Opsiyon fiyatlaması

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Kopyalama portföyünü, risk nötr olasılığı, Black–Scholes formülünü, opsiyon deltasını, ima edilen oynaklığı ve oynaklık çarpıklığını tanımlar.
• Uygulama — Tek dönemli bir binom modelinde bir alım opsiyonunun değerini hem kopyalama portföyüyle hem risk nötr olasılıklarla hesaplar, Black–Scholes formülüyle bir opsiyonu fiyatlar ve piyasa fiyatından ima edilen oynaklığı bulur.
• Analiz — Opsiyon fiyatının neden hisse senedinin beklenen getirisine bağlı olmadığını, oynaklığın opsiyon değerini neden artırdığını ve sürekli korunmanın kuramsal varsayımlarının gerçek piyasalarda nerede bozulduğunu çözümler.
• Değerlendirme — Opsiyon fiyatlarından çıkarılan olasılık dağılımlarına ve opsiyon getirilerinin ampirik davranışına dair bulgulara dayanarak, Black–Scholes modelinin bir fiyatlama aracı ve bir piyasa dili olarak gücünü ve sınırlarını değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bugün 100 lira eden bir hisseyi on iki ay sonra yine 100 liraya satın alabilme hakkı, bugün kaç lira eder? İlk akla gelen yol, hissenin vade sonundaki düzeyini tahmin etmek, opsiyonun o durumlarda ne getireceğini hesaplamak ve beklenen getiriyi uygun bir oranla bugüne indirgemektir. Bu yol, hisse senedi değerleme dersindeki yöntemin aynısıdır ve iki zorlukla karşılaşır: hissenin beklenen getirisini bilmek gerekir ve opsiyonun riski hisseninkinden çok farklı olduğu için hangi indirgeme oranının kullanılacağı belirsizdir.

1970'lerin başında Fischer Black, Myron Scholes ve Robert Merton, bu iki zorluğun da aşılabileceğini gösterdi. Fikirleri, bir önceki dersin alım–satım paritesindeki mantığın bir uzantısıydı: opsiyonun getirisi, hisse senedi ve borçtan kurulan bir sepetle birebir kopyalanabiliyorsa, opsiyonun fiyatı bu portföyün maliyetine eşit olmak zorundadır; aksi hâlde risksiz bir kâr fırsatı doğar. Bu kopyalama, hissenin beklenen getirisine hiç başvurmadan yapılabilir. Opsiyonun değeri yalnızca hissenin bugünkü fiyatına, kullanım fiyatına, vadeye, faize ve hissenin ne kadar dalgalandığına bağlıdır.

Bu sonuç, finansal iktisadın en etkili buluşlarından biri oldu. Opsiyon piyasaları, formülün yayımlanmasının hemen ardından hızla büyüdü; formül, opsiyon tüccarlarının ortak dili hâline geldi. Ama formülün kendi varsayımlarının, özellikle oynaklığın sabit olduğu varsayımının, piyasa fiyatlarıyla tutarlı olmadığı da zamanla ortaya çıktı. Bu ders, modelin mantığını kuruyor, formülü uyguluyor ve sonra piyasaların bu formülü nasıl kullandığını ve nerede ondan ayrıldığını ele alıyor.

Hikâye — bir formülün doğuşu

Black ve Scholes'un makalesi, yayımlanmadan önce birkaç dergi tarafından reddedildi; editörler, sonucun çok özel ve iktisadi içeriğinin sınırlı olduğunu düşünüyordu. 1973'te Journal of Political Economy'de yayımlandığında, aynı yıl Chicago'da ilk düzenli opsiyon borsası açıldı. Kısa süre içinde borsa tüccarları, formülün değerlerini hesaplayan cep hesap makineleri kullanmaya başladı.

Özetin ikinci yarısı, makalenin yalnızca bir opsiyon formülü olmadığını gösterir. Bir şirketin hisse senedi, şirket varlıkları üzerinde, kullanım fiyatı borç tutarı olan bir alım opsiyonu gibi düşünülebilir: varlıklar borcu aşarsa hissedarlar farkı alır, aşmazsa sınırlı sorumlulukları sayesinde kayıpları yatırdıklarıyla sınırlı kalır. Şirket tahvili ise risksiz bir tahvil eksi bir satım opsiyonudur. Bu bakış, kredi riskinin ölçülmesinde bugün de kullanılan modellerin temelini oluşturdu. Scholes ve Merton 1997'de Nobel iktisat ödülünü aldı; Black, ödülden önce, 1995'te hayatını kaybetmişti.

Kavram — kopyalamak ve olasılıkları ayarlamak

Bu iki kavram aynı fikrin iki yüzüdür. Kopyalama portföyü, opsiyonun fiyatını bir arbitraj argümanıyla belirler. Risk nötr olasılıklar ise aynı fiyatı bir beklenen değer hesabıyla verir: sanki bütün yatırımcılar riske kayıtsızmış ve bütün varlıklar risksiz faizi kazanıyormuş gibi davranarak hesap yapmak, doğru fiyatı verir. Bu, yatırımcıların gerçekten riske kayıtsız olduğu anlamına gelmez; yalnızca, kopyalama mümkün olduğunda, risk tercihlerinin opsiyon fiyatını dayanak varlığın fiyatı üzerinden zaten etkilemiş olduğu anlamına gelir.

Veri ve kanıt — fiyatlardan çıkarılan dünya

Black–Scholes modeli, hisse getirilerinin logaritmasının normal dağıldığını ve oynaklığın sabit olduğunu varsayar. Bu varsayımlar doğruysa, aynı vadeli ama farklı kullanım fiyatlı opsiyonların fiyatlarından çıkarılan oynaklıklar birbirine eşit olmalıdır. 1987 borsa çöküşünden sonra bu eşitlik belirgin biçimde bozuldu: düşük kullanım fiyatlı satım opsiyonları, modelin öngördüğünden çok daha pahalı fiyatlanmaya başladı. Mark Rubinstein, bu fiyatların ima ettiği olasılık dağılımını doğrudan çıkarmanın bir yolunu geliştirdi.

Rubinstein'ın yaklaşımı, Black–Scholes'un varsayımını, yani log-normal dağılımı, verilerden çıkarılan bir dağılımla değiştirir. Opsiyon fiyatlarının ima ettiği dağılım, büyük düşüşlere, log-normal bir fiyat dağılımının izin vereceğinin çok üstünde ağırlık verir; sol kuyruk kalındır. Bu, yatırımcıların 1987 çöküşünü yaşadıktan sonra ani düşüşlere karşı sigortaya daha fazla para ödemeye istekli olduğunu ya da bu tür düşüşlerin olasılığını daha yüksek gördüğünü gösterir.

Opsiyonların gerçekleşen getirileri de modelin basit biçiminin ötesinde bir şeyin fiyatlandığını düşündürür. Joshua Coval ve Tyler Shumway, opsiyon getirilerini varlık fiyatlama kuramının genel çerçevesi içinde inceledi.

Haftada yüzde 3'lük kayıp, piyasa betası sıfır olan, yani tek etkenli modele göre risksiz faizi kazanması gereken bir pozisyon için çok büyüktür. Bu pozisyonun sahibi, oynaklık arttığında kazanır; düzenli kaybı, oynaklık artışlarına karşı bir sigortanın primi gibidir. Oynaklığın kendisinin, piyasanın kötü dönemlerinde yükselen bir risk olduğu ve yatırımcıların ona karşı korunmak için ödeme yaptığı bulgusu, opsiyon fiyatlarındaki çarpıklığın da bir açıklamasıdır. İki bulgu, Black–Scholes'un sabit oynaklık varsayımının, fiyatlama mekaniği için kullanışlı ama riskin tam bir betimlemesi olarak eksik olduğunu gösterir.

Neden önemli? — sigorta, şirket değeri ve risk ölçümü

Opsiyon fiyatlaması, yalnızca borsadaki opsiyonların değerlenmesiyle sınırlı değildir. Yöneticilere verilen hisse opsiyonlarının maliyeti, şirket tahvillerinin kredi riski, mevduat sigortasının değeri, bir projeyi erteleme ya da genişletme esnekliğinin değeri ve bir emeklilik planının sunduğu asgari getiri garantisinin maliyeti, hepsi opsiyon fiyatlaması araçlarıyla hesaplanır. Opsiyon fiyatlarından çıkarılan ima edilen oynaklık ise piyasanın gelecekteki belirsizlik algısının günlük bir göstergesidir ve merkez bankalarından fon yöneticilerine kadar pek çok kurum tarafından izlenir.

Model

Bu bölümdeki hisse fiyatları, oynaklıklar ve faizler, opsiyon fiyatlamasının mekaniğini sade tutmak için seçilmiştir; belirli bir hissenin ya da piyasanın verisi değildir.

Çözümlü örnek — İki durumlu bir dünya

Bir hissenin fiyatı bugün 100 lira. Bir yıl sonra fiyat ya 120 liraya çıkacak ya da 80 liraya inecek. Bir yıllık risksiz faiz yüzde 5. Kullanım fiyatı 100 lira olan bir yıl vadeli alım opsiyonu, hisse 120 olursa 20 lira, 80 olursa sıfır öder. Bu opsiyon bugün ne kadar etmelidir?

Opsiyonun iki ödemesini, belirli miktarda hisse ile belirli tutarda borcu bir araya getirerek yeniden üretelim. Portföy, belirli bir miktar hisse ve belirli bir tutar borçtan oluşsun. Hisse 120 olduğunda portföyün değeri 20, 80 olduğunda sıfır olmalıdır. İki durum arasındaki fark, hissede 40, opsiyonda 20 liradır; bu yüzden portföy hisse başına 20 bölü 40, yani yarım hisse içermelidir. Yarım hisse, kötü durumda 40 lira eder; opsiyonun sıfır ödemesini kopyalamak için portföyün bu 40 lirayı borç olarak ödemesi gerekir. Bir yıl sonra 40 lira ödeyecek bir borcun bugünkü tutarı 40 bölü 1,05, yaklaşık 38,10 liradır.

Portföyün bugünkü maliyeti, yarım hissenin 50 lirası eksi 38,10 liralık borç, yani yaklaşık 11,90 liradır. İyi durumda yarım hisse 60 lira eder, 40 lira borç ödenir ve 20 lira kalır; kötü durumda yarım hisse 40 lira eder, borç ödenir ve hiçbir şey kalmaz. Portföy opsiyonun ödemelerini birebir kopyalar; bu yüzden opsiyonun fiyatı 11,90 lira olmalıdır.

Dikkat edilecek nokta, hesabın hiçbir yerinde hissenin 120'ye çıkma olasılığının kullanılmamasıdır. Olasılık yüzde 90 da olsa, yüzde 10 da olsa, opsiyonun fiyatı 11,90'dır. Yüksek olasılığı bilen yatırımcılar hisseyi zaten bugün daha pahalıya fiyatlamış olur; opsiyon, hissenin bugünkü fiyatından türetildiği için, bu bilgiyi ayrıca taşımaz.

Çözümlü örnek — Risk nötr kısayol

Aynı sonuca risk nötr olasılıklarla daha kısa yoldan ulaşılabilir. Hissenin beklenen getirisinin risksiz faize eşit olduğu bir dünya düşünelim. Bu dünyada hissenin bir yıl sonraki beklenen fiyatı 105 lira olmalıdır. Fiyat 120'ye çıkma olasılığı q ise, q çarpı 120 artı bir eksi q çarpı 80, 105'e eşit olmalıdır; buradan q, 25 bölü 40, yani 0,625 bulunur.

Opsiyonun bu dünyadaki beklenen ödemesi, 0,625 çarpı 20 artı 0,375 çarpı sıfır, yani 12,5 liradır. Bunu risksiz faizle indirgersek, 12,5 bölü 1,05, yaklaşık 11,90 lira buluruz; kopyalama portföyünün maliyetiyle aynı. Aynı yöntemle kullanım fiyatı 100 olan satım opsiyonu, yalnızca kötü durumda 20 lira ödediği için, 0,375 çarpı 20 bölü 1,05, yaklaşık 7,14 lira eder. Alım–satım paritesini kontrol edelim: 11,90 eksi 7,14, yani 4,76, hisse fiyatı 100 eksi kullanım fiyatının bugünkü değeri olan 95,24'e, yani 4,76'ya eşittir.

0,625'lik olasılık, gerçek dünyadaki olasılık değildir; riskin fiyatını içinde taşıyan bir hesap aracıdır. Gerçek olasılık, örneğin 0,7 olabilir ve hisse risksiz faizden daha yüksek bir beklenen getiri sunuyor olabilir. Risk nötr olasılıkla yapılan hesap, beklenen getiriyi ve risk primini ayrı ayrı bilmeden, ikisinin birlikte belirlediği fiyatı doğru verir.

Çözümlü örnek — Oynaklık değer katar

Şimdi hissenin bir yıl sonra ya 140'a çıkacağını ya da 60'a ineceğini varsayalım; beklenen getiri ne olursa olsun hisse daha oynaktır. Risk nötr olasılık, q çarpı 140 artı bir eksi q çarpı 60, 105'e eşit olacak biçimde, 45 bölü 80, yani yaklaşık 0,5625'tir. Alım opsiyonu iyi durumda 40 lira öder; değeri 0,5625 çarpı 40 bölü 1,05, yaklaşık 21,43 liradır.

Oynaklık iki katına çıkınca opsiyonun değeri yaklaşık 11,90'dan 21,43'e yükselmiştir. Bunun nedeni opsiyonun asimetrik ödemesidir: fiyat çöküşü ne kadar derin olursa olsun opsiyonun kaybı sıfırla sınırlıdır, ama hisse ne kadar yükselirse opsiyon o kadar kazanır. Oynaklık, kötü durumların daha kötü, iyi durumların daha iyi olması demektir; opsiyon sahibi kötü durumların kötüleşmesinden etkilenmez, iyi durumların iyileşmesinden yararlanır. Bu yüzden, hisse senedinin kendisi için risk anlamına gelen oynaklık, opsiyon için değer anlamına gelir.

Çözümlü örnek — Black–Scholes formülüyle fiyat

Binom modelinde dönem sayısı artırılıp her dönem kısaltıldığında, hisse fiyatının olası değerleri sürekli bir dağılıma yaklaşır ve opsiyon fiyatı Black–Scholes formülüne yakınsar. Formüle göre bir Avrupa tipi alım opsiyonunun değeri, hisse fiyatının bir olasılıkla çarpımından, kullanım fiyatının bugünkü değerinin başka bir olasılıkla çarpımının çıkarılmasıyla bulunur. Bu olasılıklar, hisse fiyatının kullanım fiyatına oranına, vadeye, faize ve oynaklığa bağlı iki ara değerden standart normal dağılım tablosuyla hesaplanır.

Hisse fiyatı 100, kullanım fiyatı 100, vade bir yıl, sürekli bileşik risksiz faiz yüzde 5, yıllık oynaklık yüzde 20 olsun. Ara değerlerden ilki 0,35, ikincisi 0,15 çıkar; standart normal dağılımda bunlara karşılık gelen olasılıklar yaklaşık 0,637 ve 0,560'tır. Opsiyonun değeri, 100 çarpı 0,637 eksi 100 liranın sürekli bileşik bugünkü değeri olan yaklaşık 95,12 çarpı 0,560, yani yaklaşık 10,45 liradır. Alım–satım paritesinden aynı vade ve kullanım fiyatlı satım opsiyonu yaklaşık 5,57 lira eder.

Oynaklık yüzde 30 olsaydı alım opsiyonu yaklaşık 14,23, yüzde 40 olsaydı yaklaşık 18,02 lira ederdi. Kullanım fiyatı 120 olan bir alım opsiyonu, yüzde 20 oynaklıkla yaklaşık 3,25 lira, kullanım fiyatı 80 olan ise yaklaşık 24,59 lira eder. Formül, beş girdiyle opsiyonun değerini tek bir sayıya çevirir; bu girdilerden dördü gözlenebilir, yalnızca oynaklık tahmin edilmelidir. Bu yüzden iki tüccar aynı opsiyon için farklı fiyatlar önerdiğinde, aralarındaki anlaşmazlık neredeyse her zaman gelecekteki oynaklığa dairdir.

Çözümlü örnek — Delta ile korunma

Formüldeki ilk olasılık, yaklaşık 0,637, aynı zamanda opsiyonun deltasıdır: hisse fiyatı küçük bir miktar değiştiğinde opsiyon fiyatının ne kadar değiştiğini gösterir. Hisse 1 lira yükselirse opsiyon yaklaşık 0,64 lira yükselir. Binom örneğindeki yarım hisse, aynı kavramın tek dönemli karşılığıdır.

100 alım opsiyonu satmış bir banka, bu riskten korunmak için yaklaşık 64 hisse satın alır. Hisse fiyatı küçük bir miktar değiştiğinde, opsiyonlardaki kayıp hisselerdeki kazançla dengelenir. Ama delta, hisse fiyatı değiştikçe kendisi de değişir: hisse yükseldikçe alım opsiyonunun deltası bire yaklaşır, düştükçe sıfıra iner. Banka, korunmasını sürdürmek için hisse yükseldikçe daha fazla hisse alır, düştükçe satar. Bu sürekli ayarlama, kopyalama portföyünü zaman içinde yeniden kurmak demektir ve Black–Scholes formülü, bu ayarlamanın sürekli ve maliyetsiz yapılabildiğini varsayar.

Gerçekte ayarlamalar ancak aralıklarla yapılabilir ve her biri işlem maliyeti taşır. Ayrıca fiyat ani bir sıçramayla hareket ederse, banka ayarlama fırsatı bulamadan büyük bir kayba uğrayabilir. Bu yüzden opsiyon satıcıları, kuramsal fiyatın üzerine korunmanın kusurlu olmasının riskine karşı bir pay ekler; bu pay, ani düşüşlere karşı sigorta sağlayan satım opsiyonlarında özellikle büyüktür.

Çözümlü örnek — Fiyattan oynaklığa

Piyasada, kullanım fiyatı 100 ve vadesi bir yıl olan alım opsiyonu 12 liradan işlem görüyor; hisse 100, faiz yüzde 5. Formüle yüzde 20 oynaklık konduğunda değer 10,45, yüzde 30 konduğunda 14,23 çıkıyordu. 12 lirayı veren oynaklık bu ikisi arasında olmalıdır; deneme yanılmayla yaklaşık yüzde 24,1 bulunur.

Bu sayı, piyasanın opsiyon fiyatında «ima ettiği» oynaklıktır. Opsiyon tüccarları fiyatları çoğu zaman lira olarak değil, ima edilen oynaklık olarak konuşur: «bu opsiyon yüzde 24'ten işlem görüyor» demek, onun fiyatını bütün öbür girdilerden bağımsız bir ölçüye çevirir. Farklı kullanım fiyatı ve vadelerdeki opsiyonlar, bu ortak ölçüyle karşılaştırılabilir. Black–Scholes formülü, bu anlamda bir fiyatlama modelinden çok, bir dönüştürme aracı, piyasanın ortak dili hâline gelmiştir.

Çözümlü örnek — Çarpık bir yüz

Aynı vadeli opsiyonlar için ima edilen oynaklıkları kullanım fiyatına göre çizelim. Black–Scholes doğru olsaydı bu çizgi düz olurdu: bütün opsiyonlar aynı oynaklığı ima ederdi. Bir hisse endeksinde gerçekte gözlenen tablo ise, diyelim ki, kullanım fiyatı 80 olan satım opsiyonları için yüzde 32, 100 olanlar için yüzde 22, 120 olanlar için yüzde 17'dir: kullanım fiyatı düştükçe ima edilen oynaklık yükselir.

Bu örüntü, Rubinstein'ın gösterdiği gibi, opsiyon fiyatlarının büyük düşüşlere log-normal dağılımdan çok daha yüksek olasılık verdiğinin başka bir ifadesidir. Kullanım fiyatı düşük satım opsiyonları, yalnızca büyük düşüşlerde değer kazanır; bu opsiyonların pahalı olması, piyasanın bu tür düşüşleri ya daha olası gördüğünü ya da onlara karşı korunmak için yüksek bir prim ödemeye istekli olduğunu gösterir. Coval ve Shumway'in oynaklık riskinin fiyatlandığına dair bulgusu, ikinci açıklamayı destekler.

Modelin sınırları

Black–Scholes modeli, oynaklığın sabit olduğunu, fiyatların sıçramadan sürekli hareket ettiğini, sürekli ve maliyetsiz işlem yapılabildiğini, açığa satışın serbest olduğunu ve risksiz faizle sınırsız borçlanılabildiğini varsayar. Oynaklık dersinde gördüğümüz gibi oynaklık zamanla değişir ve kümelenir; fiyatlar zaman zaman büyük sıçramalar yapar; korunma ancak aralıklarla yapılabilir. Bu varsayımların bozulması, modelin fiyatlarını hatalı kılmaz, ama ima edilen oynaklığı, bu eksiklikleri telafi eden bir düzeltme parametresine dönüştürür. Ayrıca model Avrupa tipi, yani yalnızca vade sonunda kullanılabilen opsiyonlar içindir; vadeden önce kullanılabilen Amerikan tipi opsiyonlar, özellikle satım opsiyonları ve kâr payı ödeyen hisselerin alım opsiyonları, binom ağaçları gibi sayısal yöntemlerle fiyatlanır. Son olarak, kopyalama argümanı dayanak varlığın serbestçe alınıp satılabildiğini varsayar; dayanak varlık bir endeks gibi doğrudan işlem görmüyorsa ya da açığa satışı yasaklanmışsa, kopyalama ancak yaklaşık olarak yapılabilir ve fiyatlar arbitraj ilişkilerinden daha geniş bir bant içinde sapabilir. Yüksek enflasyonlu ve faizlerin hızla değiştiği ekonomilerde, sabit faiz varsayımı da ayrıca dikkat ister.

Teknik

Binom modelinden sürekli zamana

Tek dönemli binom modeli, birçok döneme genişletilebilir. Her dönemde hisse belirli bir oranda yükselir ya da düşer; dönem sayısı arttıkça olası fiyatların dağılımı, John Cox, Stephen Ross ve Mark Rubinstein'ın 1979'da gösterdiği gibi, uygun parametre seçimiyle log-normal dağılıma yaklaşır ve binom fiyatı Black–Scholes fiyatına yakınsar. Çok dönemli ağaçta opsiyon, vade sonundan geriye doğru çözülür: her düğümde opsiyonun değeri, sonraki iki düğümdeki değerlerin risk nötr beklentisinin bir dönem indirgenmesiyle bulunur. Bu yöntem, Amerikan tipi opsiyonlarda her düğümde erken kullanımın değerini de karşılaştırmaya izin verdiği için uygulamada çok yaygındır.

Kısmi diferansiyel denklem ve risksiz portföy

Black ve Scholes'un türetmesi, bir opsiyon ile onun deltası kadar hisseden oluşan bir portföyün, çok kısa bir zaman aralığında risksiz olduğunu gösterir. Risksiz bir portföyün getirisi, arbitraj olmaması için risksiz faize eşit olmalıdır. Bu koşul, opsiyon fiyatının zamana ve hisse fiyatına göre türevlerini birbirine bağlayan bir kısmi diferansiyel denklem verir. Denklemde hissenin beklenen getirisi yer almaz; yalnızca risksiz faiz ve oynaklık yer alır. Vade sonundaki ödeme koşuluyla bu denklemin çözümü Black–Scholes formülüdür. Merton, aynı sonucu daha genel varsayımlar altında ve sürekli zamanlı stokastik süreçlerin matematiğiyle sağlamlaştırdı.

Duyarlılıklar

Opsiyon fiyatının girdilerine duyarlılıkları, risk yönetiminde Yunan harfleriyle anılır. Delta, dayanak fiyata birinci dereceden duyarlılıktır. Gama, deltanın dayanak fiyatla değişme hızıdır; vadeye yakın ve kullanım fiyatı dayanak fiyata yakın opsiyonlarda büyüktür ve korunmanın ne sıklıkta ayarlanması gerektiğini belirler. Vega, opsiyon fiyatının oynaklığa duyarlılığıdır; vade uzadıkça artar. Teta, zaman geçtikçe opsiyonun değerinin azalma hızıdır; opsiyon sahibi her gün, oynaklığın sağlayacağı olası kazanç karşılığında bir miktar değer kaybeder. Bu duyarlılıklar arasında yakın bir ilişki vardır: delta açısından korunmuş bir portföyde, gamadan elde edilen kazanç, tetadan kaynaklanan kayıpla, gerçekleşen oynaklık ima edilen oynaklığa eşitse, ortalamada dengelenir.

Oynaklık risk primi

Coval ve Shumway'in bulgusu, ima edilen oynaklığın ortalamada gerçekleşen oynaklıktan yüksek olduğu bir dünyayla tutarlıdır. Bir opsiyon satıcısı, delta açısından korunarak opsiyon sattığında, ima edilen oynaklık ile gerçekleşen oynaklık arasındaki farkı kazanır; bu fark ortalamada pozitifse, opsiyon satmak düzenli bir gelir sağlar. Ama bu gelir, oynaklığın sıçradığı dönemlerde, yani piyasaların düştüğü kriz anlarında büyük kayıplara dönüşür. Oynaklık risk primi, bu kriz riskinin karşılığıdır. Bu yüzden düzenli opsiyon satışına dayanan stratejiler, uzun sakin dönemlerde istikrarlı görünüp nadir ama büyük kayıplar yaşayan stratejilerdir; geçmiş performansları, kuyruk risklerini olduğundan küçük gösterir. Bu stratejileri değerlendirirken ortalama getiri ve standart sapma yerine, en kötü aylardaki kayıplara ve kriz dönemlerinin simülasyonlarına bakmak gerekir; aksi hâlde Sharpe oranı gibi ölçüler, birikmekte olan riski ödüllendirir.

İma edilen dağılımlar

Rubinstein'ın yaklaşımının temelinde, Douglas Breeden ve Robert Litzenberger'in 1978'de gösterdiği bir sonuç vardır: farklı kullanım fiyatlı alım opsiyonlarının fiyatlarının kullanım fiyatına göre ikinci türevi, vade sonunda dayanak fiyatın her düzeyine karşılık gelen risk nötr olasılık yoğunluğunu verir. Çok sayıda kullanım fiyatında opsiyon fiyatı gözlenebiliyorsa, piyasanın vade sonu için ima ettiği bütün olasılık dağılımı çıkarılabilir. Bu dağılımlar merkez bankaları ve araştırmacılar tarafından, örneğin bir seçim ya da politika kararı öncesinde piyasanın belirsizlik algısını ve kuyruk risklerini izlemek için kullanılır. Ama bunlar risk nötr dağılımlardır; gerçek olasılıklarla risk primlerini birlikte içerir ve büyük düşüşlere verilen yüksek ağırlığın ne kadarının olasılık, ne kadarının risk primi olduğu ayrıca belirlenmelidir.

Oynaklık endeksleri

Opsiyon fiyatlarından, belirli bir vade için piyasanın ima ettiği oynaklığı tek bir sayıda özetleyen endeksler hesaplanır. Bu endeksler, farklı kullanım fiyatlarındaki opsiyonların fiyatlarını model varsayımlarına daha az dayanan bir yöntemle birleştirir. Piyasalar düştüğünde bu endeksler genellikle sert biçimde yükselir; bu yüzden «korku endeksi» olarak da anılır. Endeksin düzeyi, hem beklenen oynaklığı hem de oynaklık risk primini yansıttığı için, gelecekteki gerçekleşen oynaklığın sapmasız bir tahmini değildir; ortalamada gerçekleşen oynaklığın üzerinde seyreder.

Şirket yükümlülükleri ve kredi riski

Black ve Scholes'un özetinde vurgulanan şirket yükümlülükleri yorumu, Merton'ın 1974'teki çalışmasıyla bir kredi riski modeline dönüştü. Şirketin varlıklarının değeri bir rastgele süreç izliyor ve borç belirli bir tarihte ödenecekse, hisse senedi varlıklar üzerinde bir alım opsiyonu, tahvil ise risksiz tahvil eksi bir satım opsiyonudur. Varlıkların değeri ve oynaklığı tahmin edildiğinde, şirketin temerrüt olasılığı ve tahvil faiz farkı hesaplanabilir. Bu yaklaşım, kredi derecelendirme ve banka risk yönetiminde kullanılan temerrüt olasılığı modellerinin temelini oluşturur. Tahvil değerleme dersinde gördüğümüz kredi faiz farkı bilmecesi, bu modellerin, özellikle notu en iyi şirketlerde, gözlenen faiz farklarından daha düşük farklar öngörmesinin bir sonucudur.

Sıçramalar ve stokastik oynaklık

Oynaklık çarpıklığını açıklamak için Black–Scholes'un varsayımlarını gevşeten iki ana model ailesi geliştirilmiştir. Birincisinde, Merton'ın 1976'da önerdiği gibi, fiyat sürekli hareketin yanında zaman zaman ani sıçramalar da yapar; sıçramaların aşağı yönlü olma eğilimi, düşük kullanım fiyatlı satım opsiyonlarını pahalandırır. İkincisinde oynaklığın kendisi rastgele bir süreç izler ve fiyatlar düştüğünde yükselme eğilimindedir; oynaklık dersindeki kaldıraç etkisinin sürekli zamandaki karşılığıdır. Bu modellerde opsiyonlar artık yalnızca dayanak varlık ve borçlanmayla birebir kopyalanamaz; sıçrama ve oynaklık riskinin fiyatı ayrıca belirlenmelidir. Coval ve Shumway'in bulduğu oynaklık risk primi, bu ek risklerin piyasada gerçekten fiyatlandığına işaret eder. Modellerin karmaşıklığı arttıkça piyasa fiyatlarına uyumları iyileşir, ama parametrelerin tahmini ve sonuçların yorumu zorlaşır.

Yönetici opsiyonları

Şirketler yöneticilerine, belirli bir süre sonra şirket hisselerini belirli bir fiyattan alma hakkı veren opsiyonlar verir. Amaç, yöneticinin çıkarını hissedarlarınkiyle uyumlu kılmaktır: hisse fiyatı yükseldikçe yöneticinin serveti artar. Ama opsiyonun asimetrik yapısı, yöneticiye riskli projeleri tercih etme teşviki de verir: oynaklık opsiyonun değerini artırdığı için, kayıpların yöneticiye sınırlı, kazançların sınırsız yansıdığı bir yapıda daha fazla risk almak cazip olabilir. Ayrıca bu opsiyonların şirkete maliyeti, uzun süre muhasebe kayıtlarında görünmemiş ve tartışmalara yol açmıştır; bugün birçok ülkede opsiyon fiyatlama modelleriyle değerlenip gider olarak yazılmaları zorunludur. Yönetici opsiyonlarının değerlemesi, yöneticinin opsiyonu satamaması ve erken kullanma eğilimi nedeniyle borsadaki opsiyonlardan daha karmaşıktır. Yönetici, servetinin büyük kısmı zaten şirkete bağlı olduğu için opsiyona, onu piyasada alıp satabilen bir yatırımcının vereceğinden daha düşük bir değer biçer; bu yüzden şirketin opsiyon için katlandığı maliyet, yöneticinin gözündeki değerini çoğu zaman aşar.

Reel opsiyonlar

Opsiyon fiyatlamasının mantığı finansal sözleşmelerin ötesine taşınabilir. Bir şirketin bir yatırımı erteleme, genişletme, küçültme ya da terk etme esnekliği, birer opsiyon gibi değer taşır. Bir maden şirketinin işletilmeyen bir sahası, emtia fiyatı yükseldiğinde açılabilecek bir alım opsiyonu gibidir; değeri, emtia fiyatının oynaklığıyla artar. Bu bakış, net bugünkü değer kuralının, yatırımın ertelenmesinin ya da aşamalı yapılmasının değerini göz ardı ettiğinde neden yanıltıcı olabileceğini açıklar. Ama reel varlıklar genellikle piyasada işlem görmez ve kopyalama portföyü kurulamaz; bu yüzden reel opsiyon değerlemesi, finansal opsiyonlardakinden çok daha fazla varsayım gerektirir ve sonuçları daha belirsizdir. Yine de reel opsiyon düşüncesi, sayısal sonuç vermediği durumlarda bile yararlı bir sezgi sunar: belirsizlik yüksekken geri dönüşü olmayan bir yatırımı beklemek değerlidir ve bu değer, yatırımın bugünkü net bugünkü değeri pozitif olsa bile ertelemeyi akılcı kılabilir.

Uygulama

Özet kartı

1. Bir opsiyonun ödemeleri, hisseyle borcu birleştiren bir sepetle aynen üretilebiliyorsa, opsiyonun fiyatı bu portföyün maliyetine eşittir; bu fiyat hissenin beklenen getirisine değil, bugünkü fiyatına, kullanım fiyatına, vadeye, faize ve oynaklığa bağlıdır.
2. Risk nötr olasılıklar, beklenen ödemeyi risksiz faizle indirgeyerek aynı fiyatı verir; bunlar gerçek olasılıklar değil, riskin fiyatını içinde taşıyan hesap araçlarıdır. Oynaklık, opsiyonun asimetrik ödemesi nedeniyle değerini artırır.
3. Black ve Scholes, opsiyonlar ve dayanak hisselerle kesin kâr sağlayan portföyler kurulamaması ilkesinden kuramsal bir değerleme formülü türetti ve bunun hisse, tahvil ve hisse alım hakları gibi şirket yükümlülüklerine de uygulanabildiğini gösterdi; formülün deltası, korunma için gereken hisse miktarını verir.
4. Rubinstein, aynı anda gözlenen opsiyon fiyatlarından risk nötr olasılıkları ve onlarla tutarlı bir binom ağacını çıkarmanın yolunu gösterdi; bu dağılımlar, büyük düşüşlere log-normal dağılımın öngördüğünden fazla ağırlık verir ve oynaklık çarpıklığı olarak görülür.
5. Coval ve Shumway, endeks opsiyonu getirilerinin kuramın hafif varsayımlarla öngördüğü özellikleri taşıdığını, ama betası sıfır olan opsiyon bileşimlerinin haftada yaklaşık yüzde 3 kaybettirdiğini buldu; bu, oynaklık riskinin ayrıca fiyatlandığını düşündürür.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kopyalama portföyü ile risk nötr olasılık yaklaşımının neden aynı opsiyon fiyatını verdiğini açıklayın.
2. (Çıktı 2) Bir hisse bugün 50 lira; bir yıl sonra ya 60 ya da 40 lira olacak. Risksiz faiz yüzde 10. Kullanım fiyatı 50 olan bir yıl vadeli alım opsiyonunun değerini kopyalama portföyüyle ve risk nötr olasılıkla hesaplayın.
3. (Çıktı 2) Aynı koşullarda kullanım fiyatı 50 olan satım opsiyonunun değeri nedir? Alım–satım paritesiyle kontrol edin.
4. (Çıktı 2) Model bölümündeki Black–Scholes örneğinde opsiyonun piyasa fiyatı 16 lira olsaydı, ima edilen oynaklık yüzde 30'un üstünde mi altında mı olurdu? Neden?
5. (Çıktı 3) Bir hissenin beklenen getirisinin yükseldiğine dair yeni bir analist raporu yayımlandığında, hisse fiyatı değişmeden kalırsa alım opsiyonunun değeri değişir mi? Kopyalama argümanıyla açıklayın.
6. (Çıktı 4) Bir yatırım bülteninde endeks satım opsiyonları satmanın «her ay düzenli gelir getiren düşük riskli bir strateji» olduğu yazıyor ve iddia son beş yılın kazançlarıyla destekleniyor. Bu dersin kaynaklarından yararlanarak bu stratejinin riskini değerlendirin.

Cevaplar

1. Kopyalama portföyü, opsiyonun her durumdaki ödemesini hisse ve borçlanmayla birebir üretir; arbitraj yoksa opsiyonun fiyatı bu portföyün maliyetine eşittir. Risk nötr yaklaşım, hissenin beklenen getirisinin risksiz faize eşit olduğu bir dünyanın olasılıklarını, hisse fiyatından geriye doğru çıkarır ve opsiyonun bu olasılıklarla beklenen ödemesini risksiz faizle indirger. İki yaklaşım aynı fiyatı verir, çünkü risk nötr olasılıklar, kopyalama portföyündeki hisse ve borç miktarlarının matematiksel bir yeniden yazımıdır: her ikisi de opsiyonun değerini yalnızca hissenin bugünkü fiyatına ve risksiz faize bağlar.
2. İki durum arasındaki fark hissede 20, opsiyonda 10 liradır; portföy yarım hisse içerir. Kötü durumda yarım hisse 20 lira eder; bunu ödeyecek borcun bugünkü tutarı 20 bölü 1,1, yaklaşık 18,18 liradır. Opsiyonun değeri 25 eksi 18,18, yaklaşık 6,82 liradır. Risk nötr olasılık, q çarpı 60 artı bir eksi q çarpı 40, yani 55'e eşit olmalıdır: q yüzde 75'tir. Opsiyonun değeri 0,75 çarpı 10 bölü 1,1, yaklaşık 6,82 liradır.
3. Satım opsiyonu yalnızca kötü durumda 10 lira öder; değeri, 10 liranın dörtte birinin faizle bugüne çekilmesiyle yaklaşık 2,27 liradır. Parite kontrolü: alım eksi satım, 6,82 eksi 2,27, yani 4,55; öbür tarafta 50 liralık hisse eksi 50 liralık kullanım fiyatının bugünkü karşılığı olan 45,45, yani yine 4,55. Eşitlik sağlanır.
4. Yüzde 30 oynaklıkla değer yaklaşık 14,23 liraydı. Opsiyon değeri oynaklıkla artan bir fonksiyon olduğu için, 16 liralık bir fiyat yüzde 30'un üstünde bir ima edilen oynaklığa karşılık gelir; yüzde 40'ta değer 18,02 olduğuna göre, ima edilen oynaklık yüzde 30 ile 40 arasında, yaklaşık yüzde 34–35 civarındadır.
5. Hisse fiyatı değişmezse opsiyonun değeri değişmez. Opsiyon, hisse ve borçtan kurulan bir sepetle kopyalanabildiği için, değeri yalnızca bu portföyün maliyetine, yani hisse fiyatına, faize ve oynaklığa bağlıdır. Beklenen getiri formülde yer almaz; yeni bilgi ancak hissenin bugünkü fiyatını değiştirirse opsiyonu etkiler. Gerçekte böyle bir rapor genellikle hisse fiyatını da etkiler ve opsiyon bu yolla değişir.
6. Endeks satım opsiyonu satmak, düzenli prim geliri sağlar, ama büyük bir düşüşte opsiyon sahiplerine ödeme yapma yükümlülüğü doğurur. Coval ve Shumway'in bulgusu, opsiyon fiyatlarında oynaklık riskinin fiyatlandığını, yani opsiyon satıcılarının ortalamada bir prim kazandığını düşündürür; bu, beş yıllık kazançları açıklayabilir. Ama bu prim, nadir ama büyük kriz kayıplarının karşılığıdır: piyasa çöktüğünde oynaklık sıçrar, satım opsiyonlarının değeri hızla artar ve strateji yıllarca biriktirdiğini kısa sürede kaybedebilir. Rubinstein'ın gösterdiği gibi piyasa büyük düşüşlere log-normal dağılımdan çok daha yüksek olasılık verir; bu kuyruk riski, sakin bir dönemin verisinde görünmez. Strateji bu yüzden düşük riskli değil, düşük oynaklıklı ama yüksek kuyruk riskli bir stratejidir.

İleri okuma

• Fischer Black, Myron Scholes (1973). «The Pricing of Options and Corporate Liabilities». Journal of Political Economy 81(3). Arbitraj argümanıyla opsiyon değerleme formülü ve şirket yükümlülüklerine uygulanması.
• Mark Rubinstein (1994). «Implied Binomial Trees». Journal of Finance 49(3). Opsiyon fiyatlarından risk nötr dağılımların çıkarılması.
• Joshua D. Coval, Tyler Shumway (2001). «Expected Option Returns». JF 56(3). Opsiyon getirileri ve fiyatlanan oynaklık riski.

Sonraki derse köprü

Bu dersin bütün sonuçları, piyasada arbitraj fırsatı bırakmayan, bilgiyi işleyen ve riskleri tutarlı biçimde fiyatlayan yatırımcılar varsaydı. Ama oynaklık çarpıklığı ve opsiyon getirileri gibi bulgular, yatırımcıların büyük kayıplara ve küçük olasılıklara nasıl tepki verdiği sorusunu açık bıraktı. İnsanlar kayıpları kazançlardan daha ağır mı tartıyor, küçük olasılıkları abartıyor mu, kendi bilgilerine fazla mı güveniyor? Bu tür eğilimlerin varlık fiyatlarını ve yatırımcıların portföylerini nasıl etkilediği, davranışsal finansın konusudur.