Paranın zaman değeri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Gelecek değeri, net bugünkü değeri, anüiteyi, sonsuz anüiteyi, efektif yıllık faiz oranını ve hiperbolik indirgemeyi tanımlar.
• Uygulama — Tek bir tutarın ve düzenli ödemeler akışının bugünkü ve gelecek değerini, bir taksitli kredinin aylık ödemesini, aylık bir faiz oranının yıllık efektif karşılığını ve bir yatırım projesinin net bugünkü değerini ve iç verim oranını hesaplar.
• Analiz — İndirgeme oranındaki küçük değişimlerin uzak gelecekteki ödemelerin bugünkü değerini neden çok büyük ölçüde değiştirdiğini ve üstel ile hiperbolik indirgemenin tercihlerde nasıl farklı sonuçlar doğurduğunu çözümler.
• Değerlendirme — Çok uzun vadeli konut haklarından çıkarılan indirgeme oranlarına, deneylerde ölçülen zaman tercihlerinin büyük dağınıklığına ve risk tutumunu hesaba katan ölçümlere dayanarak, piyasa faizleri ile kişisel zaman tercihleri arasındaki ilişkiyi değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Size iki seçenek sunulsun: bugün 100.000 lira ya da bir yıl sonra 100.000 lira. Neredeyse herkes bugünkü parayı seçer. Nedenleri sezgiseldir: bugün alınan para bir yıl boyunca bir bankada faiz kazanabilir, fiyatlar yükselirse bir yıl sonraki paranın alım gücü düşer, bir yıl içinde vaat eden kişi sözünü tutamayabilir ve insanlar genel olarak beklemeyi sevmez. Bu dört neden, faiz, enflasyon, risk ve sabırsızlık, finansal iktisadın bütün değerleme hesaplarının temelinde yatar.

Asıl soru, seçeneklerden biri değiştiğinde ortaya çıkar. Bugün 100.000 lira mı, bir yıl sonra 140.000 lira mı? Burada cevap artık açık değildir; bir yıl beklemenin karşılığında ne kadar fazla para istendiğine bağlıdır. Paranın zaman değeri, farklı tarihlerdeki tutarları aynı ölçü birimine çevirmenin, yani karşılaştırılabilir kılmanın yöntemidir. Bu yöntem olmadan bir kredinin taksitlerinin gerçek maliyeti, bir tahvilin fiyatı, bir fabrika yatırımının kârlılığı ya da bir emeklilik planının yeterliliği hesaplanamaz.

Bu kurs, finansal iktisadın temel sorularını ele alıyor: varlıklar nasıl fiyatlanır, risk nasıl ölçülür ve ödüllendirilir, piyasalar bilgiyi ne ölçüde yansıtır ve finansal krizler nasıl oluşur. Bütün bu soruların ilk adımı aynıdır: gelecekte gerçekleşecek ödemeleri bugünün diline çevirmek. Kursun temel eğitim düzeyinde bileşik faizin gücünü ve bugünkü değer fikrini tanıdık; bu ders, o araçları sistemli bir değerleme çerçevesine dönüştürüyor ve aynı zamanda bu çerçevenin varsayımlarını sorguluyor.

Hikâye — 999 yıllık bir kira

İngiltere'de bir daireyi satın almanın iki yolu vardır. Mülkiyet süresiz olabilir, ya da belirli bir süre için, örneğin 99 ya da 999 yıllığına, uzun vadeli bir kiralama hakkı olarak satın alınabilir. Süre dolduğunda daire, arsanın sahibine geri döner. Singapur'da da benzer bir sistem vardır. Aynı binada, aynı büyüklükte iki daireden biri süresiz, öbürü 100 yıllık bir hakla satılıyorsa, aralarındaki fiyat farkı tek bir şeyi yansıtır: 100 yıl sonra başlayıp sonsuza kadar sürecek kira gelirinin bugünkü değerini.

Stefano Giglio, Matteo Maggiori ve Johannes Stroebel, bu farkı insanların çok uzak geleceği nasıl değerlendirdiğini ölçmek için kullandı. Soru soyut görünse de son derece pratiktir: iklim değişikliğiyle mücadele, nükleer atıkların depolanması ya da altyapı yatırımları gibi politikaların maliyetleri bugün ödenir, yararları ise yüzyıl sonra ortaya çıkar. Bu yararları bugüne indirgerken hangi oranın kullanılacağı, politikanın değerli mi yoksa savurgan mı görüneceğini belirler.

Bu sonucun dikkat çekici yanı, insanların bir yüzyıl sonrasını önemsiz saymamasıdır. Yüksek bir indirgeme oranıyla, örneğin yüzde 5'le, 100 yıl sonra başlayan bir gelir akışının bugünkü değeri, süresiz mülkün değerinin yüzde 1'inden azdır; bu oranla iki dairenin fiyatları neredeyse aynı olmalıydı. Gözlenen yüzde 10'u aşan fark, uzak geleceğin çok daha düşük bir oranla indirgendiğini gösteriyordu.

Kavram — ileri ve geri

Gelecek değer ile bugünkü değer aynı ilişkinin iki yönüdür. Gelecek değer, bugünden geleceğe doğru bileşik faizle büyür; bugünkü değer, gelecekten bugüne doğru aynı oranla küçülerek gelir. Bir tutarı bir yıl ileri taşımak için bir artı faizle çarparız; bir yıl geri getirmek için bir artı faize böleriz. Bu basit simetri, finansal iktisadın neredeyse bütün değerleme formüllerinin iskeletidir.

Veri ve kanıt — insanlar ne kadar sabırsız?

Piyasa faizleri, borç alanların ve verenlerin buluştuğu oranlardır. Ama bireylerin kendi zaman tercihleri, yani bugün ile gelecek arasında kişisel olarak nasıl bir değiş tokuş yaptıkları ayrı bir sorudur. Bu soru, deneylerde ve gözlemsel verilerle on yıllardır inceleniyor ve sonuçlar şaşırtıcı ölçüde dağınıktır.

Bu dağınıklığın bir kısmı ölçüm yönteminden gelir. Deneylerde katılımcılara genellikle «bugün 1.000 lira mı, bir ay sonra 1.100 lira mı?» gibi sorular sorulur ve bu cevaplardan bir indirgeme oranı hesaplanır. Ama bu hesap, insanların paraya karşı nötr bir tutum taşıdığını varsayar. Steffen Andersen ve arkadaşları, risk tutumunun hesaba katılmasının sonucu nasıl değiştirdiğini gösterdi.

Bu iki çalışma birlikte okunduğunda, kişisel indirgeme oranlarının ölçümünün ne kadar hassas olduğu görülür. Yüksek ve dağınık oranların bir kısmı gerçek sabırsızlığı, bir kısmı ise ölçüm varsayımlarını yansıtır. Bu, değerleme açısından önemli bir ayrımdır: bir yatırımın değeri hesaplanırken kullanılan oran, kişisel sabırsızlıktan değil, piyasada aynı riskteki alternatiflerin getirisinden, yani fırsat maliyetinden gelir.

Neden önemli? — bütün değerlemelerin ortak dili

Bir tahvilin fiyatı, gelecekteki kupon ve anapara ödemelerinin bugünkü değeridir. Bir hisse senedinin değeri, gelecekteki kâr paylarının bugünkü değeridir. Bir kredinin taksitleri, borç alınan tutarın bugünkü değerine eşit olacak biçimde hesaplanır. Bir emeklilik fonunun yükümlülükleri, gelecekte yapılacak ödemelerin bugünkü değeridir. Bu kursun ilerleyen derslerinde göreceğimiz bütün değerleme yöntemleri, bu dersin araçlarını farklı nakit akışlarına ve farklı risk düzeylerine uygular.

Model

Model bölümündeki tutarlar, faizler ve proje kalemleri hesap pratiği için seçilmiştir; herhangi bir bankanın, kredinin ya da şirketin güncel koşullarını yansıtmaz. Türkiye'de faizlerin dönemden döneme çok farklı düzeylerde seyrettiği düşünülerek yüksek ve düşük oranlı örnekler bir arada kullanılmıştır.

Çözümlü örnek — Üç yılda ne olur?

Bir hane, 100.000 lirayı yıllık yüzde 40 faizle, faizin her yıl sonunda anaparaya eklendiği bir mevduatta üç yıl tutuyor. Birinci yılın sonunda 140.000 lira, ikinci yılın sonunda bunun 1,4 katı olan 196.000 lira, üçüncü yılın sonunda 274.400 lira olur. Basit faizle, yani faiz anaparaya eklenmeden, üç yılda her yıl 40.000 lira, toplam 120.000 lira faiz kazanılır ve sonuç 220.000 lira olurdu. Aradaki 54.400 liralık fark, faizin faiz kazanmasından gelir.

Şimdi aynı soruyu tersinden soralım: bir yıl sonra 140.000 lira almanın bugünkü değeri nedir? Faiz yüzde 40'sa, 140.000'i 1,4'e böleriz ve 100.000 lira buluruz; bugün 100.000 lirayla bir yıl sonra 140.000 lira arasında kayıtsız kalınır. Faiz yüzde 25 olsaydı, 140.000'in bugünkü değeri 112.000 lira olurdu: bugün 100.000 lira almak yerine bir yıl beklemek daha iyi olurdu. Açılıştaki sorunun cevabı bu yüzden faize bağlıdır: «bugün mü, bir yıl sonra mı?» sorusu, piyasa faizi bilinmeden cevaplanamaz.

Çözümlü örnek — Aylık oran, yıllık gerçek

Bir kredi kartı ya da ihtiyaç kredisi faizi çoğu zaman aylık olarak ilan edilir. Aylık yüzde 3,5'lik bir oranın yıllık karşılığı nedir? Basitçe on iki ile çarpmak yüzde 42 verir; ama bu, faizin faiz kazandığını göz ardı eder. Bir yıl boyunca her ay bileşik olarak işleyen yüzde 3,5'in yıllık etkisi, 1,035'in on ikinci kuvvetinden bir çıkarılarak bulunur: yaklaşık yüzde 51,1.

Bu, ilan edilen yıllık oran ile gerçekte ödenen yıllık oran arasında yaklaşık dokuz puanlık bir fark demektir. Faiz ne kadar sık bileşik işlerse, fark o kadar büyür. Aynı yüzde 42'lik yıllık oran günlük olarak bileşik işleseydi, yıllık etki yüzde 52'ye yaklaşırdı; sürekli bileşik işleyen bir faizin üst sınırı, e sayısının 0,42'nci kuvvetinden bir çıkarılarak bulunan yaklaşık yüzde 52,2'dir.

Çözümlü örnek — Taksitlerin hesabı

Bir hane, 300.000 liralık bir ihtiyaç kredisini aylık yüzde 3 faizle 36 eşit taksitte geri ödeyecek. Aylık taksit ne olmalıdır? Banka, taksitlerin bugünkü değerinin toplamının, verdiği 300.000 liraya eşit olmasını ister. 36 ay boyunca her ay ödenen sabit bir tutarın bugünkü değeri, tutarın bir anüite çarpanıyla çarpılmasıyla bulunur; bu çarpan, bir eksi 1,03'ün eksi otuz altıncı kuvveti, bölü 0,03'tür ve yaklaşık 21,8'dir.

Taksit, 300.000'in 21,8'e bölünmesiyle yaklaşık 13.741 lira çıkar. 36 taksitin toplamı yaklaşık 494.700 liradır; hane, 300.000 liralık kredi için yaklaşık 194.700 lira faiz öder. Taksitlerin ilk aylarında ödemenin büyük kısmı faizdir: ilk ay 300.000'in yüzde 3'ü olan 9.000 lira faize, yalnızca 4.741 lira anaparaya gider. Son aylarda ise kalan borç küçüldüğü için taksitin neredeyse tamamı anaparayı kapatır.

Çözümlü örnek — Sonsuza kadar süren bir kira

Bir arsa sahibi, arsasını her yıl 120.000 lira reel kira getirecek biçimde kiralıyor ve bu kiranın sonsuza kadar süreceğini varsayıyor. Reel indirgeme oranı yüzde 5 ise, bu akışın bugünkü değeri nedir? Sonsuz bir eşit ödemeler dizisinin bugünkü değeri, ödemenin faiz oranına bölünmesiyle bulunur: 120.000 bölü 0,05, yani 2,4 milyon lira.

Bu basit formül şaşırtıcı bir sonucu gizler: sonsuz bir akışın sonlu bir değeri vardır. Uzak gelecekteki ödemeler bugüne indirgendikçe küçülür ve toplamları belirli bir sınıra yaklaşır. Aynı formül, Giglio ve arkadaşlarının sorusunu sayıya dökmeye de yarar. 100 yıllık bir kiralama hakkı, süresiz mülkten, 100 yıl sonra başlayan sonsuz kira akışı kadar daha az değerlidir. Bu akışın değeri, süresiz mülkün değerinin, bir artı faizin eksi yüzüncü kuvveti kadarıdır. Faiz yüzde 5'se bu kuvvet yaklaşık 0,0076'dır: 100 yıllık hak, süresiz mülkten yalnızca yüzde 0,76 daha ucuz olmalıdır. Faiz yüzde 2,6 olsaydı fark yaklaşık yüzde 7,7 olurdu.

Gözlenen farkın yüzde 10'u aştığını bilirsek, geriye doğru hesapla, kira artışı gibi etkiler göz ardı edildiğinde, 10'un yüzüncü kökünden bir çıkarılarak yaklaşık yüzde 2,3'lük bir oran buluruz. Yazarlar, daha ayrıntılı bir modelle, 100 yıllık talepler için yüzde 2,6'nın altında oranlar elde etti.

Çözümlü örnek — Bir fabrikaya yatırım

Bir şirket, bugün 1 milyon liraya mal olacak ve dört yıl boyunca her yıl sonunda 400.000 lira net nakit akışı sağlayacak bir üretim hattı yatırımı düşünüyor. Aynı riskteki alternatif yatırımların getirisi, yani sermaye maliyeti yıllık yüzde 15'tir.

Dört yıllık 400.000 liralık akışın bugünkü değeri, 400.000'in dört yıllık anüite çarpanıyla çarpılmasıyla bulunur; yüzde 15 için bu çarpan yaklaşık 2,855'tir. Bugünkü değer yaklaşık 1.142.000 liradır. Bundan 1 milyonluk yatırım maliyeti çıkarıldığında net bugünkü değer yaklaşık 142.000 lira olur. Pozitif net bugünkü değer, yatırımın, aynı riskteki alternatiflerin sağladığından fazla değer yarattığını gösterir; proje kabul edilmelidir.

Aynı projenin iç verim oranı, yani net bugünkü değeri sıfır yapan indirgeme oranı, deneme yanılmayla yaklaşık yüzde 21,9 bulunur. İç verim oranı sermaye maliyetinden yüksek olduğu için iki kural aynı sonucu verir. Ama iki kural her zaman uyuşmaz: büyüklükleri ya da zamanlamaları farklı projeler karşılaştırılırken, iç verim oranı daha yüksek olan proje daha düşük net bugünkü değer yaratabilir. Değeri en çok artıran seçim, net bugünkü değer kuralının seçimidir.

Çözümlü örnek — Nominal ve reel

Bir mevduat yıllık yüzde 40 nominal faiz veriyor, enflasyonun ise yüzde 30 olması bekleniyor. Mevduatın reel getirisi nedir? Kaba bir yaklaşımla, 40'tan 30'u çıkarıp yüzde 10 deriz. Doğru hesap, nominal büyüme çarpanının enflasyon çarpanına bölünmesidir: 1,40 bölü 1,30, yani yaklaşık 1,077; reel getiri yaklaşık yüzde 7,7'dir.

Yüksek enflasyon dönemlerinde bu fark önemlidir: kaba yaklaşım, reel getiriyi yaklaşık 2,3 puan abartır. Değerlemede kullanılan oran ile nakit akışları da aynı dilde olmalıdır. Nakit akışları nominal liralarla öngörülmüşse nominal bir oranla, bugünkü fiyatlarla, yani reel olarak öngörülmüşse reel bir oranla indirgenmelidir. Reel nakit akışlarını nominal oranla indirgemek, enflasyonu iki kez cezalandırarak projeleri olduğundan değersiz gösterir; nominal akışları reel oranla indirgemek ise onları olduğundan değerli gösterir.

Çözümlü örnek — Emeklilik için ne kadar?

Otuz beş yaşındaki bir kişi, yirmi yıl sonra bugünkü fiyatlarla 1 milyon liralık bir birikime ulaşmak istiyor. Birikimini reel olarak aylık yüzde 0,3 getiri sağlayan bir fonda tutacak ve her ay sonunda aynı reel tutarı yatıracak. Her ay ne kadar biriktirmelidir?

Bu kez soru, bir anüitenin bugünkü değeri değil, gelecek değeridir. Her ay yatırılan bir liranın yirmi yıl, yani 240 ay sonundaki toplam değeri, bir artı aylık getirinin 240'ıncı kuvvetinden bir çıkarılıp aylık getiriye bölünmesiyle bulunur: yaklaşık 350,7. Aylık birikim, 1 milyonun 350,7'ye bölünmesiyle yaklaşık 2.851 lira çıkar. Toplam yatırılan tutar 240 çarpı 2.851, yani yaklaşık 684.000 liradır; aradaki yaklaşık 316.000 lira, getirilerin birikmesinden gelir.

Aynı hedefe on yıl erken başlayan biri ile on yıl geç başlayan birinin durumu, zaman değerinin gücünü gösterir. Kişi on yıl geç, yani kırk beş yaşında başlarsa, yalnızca 120 ayı vardır; aynı getiriyle çarpan yaklaşık 144,2'ye iner ve aylık birikimin yaklaşık 6.935 liraya, yani iki buçuk kattan fazlasına çıkması gerekir. Getiri aylık yüzde 0,5 olsaydı, yirmi yıllık planda aylık birikim yaklaşık 2.164 liraya inerdi. Uzun vadeli planlarda hem başlangıç zamanı hem getiri oranı, sonucu orantısız biçimde etkiler. Hiperbolik indirgemenin gösterdiği gibi, bu planların asıl zorluğu çoğu zaman hesapta değil, planı her ay sürdürmektedir.

Çözümlü örnek — Fikir değiştiren sabırsızlık

Bir kişinin tercihlerini şöyle betimleyelim: bugüne göre herhangi bir gelecek tarihi, önce sabit bir 0,7 çarpanıyla, sonra her ay için 0,99 ile indirger. Bugün 100 lira mı, bir ay sonra 110 lira mı? Bir ay sonraki 110 liranın bugünkü değeri, 0,7 çarpı 0,99 çarpı 110, yani yaklaşık 76 liradır; kişi bugünkü 100 lirayı seçer.

Şimdi aynı seçim bir yıl sonrası için sorulsun: on iki ay sonra 100 lira mı, on üç ay sonra 110 lira mı? On iki ay sonraki 100 liranın bugünkü değeri 0,7 çarpı 0,99'un on ikinci kuvveti çarpı 100, yani yaklaşık 62 lira; on üç ay sonraki 110 liranınki yaklaşık 67,6 liradır. Kişi bu kez beklemeyi, yani 110 lirayı seçer. Ama bir yıl geçip seçim günü geldiğinde, soru yeniden «bugün 100 mü, bir ay sonra 110 mu?» biçimine döner ve kişi fikrini değiştirip 100 lirayı alır.

Üstel indirgemede, yani her dönemin aynı oranla indirgendiği durumda, böyle bir fikir değiştirme olmaz: bir ay beklemenin bedeli, ne zaman sorulursa sorulsun aynıdır. Piyasa faizleriyle yapılan değerleme hesapları üstel indirgemeye dayanır; hiperbolik indirgeme ise bireylerin tasarruf, kredi kartı borcu ve emeklilik kararlarındaki tutarsızlıkları açıklamak için kullanılır.

Modelin sınırları

Bütün hesaplar, faiz oranlarının bilindiğini ve vadeye göre değişmediğini varsaydı. Gerçekte farklı vadeler için farklı faizler geçerlidir; bu vade yapısı, bir sonraki dersin konusu olan tahvil değerlemesinde merkezî rol oynar. Hesaplar ayrıca nakit akışlarının kesin olduğunu varsaydı; gerçekte gelecek ödemeler belirsizdir ve riskli akışlar daha yüksek oranlarla indirgenir. Riskin indirgeme oranına nasıl yansıtılacağı, kursun portföy teorisi ve varlık fiyatlama modelleri derslerinin konusudur. Son olarak, Giglio ve arkadaşlarının bulgusunun gösterdiği gibi, çok uzun vadeler için tek ve sabit bir oran kullanmak, uzak geleceğin değerini ciddi biçimde yanlış ölçebilir.

Teknik

Temel denklemler

Bütün zaman değeri hesapları tek bir ilişkiden türetilir: bir tutarın n dönem sonraki gelecek değeri, bugünkü değerinin bir artı dönemlik faizin n'inci kuvvetiyle çarpımıdır. Bu ilişki dört bilinmeyen içerir: bugünkü değer, gelecek değer, faiz ve dönem sayısı. Herhangi üçü bilindiğinde dördüncüsü bulunabilir. Dönem sayısını bulmak için logaritma alınır: bir tutarın ikiye katlanması için gereken süre, 2'nin logaritmasının bir artı faizin logaritmasına bölünmesidir; kursun temel düzeyinde gördüğümüz 72 kuralı, bu hesabın küçük faizler için yaklaşık bir kısayoludur ve yüksek faizlerde giderek sapar.

Birden fazla ödeme olduğunda, her ödeme ayrı ayrı indirgenip toplanır. Anüite ve sonsuz anüite formülleri, eşit ödemelerin oluşturduğu geometrik dizilerin toplam formülleridir. Sonsuz anüitenin bugünkü değeri, ödemenin faize oranıdır; n dönemlik bir anüite ise, bugün başlayan bir sonsuz anüiteden n dönem sonra başlayan bir sonsuz anüitenin çıkarılmasıyla bulunur. Bu yapı, anüite formülünün neden bir eksi bir artı faizin eksi n'inci kuvveti çarpanını içerdiğini açıklar.

Büyüyen akışlar

Ödemeler her dönem aynı yüzdeyle artıyorsa, büyüyen sonsuz anüitenin bugünkü değeri, ilk ödemenin, indirgeme oranı eksi büyüme oranına bölünmesidir. Bu formül, kursun hisse senedi değerleme dersinde kâr payı indirim modelinin temelini oluşturur. Formülün bir uyarısı vardır: büyüme oranı indirgeme oranına yaklaştıkça bölen sıfıra yaklaşır ve değer sınırsız büyür. Büyüme oranındaki küçük bir değişiklik, değerlemeyi büyük ölçüde değiştirir; bu yüzden uzun vadeli büyüme varsayımları, değerlemelerin en kırılgan girdileridir. Büyüme oranının indirgeme oranını sürekli aşması ise ekonomik olarak tutarsızdır: hiçbir akış sonsuza kadar ekonominin genelinden hızlı büyüyemez. Bu yüzden uygulamada değerlemeler genellikle birkaç yıllık ayrıntılı bir öngörü dönemi ile ardından gelen ılımlı ve sabit büyümeli bir son değer dönemine ayrılır.

Bileşik işleme sıklığı ve sürekli bileşik

Faiz yıl içinde m kez bileşik işliyorsa, yıllık oranın m'de biri her dönem uygulanır ve yıllık etki bir artı bu oranın m'inci kuvvetinden bir çıkarılarak bulunur. m sonsuza giderken bu ifade, e sayısının yıllık oran kadar kuvvetinden bire yaklaşır; bu sürekli bileşik faizdir. Sürekli bileşik, finans kuramında, özellikle türev ürünlerin fiyatlamasında, hesapları basitleştirdiği için sık kullanılır: sürekli bileşik getiriler zaman boyunca doğrudan toplanabilir ve logaritmik getirilerle aynı şeydir. Türkiye'de tüketici kredilerinde ve kredi kartlarında yasal düzenlemeler, aylık akdi faiz oranlarının yanında yıllık maliyet oranının da gösterilmesini ister; bu, ilan edilen oranlar ile gerçek maliyet arasındaki farkı tüketiciye görünür kılmanın bir yoludur.

İç verim oranı ve sorunları

İç verim oranı, net bugünkü değeri sıfır yapan indirgeme oranıdır ve projeleri tek bir yüzdeyle özetlediği için uygulamada çok sevilir. Ama birkaç teknik sorunu vardır. Birincisi, nakit akışlarının işareti birden fazla kez değişiyorsa, örneğin bir projenin sonunda büyük bir söküm ya da çevre temizliği maliyeti varsa, birden fazla iç verim oranı olabilir ya da hiç olmayabilir. İkincisi, iç verim oranı, ara nakit akışlarının yine iç verim oranıyla yeniden yatırılabileceğini örtük olarak varsayar; bu oran piyasa getirisinden çok yüksekse, varsayım gerçekçi değildir. Üçüncüsü, büyüklükleri farklı ve birbirini dışlayan projeler arasında seçim yaparken, iç verim oranı küçük ama yüksek getirili projeyi, daha fazla toplam değer yaratan büyük projeye tercih ettirebilir. Bu yüzden iç verim oranı bir özet ölçü olarak kullanılabilir, ama karar net bugünkü değere göre verilmelidir.

Vade yapısı ve indirgeme

Gerçek piyasalarda bir yıllık, beş yıllık ve on yıllık ödemeler aynı oranla indirgenmez; her vade için ayrı bir faiz vardır. Doğru bugünkü değer hesabı, her nakit akışını kendi vadesine uygun oranla indirger. Giglio ve arkadaşlarının bulgusu, bu fikri çok uzun vadelere taşır: kısa ve orta vadelerde gözlenen konut getirileri, çok uzun vadeli talepler için ima edilen düşük oranlardan belirgin biçimde yüksekti. Bu, indirgeme oranlarının vadeyle birlikte düşebileceğini düşündürür. Kuramsal olarak bu, gelecekteki faizler hakkındaki belirsizlikten kaynaklanabilir: uzak geleceğin indirgeme oranı belirsizse, düşük oran senaryoları bugünkü değeri orantısız biçimde belirler, çünkü yüksek oran senaryolarında değer zaten sıfıra yakındır. İklim politikası tartışmalarında uzun vadeli projeler için azalan indirgeme oranlarının önerilmesinin bir gerekçesi budur; ama hangi oranın kullanılacağı, etik ve ampirik olarak tartışmalı olmaya devam ediyor.

Zaman tutarlılığı

Üstel indirgemede, iki gelecek tarih arasındaki göreli değer, karar ne zaman verilirse verilsin aynı kalır; tercihler zaman içinde tutarlıdır. Hiperbolik ya da yakın geleceği ayrıca indirgeyen tercihlerde ise bu tutarlılık bozulur ve bugünkü benlik, gelecekteki benliğin seçimlerini önceden kısıtlamak isteyebilir. Kilitli emeklilik hesapları, vadesinden önce bozulduğunda ceza uygulanan mevduatlar ve otomatik tasarruf planları, bu tür bağlanma araçlarına örnektir. Andersen ve arkadaşlarının bulgusu ise bu tartışmaya bir uyarı ekler: risk tutumu hesaba katıldığında ölçülen oranlar düşer ve ana sonuçları alternatif indirgeme biçimlerine karşı sağlam kalır. Gözlenen tutarsızlıkların ne kadarının gerçek bir zaman tutarsızlığından, ne kadarının ölçüm varsayımlarından kaynaklandığı açık bir sorudur.

Borç ödeme planı

Taksitli bir kredinin her taksiti iki parçadan oluşur: dönem başındaki kalan borcun faizi ve kalan taksit, yani anapara ödemesi. İlk dönemlerde kalan borç büyük olduğu için faiz payı yüksektir; borç azaldıkça faiz payı düşer, anapara payı artar. Herhangi bir tarihteki kalan borç, kalan taksitlerin o tarihteki bugünkü değerine eşittir. Bu ilişki, erken ödeme hesaplarının temelidir: bir kredi vadesinden önce kapatılmak istendiğinde, ödenmesi gereken tutar, kalan taksitlerin sözleşme faiziyle indirgenmiş toplamıdır; varsa erken ödeme ücreti buna eklenir. Faizler düştüğünde krediyi kapatıp yeni bir krediyle yeniden finanse etmenin kârlı olup olmadığı da aynı yolla, kalan taksitlerin yeni faizle bugünkü değeri ile kapatma maliyeti karşılaştırılarak bulunur.

Endeksli ödemeler

Bazı nakit akışları enflasyona bağlıdır: enflasyona endeksli devlet tahvilleri, bazı kira sözleşmeleri ve emekli aylıkları. Bu akışların değerlemesinde iki tutarlı yol vardır. Birincisi, ödemeler beklenen enflasyonla nominal liralara çevrilir ve nominal oranla indirgenir. İkincisi, ödemeler reel olarak, yani bugünkü fiyatlarla bırakılır ve reel oranla indirgenir. İki yol aynı sonucu verir, yeter ki reel oran ile nominal oran arasındaki ilişki, bir artı nominal oranın bir artı beklenen enflasyona bölünmesiyle kurulmuş olsun. Endeksleme gecikmeli yapılıyorsa, örneğin ödeme altı ay önceki fiyat endeksine bağlıysa, yüksek enflasyon dönemlerinde bu gecikme ödemenin reel değerini belirgin biçimde aşındırır ve hesaba ayrıca katılmalıdır.

Fırsat maliyeti olarak indirgeme oranı

Değerlemede kullanılan indirgeme oranı, yatırımcının vazgeçtiği en iyi alternatifin getirisidir. Risksiz bir ödeme, devlet tahvili faiziyle; riskli bir ödeme, benzer risk taşıyan varlıkların beklenen getirisiyle indirgenir. Aynı nakit akışı, farklı yatırımcılar için farklı değer taşıyabilir, ama piyasada işlem gören bir varlığın fiyatı, marjinal yatırımcının kullandığı oranı yansıtır. Kursun sonraki derslerinde göreceğimiz varlık fiyatlama modelleri, bu oranın riskle nasıl ilişkilendiğini açıklamaya çalışır. Kamu projelerinde ise oranın seçimi daha da tartışmalıdır: devletin borçlanma faizi mi, özel sektörün vazgeçtiği yatırımların getirisi mi, yoksa toplumun zaman tercihine dayanan bir sosyal oran mı kullanılacağı, aynı projenin kabul ya da reddine yol açabilir. Bu yüzden ciddi değerlemelerde sonuçlar tek bir oranla değil, makul oranlar aralığında raporlanır ve kararın hangi oran eşiğinde değiştiği açıkça gösterilir.

Uygulama

Özet kartı

1. Farklı tarihlerdeki tutarlar ancak aynı tarihe taşınarak karşılaştırılabilir: gelecek değer bugünden geleceğe bileşik faizle büyütür, bugünkü değer gelecekten bugüne aynı oranla küçültür.
2. Anüite ve sonsuz anüite formülleri, eşit ödemeler dizilerinin bugünkü değerini verir; taksitli kredilerin ödemeleri, taksitlerin bugünkü değeri kredi tutarına eşit olacak biçimde hesaplanır ve sık bileşik işleyen oranların gerçek maliyeti efektif yıllık oranla ölçülür.
3. Net bugünkü değer, bir yatırımın bütün nakit akışlarını aynı riskteki alternatiflerin getirisiyle indirger; pozitifse yatırım değer yaratır. İç verim oranı yararlı bir özet olsa da, birbirini dışlayan projelerde ve işaret değiştiren akışlarda yanıltıcı olabilir.
4. Giglio, Maggiori ve Stroebel, İngiltere ve Singapur'da 100 yıllık kiralama haklarının süresiz mülklerden yüzde 10'dan fazla ucuz olduğunu ve bunun 100 yıllık talepler için yüzde 2,6'nın altında indirgeme oranlarına işaret ettiğini buldu.
5. Frederick, Loewenstein ve O'Donoghue, ölçülen kişisel indirgeme oranlarının çalışmalar arasında muazzam farklılıklar gösterdiğini vurguladı; Andersen ve arkadaşları ise risk tutumu hesaba katıldığında oranların belirgin biçimde düştüğünü gösterdi. Hiperbolik indirgeme, planların zamanı gelince bozulmasını açıklar.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Net bugünkü değer kuralı ile iç verim oranı kuralının hangi durumlarda farklı sonuç verebileceğini açıklayın.
2. (Çıktı 2) 50.000 lira yıllık yüzde 30 faizle dört yıl bileşik olarak yatırılırsa dördüncü yılın sonunda ne olur? Dört yıl sonra alınacak 100.000 liranın yüzde 30 faizle bugünkü değeri nedir?
3. (Çıktı 2) Aylık yüzde 2,5'lik bir faizin yıllık efektif karşılığı nedir? 120.000 liralık bir kredi bu faizle 24 eşit taksitte ödenirse aylık taksit yaklaşık ne olur?
4. (Çıktı 2) Her yıl 50.000 lira reel getiri sağlayacağı varsayılan süresiz bir hakkın bugünkü değeri, yüzde 4 ve yüzde 2 reel indirgeme oranlarında nedir? Getiri her yıl yüzde 1 reel büyürse yüzde 4'lük oranla değer ne olur?
5. (Çıktı 3) Bir şirket, reel olarak öngördüğü nakit akışlarını yüzde 40'lık nominal sermaye maliyetiyle indirgeyerek bir yatırımın net bugünkü değerini negatif buluyor. Bu hesabı nasıl değerlendirirsiniz?
6. (Çıktı 4) Bir köşe yazısında «insanlar zaten bugünü yarına tercih ediyor; bu yüzden yüz yıl sonrasının iklim hasarlarını hesaplarda görmezden gelmek akılcıdır» deniyor. Bu görüşü üç kaynağın bulguları ışığında tartışın.

Cevaplar

1. Net bugünkü değer kuralı, nakit akışlarını sermaye maliyetiyle indirger ve toplam değer yaratımını ölçer; iç verim oranı kuralı ise net bugünkü değeri sıfır yapan oranı sermaye maliyetiyle karşılaştırır. Tek ve bağımsız, geleneksel akışlı bir projede iki kural aynı sonucu verir. Farklı sonuç verebilecekleri durumlar: birbirini dışlayan ve büyüklükleri farklı projeler, çünkü küçük ama yüksek iç verim oranlı bir proje daha az toplam değer yaratabilir; zamanlamaları farklı projeler; ve nakit akışlarının işaretinin birden fazla kez değiştiği projeler, çünkü bunlarda birden fazla iç verim oranı olabilir ya da hiç olmayabilir. Bu durumlarda karar net bugünkü değere göre verilmelidir.
2. Dört yıl sonunda 50.000 lira, 1,3'ün dördüncü kuvveti olan yaklaşık 2,856 ile çarpılarak yaklaşık 142.800 lira olur. Dört yıl sonraki 100.000 liranın bugünkü değeri, 100.000'in 2,856'ya bölünmesiyle yaklaşık 35.000 liradır.
3. Yıllık efektif oran, 1,025'in on ikinci kuvvetinden bir çıkarılarak yaklaşık yüzde 34,5'tir. Yirmi dört aylık anüite çarpanı, bir eksi 1,025'in eksi yirmi dördüncü kuvveti bölü 0,025, yaklaşık 17,885'tir; taksit 120.000 bölü 17,885, yaklaşık 6.710 liradır.
4. Yüzde 4'le 50.000 bölü 0,04, yani 1.250.000 lira; yüzde 2'yle 50.000 bölü 0,02, yani 2.500.000 lira. Oranın yarıya inmesi değeri iki katına çıkarır. Getiri yüzde 1 büyürse, yüzde 4'lük oranla bölen 0,03 olur ve değer yaklaşık 1.667.000 lira olur.
5. Hesap tutarsızdır: reel nakit akışları, enflasyonu içeren nominal bir oranla indirgenmiştir. Bu, enflasyonun etkisini yalnızca paydaya koyar ve projeyi olduğundan çok değersiz gösterir. Ya nakit akışları beklenen enflasyonla nominal liralara çevrilip nominal oranla, ya da nominal oran beklenen enflasyondan arındırılıp, bir artı nominal oranın bir artı beklenen enflasyona bölünmesiyle bulunan reel oranla, reel akışlar indirgenmelidir. Doğru yapılan hesapta net bugünkü değer pozitif çıkabilir.
6. Görüş birkaç açıdan sorunludur. Kişisel sabırsızlık ile değerlemede kullanılan oran aynı şey değildir; Frederick ve arkadaşlarının gösterdiği gibi ölçülen kişisel oranlar çok dağınıktır ve Andersen ve arkadaşlarına göre bu oranların bir kısmı ölçüm varsayımlarından kaynaklanır; risk tutumu hesaba katıldığında oranlar belirgin biçimde düşer. Giglio ve arkadaşları ise hanelerin çok uzun vadeli nakit akışlarını yüzde 2,6'nın altında oranlarla indirgediğini, yani yüz yıl sonrasına kayda değer bir değer biçtiğini buldu. Düşük oranlarla yüz yıl sonraki hasarların bugünkü değeri önemli büyüklüktedir. Ayrıca hangi oranın kullanılacağı yalnızca ampirik değil, gelecek kuşaklara ne ağırlık verileceğine dair etik bir sorudur. Uzak geleceği «görmezden gelmek», bu yüzden ne gözlenen davranışla ne de değerleme mantığıyla desteklenir; doğru tutum, kullanılan oranı açıkça belirtip sonuçların bu orana duyarlılığını göstermektir.

İleri okuma

• Stefano Giglio, Matteo Maggiori, Johannes Stroebel (2015). «Very Long-Run Discount Rates». QJE 130(1). Kiralama haklarından çok uzun dönemli indirgeme oranlarının ölçülmesi.
• Shane Frederick, George Loewenstein, Ted O'Donoghue (2002). «Time Discounting and Time Preference: A Critical Review». Journal of Economic Literature 40(2). İndirgenmiş fayda modeli, anomaliler ve ölçüm sorunları.
• Steffen Andersen, Glenn W. Harrison, Morten I. Lau, E. Elisabet Rutström (2008). «Eliciting Risk and Time Preferences». Econometrica 76(3). Risk ve zaman tercihlerinin birlikte ölçülmesi.

Sonraki derse köprü

Bu derste her nakit akışını tek bir faizle indirgedik ve faizin değişmediğini varsaydık. Bir tahvil ise tam olarak bu dersin araçlarıyla tanımlanan bir nakit akışıdır: belirli tarihlerde ödenen eşit kuponlar, yani bir anüite, ve vadede geri ödenen anapara. Ama tahvil piyasasında faizler her gün değişir ve faiz yükseldiğinde, sabit ödemelerin bugünkü değeri, yani tahvilin fiyatı düşer. Bir tahvilin fiyatı ile getirisi arasındaki bu ters ilişki, vadesi uzadıkça fiyatın faiz değişimlerine neden daha duyarlı hâle geldiği ve farklı vadelerdeki faizlerden bir getiri eğrisinin nasıl kurulduğu, tahvil değerlemesinin sorularıdır.