Ana anlatımdaki örnek sayılarla, bir alanda anlamlı bir sonucun doğru olma olasılığı yüzde altmış dört olsun. Bu, ilk çalışmaların parlak sonuçlarından sonra ego tükenmesi hipotezine verilebilecek makul bir güven gibi görünür. Şimdi, 2016'daki gibi büyük, önceden kayıtlı ve gücü yüksek bir tekrar çalışmasının sonuç bulamadığını düşünelim. Bu çalışmanın gücü yüzde doksan olsun: etki gerçekse, onu yüzde doksan olasılıkla yakalar, yani sonuç bulamama olasılığı yüzde ondur. Etki yoksa, sonuç bulamama olasılığı yüzde doksan beştir.

Olabilirlik oranı, "etki gerçek" hipotezi için 0,10 bölü 0,95, yaklaşık 0,105'tir; kanıt hipotezi zayıflatır. Önsel oran 0,64 bölü 0,36, yaklaşık 1,78'dir. Sonsal oran: 1,78 çarpı 0,105, yaklaşık 0,19. Olasılık: 0,19 bölü 1,19, yaklaşık yüzde 16. Tek bir güçlü tekrar çalışması, güveni yüzde altmış dörtten yüzde on altıya düşürür. Bu sayılar gerçek ego tükenmesi literatürünün sayıları değildir; ama mantığı gösterir: önceki pek çok küçük ve düşük güçlü çalışma, önseli yüksek gösterebilir; tek bir büyük ve dikkatle tasarlanmış çalışma ise, olabilirlik oranı güçlü olduğu için, bu önseli sert biçimde aşağı çekebilir. Bir sonraki dersin sorusu, bu tür hesapların neden yıllarca yapılmadığıdır.

Araç kartı: Bayes Güncellemesi ve Taban Oranı

Egzersiz

Bu egzersizin üçüncü parçası, sayılar kesin olmadığında da işe yarar. Gündelik bir durumda taban oranını tahmin etmek zorunda kalırsın; ama onu açıkça yazmak bile, sezginin atladığı adımı görünür kılar. Kesin olmayan bir sayı, hiç sorulmamış bir sorudan daha iyidir.

Mini test

1. Bayes kuralında önsel, olabilirlik ve sonsal olasılık neyi ifade eder?
2. Taban oranı ihmali nedir ve açılıştaki mamografi sorusunda nasıl ortaya çıkar?
3. Olabilirlik oranı nedir ve kanıtın gücü ile başlangıç noktası arasındaki ayrımı nasıl sağlar?
4. Bahis argümanı, inanç derecelerinin neden olasılık kurallarına uyması gerektiğini nasıl savunur?
5. Bir havalimanında, yolcuların on binde birinin yasaklı bir madde taşıdığını varsayalım. Tarayıcı, madde taşıyan birini yüzde doksan dokuz olasılıkla fark eder, taşımayan birinde ise yüzde bir olasılıkla yanlış alarm verir. Alarm çalan bir yolcunun gerçekten madde taşıma olasılığını hesapla.

Özet

• Bayes kuralı, önsel olasılığı, kanıtın olabilirliğini ve kanıtın toplam olasılığını birleştirerek sonsal olasılığı verir.
• Doğal frekanslar, olasılıkları sayılabilir insanlar olarak düşünerek hesabı sezgiye yaklaştırır; bin kişilik bir tablo, çoğu Bayesçi sorunu çözmeye yeter.
• Taban oranı ihmali, kanıtın gücüne odaklanıp durumun genel sıklığını unutmaktır; nadir durumlarda güçlü testler bile çok sayıda yanlış pozitif üretir.
• Olabilirlik oranı, kanıtın gücünü başlangıç noktasından ayırır; sonsal oran, önsel oran ile olabilirlik oranının çarpımıdır ve güncellemeler ardışık olarak birikir.
• Bayesçi epistemoloji, inanç derecelerinin olasılık kurallarına uyması ve koşullandırmayla güncellenmesi gerektiğini savunur; önsellerin kaynağı tartışmalıdır ama yeterli kanıt farklı önselleri birbirine yaklaştırır.
• Bayes Güncellemesi ve Taban Oranı, bir kanıt karşısında güveni adım adım hesaplar ve her hesabın iki yoldan kontrol edilmesini ister.

Flashcard'lar

Sonraki derse köprü

Bayesçi hesap, tek bir büyük ve dikkatle tasarlanmış tekrar çalışmasının, pek çok küçük çalışmanın yarattığı güveni nasıl sarsabileceğini gösterdi. Ama bu hesap, yıllarca neden yapılmadı? Neden bu kadar çok küçük ve düşük güçlü çalışma yayımlandı, neden sonuç bulamayanlar çekmecelerde kaldı, ve psikoloji başta olmak üzere pek çok alan bu duruma nasıl cevap verdi? Ders 5.7 modülü replikasyon kriziyle kapatacak; bilimin kendini nasıl düzelttiğini, önceden kayıt ve açık veri gibi yeni kurumsal araçları inceleyecek ve araç kutuna Çalışma Kalite Kontrol Listesi'ni ekleyecek.

Günlük sorusu: Son zamanlarda bir kanıt karşısında hemen emin olduğun bir durumu hatırla. O güveni verirken, benzer durumların genelde nasıl sonuçlandığını hiç sordun mu?

Tarihte bu tartışma

Thomas Bayes'in kuralı içeren çalışması, onun 1761'deki ölümünden sonra, arkadaşı Richard Price tarafından düzenlenip 1763'te yayımlandı. Fransız matematikçi Pierre-Simon Laplace, aynı fikri birkaç on yıl içinde bağımsız olarak ve çok daha genel bir biçimde geliştirdi ve olasılığı, bilginin eksikliği karşısında akılcı akıl yürütmenin bir aracı olarak kullandı. Yirminci yüzyılın başında, olasılığı yalnızca uzun dönemli sıklıklar olarak gören yaklaşım istatistikte egemen oldu ve Bayesçi yöntemler uzun süre geri planda kaldı. 1920'lerde Ramsey ve 1930'larda de Finetti, olasılığı inanç derecesi olarak yorumlayan öznel yaklaşımın temellerini attı. 1970'lerde Kahneman ve Tversky, insanların Bayesçi hesaplardan sistemli biçimde saptığını gösterdi; 1990'larda Gigerenzer, doğal frekanslarla sunulduğunda bu hataların belirgin biçimde azaldığını bildirdi. Bilgisayarların hesap gücü arttıkça, Bayesçi yöntemler yirmi birinci yüzyılda bilimin pek çok alanında yaygınlaştı.