ARCH ve GARCH

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Koşullu değişen varyansı, GARCH modelini, oynaklık kümelenmesini, oynaklık kalıcılığını, kaldıraç etkisini ve gerçekleşmiş varyansı tanımlar.
• Uygulama — Bir GARCH(1,1) modelinde bir getiri şokundan sonraki koşullu varyansı, birkaç gün ilerisi için varyans öngörülerini ve bir oynaklık şokunun yarılanma süresini hesaplar; koşullu oynaklıktan bir kayıp eşiği türetir.
• Analiz — Getirilerin kendisi öngörülemezken karelerinin neden öngörülebilir olduğunu ve sabit varyans varsayımının risk ölçümlerini hangi dönemlerde nasıl çarpıttığını çözümler.
• Değerlendirme — İngiltere enflasyonunun belirsizliğine, hisse getirilerinde olumlu ve olumsuz şokların asimetrik etkisine ve yüzlerce oynaklık modelinin öngörü karşılaştırmasına dayanarak, basit ve karmaşık oynaklık modelleri arasındaki seçimi değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir borsa endeksinin günlük getirilerini bir grafiğe dökün. İlk bakışta bir gürültü görürsünüz: bir gün yüzde yarım artış, ertesi gün yüzde çeyrek düşüş, sonra yine artış. Dünün getirisinden bugünün getirisini kestirmek neredeyse imkânsızdır; önceki derslerin araçlarıyla bir ARIMA modeli kurmaya çalışırsanız, katsayıların sıfıra yakın çıktığını görürsünüz. Getiriler, ortalamaları açısından, öngörülemez bir seriye benzer.

Ama grafiğe biraz geriden bakınca başka bir şey dikkatinizi çeker. Gürültünün genişliği her yerde aynı değildir. Bazı aylarda çizgi dar bir bant içinde kıpırdar, bazı haftalarda ise iki yöne birden sert sıçramalar yapar. Sakin dönemler uzun süre sakin kalır; çalkantılı dönemler de bir anda sona ermez. Bir krizin ilk gününden sonraki günlerin de büyük hareketlerle geçmesi, yön kestirilemese bile, çok olasıdır.

Bu gözlem, temel istatistik dersinde «oynaklık sabit değildir» başlığıyla karşımıza çıkmıştı. Bu ders, o gözlemi bir modele dönüştürüyor: bir serinin ortalaması öngörülemez olsa bile, varyansı öngörülebilir olabilir. Yarın borsanın yükselip düşeceğini bilemeyiz; ama yarının büyük bir hareket günü olma olasılığının, bugün büyük bir hareket yaşandığı için arttığını bilebiliriz.

Bu ayrım pratikte çok önemlidir. Bir bankanın risk birimi, bir portföyün kötü bir günde ne kadar kaybedebileceğini hesaplar; bir opsiyon satıcısı, fiyatını beklenen oynaklığa göre belirler; bir merkez bankası, enflasyon beklentilerinin yalnızca düzeyini değil, belirsizliğini de izler. Her biri için «ortalama olarak ne olur» sorusu kadar, «ne kadar belirsiz» sorusu da önemlidir ve bu belirsizlik zamanla değişir.

Hikâye — enflasyonun belirsizliği

Robert Engle, 1970'lerin sonunda Londra'da bir araştırma iznindeyken, İngiltere enflasyonu üzerine çalışıyordu. Milton Friedman'ın bir fikri tartışılıyordu: enflasyonun yüksekliği değil, öngörülemezliği ekonomiye zarar veriyordu, çünkü belirsiz enflasyon sözleşmeleri ve yatırım kararlarını bozuyordu. Bu fikri sınamak için enflasyonun belirsizliğini ölçmek gerekiyordu; ama standart modeller, öngörü hatasının varyansını sabit kabul ediyordu. Belirsizliğin zamanla değiştiğini varsayan bir model yoktu.

Engle, 1982'de yayımlanan makalesinde bu boşluğu doldurdu. Fikri yalındı: bu dönemki öngörü hatasının varyansı, geçmiş öngörü hatalarının karelerine bağlı olabilirdi. Geçen dönemki sürpriz büyükse, bu dönemki belirsizlik de büyüktür.

Model önce bir makroekonomi sorusu için geliştirildi, ama asıl yaygın kullanımını finansta buldu. Dört yıl sonra Tim Bollerslev, koşullu varyansın yalnızca geçmiş şokların karelerine değil, kendi geçmiş değerine de bağlı olduğu genelleştirilmiş bir biçim önerdi; bu biçim, az sayıda parametreyle uzun süren oynaklık dönemlerini yakalayabildiği için kısa sürede standart hâline geldi. Engle, zamanla değişen oynaklığı inceleyen yöntemleri nedeniyle 2003'te Nobel iktisat ödülünü, eşbütünleşme çalışmaları nedeniyle ödüllendirilen Clive Granger'la paylaştı.

Kavram — ortalama ile varyansı ayırmak

Bu iki kavram arasındaki ilişki, dersin ana fikridir. Bir seri, ortalama açısından tamamen öngörülemez, ama varyans açısından öngörülebilir olabilir. Bu bir çelişki değildir: yarın neyin olacağını değil, ne büyüklükte bir şeyin olabileceğini öngörüyoruz.

Veri ve kanıt — iyi haber, kötü haber

Engle'ın ilk modelinde oynaklık, şokun yalnızca büyüklüğüne bağlıydı; üç puanlık bir çöküş ile üç puanlık bir sıçrama, ertesi günün oynaklığını aynı ölçüde artırıyordu. Hisse senedi verileri bu simetriyi desteklemiyordu.

Bu bulgunun iki yanı vardır. Birincisi, kötü haberin oynaklığı iyi haberden daha çok artırdığıdır; bu asimetri sonradan pek çok hisse piyasasında gözlendi. İkincisi daha tartışmalıdır: risk ile beklenen getiri arasındaki ilişkinin işareti. Finans kuramının basit biçimi, riskin arttığı dönemlerde yatırımcıların daha yüksek getiri istemesini, yani pozitif bir ilişki öngörür; Glosten ve arkadaşlarının negatif bulgusu bu öngörüyle çelişiyordu ve bu konudaki ampirik sonuçlar, kullanılan modele ve döneme göre değişmeye devam etti.

Peki bu kadar çok model arasından hangisi seçilmelidir? Peter Hansen ve Asger Lunde, bu soruyu yüzlerce modeli karşılaştırarak sordu.

Sonuç, basit ve karmaşık modeller arasındaki tartışmaya dengeli bir cevap verir: basit model, asimetrinin önemsiz olduğu piyasalarda zor yenilir; asimetrinin güçlü olduğu hisse senetlerinde ise onu hesaba katan modeller öne geçer. Hangi modelin «en iyi» olduğu, verinin özelliklerine bağlıdır.

Neden önemli? — riskin fiyatı ve ölçümü

Bankaların sermaye hesapları, opsiyon fiyatları, portföy dağılımları ve merkez bankalarının finansal istikrar değerlendirmeleri, risk ölçümlerine dayanır. Bu ölçümler, riskin bugünkü düzeyini yanlış hesaplarsa, en çok ihtiyaç duyulduğu anda, yani bir çalkantının başında, yanıltıcı olur. Koşullu oynaklık modelleri, risk ölçümünü sabit bir sayıdan zamanla güncellenen bir öngörüye dönüştürür.

Model

Bu bölümün parametreleri ve getirileri, mekanizmayı elle izlemek amacıyla seçilmiş yuvarlak değerlerdir; belirli bir endeksin ya da hissenin tahmini değildir. Getiriler yüzde, varyanslar yüzde karesi cinsindendir.

Çözümlü örnek — Bir şokun ertesi güne etkisi

Bir hisse endeksinin günlük getirisinin koşullu varyansı bir GARCH(1,1) modeliyle betimleniyor:

bugünkü varyans = 0,05 + 0,10 × dünkü şokun karesi + 0,85 × dünkü varyans

Dünkü varyans 1 olsun, yani dünkü koşullu standart sapma yüzde 1. Dün endeks beklenmedik biçimde yüzde 4 düştü; şokun karesi 16'dır. Bugünkü varyans: sabit 0,05, şoktan gelen kısım 16'nın onda biri olan 1,6, geçmiş varyanstan gelen kısım 1'in 0,85'i; toplam 2,5. Bugünkü koşullu standart sapma 2,5'in karekökü, yaklaşık yüzde 1,58'dir. Tek bir sert gün, ertesi günün beklenen oynaklığını yüzde 58 artırmıştır.

Bugün endeks hiç değişmezse, yarınki varyans 0,05 artı 2,5'in 0,85'i, yani 2,175 olur; oynaklık yavaşça geriler. Bugün de yüzde 3'lük bir hareket olursa, şokun karesi 9'dan gelen 0,9 eklenir ve varyans 3,075'e çıkar. Oynaklığın kümelenmesi budur: büyük bir hareket, ertesi günlerdeki büyük hareketlerin olasılığını artırır ve her yeni büyük hareket bu artışı tazeler.

Çözümlü örnek — Uzun dönem varyansı ve kalıcılık

Şokların ortalama büyüklüğü uzun dönemde nereye yerleşir? Uzun dönem varyansı, modeldeki sabit terimin, bir eksi iki katsayının toplamına bölünmesiyle bulunur. Burada iki katsayının toplamı 0,95'tir; 0,05 bölü 0,05, yani uzun dönem varyansı 1'dir ve uzun dönem günlük standart sapması yüzde 1'dir.

Bugünkü varyans 2,5 olduğuna göre, uzun dönem değerinin 1,5 üzerindedir. Her gün bu fazlalığın yüzde 95'i bir sonraki güne taşınır. Bir önceki dersteki formül burada da işler: yarının logaritması (−0,693) ile 0,95'in logaritması (−0,051) oranlanır ve sonuç 13,5 gündür. Bir çalkantının oynaklık üzerindeki etkisinin yarısı, iki buçuk işlem haftasında söner.

Çözümlü örnek — Önümüzdeki günlerin varyans öngörüsü

Bir risk yöneticisi önümüzdeki on işlem gününün toplam riskini bilmek istiyor. GARCH(1,1) modelinde, h gün sonrası için varyans öngörüsü uzun dönem varyansı ile bugünkü fazlalığın kalıcılığın kuvvetiyle küçültülmüş hâlinin toplamıdır. Yarın için fazlalık 1,5 olduğundan öngörü 2,5'tir; iki gün sonrası için 1 artı 1,5'in 0,95'i, yani 2,425; beş gün sonrası için 1 artı 1,5'in 0,95'in dördüncü kuvvetiyle çarpımı, yani yaklaşık 2,22; on gün sonrası için yaklaşık 1,95.

On günlük toplam varyans, bu on öngörünün toplamıdır ve yaklaşık 22'dir; on günlük standart sapma bunun karekökü, yaklaşık yüzde 4,7'dir. Sabit varyans varsayan bir hesap ise on günlük varyansı on, standart sapmayı on'un karekökü, yaklaşık yüzde 3,2 bulurdu. Çalkantının başında, basit «zamanın karekökü» kuralı on günlük riski yaklaşık üçte bir oranında küçük gösterir.

Çözümlü örnek — Sakin dönemin tuzağı

Şimdi tersini düşünelim. Endeks aylardır dar bir bantta hareket ediyor ve koşullu varyans 0,6'ya, yani koşullu standart sapma yaklaşık yüzde 0,77'ye inmiş. Bugün de getiri neredeyse sıfır. Yarınki varyans: 0,05 artı 0,6'nın 0,85'i, yani 0,56. Varyans, şok gelmedikçe, uzun dönem değerinin altında kalmaya devam eder ve yalnızca sabit terim sayesinde yavaşça geri yükselir.

Bir hafta sonrası için öngörü ise, uzun dönem değerine doğru dönüş formülüyle, 1 eksi 0,4'ün 0,95'in dördüncü kuvvetiyle çarpımı, yani yaklaşık 0,67'dir; bir ay, yani yaklaşık yirmi bir işlem günü sonrası için yaklaşık 0,86. Model, sakin dönemin süreceğini değil, yavaş yavaş sona ereceğini öngörür. Sakin dönem uzadıkça modelin uzun dönem varyansı da, yeniden tahmin edildiğinde, düşmeye başlar; çünkü örneklemin giderek daha büyük kısmı sakin günlerden oluşur. Kısa bir pencereyle tahmin edilen bir model, bu yüzden uzun bir sakin dönemin sonunda riski en düşük düzeyde ölçer.

Bu, risk yönetiminde bilinen bir tuzağa işaret eder. Uzun bir sakin dönemin sonunda koşullu varyansa dayanan kayıp eşikleri düşer, bu da daha fazla risk almayı mümkün kılar. Birçok kurum aynı modeli kullanıyorsa, sakin dönemler kaldıraç birikimini kolaylaştırabilir ve bir şok geldiğinde, oynaklığın birden sıçramasıyla, aynı kurumlar aynı anda pozisyon kapatmak zorunda kalabilir. Koşullu oynaklık, riskin bugünkü düzeyini doğru ölçer; ama riskin nasıl biriktiğini görmez. Düşük oynaklık, düşük risk ile aynı şey değildir.

Çözümlü örnek — Enflasyonun belirsizliği

Engle'ın ilk sorusuna benzer bir hesap yapalım. Bir ülkenin aylık enflasyon sürprizleri, yani gerçekleşen enflasyon ile bir önceki ayın öngörüsü arasındaki farklar, bir ARCH(1) modeliyle betimleniyor: bu ayki varyans 0,1 artı geçen ayki sürprizin karesinin 0,6'sı. Birimler yüzde puandır.

Sakin bir dönemde geçen ayın sürprizi 0,2 puan ise, karesi 0,04 ve bu ayki varyans 0,1 artı 0,024, yani 0,124 olur; standart sapma yaklaşık 0,35 puan. Bir kur şoku nedeniyle enflasyon öngörüden 1,5 puan yüksek gerçekleşirse, karesi 2,25 ve ertesi ayki varyans 0,1 artı 1,35, yani 1,45 olur; standart sapma yaklaşık 1,2 puan. Bir aylık bir sürpriz, ertesi ayın enflasyon belirsizliğini üç kattan fazla artırmıştır.

Friedman'ın fikri doğruysa, bu belirsizlik artışı ücret sözleşmelerini kısaltır, uzun vadeli borçlanmayı pahalılaştırır ve yatırım kararlarını erteletir. ARCH modeli, bu etkileri sınamak için belirsizliğin zaman içindeki ölçüsünü sağlar; belirsizliğin kendisi, böylece başka bir modelde açıklayıcı değişken olarak kullanılabilir.

Çözümlü örnek — Kayıp eşiği

Bir fon, bir milyon liralık endeks portföyünün kötü bir günde ne kadar kaybedebileceğini, yüz günden birinde aşılacak bir kayıp eşiği olarak hesaplıyor. Getirilerin koşullu olarak normal dağıldığını varsayarsak, bu eşik koşullu standart sapmanın yaklaşık 2,33 katıdır.

Uzun dönem standart sapmasıyla, yani yüzde 1'le hesaplandığında eşik yüzde 2,33, yani 23.300 liradır. Yüzde 4'lük düşüşün ertesi günü, koşullu standart sapma yüzde 1,58 iken eşik yaklaşık yüzde 3,68, yani 36.800 liradır. Sabit bir standart sapma kullanan bir fon, çalkantının ertesi günü riskini yaklaşık üçte bir eksik ölçerdi. Tersine, uzun bir sakin dönemin sonunda koşullu varyans uzun dönem değerinin altına inmişse, sabit hesap riski abartır ve gereğinden fazla sermaye bağlar.

Normal dağılım varsayımının kendisi de bir uyarı taşır. Bir sonraki örnekte göreceğimiz gibi, koşullu varyans değişirken getirilerin koşulsuz dağılımının kuyrukları normal dağılımdan kalındır; koşullu dağılımın kendisi de çoğu zaman normalden kalın kuyrukludur. Bu yüzden uygulamada kayıp eşikleri, kalın kuyruklu koşullu dağılımlarla da hesaplanır.

Çözümlü örnek — Değişen varyans kalın kuyruk yaratır

En basit ARCH modelini düşünelim: bugünkü varyans 0,5 artı dünkü şokun karesinin yarısıdır. Uzun dönem varyansı 0,5 bölü 0,5, yani 1'dir. Her günün şoku, o günün koşullu varyansıyla normal dağılıyor.

Bu sürecin koşulsuz dağılımının basıklığı, yani kuyruklarının kalınlığının ölçüsü, normal dağılımın 3 olan basıklığından büyüktür. Bu modelde basıklık, 3 çarpı bir eksi katsayının karesi, bölü bir eksi üç çarpı katsayının karesi formülüyle bulunur: katsayının karesi 0,25 olduğundan 3 çarpı 0,75 bölü 0,25, yani 9 çıkar. Her gün tek başına normal olduğu hâlde, günler bir araya getirildiğinde uç değerler normal dağılımın öngördüğünden çok daha sık görülür.

Bunun sezgisi basittir: bazı günler varyansı küçük, bazıları büyük normal dağılımlardan çekilir; büyük varyanslı günlerin uç değerleri, bütün dağılımın kuyruklarını kalınlaştırır. Finansal getirilerde gözlenen kalın kuyrukların bir kısmı, böylece zamanla değişen oynaklıkla açıklanır. Ama yalnızca bir kısmı: uygulamada GARCH modellerinin kalıntıları da genellikle normal dağılımdan kalın kuyrukludur.

Çözümlü örnek — Kötü haber daha gürültülü

Glosten, Jagannathan ve Runkle'nin önerdiği türden bir asimetrik modelde, olumsuz şoklar için ek bir katsayı vardır. Varyans denklemi şöyle olsun: 0,05 artı 0,06 çarpı şokun karesi, artı şok negatifse 0,08 çarpı şokun karesi, artı 0,85 çarpı dünkü varyans.

Dünkü varyans 1 iken endeks yüzde 4 yükselirse, bugünkü varyans 0,05 artı 0,96 artı 0,85, yani 1,86 olur. Endeks yüzde 4 düşerse, şokun karesi 0,06 ile 0,08'in toplamı olan 0,14'le çarpılır ve 2,24 eder; varyans 3,14'e çıkar. Aynı büyüklükteki bir düşüş, bir yükselişe göre ertesi günün varyansını yaklaşık 1,7 kat daha çok artırır.

Çözümlü örnek — ARCH etkisi var mı?

Bir araştırmacı, 500 günlük bir getiri serisi için önce ortalama denklemini tahmin ediyor ve kalıntıları kaydediyor. Engle'ın önerdiği testi uygulamak için kalıntıların karelerini, bir gün önceki kalıntıların karelerine regres ediyor ve açıklama gücünü 0,04 buluyor. Test istatistiği, gözlem sayısı ile açıklama gücünün çarpımıdır: 500 çarpı 0,04, yani 20. Bu istatistik, bir gecikme için bir serbestlik dereceli ki-kare dağılımına göre değerlendirilir ve yüzde 5 eşiği yaklaşık 3,84'tür. 20 bu eşiğin çok üstündedir; koşullu varyansın sabit olduğu hipotezi reddedilir.

Testin bir inceliği vardır. Ortalama denklemi yanlış belirlenmişse, örneğin ortalamanın düzeyi örneklem içinde kaymışsa ya da bir açıklayıcı unutulmuşsa, kalıntıların kareleri de öz ilişkili görünebilir. ARCH testi bu yüzden yalnızca oynaklık kümelenmesinin değil, genel bir yanlış belirlemenin de işareti olabilir; önce ortalama denkleminin doğru kurulması gerekir.

Modelin sınırları

Bütün bu hesaplar, parametrelerin bilindiğini ve sabit olduğunu varsayar. Uygulamada parametreler, binlerce günlük veriyle tahmin edildiğinde bile belirsizdir ve özellikle kalıcılık 1'e çok yakın çıktığında, küçük tahmin farkları uzun ufuklu öngörüleri büyük ölçüde değiştirir. Ayrıca model geçmişe bakar: bir krizin ilk gününü öngöremez, yalnızca ilk günden sonra uyarlanır. Oynaklıktaki ani rejim değişimleri, örneğin bir kur rejiminin terk edilmesi, GARCH modellerinde yapay olarak yüksek bir kalıcılık gibi görünebilir.

Bir başka sınır, modelin oynaklığın nedenleri hakkında hiçbir şey söylememesidir. Koşullu varyans, geçmiş şokların büyüklüğünden türetilir; şokların neden büyük olduğu, örneğin bir politika belirsizliğinin, bir likidite sıkışmasının ya da bir haberin sonucu olup olmadığı modelin dışında kalır. Bu yüzden GARCH modelleri, oynaklığı öngörmekte başarılı olsa da, oynaklığı azaltmak için ne yapılabileceğine dair doğrudan bir yol göstermez. Önceden bilinen olaylar, örneğin bir merkez bankası toplantısı ya da bir enflasyon açıklaması günü, varyans denklemine kukla değişkenler olarak eklenebilir; böylece model, takvimden gelen öngörülebilir oynaklığı geçmiş şokların yarattığı oynaklıktan ayırabilir. Hafta sonları ve tatiller de benzer bir düzeltme gerektirir, çünkü kapanışlar arasındaki süre uzadıkça birikmiş haber miktarı artar.

Teknik

Modelin yapısı

Bir ARCH modelinde iki denklem vardır. Ortalama denklemi, serinin koşullu beklenen değerini, örneğin bir sabit ya da bir ARMA yapısıyla betimler. Varyans denklemi ise ortalama denkleminin şokunun koşullu varyansını betimler. ARCH(q) modelinde bu varyans, bir sabitle son q dönemin şoklarının karelerinin ağırlıklı toplamıdır. Varyansın pozitif kalması için sabitin pozitif, katsayıların negatif olmaması gerekir; koşulsuz varyansın sonlu olması için katsayıların toplamı 1'den küçük olmalıdır.

GARCH(1,1) modeli, geriye doğru açıldığında, geçmiş bütün şokların karelerinin geometrik olarak azalan ağırlıklarla toplamına eşdeğerdir: dünkü şokun karesinin ağırlığı 0,10 ise, iki gün önceki şokun ağırlığı 0,10 çarpı 0,85, üç gün öncekinin 0,10 çarpı 0,85'in karesidir. Bu, sınırsız gecikmeli bir ARCH modeline denk gelir ve üç parametreyle uzun bir hafıza sağlar. Varyans denklemi, şokların kareleri için bir ARMA(1,1) modeli olarak da yeniden yazılabilir; bu, oynaklık öngörülerinin neden ARMA öngörüleri gibi uzun dönem ortalamasına geometrik olarak yaklaştığını açıklar.

Tahmin

Bu modellerin parametreleri olabilirliği en büyükleyerek bulunur. Her gün için, o güne kadarki bilgiye koşullu varyans hesaplanır ve şokun bu varyansla normal dağıldığı varsayımıyla olabilirlik katkısı bulunur; toplam olabilirlik, parametreler üzerinde sayısal yöntemlerle en büyüklenir. Engle'ın belirttiği gibi en küçük kareler, ortalama denkleminin katsayıları için tutarlıdır, ama en çok olabilirlik daha etkindir: büyük varyanslı dönemlerin gözlemlerine daha az, sakin dönemlerinkine daha çok ağırlık verir.

Koşullu dağılım gerçekte normal değilse, normal olabilirlik yine de tutarlı parametre tahminleri verebilir; bu yaklaşıma yarı olabilirlik denir ve standart hataların dayanıklı biçimde hesaplanmasını gerektirir. Alternatif olarak, kalın kuyruklu bir koşullu dağılım, örneğin t dağılımı, doğrudan modele konabilir; bu, özellikle uç kayıpların olasılığını hesaplamak için önemlidir. Olabilirlik yüzeyi, özellikle kalıcılık 1'e yakınken düz olabilir ve sayısal en büyükleme farklı başlangıç değerlerinden farklı sonuçlara ulaşabilir; bu yüzden tahminleri birkaç başlangıç noktasından denemek iyi bir uygulamadır. Tahmin sırasında bir başka pratik sorun, başlangıç varyansının seçimidir; genellikle örneklem varyansı kullanılır ve uzun örneklemlerde bu seçimin etkisi kaybolur.

Asimetri ve öbür uzantılar

Kaldıraç etkisini yakalamak için birkaç model geliştirilmiştir. Glosten, Jagannathan ve Runkle'nin modelinde negatif şoklar için ek bir katsayı vardır. Daniel Nelson'ın 1991'de önerdiği üstel GARCH modelinde ise varyansın logaritması modellenir; böylece katsayılara pozitiflik kısıtı koymaya gerek kalmaz ve şokun işareti ile büyüklüğü ayrı terimlerle etkiler. Bir başka uzantıda, koşullu varyans ortalama denklemine de girer: yatırımcıların yüksek riskli dönemlerde daha yüksek getiri isteyip istemediği bu yolla sınanır. Glosten ve arkadaşlarının kullandığı GARCH-M modeli bu türdendir ve risk ile getiri arasındaki ilişkinin işaretine dair bulguların modele duyarlılığı, bu ilişkinin hâlâ tartışmalı olmasının bir nedenidir.

Kalıcılık ve entegre GARCH

Birçok finansal seride tahmin edilen kalıcılık 1'e çok yakın çıkar. Toplam tam 1 olduğunda model entegre GARCH olarak adlandırılır: oynaklık şokları hiç sönmez ve varyans öngörüleri uzun dönem ortalamasına dönmez. Pratikte yaygın kullanılan bir risk ölçümü yöntemi, sabit terimi sıfır alıp geçmiş varyansa yüksek bir ağırlık veren üstel ağırlıklı hareketli ortalamadır ve entegre bir GARCH modelinin özel bir durumudur. Ama yüksek tahmin edilen kalıcılığın bir kısmı yapay olabilir: örneklemde varyansın düzeyi bir kez kalıcı olarak değişmişse, sabit parametreli bir GARCH modeli bu değişimi çok yavaş sönen şoklar olarak okur. Glosten ve arkadaşlarının oynaklığın sanıldığı kadar kalıcı olmayabileceği bulgusu, modelin biçiminin kalıcılık tahminini etkileyebildiğini gösteriyordu.

Ortalama denklemi ve değişen varyans

Koşullu değişen varyans, ortalama denklemindeki çıkarımı da etkiler. Engle'ın belirttiği gibi en küçük kareler, ortalama katsayıları için hâlâ kullanılabilir; ama olağan standart hatalar, varyansın değiştiğini hesaba katmaz ve yanıltıcı olabilir. Değişen varyansa dayanıklı standart hatalar bu sorunu katsayıların anlamlılığı için giderir; ama öngörü aralıkları için yeterli değildir. Bir öngörü aralığı, o günün koşullu varyansıyla hesaplanmalıdır: aynı ortalama öngörüsü, sakin bir günde dar, çalkantılı bir günde geniş bir aralıkla sunulmalıdır.

Bu nokta öngörüde önemlidir. Sabit varyanslı bir modelin yüzde 95'lik öngörü aralıkları, uzun dönemde gerçekleşmelerin yüzde 95'ini kapsayabilir; ama bu kapsama zamana eşit dağılmaz. Sakin dönemlerde aralıklar gereğinden geniş, çalkantılı dönemlerde gereğinden dardır ve aralığın dışına çıkan gözlemler çalkantılı dönemlerde kümelenir. Bir öngörü aralığının kalitesi, yalnızca ortalama kapsama oranıyla değil, aşımların zamana nasıl dağıldığıyla da değerlendirilmelidir.

Uzun hafıza

Bazı serilerde getirilerin karelerinin öz ilişkisi, bir GARCH(1,1) modelinin öngördüğü geometrik hızdan çok daha yavaş azalır; aylar, hatta yıllar sonra bile küçük ama sıfırdan farklı kalır. Bu tür uzun hafızayı yakalamak için kesirli entegre modeller ve farklı ufuklardaki oynaklıkları birlikte kullanan modeller geliştirilmiştir. Gerçekleşmiş varyansın günlük, haftalık ve aylık ortalamalarını açıklayıcı değişken olarak kullanan basit regresyonlar, uygulamada bu uzun hafızayı şaşırtıcı ölçüde iyi yakalar. Ama uzun hafıza ile rejim değişimleri, sınırlı veriyle birbirinden kolayca ayırt edilemez: varyansın düzeyinin birkaç kez değiştiği bir seri de yavaş azalan bir öz ilişki üretir.

Gerçekleşmiş varyans

Oynaklık modellerini değerlendirmenin bir sorunu, gerçek oynaklığın gözlenmemesidir. Günlük getirinin karesi, o günün varyansının sapmasız ama çok gürültülü bir ölçüsüdür: sakin bir günde bile tek bir haber getiriyi büyütebilir. Bu gürültülü ölçüyle değerlendirilen iyi bir model, kötü görünebilir. Gün içi verilerden hesaplanan gerçekleşmiş varyans bu gürültüyü büyük ölçüde azaltır. Hansen ve Lunde'nin IBM getirileri için bu ölçüyü kullanması, modeller arasındaki farkları görünür kılmanın bir yoluydu.

Çok değişkenli oynaklık

Portföy riskinde yalnızca her varlığın oynaklığı değil, varlıklar arasındaki korelasyon da zamanla değişir; krizlerde korelasyonların yükselmesi, çeşitlendirmenin en çok gerektiği anda azalması demektir. Çok değişkenli GARCH modelleri, koşullu kovaryans matrisini modellemek için geliştirilmiştir. Bunların en büyük sorunu parametre sayısıdır: birkaç varlık için bile serbest bir modelin parametre sayısı hızla büyür. Bu yüzden, Engle'ın önerdiği dinamik koşullu korelasyon modeli gibi, önce her varlığın oynaklığını ayrı ayrı modelleyip sonra korelasyonları az parametreyle güncelleyen yapılar yaygınlaşmıştır.

Makroekonomideki kullanım

Oynaklık modelleri finansla sınırlı değildir. Engle'ın ilk uygulaması enflasyon belirsizliğiydi; benzer modeller, enflasyon belirsizliğinin büyümeye ya da enflasyonun kendisine etkisini, döviz kuru oynaklığının ticarete etkisini ve büyüme oynaklığındaki uzun dönemli değişimleri incelemek için kullanılır. Kursta daha önce kurulan VAR ve hata düzeltme modellerinin kalıntılarında da koşullu değişen varyans bulunabilir; bu durumda katsayı tahminleri tutarlı kalsa da güven aralıkları yanıltıcı olabilir.

Uygulama

Özet kartı

1. Engle, öngörü varyansının sabit olduğu varsayımını gevşeten ARCH süreçlerini tanıttı: bu süreçler öz ilişkisizdir ve koşulsuz varyansları sabittir, ama koşullu varyansları geçmiş şokların karelerine bağlıdır; İngiltere enflasyonunun varyansının 1970'lerde önemli ölçüde arttığını buldu.
2. GARCH(1,1) modelinde koşullu varyans, bir sabit, dünkü şokun karesi ve dünkü varyansın ağırlıklı toplamıdır; iki katsayının toplamı oynaklık kalıcılığını, sabit bölü bir eksi bu toplam ise uzun dönem varyansını verir.
3. Koşullu varyans çalkantının başında sabit standart sapmanın çok üstüne çıkabilir; bu yüzden sabit varyansa dayanan kayıp eşikleri ve zamanın karekökü kuralı, riski çalkantı dönemlerinde küçük, sakin dönemlerde büyük gösterir.
4. Glosten, Jagannathan ve Runkle, beklenmedik olumsuz getirilerin koşullu oynaklığı yükselttiğini, olumlu getirilerin düşürdüğünü ve oynaklığın sanıldığı kadar kalıcı olmayabileceğini buldu; risk ile beklenen getiri arasındaki ilişkinin işareti ise tartışmalı kalmıştır.
5. Hansen ve Lunde, 330 modeli karşılaştırarak kur verilerinde GARCH(1,1)'in daha gelişmiş modellerce geride bırakılmadığını, hisse getirilerinde ise kaldıraç etkisine izin veren modellerin açıkça daha iyi olduğunu gösterdi.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bir serinin ortalama açısından öngörülemez, varyans açısından öngörülebilir olması ne demektir? Oynaklık kümelenmesi bu ayrımla nasıl ilişkilidir?
2. (Çıktı 2) Model bölümündeki GARCH(1,1) modelinde dünkü varyans 1,2 ve dünkü getiri şoku yüzde 2 ise bugünkü varyans ve koşullu standart sapma nedir?
3. (Çıktı 2) Kalıcılık 0,95 yerine 0,98 olsaydı ve sabit terim uzun dönem varyansı yine 1 olacak biçimde ayarlansaydı, sabit terim ne olurdu ve bir oynaklık şokunun yarılanma süresi yaklaşık kaç gün olurdu?
4. (Çıktı 2) Asimetrik model örneğinde dünkü varyans 2 iken endeks yüzde 3 düşerse bugünkü varyans ne olur? Aynı büyüklükte bir yükselişle karşılaştırın.
5. (Çıktı 3) Bir portföy yöneticisi, yıllık riskini günlük standart sapmayı 250 günün kareköküyle çarparak hesaplıyor. Bu yöntem hangi koşullarda riski küçük, hangi koşullarda büyük gösterir?
6. (Çıktı 4) Bir veri bilimcisi, «yüzlerce oynaklık modeli var; en karmaşık olanı seçmek en güvenlisidir» diyor. Bu görüşü Hansen ve Lunde'nin karşılaştırması ve Glosten, Jagannathan ve Runkle'nin bulguları ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. Ortalama açısından öngörülemezlik, geçmiş bilgilerin yarının getirisinin yönü ve beklenen değeri hakkında bir şey söylememesidir; getiriler öz ilişkisizdir. Varyans açısından öngörülebilirlik ise geçmiş bilgilerin yarının hareketinin büyüklüğü hakkında bilgi vermesidir; getirilerin kareleri öz ilişkilidir. Oynaklık kümelenmesi bu ikinci özelliğin görünür biçimidir: büyük hareketleri, yönleri kestirilemese de, büyük hareketler izler.
2. Şokun karesi 4'tür. Bugünkü varyans 0,05 artı 4'ün onda biri olan 0,4, artı 1,2'nin 0,85'i olan 1,02; toplam 1,47. Koşullu standart sapma 1,47'nin karekökü, yaklaşık yüzde 1,21'dir.
3. Uzun dönem varyansı, sabit bölü bir eksi kalıcılık olduğundan, bunun 1 olması için sabit 0,02 olmalıdır. Yarılanma için yarının logaritması 0,98'in logaritmasına bölünür: yaklaşık −0,693 bölü −0,020, yani yaklaşık 34 gün. Kalıcılıktaki küçük bir artış, oynaklık şoklarının sönme süresini iki buçuk kattan fazla uzatır.
4. Şokun karesi 9'dur. Düşüşte: 0,05 artı 9 çarpı 0,14, yani 1,26, artı 2'nin 0,85'i olan 1,7; toplam 3,01. Aynı büyüklükte bir yükselişte: 0,05 artı 9 çarpı 0,06, yani 0,54, artı 1,7; toplam 2,29. Düşüş, ertesi günün varyansını yükselişe göre 0,72 puan daha fazla artırır.
5. Karekök kuralı, günlük getirilerin bağımsız ve aynı varyanslı olduğunu varsayar. Koşullu varyans uzun dönem değerinin üzerindeyken, örneğin bir çalkantının hemen ardından, yakın günlerin varyansı yüksek olacağı için kural, kullanılan günlük standart sapma uzun dönem değeriyse riski küçük gösterir; tersine, kullanılan günlük standart sapma çalkantı gününün koşullu değeriyse, bu yüksek değeri bütün yıla yayarak riski abartır. Sakin bir dönemde koşullu varyans uzun dönem değerinin altındaysa, aynı mantıkla tersi geçerlidir. Ayrıca kalın kuyruklar ve getiri öz ilişkisi de kuralın varsayımlarını bozar.
6. Görüş yanlıştır. Hansen ve Lunde, 330 model arasından kur verilerinde GARCH(1,1)'in daha gelişmiş modellerce geride bırakıldığına dair kanıt bulamadı; karmaşıklık her zaman öngörü kazancı getirmez ve fazla parametre örneklem dışında hata yapma riskini artırır. Ama hisse getirilerinde, Glosten, Jagannathan ve Runkle'nin belgelediği türden bir asimetri önemli olduğunda, kaldıraç etkisine izin veren modeller GARCH(1,1)'den açıkça daha iyiydi. Doğru tutum, model karmaşıklığını verinin özelliklerine göre seçmek ve örneklem dışı karşılaştırmalarla sınamaktır; Hansen ve Lunde'nin gösterdiği gibi bu karşılaştırmalarda kullanılan testin gücü de dikkatle değerlendirilmelidir.

İleri okuma

• Robert F. Engle (1982). «Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation». Econometrica 50(4). ARCH modelinin ve testinin ilk sunuluşu.
• Lawrence R. Glosten, Ravi Jagannathan, David E. Runkle (1993). «On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks». Journal of Finance 48(5). Asimetrik oynaklık ve risk–getiri ilişkisi.
• Peter R. Hansen, Asger Lunde (2005). «A Forecast Comparison of Volatility Models: Does Anything Beat a GARCH(1,1)?». Journal of Applied Econometrics 20(7). Yüzlerce oynaklık modelinin örneklem dışı karşılaştırması.

Sonraki derse köprü

Hansen ve Lunde'nin çalışması, bu dersin sonunu kursun bir sonraki sorusuna bağlıyor: bir öngörünün iyi olup olmadığına nasıl karar veririz? İki modelin öngörü hatalarından hangisinin «daha küçük» olduğu, hatanın nasıl ölçüldüğüne, karşılaştırmanın örneklem içinde mi dışında mı yapıldığına ve aradaki farkın tesadüf olup olmadığını sınayan testin gücüne bağlıdır. Çok sayıda model denendiğinde, en iyi görünenin şansla seçilmiş olma tehlikesi de büyür. Öngörü üretmek ile öngörüyü değerlendirmek arasındaki bu ayrım, tahmin ve tahmin değerlendirmesi dersinin konusudur.