Portföy teorisi

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Etkin sınırı, en küçük varyanslı portföyü, Sharpe oranını, sermaye tahsis doğrusunu, Tobin ayrım teoremini ve ev yanlılığını tanımlar.
• Uygulama — İki riskli varlıktan oluşan portföylerin beklenen getirisini ve standart sapmasını, en küçük varyanslı portföyün ağırlıklarını, risksiz bir varlık eklendiğinde teğet portföyü ve bir yatırımcının riskli portföye ayıracağı payı hesaplar.
• Analiz — Korelasyonun çeşitlendirme kazancını nasıl belirlediğini, varlık sayısı arttıkça portföy riskinin neden sıfıra değil bir tabana indiğini ve korelasyonların piyasa düşüşlerinde artmasının çeşitlendirmenin değerini nasıl etkilediğini çözümler.
• Değerlendirme — Uluslararası piyasalarda uç dönemlerdeki korelasyonlara, hanehalklarının portföy hatalarının refah maliyetine ve bireysel yatırımcıların yetersiz çeşitlendirmesine dair bulgulara dayanarak, ortalama–varyans kuramının yatırımcılara verdiği tavsiyenin gücünü ve sınırlarını değerlendirir.

Sezgi

Açılış

«Bütün yumurtaları aynı sepete koyma» öğüdü, finansal iktisattan çok önce de biliniyordu. Ama öğüdün kendisi bir şey söylemez: kaç sepet, her sepete kaç yumurta, hangi sepetler? Bir sepete tamamen güvenmek tehlikeliyse, yumurtaları rastgele dağıtmak yeterli midir? İki sepet de aynı arabadaysa ve araba devrilirse, iki sepete bölmenin bir yararı var mıdır?

1950'lerin başında Harry Markowitz bu soruları ilk kez kesin bir dille sordu. Yatırımcıların yalnızca beklenen getiriyi değil, riski de önemsediğini, riskin ise varlıkların tek tek oynaklığından çok birlikte nasıl hareket ettiklerine bağlı olduğunu gösterdi. Tek başına bakıldığında fırtınalı görünen iki hisse, farklı günlerde kazandırıp kaybettiriyorsa, ikisinden oluşan bir sepet şaşırtıcı ölçüde sakin seyredebilir. Bir varlığın riskini, tek başına değil, portföye kattığıyla ölçmek gerekir.

Bu fikir, yatırım yönetimini bir sezgi sanatından bir hesap yöntemine dönüştürdü ve bugün emeklilik fonlarından bireysel yatırım hesaplarına kadar her yerde kullanılır. Bu ders, ortalama–varyans kuramının temel sonuçlarını kuruyor ve sonra kuramın gerçek yatırımcılar ve gerçek piyasalarla karşılaştığı üç sınavı ele alıyor: korelasyonların kriz anlarında nasıl davrandığı, hanehalklarının ne ölçüde çeşitlendirdiği ve çeşitlendirmenin yetersizliğinin bedeli.

Hikâye — kötü günlerde birlikte

Uluslararası çeşitlendirmenin cazibesi, farklı ülkelerin borsalarının birbirinden kısmen bağımsız hareket etmesine dayanır. Bir ülkenin piyasası düşerken öbürü yükselebilir ya da daha az düşebilir. Ama yatırımcılar ve araştırmacılar uzun süredir bir şeyden kuşkulanıyordu: dünya piyasaları sakinken bağımsız görünen borsalar, büyük çöküşlerde birlikte düşüyor gibiydi. Çeşitlendirme, en çok gerektiği anda çalışmıyor olabilir miydi?

Bu kuşkuyu sınamak sanıldığından zordu. Oynaklık arttığında ölçülen korelasyonun mekanik olarak yükselebileceği bilinen bir istatistik tuzağıydı: gerçek korelasyon değişmese bile, büyük hareketlerin yaşandığı dönemlerde hesaplanan korelasyonlar daha yüksek çıkabiliyordu. François Longin ve Bruno Solnik, bu tuzağı aşmak için uç değerlerin istatistiğine başvurdu.

Bu bulgu, çeşitlendirme kuramının en rahatsız edici gerçeklerinden birini ortaya koyar. Normal zamanlarda ölçülen korelasyonlar, çeşitlendirmenin sağladığı korumayı abartabilir; çünkü büyük düşüşlerde piyasalar birbirine yaklaşır. Sonucun öbür yüzü de aynı ölçüde öğreticidir: korelasyon yükseliş piyasalarında artmıyordu, yani bu asimetri basit bir istatistik yanılsaması değil, piyasaların gerçek bir özelliğiydi.

Kavram — sınır ve oran

Bu iki kavram, kuramın iki adımını özetler. Önce yalnızca riskli varlıklarla en iyi seçenekler belirlenir: etkin sınır. Sonra risksiz bir varlık eklendiğinde, bu sınır üzerindeki tek bir portföy öne çıkar: Sharpe oranı en yüksek olan. Yatırımcılar riskten ne kadar kaçınırlarsa kaçınsınlar, bu tek portföyü risksiz varlıkla farklı oranlarda karıştırarak en iyi sonuca ulaşır.

Veri ve kanıt — gerçek hanehalkları ne yapıyor?

Kuram güçlü bir tavsiye verir: herkes iyi çeşitlendirilmiş bir riskli portföy tutmalı ve riskini yalnızca bu portföy ile risksiz varlık arasındaki dağılımla ayarlamalıdır. Gerçek hanehalkları ne yapıyor? Laurent Calvet, John Campbell ve Paolo Sodini, İsveç'teki bütün hanehalklarının ayrıntılı servet verilerini kullanarak bu soruyu sordu.

Bu sonuç, «yatırımcılar kötü çeşitlendirir» genellemesini yumuşatır: İsveç'te hanehalklarının çoğu, fonlar aracılığıyla oldukça iyi çeşitlendirilmiş portföyler tutuyordu. Ama tablo her yerde aynı değildir. William Goetzmann ve Alok Kumar, ABD'de hisse senetlerini doğrudan tutan bireysel yatırımcıların portföylerini inceledi.

İki çalışma birlikte okunduğunda, çeşitlendirme davranışının yatırım biçimine bağlı olduğu görülür: fon aracılığıyla yatırım yapanlar kolayca çeşitlendirir, hisseleri tek tek seçenler ise çoğu zaman az sayıda ve birbirine benzeyen hisselerde yoğunlaşır. Goetzmann ve Kumar'ın bulgusunun son cümlesi de önemlidir: yetersiz çeşitlendirmenin her durumu bir hata değildir; bazı yatırımcılar gerçekten üstün bilgiye sahip olduğu için yoğunlaşır.

Neden önemli? — tasarruftan emekliliğe

Bireysel emeklilik sistemindeki fon seçimleri, sigorta şirketlerinin yatırım politikaları, bir ülkenin döviz rezervlerinin dağılımı ve şirketlerin proje seçimleri, aynı soruya bağlıdır: risk ile getiri arasında nasıl bir denge kurulmalı ve risk en etkin biçimde nasıl azaltılmalı? Portföy teorisi bu sorulara sayısal bir çerçeve sunar; kuramın sınırlarını bilmek ise bu çerçevenin ne zaman yanıltabileceğini anlamaya yarar.

Model

Bu bölümdeki beklenen getiriler, oynaklıklar ve korelasyonlar, portföy hesaplarını izlemek için seçilmiş yuvarlak yıllık değerlerdir; belirli hisseler ya da fonlar için tahmin değildir. Hesaplar reel getirilerle düşünülmelidir.

Çözümlü örnek — İki varlık, bir portföy

İki riskli varlık düşünelim. A varlığının beklenen getirisi yüzde 10, standart sapması yüzde 20; B varlığının beklenen getirisi yüzde 6, standart sapması yüzde 10; ikisinin getirileri arasındaki korelasyon 0,2. Paranın yarısı A'ya, yarısı B'ye yatırılırsa portföyün beklenen getirisi, iki getirinin ortalaması olan yüzde 8'dir.

Portföyün riski ise basit bir ortalama değildir. Portföy varyansı, her varlığın ağırlığının karesi çarpı kendi varyansı ile iki varlığın ağırlıklarının çarpımının iki katı çarpı kovaryansın toplamıdır. A'nın varyansı 0,04, B'ninki 0,01, kovaryansları 0,2 çarpı 0,2 çarpı 0,1, yani 0,004. Yarı yarıya bir portföyde varyans 0,25 çarpı 0,04 artı 0,25 çarpı 0,01 artı 2 çarpı 0,25 çarpı 0,004, yani 0,0145'tir; standart sapma yaklaşık yüzde 12,0. İki standart sapmanın ortalaması yüzde 15 olurdu; çeşitlendirme riski üç puan azaltmıştır.

Çözümlü örnek — Korelasyonun rolü

Aynı yarı yarıya portföyün riskini farklı korelasyonlar için hesaplayalım. Korelasyon 1 olsaydı, yani iki varlık her zaman birlikte hareket etseydi, portföyün standart sapması iki standart sapmanın ortalaması olan yüzde 15 olurdu; çeşitlendirmenin hiçbir yararı olmazdı. Korelasyon 0,2 iken yüzde 12,0'dır. Korelasyon −1 olsaydı, yani biri yükselirken öbürü tam olarak düşseydi, standart sapma yüzde 5'e inerdi; uygun ağırlıklarla risk tamamen ortadan kaldırılabilirdi.

Bu hesap, çeşitlendirmenin gücünün tamamen korelasyondan geldiğini gösterir. Varlıklar ne kadar az birlikte hareket ederse, birinin kötü günü öbürünün iyi ya da sıradan günüyle dengelenir. Longin ve Solnik'in bulgusu bu yüzden önemlidir: korelasyon düşüş dönemlerinde yükseliyorsa, kötü günlerde portföy riski, normal zamanlarda ölçülen korelasyonun ima ettiğinden büyük olur.

Çözümlü örnek — En az riskli karışım

Hangi A payı portföyün riskini en aza indirir? İki varlıklı durumda bu pay, B'nin varyansı eksi kovaryansın, iki varyansın toplamı eksi iki kovaryansa bölünmesiyle bulunur: 0,01 eksi 0,004, yani 0,006, bölü 0,04 artı 0,01 eksi 0,008, yani 0,042. Sonuç yaklaşık 0,143'tür: paranın yüzde 14,3'ü A'ya, yüzde 85,7'si B'ye.

Bu portföyün beklenen getirisi yaklaşık yüzde 6,6, standart sapması yaklaşık yüzde 9,6'dır. Dikkat çekici olan, standart sapmanın B'nin tek başına yüzde 10'luk riskinin altında olmasıdır. Daha riskli A'dan küçük bir pay eklemek, hem beklenen getiriyi artırmış hem de riski azaltmıştır. Tamamen B'de kalan bir yatırımcı, etkin olmayan bir portföy tutuyordur: hem daha az riskli hem daha getirili bir alternatif vardır.

Çözümlü örnek — Sınırı çizmek

A'nın payını sıfırdan bire kadar değiştirerek portföylerin beklenen getiri ve risklerini tablolayalım. Pay sıfırken getiri yüzde 6, risk yüzde 10; pay yüzde 14,3 iken getiri yüzde 6,6, risk yüzde 9,6; pay yüzde 25 iken getiri yüzde 7, risk yaklaşık yüzde 9,8; yarı yarıyayken getiri yüzde 8, risk yüzde 12,0; pay yüzde 75 iken getiri yüzde 9, risk yaklaşık yüzde 15,7; tamamen A'dayken getiri yüzde 10, risk yüzde 20.

Bu noktalar bir grafiğe döküldüğünde, sola doğru kıvrılan bir eğri ortaya çıkar. Eğrinin en sol noktası en küçük varyanslı portföydür. Bu noktanın altında kalan kısım etkin değildir: oradaki her portföy için, aynı riskle daha yüksek getiri sağlayan bir portföy eğrinin üst kısmında vardır. Etkin sınır, en küçük varyanslı portföyden başlayıp yukarıya doğru uzanan kısımdır. Hangi noktanın seçileceği, yatırımcının riske karşı tutumuna bağlıdır; ama hiçbir rasyonel yatırımcı alt kısımdan seçim yapmaz.

Çözümlü örnek — Risksiz varlık ve teğet portföy

Şimdi yüzde 3 reel getirili risksiz bir varlık, örneğin enflasyona endeksli kısa vadeli bir devlet tahvili ekleyelim. A'nın Sharpe oranı, yüzde 10 eksi yüzde 3, bölü yüzde 20, yani 0,35; B'ninki yüzde 6 eksi yüzde 3, bölü yüzde 10, yani 0,30'dur. Ama A ile B'nin bazı karışımları, ikisinden de yüksek bir Sharpe oranına sahiptir.

En yüksek Sharpe oranını veren karışım, kovaryans matrisinin tersi ile fazla getiriler vektörünün çarpımından bulunan ağırlıklarla hesaplanır. Bu örnekte A'ya yaklaşık yüzde 38,7, B'ye yaklaşık yüzde 61,3 ağırlık verilir. Bu portföyün beklenen getirisi yaklaşık yüzde 7,5, standart sapması yaklaşık yüzde 10,8 ve Sharpe oranı yaklaşık 0,42'dir. Risksiz varlıktan çizilen bir doğru, etkin sınıra tam bu noktada teğet olur; bu yüzden bu portföye teğet portföy denir.

Risksiz varlık ile teğet portföyü karıştıran bütün portföyler bu doğrunun üzerindedir ve aynı Sharpe oranına sahiptir. Doğru, etkin sınırın kendisinden her noktada daha yukarıdadır, teğet noktası hariç: risksiz varlığın varlığında, en iyi riskli portföy herkes için aynıdır.

Çözümlü örnek — Kişisel tercih nereye girer?

Teğet portföy herkes için aynıysa, yatırımcılar arasındaki fark nerede ortaya çıkar? Riskli portföye ayrılacak payda. Ortalama–varyans tercihli bir yatırımcı için en iyi pay, teğet portföyün fazla getirisinin, riskten kaçınma katsayısı ile portföy varyansının çarpımına bölünmesiyle bulunur.

Riskten kaçınma katsayısı 5 olan bir yatırımcı için bu pay, yüzde 4,55'lik fazla getirinin, 5 çarpı yaklaşık 0,0116'ya, yani 0,058'e bölünmesiyle yaklaşık yüzde 78'dir. Yatırımcı birikiminin yüzde 78'ini teğet portföye, yüzde 22'sini risksiz varlığa ayırır. Portföyünün beklenen getirisi yaklaşık yüzde 6,6, standart sapması yaklaşık yüzde 8,4 olur. Riskten kaçınması daha düşük, örneğin katsayısı 3 olan bir yatırımcı ise yüzde 100'ün üzerinde pay seçer, yani risksiz faizden borçlanarak teğet portföye birikiminden fazlasını yatırır.

İki yatırımcının riskli portföylerinin bileşimi aynıdır; yalnızca riskli ve risksiz arasındaki bölüşüm farklıdır. James Tobin'in 1958'de ortaya koyduğu bu sonuç, yatırım tavsiyesini büyük ölçüde basitleştirir: önce herkes için tek bir riskli portföy kurulur, sonra her yatırımcı yalnızca bu portföye ne kadar para ayıracağını seçer.

Çözümlü örnek — Kaç hisse yeter?

Her biri yüzde 30 standart sapmaya sahip ve aralarındaki korelasyon 0,2 olan çok sayıda hisse düşünelim. Bunlardan N tanesine eşit ağırlıkla yatırım yapılırsa, portföy varyansı, ortalama kovaryans artı ortalama varyans ile ortalama kovaryansın farkının N'ye bölünmesiyle bulunur. Varyans 0,09, kovaryans 0,018'dir.

Tek hisseyle risk yüzde 30'dur. İki hisseyle yaklaşık yüzde 23,2'ye, beş hisseyle yüzde 18'e, on hisseyle yaklaşık yüzde 15,9'a, yirmi hisseyle yaklaşık yüzde 14,7'ye, elli hisseyle yaklaşık yüzde 13,9'a iner. Hisse sayısı sonsuza giderken risk, ortalama kovaryansın karekökü olan yaklaşık yüzde 13,4'e yaklaşır, ama asla onun altına inmez. Çeşitlendirme, şirketlere özgü riskin büyük kısmını ilk birkaç düzine hissede ortadan kaldırır; geriye kalan, bütün hisseleri birlikte etkileyen sistematik risktir. Goetzmann ve Kumar'ın incelediği yatırımcıların birkaç hisseden oluşan portföyleri, bu eğrinin sol tarafında, şirkete özgü riskin henüz azaltılmadığı bölgede kalıyordu.

Çözümlü örnek — Kötü günlerde korelasyon

Bir yatırımcının yarı yarıya yurt içi ve yurt dışı hisselerden oluşan bir portföyü var; her iki piyasanın standart sapması yüzde 20. Normal zamanlarda korelasyon 0,3 iken portföyün standart sapması, 0,25 çarpı 0,04 artı 0,25 çarpı 0,04 artı 2 çarpı 0,25 çarpı 0,3 çarpı 0,04 formülüyle yaklaşık yüzde 16,1'dir. Bir kriz döneminde korelasyon 0,8'e çıkarsa, standart sapma yaklaşık yüzde 19'a yükselir; çeşitlendirmenin sağladığı koruma büyük ölçüde kaybolur.

Bu, Longin ve Solnik'in bulgusunun portföy düzeyindeki karşılığıdır. Normal zamanlarda hesaplanan riskler, krizlerdeki kayıpları olduğundan küçük gösterebilir. Bu, çeşitlendirmenin yararsız olduğu anlamına gelmez: korelasyon 0,8'de bile risk, tek bir piyasaya yatırım yapmanınkinden düşüktür. Ama çeşitlendirmenin değeri, en çok ihtiyaç duyulan anlarda azalır ve risk yönetimi bu olasılığı hesaba katmalıdır.

Çözümlü örnek — Ağırlıklar kendiliğinden kayar

Riskten kaçınma katsayısı 5 olan yatırımcımız, yılın başında birikiminin yüzde 78'ini teğet portföye, yüzde 22'sini risksiz varlığa yatırdı. Yıl içinde hisse piyasası yüzde 30 yükseldi, risksiz varlık yüzde 3 getirdi. Yıl sonunda 100 liralık başlangıç birikiminin riskli kısmı 78'den yaklaşık 101,4 liraya, risksiz kısmı 22'den yaklaşık 22,7 liraya ulaşır. Riskli varlığın portföydeki payı artık yaklaşık yüzde 82'dir.

Yatırımcının riske karşı tutumu ve teğet portföyün özellikleri değişmediyse, en iyi pay hâlâ yüzde 78'dir. Portföyü bu paya geri döndürmek için, riskli varlıktan yaklaşık 5 liralık satış yapıp risksiz varlığa aktarmak gerekir. Piyasa düşseydi tersi geçerli olurdu: değer kaybeden riskli varlık satın alınırdı. Bu yeniden dengeleme kuralı, yatırımcıyı mekanik olarak yükselen varlıkları satmaya ve düşenleri almaya iter; bu, birçok bireysel yatırımcının içgüdüsel davranışının, yani yükselişte alıp düşüşte satmanın tersidir.

Yeniden dengelemenin bir bedeli de vardır: her işlem maliyet taşır ve vergi doğurabilir. Bu yüzden uygulamada portföyler sürekli değil, belirli aralıklarla ya da ağırlıklar hedeften belirli bir eşiği aştığında yeniden dengelenir. Ayrıca bir önceki dersteki tartışma burada da önemlidir: beklenen getiriler zamanla değişiyorsa, en iyi pay da değişir ve sabit bir hedefe yeniden dengelemek her zaman doğru olmayabilir.

Modelin sınırları

Bütün hesaplar, yatırımcıların yalnızca beklenen getiriyi ve varyansı önemsediğini, getirilerin dağılımının bu iki ölçüyle yeterince özetlendiğini ve beklenen getiriler, varyanslar ve korelasyonların bilindiğini varsaydı. Üç varsayım da gerçek piyasalarda zorlanır. Getirilerin kalın kuyrukları ve çarpıklıkları, varyansın riski tam ölçmediğini gösterir; Goetzmann ve Kumar'ın çarpıklığı yüksek hisselere yönelen yatırımcıları, varyans dışındaki özellikleri de önemsiyor olabilir. Ama en büyük pratik sorun tahmindir: beklenen getiriler geçmiş verilerden ancak büyük hata paylarıyla tahmin edilebilir ve ortalama–varyans hesapları bu hatalara son derece duyarlıdır. Bir hissenin yıllık beklenen getirisini, yüzde 20 oynaklıkla, yüzde 95 güvenle artı eksi bir puanlık bir aralıkla tahmin etmek için bin yılı aşkın yıllık veri gerekir; kovaryanslar ise çok daha kısa dönemlerden makul bir kesinlikle tahmin edilebilir.

Teknik

Portföy matematiği

N varlıklı bir portföyün beklenen getirisi, ağırlıklar vektörü ile beklenen getiriler vektörünün iç çarpımıdır; varyansı ise ağırlıklar vektörünün, kovaryans matrisinin ve yine ağırlıklar vektörünün çarpımıdır. Bu ikinci ifade, N varyans ve N çarpı N eksi bir bölü iki kovaryans içerir. Varlık sayısı arttıkça kovaryansların sayısı varyansların sayısından çok daha hızlı büyür; bu yüzden büyük portföylerin riskini belirleyen, tek tek varlıkların oynaklığından çok, aralarındaki kovaryanslardır. Model bölümündeki «kaç hisse yeter» hesabı, bu genel sonucun eşit ağırlıklı özel bir hâlidir.

Etkin sınırın türetilmesi

Etkin sınır, belirli bir beklenen getiri hedefi için portföy varyansını, ağırlıkların toplamının bir olması kısıtı altında en küçüklemenin çözümüdür. Kısıtlı en iyileme, Lagrange yöntemiyle çözülür ve sonuç, ağırlıkların beklenen getiri hedefinin doğrusal bir fonksiyonu olduğunu gösterir. Bunun önemli bir sonucu vardır: etkin sınır üzerindeki herhangi iki portföyün karışımı yine etkin sınır üzerindedir. Açığa satış serbestse, sınırın tamamı iki farklı etkin portföyün farklı oranlarda karıştırılmasıyla elde edilebilir; bu iki fon ayrımı sonucudur. Açığa satış yasaksa ya da ağırlıklara üst sınırlar konmuşsa, çözüm sayısal yöntemler gerektirir ve sınır parçalı bir yapı kazanabilir.

Risksiz varlık eklendiğinde, teğet portföyün ağırlıkları, kovaryans matrisinin tersi ile fazla getiriler vektörünün çarpımına orantılıdır; ağırlıklar toplamları bir olacak biçimde ölçeklenir. Bu formül, bir varlığın teğet portföydeki ağırlığının yalnızca kendi Sharpe oranına değil, öbür varlıklarla kovaryansına da bağlı olduğunu gösterir. Düşük getirili ama öbür varlıklarla negatif ilişkili bir varlık, portföyde önemli bir ağırlık alabilir; çünkü riski azaltma katkısı, düşük getirisini telafi eder.

Tahmin hatası sorunu

Ortalama–varyans en iyilemesinin uygulamadaki en büyük zayıflığı, girdilerin tahmin hatalarına aşırı duyarlılığıdır. Beklenen getirilerdeki küçük farklar, en iyi ağırlıklarda büyük değişimlere yol açar ve en iyileme, tahmin hatası nedeniyle getirisi abartılmış ve riski küçümsenmiş varlıklara sistematik olarak fazla ağırlık verir. Bu yüzden ortalama–varyans portföyleri, örneklem içinde etkileyici görünüp örneklem dışında hayal kırıklığı yaratabilir. Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi ve Raman Uppal'ın çalışması, kursun matris dersinde gördüğümüz gibi, birçok gelişmiş modelin parayı varlıklara eşit bölen basit bir kurala karşı örneklem dışında tutarlı biçimde üstünlük sağlayamadığını göstermişti.

Bu soruna karşı birkaç yaklaşım geliştirilmiştir. Beklenen getiri tahminleri ortak bir değere doğru büzülebilir; kovaryans matrisi, örneklem matrisi ile daha yapılandırılmış bir hedef matrisin karışımıyla tahmin edilebilir; ağırlıklara üst ve alt sınırlar konabilir. Beklenen getirileri hiç kullanmayan en küçük varyanslı portföy de, tahmin hatasının büyük kısmından kaçındığı için uygulamada sık başvurulan bir seçenektir. Fischer Black ve Robert Litterman'ın geliştirdiği yaklaşım ise piyasa ağırlıklarından ima edilen getirileri başlangıç noktası alıp yatırımcının görüşlerini bunlarla Bayesci bir biçimde birleştirir.

Ev yanlılığı

Ortalama–varyans kuramına göre, küresel piyasa değerinin küçük bir payını oluşturan bir ülkenin yatırımcıları, portföylerinin büyük kısmını yurt dışı varlıklarda tutmalıdır. Gözlenen portföyler ise genellikle yurt içi varlıklara ağır biçimde yönelir. Calvet ve arkadaşlarının İsveç bulgusu, uluslararası çeşitlendirmenin kolay erişilebilir olduğu yerlerde hanehalklarının bundan yararlandığını gösterir; ama birçok ülkede kur riski, sermaye kontrolleri ve bilgi eksikliği bu çeşitlendirmeyi sınırlar. Ev yanlılığının bir kısmı rasyonel olabilir: yatırımcının tüketimi yurt içi fiyatlara bağlıysa, yurt içi varlıklar belirli bir koruma sağlar. Ama gözlenen yurt içi ağırlığın büyüklüğü, bu gerekçelerin hepsi birlikte alındığında bile açıklanamayacak kadar fazladır. Yatırımcıların kendi ülkelerinin şirketleri hakkında daha iyimser beklentiler taşıması ve tanıdık olana duyulan güven de bu eğilimi besleyen davranışsal etkenler arasında sayılır.

Türkiye'deki bir yatırımcı için bu tartışma özel bir anlam taşır. Yerel paranın değer kaybı ve yüksek enflasyon dönemlerinde, yurt dışı varlıklar hem çeşitlendirme hem de kur riskine karşı koruma sağlar; bu yüzden döviz ve altın, birçok hanehalkının portföyünde geleneksel olarak büyük yer tutar. Bu tercih, ortalama–varyans açısından yurt içi hisse ve tahvillerle düşük ya da negatif korelasyonlu varlıklara yönelmek olarak okunabilir; ama aynı varlıkların kendi oynaklıkları ve getirileri de hesaba katılmalıdır.

Korelasyonların zamanla değişmesi

Longin ve Solnik'in bulgusu, korelasyonların sabit olmadığını ve piyasanın yönüne bağlı olarak değiştiğini gösterir. Bu, portföy riskinin ölçülmesinde ve yönetiminde iki sonuç doğurur. Birincisi, uzun dönem ortalama korelasyonlarla hesaplanan riskler, kriz dönemlerindeki kayıpları olduğundan küçük gösterir; risk yönetiminde stres senaryoları ve kuyruk riskine odaklanan ölçüler bu yüzden önemlidir. İkincisi, koşullu korelasyonları modelleyen yöntemler, örneğin oynaklık modelleri dersinde gördüğümüz dinamik koşullu korelasyon modelleri, korelasyonların zaman içindeki değişimini izlemeye yarar. Korelasyonların piyasa düşüşlerinde artması, aynı zamanda uluslararası finansal bütünleşmenin bir sonucu olarak da okunabilir; bütünleşme arttıkça normal zamanlardaki korelasyonlar da yükselme eğilimindedir.

Varyansın ötesinde risk

Ortalama–varyans kuramı, getiri dağılımlarının yalnızca ilk iki momentle özetlenebildiğini varsayar. Bu, getiriler normal dağılıyorsa ya da yatırımcının faydası ikinci dereceden bir fonksiyonsa geçerlidir; ama gerçek getirilerin kuyrukları normal dağılımdan kalındır ve hisse piyasalarının getirileri genellikle sola çarpıktır, yani büyük düşüşler aynı büyüklükteki büyük yükselişlerden daha sıktır. Varyans, iki yönde de sapmayı eşit cezalandırdığı için, sol kuyruktaki riski ayrı olarak yakalayamaz. Uygulamada bu yüzden belirli bir olasılıkla aşılacak kayıp eşiği ve bu eşiği aşan durumlardaki ortalama kayıp gibi kuyruk riski ölçüleri de kullanılır. Bazı yatırımcılar ise sağa çarpık, yani küçük olasılıkla çok büyük kazanç vaat eden varlıkları, düşük beklenen getirilerine rağmen tercih eder; Goetzmann ve Kumar'ın çarpıklığı yüksek hisselere yönelen yatırımcıları bu tür bir tercihi yansıtıyor olabilir.

Uzun vadeli yatırımcı

Bu dersteki kuram tek dönemliktir: yatırımcı bugün bir portföy seçer ve dönemin sonundaki servetini önemser. Uzun vadeli bir yatırımcı ise yatırım fırsatlarının zamanla değişebileceğini hesaba katar. Robert Merton'ın 1970'lerin başında geliştirdiği zamanlararası yaklaşıma göre, beklenen getiriler ya da faizler zamanla değişiyorsa, uzun vadeli yatırımcı yalnızca teğet portföyü değil, bu değişimlere karşı koruma sağlayan varlıkları da talep eder. Örneğin faizlerin düşeceği dönemlerde değer kazanan uzun vadeli tahviller, gelecekteki düşük getiri ortamına karşı bir koruma işlevi görür. Bir önceki derste tartışılan getiri öngörülebilirliği doğruysa, hisse senetlerinin uzun ufuklardaki riski, kısa ufuklardaki oynaklığın ima ettiğinden farklı olabilir. Bu tartışma, emeklilik birikimi gibi uzun vadeli kararlar için tek dönemli kuramın tavsiyesinin dikkatle uyarlanması gerektiğini gösterir.

Kuramdan piyasa dengesine

Bu dersin kuramı tek bir yatırımcının sorununu çözer: verilen beklenen getiriler ve kovaryanslar altında en iyi portföy nedir? Ama bütün yatırımcılar aynı bilgilere sahipse ve aynı hesabı yapıyorsa, hepsi aynı teğet portföyü tutar. Piyasada bütün varlıkların birileri tarafından tutulması gerektiğine göre, bu ortak portföyün piyasanın kendisi olması gerekir. Bu düşünce, bireysel bir karar kuramını, varlık fiyatlarının nasıl belirlendiğine dair bir denge kuramına dönüştürür.

Uygulama

Özet kartı

1. Bir portföyün riski, varlıkların tek tek oynaklığından çok aralarındaki kovaryanslara bağlıdır; varlıklar birbirinin tam kopyası gibi hareket etmedikçe çeşitlendirme riski azaltır ve en küçük varyanslı portföy, tek tek varlıkların hepsinden daha az riskli olabilir.
2. Etkin sınır, her risk düzeyi için en yüksek beklenen getiriyi sağlayan riskli portföylerdir; risksiz bir varlık eklendiğinde Sharpe oranı en yüksek olan teğet portföy, bütün ortalama–varyans yatırımcıları için en iyi riskli portföydür ve Tobin ayrım teoremine göre yatırımcılar yalnızca bu portföy ile risksiz varlık arasındaki bölüşümde farklılaşır.
3. Varlık sayısı arttıkça şirketlere özgü risk ortadan kalkar, ama portföy riski ortalama kovaryansın belirlediği bir tabana iner; Longin ve Solnik, uluslararası piyasalarda korelasyonların düşüş dönemlerinde arttığını, yükseliş dönemlerinde artmadığını buldu.
4. Calvet, Campbell ve Sodini, İsveç hanehalklarının çoğunun uluslararası çeşitlendirmeyle yurt içi endeksin Sharpe oranını aştığını, ama bilgili hanehalklarının daha atılgan yatırım yaptığı için yetersiz çeşitlendirmeden daha büyük kayıplara uğradığını gösterdi.
5. Goetzmann ve Kumar, ABD'deki bireysel hisse yatırımcılarının yetersiz çeşitlendirdiğini, bunun genç, düşük gelirli ve daha az bilgili yatırımcılarda daha yaygın olduğunu ve çoğu yatırımcı için maliyetli olduğunu buldu; ortalama–varyans hesaplarının tahmin hatalarına duyarlılığı ise kuramın uygulanmasında ayrı bir sınırdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Etkin sınır ile sermaye tahsis doğrusu arasındaki ilişkiyi ve teğet portföyün neden bütün ortalama–varyans yatırımcıları için aynı olduğunu açıklayın.
2. (Çıktı 2) Model bölümündeki A ve B varlıklarından, paranın yüzde 25'inin A'ya yatırıldığı portföyün beklenen getirisini ve standart sapmasını hesaplayın. Bu portföy etkin midir?
3. (Çıktı 2) İki varlığın standart sapmaları yüzde 15 ve yüzde 25, korelasyonları 0 olsun. En küçük varyanslı portföyde birinci varlığın payı nedir?
4. (Çıktı 2) Teğet portföyün fazla getirisi yüzde 5, standart sapması yüzde 15 ise Sharpe oranı nedir? Riskten kaçınma katsayısı 4 olan bir yatırımcı riskli portföye ne kadar ayırır?
5. (Çıktı 3) Her biri yüzde 25 standart sapmalı ve aralarındaki korelasyon 0,3 olan hisselerden eşit ağırlıkla yüz hisselik bir portföy kuruluyor. Portföyün standart sapması yaklaşık nedir ve neden sıfıra yakın değildir?
6. (Çıktı 4) Bir portföy yazılımının tanıtım broşüründe «geçmiş on yılın verileriyle hesaplanan ortalama–varyans en iyi portföyü, gelecek için de en iyi portföydür» yazıyor. Bu vaadi, dersteki kaynakların gösterdikleriyle sınayın.

Cevaplar

1. Etkin sınır, yalnızca riskli varlıklarla elde edilebilecek en iyi risk–getiri bileşimlerini gösterir. Risksiz bir varlık eklendiğinde, risksiz noktadan etkin sınır üzerindeki herhangi bir portföye bir sermaye tahsis doğrusu çizilebilir. Bu doğruların en dik olanı, sınıra teğet olan doğrudur; teğet noktası, Sharpe oranı en yüksek riskli portföydür. Bu doğru üzerindeki her nokta, aynı risk düzeyindeki öbür seçeneklerden daha yüksek getiri sağladığı için, riskten kaçınma derecesi ne olursa olsun her ortalama–varyans yatırımcısı riskli portföy olarak teğet portföyü seçer; yatırımcılar yalnızca bu portföye ne kadar para ayıracaklarında farklılaşır.
2. Beklenen getiri 0,25 çarpı yüzde 10 artı 0,75 çarpı yüzde 6, yani yüzde 7'dir. Varyans 0,0625 çarpı 0,04 artı 0,5625 çarpı 0,01 artı 2 çarpı 0,25 çarpı 0,75 çarpı 0,004, yani 0,0025 artı 0,005625 artı 0,0015, toplam 0,009625'tir; standart sapma yaklaşık yüzde 9,8'dir. Bu portföy, en küçük varyanslı portföyün, yani A payının yüzde 14,3 olduğu noktanın üstünde yer aldığı için etkin sınır üzerindedir.
3. Korelasyon sıfır olduğunda kovaryans sıfırdır; birinci varlığın payı, ikinci varlığın varyansının iki varyansın toplamına bölünmesiyle bulunur: 0,0625 bölü 0,0225 artı 0,0625, yani 0,0625 bölü 0,085, yaklaşık yüzde 73,5.
4. Sharpe oranı yüzde 5 bölü yüzde 15, yaklaşık 0,33'tür. Riskli portföye ayrılacak pay, 0,05 bölü 4 çarpı 0,0225, yani 0,05 bölü 0,09, yaklaşık yüzde 56'dır; geri kalan yüzde 44 risksiz varlığa yatırılır.
5. Varyans 0,0625, kovaryans 0,3 çarpı 0,0625, yani 0,01875'tir. Yüz hisseyle portföy varyansı 0,01875 artı 0,0625 eksi 0,01875 bölü 100, yani yaklaşık 0,019188'dir; standart sapma yaklaşık yüzde 13,9'dur. Risk sıfıra yakın değildir, çünkü şirketlere özgü riskler birbirini götürse de bütün hisseleri birlikte etkileyen ortak, yani sistematik risk kalır; bu taban ortalama kovaryansın kareköküdür, yaklaşık yüzde 13,7.
6. Vaat yanıltıcıdır. Ortalama–varyans hesapları beklenen getiri tahminlerindeki hatalara çok duyarlıdır ve geçmiş on yılın ortalamaları, gelecekteki beklenen getirilerin gürültülü tahminleridir; en iyileme, şans eseri yüksek getirili görünen varlıklara fazla ağırlık verir. DeMiguel ve arkadaşları, gelişmiş modellerin örneklem dışında basit eşit ağırlıklı bir kuralı tutarlı biçimde geçemediğini gösterdi. Ayrıca Longin ve Solnik'in bulgusuna göre korelasyonlar düşüş dönemlerinde artar; geçmişin ortalama korelasyonları krizlerdeki riski küçümser. Doğru tutum, tahminleri büzmek, ağırlıklara sınırlar koymak, en küçük varyanslı ya da eşit ağırlıklı portföylerle karşılaştırma yapmak ve sonuçları farklı dönemlerde sınamaktır.

İleri okuma

• François M. Longin, Bruno Solnik (2001). «Extreme Correlation of International Equity Markets». Journal of Finance 56(2). Düşüş piyasalarında artan korelasyon.
• Laurent E. Calvet, John Y. Campbell, Paolo Sodini (2007). «Down or Out: Assessing the Welfare Costs of Household Investment Mistakes». Journal of Political Economy 115(5). İsveç hanehalklarının çeşitlendirmesi ve hatalarının maliyeti.
• William N. Goetzmann, Alok Kumar (2008). «Equity Portfolio Diversification». Review of Finance 12(3). Bireysel yatırımcıların yetersiz çeşitlendirmesi.

Sonraki derse köprü

Bu derste her yatırımcının, beklenen getirileri ve kovaryansları veri alarak en iyi portföyü seçtiğini gördük. Ama bütün yatırımcılar aynı bilgilerle aynı hesabı yapıyorsa, hepsi aynı riskli portföyü tutar ve bu portföy piyasanın tamamı olmak zorundadır. O zaman bir varlığın riskini ölçmenin doğru yolu, onun piyasa portföyünün riskine yaptığı katkıdır ve yalnızca bu katkı, yani çeşitlendirmeyle ortadan kaldırılamayan piyasa riski, ek getiriyle ödüllendirilmelidir. Bu düşünce, beklenen getiriyi tek bir risk ölçüsüne, betaya bağlayan sermaye varlıklarını fiyatlama modelinin çıkış noktasıdır.