Hata düzeltme modelleri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Hata düzeltme modelini, uyum katsayısını, sapmanın yarılanma süresini, zayıf dışsallığı, vektör hata düzeltme modelini ve eşikli hata düzeltme modelini tanımlar.
• Uygulama — Bir hata düzeltme modelinde bir sapmanın dönem dönem nasıl kapandığını, kapanmanın yükünün değişkenler arasında nasıl paylaşıldığını ve sapmanın yarılanma süresini hesaplar.
• Analiz — Kısa dönem tepkileri ile uzun dönem ilişkiyi tek bir denklemde birleştiren yapının, bir değişkenin kalıcı bir değişimine verilen tepkinin zaman yolunu nasıl belirlediğini çözümler.
• Değerlendirme — Reel döviz kurlarının yavaş uyumuna, doğrusal olmayan uyuma dair kanıtlara ve tüketim–servet sapmasının hangi değişkeni öngördüğüne dair bulgulara dayanarak, tahmin edilmiş bir uyum hızına hangi koşullarda güvenilebileceğini tartışır.

Sezgi

Açılış

Bir termostat düşünün. Odanın sıcaklığı ayarlanan değerin altına düştüğünde kalorifer çalışır, üstüne çıktığında durur. Kapı açılıp soğuk hava girdiğinde sıcaklık bir anda düşer; ama termostat bu sapmayı fark eder ve sıcaklık yavaş yavaş ayarlanan değere geri döner. Bir gözlemci odanın sıcaklığını saat saat izlese, iki şey görür: kapının açılması gibi kısa süreli sarsıntılar ve her sarsıntıdan sonra hedef değere doğru düzenli bir dönüş.

Bir önceki derste, birbirinden kopmayan seriler arasında bir denge ilişkisi bulunabileceğini gördük. Ama bir denge ilişkisinin var olduğunu bilmek, termostatın var olduğunu bilmek gibidir; termostatın nasıl çalıştığını söylemez. Sapmanın kapanması haftalar mı, yıllar mı sürer? Kapanmanın yükünü hangi değişken taşır? Kısa dönemde gelen bir sarsıntı, uzun dönem ilişki yeniden kurulana kadar hangi yolu izler? Bu sorular, iktisadi uyumun mekaniğiyle ilgilidir ve politika açısından çoğu zaman dengenin kendisinden daha önemlidir.

Bir merkez bankası, politika faizindeki bir değişimin kredi faizlerine ne kadar sürede yansıdığını bilmek ister. Bir ticaret bakanlığı, kurdaki bir değer kaybının ithal mal fiyatlarına ne kadar sürede geçtiğini sorar. Bir hane, gelirindeki kalıcı bir artışın tüketimine hemen mi, yavaş yavaş mı yansıyacağını, farkında olmadan yaşar. Her birinde bir uzun dönem ilişki vardır; ama asıl soru, ilişkiye dönüşün hızı ve biçimidir.

Hikâye — İngiliz tüketicisi ve bir denklemin biçimi

1970'lerde İngiltere'deki ekonometriciler, toplam tüketim harcamasını gelirle ilişkilendiren denklemlerin neden sürekli bozulduğunu tartışıyordu. Düzeylerle kurulan modeller sahte regresyon tehlikesi taşıyordu; farklarla kurulan modeller ise tüketimin gelirle uzun dönemli bağını tamamen atıyordu. James Davidson, David Hendry, Frank Srba ve Stephen Yeo, 1978'de Economic Journal'da yayımlanan bir makalede, bu iki uç arasında bir yol önerdi: tüketimin değişimini, gelirin değişimiyle ve bir önceki dönemde tüketimin gelire oranının uzun dönem değerinden ne kadar saptığıyla birlikte açıklayan bir denklem. Bu biçim, sonradan baş harflerinden dolayı yazarlarının adıyla anılan bir model olarak, ekonometri tarihine geçti.

Denklemin mantığı termostata benzer. Tüketimin değişimi iki parçadan oluşur: bu dönemki gelir değişimine verilen kısa dönem tepki ve geçen dönemki dengesizliğin düzeltilmesi. Tüketim, gelire göre olması gerekenden düşük kalmışsa, bir sonraki dönemde biraz daha hızlı artar; yüksek kalmışsa, biraz daha yavaş. Engle ve Granger'ın 1987'de gösterdiği gibi, eşbütünleşik her sistem bu biçimde yazılabilir; bu sonuç, uygulamada denklemi bir pratik seçim olmaktan çıkarıp eşbütünleşmenin zorunlu bir sonucu hâline getirdi.

Kavram — ne kadar sürede?

Uyum katsayısı tek başına sezgisel bir sayı değildir; «aylık −0,15» bir yöneticiye pek bir şey anlatmaz. Daha kolay okunan bir ölçü, bir sapmanın yarısının ne kadar sürede kapandığıdır.

Veri ve kanıt — yavaş dönüş bilmecesi

Hata düzeltme fikrinin en çok tartışıldığı alanlardan biri reel döviz kurlarıdır. Satın alma gücü paritesine göre, aynı para birimine çevrildiğinde ülkelerin fiyat düzeyleri uzun dönemde eşitlenmelidir; reel kur, bu dengeden sapmayı ölçer. Kenneth Rogoff, 1996'da bu konudaki geniş literatürü gözden geçirdi.

Yılda yüzde 15'lik bir sönme hızı, her yıl sapmanın yüzde 85'inin kaldığı anlamına gelir; buradan yarılanma süresi dört yılın biraz üzerinde çıkar. Kısa dönem oynaklığı para ve finans şoklarıyla açıklanıyorsa, bu şokların etkisinin yapışkan fiyatlar altında bile birkaç yılda sönmesi beklenirdi; dört yıllık bir yarılanma, bu açıklama için çok uzundu.

Mark Taylor, David Peel ve Lucio Sarno, bilmecenin bir kısmının kullanılan modelin biçiminden kaynaklanabileceğini savundu.

İki çalışma birlikte okunduğunda, bir uyum hızı tahmininin modelden bağımsız bir olgu olmadığı görülür. Doğrusal bir model, küçük sapmalarda neredeyse hiç uyum olmayan, büyük sapmalarda ise hızlı uyumun görüldüğü bir dünyayı tek bir ortalama hızla özetler ve bu ortalama yavaş çıkar. Ama doğrusal olmayan modeller de tartışmasız değildir; bunlar daha fazla parametre içerir ve yarılanma süreleri, şokun büyüklüğüne bağlı olduğu için tek bir sayıyla özetlenemez.

Martin Lettau ve Sydney Ludvigson ise hata düzeltme mantığını finansa uyguladılar ve dengeden sapmanın hangi değişkeni öngördüğünü sordular.

Buradaki ders, uyumun yönüyle ilgilidir. Tüketim servete göre yüksek kaldığında, dengeye dönüş tüketimin düşmesiyle değil, servetin, yani varlık getirilerinin yükselmesiyle gerçekleşiyorsa, sapma tüketimi değil, gelecekteki getirileri öngörür. Bir hata düzeltme modeli, yükü hangi değişkenin taşıdığını ölçerek bu tür iddiaları sınanabilir kılar.

Neden önemli? — politikanın zamanlaması

Faiz değişimlerinin kredi faizlerine geçişi, kurun fiyatlara geçişi, vergi değişimlerinin fiyatlara yansıması ve ücretlerin enflasyona uyumu; bunların hepsi uzun dönem ilişkisi ile kısa dönem dinamikleri birlikte taşıyan süreçlerdir. Politika yapıcı için «uzun dönemde tam geçiş var» bilgisi, «geçişin yarısı ne zaman tamamlanır» bilgisi olmadan eksiktir: tam geçiş beş yıl sürüyorsa, bir yıllık bir politika ufkunda etkinin büyük kısmı görülmez.

Model

Bu bölümdeki katsayılar ve fiyatlar, dönüş mekaniğini adım adım izleyebilmek için kurgulanmış örnek değerlerdir; hiçbir piyasanın tahmini değildir.

Çözümlü örnek — Kim kapatıyor?

Konya ve İzmir'de buğday fiyatlarının eşbütünleşik olduğunu ve uzun dönem ilişkinin «İzmir fiyatı eşittir Konya fiyatı artı 5» olduğunu varsayalım; fiyatlar ton başına yüz lira cinsindendir. Denge hatası, İzmir fiyatından Konya fiyatının ve 5'in çıkarılmasıyla bulunur. Aylık bir hata düzeltme sistemi şöyle olsun:

İzmir fiyatındaki değişim = −0,3 × geçen ayın denge hatası + şok

Konya fiyatındaki değişim = +0,1 × geçen ayın denge hatası + şok

İşaretler mantıklıdır: hata pozitifse, yani İzmir fiyatı fazla yüksekse, İzmir fiyatı düşer ve Konya fiyatı yükselir; ikisi de farkı kapatır.

Bir ay denge hatası 8'e çıkmış olsun ve sonrasında yeni şok gelmesin. Ertesi ay İzmir fiyatı, 8'in yüzde 30'u kadar, yani 2,4 düşer; Konya fiyatı 8'in onda biri kadar, yani 0,8 yükselir. Fark toplam 3,2 kapanır ve hata 4,8'e iner. İkinci ay İzmir 1,44 düşer, Konya 0,48 yükselir; hata 2,88 olur. Üçüncü ay hata 1,73'e, dördüncü ay yaklaşık 1,04'e iner.

Her ay hatanın yüzde 40'ı kapanır ve yüzde 60'ı kalır; bu kapanma oranı, iki uyum katsayısının mutlak değerlerinin toplamıdır. Kapanmanın yükü ise sabit bir oranda paylaşılır: her ay kapanan miktarın dörtte üçünü İzmir fiyatındaki düşüş, dörtte birini Konya fiyatındaki yükseliş sağlar. Sapma tamamen kapandığında, başlangıçtaki 8 birimlik farkın 6 birimi İzmir'in, 2 birimi Konya'nın hareketiyle kapanmış olur. İzmir, Konya'ya uyan taraftır; ama Konya da tamamen hareketsiz değildir. Bu paylaşım, iki piyasanın büyüklüğü hakkında da ipucu verir: büyük ve derin bir piyasa, küçük bir piyasadaki dengesizliğe daha az tepki verir; Konya'nın üretim bölgesi, İzmir'in ise tüketim ve ihracat noktası olduğu bir yapıda bu sonuç şaşırtıcı değildir.

Çözümlü örnek — Şokun ne kadarı kalıcı?

Uyum yükünün paylaşımı, yalnızca sapmanın nasıl kapandığını değil, şokların ne kadarının kalıcı olarak fiyatlara yerleştiğini de belirler. Buğday örneğinde, İzmir kapanan farkın dörtte üçünü, Konya dörtte birini üstleniyordu. Şimdi iki ayrı şok düşünelim.

Birinci senaryoda İzmir'de yerel bir talep artışı İzmir fiyatını 4 birim yükseltiyor, Konya fiyatı değişmiyor. Denge hatası 4 olur. Sonraki aylarda fark kapanırken İzmir fiyatı 3 birim geri iner, Konya fiyatı 1 birim yükselir. Sonuçta iki fiyat da başlangıca göre 1 birim yüksektir: İzmir'deki şokun yalnızca dörtte biri kalıcı olmuştur ve o da iki şehre yayılmıştır.

İkinci senaryoda Konya'da bir hasat kaybı Konya fiyatını 4 birim yükseltiyor. Bu kez denge hatası −4'tür: İzmir, Konya'ya göre ucuz kalmıştır. Fark kapanırken İzmir fiyatı 3 birim yükselir, Konya fiyatı 1 birim geri iner. Sonuçta iki fiyat da başlangıca göre 3 birim yüksektir: Konya'daki şokun dörtte üçü kalıcı olmuştur.

Sonuç dikkat çekicidir: uyum yükünü daha az taşıyan piyasa, uzun dönem fiyat düzeyini daha çok belirler. Konya, dengesizliğe az tepki verdiği için, Konya'da olan şeylerin büyük kısmı kalıcı olarak iki şehrin ortak fiyatına yerleşir. Konya'nın uyum katsayısı sıfır olsaydı, Konya'daki her şok tamamen kalıcı, İzmir'deki her şok tamamen geçici olurdu. Fiyat keşfinin, yani yeni bilginin fiyatlara ilk ve kalıcı olarak yansıdığı piyasanın belirlenmesi, finans iktisadında bu mantıkla yapılır.

Çözümlü örnek — Yarılanma süresini hesaplamak

Buğday örneğinde her ay hatanın yüzde 60'ı kaldığına göre, yarılanma süresi 0,5'in logaritmasının 0,6'nın logaritmasına bölünmesiyle bulunur: yaklaşık −0,693'ün −0,511'e oranı, yani 1,36 ay. Bir sapmanın yarısı bir buçuk aydan kısa sürede kapanır. Bu, iki şehir arasında ticaretin hızlı ve yoğun olduğu bir piyasaya karşılık gelir.

Aynı formülü Rogoff'un aktardığı reel kur uzlaşısına uygulayalım. Her yıl sapmanın yüzde 15'i sönüyorsa, yüzde 85'i kalır. 0,5'in logaritması 0,85'in logaritmasına, yani yaklaşık −0,693 −0,163'e bölündüğünde 4,3 yıl çıkar. Aynı mal için iki şehir arasında bir buçuk ay, iki ülkenin fiyat düzeyleri arasında dört yılı aşan bir süre.

Bu karşılaştırma, uyum hızının neye bağlı olduğunu düşündürür. Tek bir homojen mal, düşük taşıma maliyeti ve aynı para birimi hızlı uyum üretir. Fiyat düzeyleri ise ticarete konu olmayan hizmetleri, farklı vergileri ve farklı para politikalarını içerir; sapmaları kapatan arbitraj çok daha zayıftır. Yarılanma süresi, bir piyasanın ne kadar bütünleşik olduğunun bir ölçüsü olarak da okunabilir.

Çözümlü örnek — Kalıcı bir gelir artışına tepki

Bir ülkenin toplam tüketim harcaması ile harcanabilir geliri, logaritmalarla yazıldığında eşbütünleşik olsun: uzun dönemde tüketimin gelire oranı sabittir. Çeyreklik hata düzeltme denklemi şöyledir:

Tüketimdeki değişim = 0,5 × gelirdeki değişim − 0,2 × geçen çeyreğin denge hatası

Denge hatası, tüketim ile gelirin logaritmik farkının uzun dönem değerinden sapmasıdır. Gelir bir çeyrekte yüzde 1 artsın ve yeni düzeyinde kalsın.

Artışın olduğu çeyrekte tüketim, kısa dönem katsayısı nedeniyle yüzde 0,5 artar. Ama gelir yüzde 1 arttığı için, tüketim gelire göre yüzde 0,5 geride kalmıştır; denge hatası −0,5'tir. Bir sonraki çeyrekte gelir artık değişmez, ama hata düzeltme terimi devreye girer: −0,2 çarpı −0,5, yani tüketim 0,1 puan daha artar ve birikimli artış yüzde 0,6'ya çıkar. Hata −0,4'e iner. Üçüncü çeyrekte tüketim 0,08 puan daha artar, birikimli artış 0,68 olur; dördüncü çeyrekte 0,064 puan daha, birikimli 0,744.

Uzun dönemde tüketim yüzde 1 artar ve ilişki yeniden kurulur. Yol iki parçadan oluşur: hemen gelen yarım puanlık sıçrama ve ardından her çeyrek kalan açığın beşte birinin kapandığı yavaş bir tırmanış. Açığın yarılanma süresi 0,5'in logaritmasının 0,8'in logaritmasına oranı, yani yaklaşık üç çeyrektir. Bu yol, toplam tüketim verilerinde sık görülen bir özelliği yansıtır: tüketim, gelirdeki kalıcı değişimlere bile hemen tam olarak uyum göstermez; harcama alışkanlıkları, borç ve tasarruf kararları ve gelirin kalıcı olup olmadığına dair belirsizlik, uyumu birkaç çeyreğe yayar. Kısa dönem katsayısı 1 olsaydı tüketim hemen tam uyum gösterirdi ve hata düzeltme terimi hiç devreye girmezdi; 0 olsaydı bütün uyum yavaş tırmanışla gelirdi.

Çözümlü örnek — Hareket etmeyen taraf

Buğday örneğinde Konya'nın uyum katsayısı +0,1 yerine sıfır olsaydı ne değişirdi? Konya fiyatı, iki şehir arasındaki farka hiç tepki vermezdi; bütün uyumu İzmir yapardı. Bu durumda Konya fiyatı, sistemin uzun dönem eğilimini belirleyen değişken olurdu: Konya'da olan her şey kalıcı olarak İzmir'e taşınır, İzmir'de olan şeyler ise Konya'ya taşınmaz.

Bu özellik, istatistiksel çıkarım açısından da önemlidir. Konya fiyatı dengesizliğe tepki vermiyorsa, uzun dönem ilişkinin katsayıları yalnızca İzmir denklemiyle, tek bir denklemde verimli biçimde tahmin edilebilir; Konya denklemi eşbütünleşme vektörü hakkında ek bilgi taşımaz. Ama Konya fiyatı da tepki veriyorsa, tek denklemli tahmin bilgi kaybeder.

Çözümlü örnek — Yanlış işaret

Bir araştırmacı İzmir fiyatı için tek denklemli bir hata düzeltme modeli tahmin ediyor ve gecikmeli denge hatasının katsayısını +0,05 buluyor. Bu sonuç ne söyler?

Pozitif katsayı, İzmir fiyatı fazla yüksekken bir sonraki ay daha da yükseldiği anlamına gelir; sapma kapanmaz, büyür. Konya da tepki vermiyorsa, böyle bir sistemde denge hatası durağan olamaz ve iki seri eşbütünleşik değildir. Bu yüzden yanlış işaretli ya da sıfırdan ayırt edilemeyen bir uyum katsayısı, kendi başına eşbütünleşmenin aleyhine bir kanıttır. Gerçekten de uyum katsayısının negatif ve anlamlı olup olmadığını sınamak, eşbütünleşmeyi sınamanın bir başka yoludur; ama bu testin istatistiği, eşbütünleşme yokken olağan dağılıma uymaz ve özel kritik değerler gerektirir.

Katsayının −1'den daha küçük, örneğin −1,4 çıkması da bir uyarıdır: sapma bir ayda kapanmakla kalmaz, ters yöne geçer ve salınır. Bu, bazı piyasalarda aşırı tepkiyi yansıtabilir, ama çoğu zaman modelin yanlış belirlendiğinin, örneğin kısa dönem dinamiklerinin eksik bırakıldığının işaretidir.

Çözümlü örnek — Ticaretin başladığı eşik

Şimdi buğday tüccarlarının, ancak denge hatası 3'ü aştığında harekete geçtiğini varsayalım; daha küçük farklar, kamyon kiralamanın ve depolamanın sabit maliyetini karşılamaz. Hatanın mutlak değeri 3'ün altındaysa uyum yoktur ve hata rastgele dolaşır. 3'ü aşarsa, her ay eşiği aşan kısmın yarısı kapanır.

Hata 8 ise, eşiği aşan kısım 5'tir ve ertesi ay bunun yarısı, yani 2,5 kapanır; hata 5,5 olur. Sonra 4,25, sonra 3,625. Hata eşiğe yaklaştıkça kapanma yavaşlar ve hata 3'ün hemen üzerinde kalır; bant içine girince de geri dönüş durur. Hata 2 ise hiçbir şey olmaz: bant içindeki bir sapma, tüccarlar için kâr fırsatı değildir.

Bu dünyada doğrusal bir hata düzeltme modeli tahmin edilirse ne olur? Verilerin çoğu bant içindeki aylardan gelir ve bu aylarda uyum sıfırdır; bant dışındaki birkaç ayda ise uyum hızlıdır. Doğrusal model ikisinin ortalamasını alır ve yavaş bir uyum katsayısı tahmin eder; buradan hesaplanan yarılanma süresi uzun çıkar. Taylor, Peel ve Sarno'nun reel kurlar için savunduğu tam olarak budur: ölçülen yavaşlığın bir kısmı, büyük sapmaların hızlı, küçük sapmaların yavaş kapandığı doğrusal olmayan bir uyumun tek bir sayıya sıkıştırılmasından gelir.

Modelin sınırları

Bütün örnekler, uzun dönem ilişkinin bilindiğini ya da doğru tahmin edildiğini varsayar. Uygulamada denge hatası, bir önceki derste gördüğümüz yöntemlerle tahmin edilir ve bu tahmindeki hata uyum katsayısına taşınır. Ayrıca uyum katsayıları zaman içinde sabit olmayabilir: bir ulaşım yatırımı, bir gümrük reformu ya da bir kur rejimi değişikliği, uyumun hızını değiştirir. Uzun bir örneklemden tahmin edilen tek bir katsayı, farklı dönemlerin ortalamasıdır ve bugünkü uyum hızı hakkında yanıltıcı olabilir.

Son olarak, örneklerdeki uyum mekanik bir kural gibi işledi: hata belirli bir oranda kapanıyordu ve bunun nedenini sormadık. Gerçek piyasalarda uyumun arkasında davranışlar vardır: tüccarların arbitrajı, bankaların fiyatlama kararları, hanelerin tüketim planları. Bu davranışlar beklentilere bağlıdır ve beklentiler politika rejimiyle değişir. Örneğin enflasyonun yüksek ve oynak olduğu bir dönemde firmalar fiyatlarını daha sık güncelleyebilir; bu, kurdan fiyatlara geçişin uyum katsayısını büyütür. Tahmin edilen bir uyum hızı, bu yüzden bir doğa sabiti değil, belirli bir dönemin ve kurumsal yapının özetidir.

Teknik

Gösterim teoremi ve tek denklem

Gösterim teoremi, 1987 makalesindeki biçimiyle, birinci dereceden bütünleşik ve eşbütünleşik değişkenlerden oluşan bir sistem, değişkenlerin farklarını, bu farkların gecikmelerini ve gecikmeli denge hatasını içeren bir hata düzeltme biçiminde yazılabilir; ve bu biçimde en az bir uyum katsayısı sıfırdan farklıdır. Teoremin tersi de doğrudur: bir hata düzeltme yapısı, değişkenlerin eşbütünleşik olmasını gerektirir. Bu yüzden hata düzeltme modeli ile eşbütünleşme, aynı olgunun iki yüzüdür.

Tek denklemli bir hata düzeltme modeli, düzeylerde yazılmış bir gecikmesi dağıtılmış otoregresif modelin yeniden düzenlenmesidir. Bağımlı değişkenin bu dönemki değerinin, kendi geçen dönemki değerine, açıklayıcı değişkenin bu dönemki ve geçen dönemki değerlerine bağlandığı bir model düşünelim. Her iki taraftan bağımlı değişkenin geçen dönemki değeri çıkarılıp terimler yeniden gruplandığında, model bir fark denklemine ve bir gecikmeli denge hatası terimine dönüşür. Uzun dönem katsayısı, açıklayıcı değişkenin iki katsayısının toplamının, bir eksi bağımlı değişkenin gecikme katsayısına bölünmesiyle bulunur; uyum katsayısı ise bağımlı değişkenin gecikme katsayısının bir eksiğidir. Örneğin gecikme katsayısı 0,8 ise uyum katsayısı −0,2'dir; açıklayıcı değişkenin bu dönemki katsayısı yarım, geçen dönemki katsayısı eksi üç onda bir ise, ikisinin toplamı olan iki onda bir yine iki onda bire bölünür ve uzun dönem katsayısı 1 çıkar. Tüketim örneğindeki denklem tam olarak bu yeniden düzenlemenin sonucudur.

Tahmin iki yoldan yapılabilir. Engle–Granger yaklaşımında önce uzun dönem ilişki düzeylerde tahmin edilir, sonra bu regresyonun gecikmeli kalıntısı fark denklemine eklenir. İlk adımdaki tahmin hızlı yakınsadığı için, ikinci adımda tahmin edilmiş bir değişken kullanılması, büyük örneklemlerde uyum katsayısının çıkarımını bozmaz. Alternatif olarak, uzun dönem ve kısa dönem katsayıları, yeniden düzenlenmiş tek bir denklemde birlikte, doğrusal olmayan en küçük kareler ya da doğrudan gecikmesi dağıtılmış model üzerinden tahmin edilebilir; küçük örneklemlerde bu yol genellikle daha az yanlıdır.

Vektör hata düzeltme modeli

Vektör hata düzeltme modelinde uzun dönem matrisi, uyum katsayıları matrisi ile eşbütünleşme vektörleri matrisinin çarpımıdır. Bu çarpımın bir belirsizliği vardır: eşbütünleşme vektörleri herhangi bir dönüşümle değiştirilip uyum katsayıları buna göre ayarlanırsa, çarpım değişmez. Bu yüzden vektörlere bir normalleştirme, birden fazla ilişki varsa ayrıca kuramdan gelen kısıtlar konur; ancak bundan sonra uyum katsayıları ayrı ayrı yorumlanabilir.

Zayıf dışsallık bu çerçevede, bir değişkenin denklemindeki bütün uyum katsayılarının sıfır olduğu hipotezidir ve Johansen'in olabilirlik yaklaşımıyla sınanabilir. Hipotez kabul edilirse sistem, zayıf dışsal değişkene koşullu olarak daha küçük bir sistem olarak tahmin edilebilir. Bir uygulamada zayıf dışsallığın sınanması, bir piyasada kimin fiyat lideri olduğu sorusunun istatistiksel karşılığıdır: uyum yükünü taşımayan piyasa, öbürlerini yönlendiren piyasadır.

Etki–tepki ve öngörü

Bir vektör hata düzeltme modelinin etki–tepki fonksiyonları, durağan bir VAR'ınkilerden farklı davranır. Ortak eğilime gelen şokların etkileri sönmez; değişkenleri kalıcı olarak yeni düzeylere taşır. Denge hatasına gelen şokların etkileri ise söner; değişkenler eski ilişkilerine döner. Model bölümündeki buğday örneğinde gördüğümüz gibi, bir şokun ne kadarının kalıcı olacağı uyum katsayılarının oranına bağlıdır. Kalıcı ve geçici şokların ayrımı, bir önceki dersteki ortak eğilim ayrımının dinamik karşılığıdır ve iki dersten önceki uzun dönem kısıtlarıyla doğrudan ilişkilidir.

Öngörüde bu yapı, uzun ufuklarda değişkenler arasındaki ilişkinin öngörüsünün belirsizleşmemesi anlamına gelir. Kısa ufuklarda ise kazanç, denge hatasının büyüklüğüne bağlıdır: hata büyükse, model bir sonraki dönemlerde kimin hareket edeceğini öngörür; hata küçükse, kazanç azdır. Bu yüzden vektör hata düzeltme modelinin öngörü üstünlüğü, sakin dönemlerde belirsiz, büyük dengesizliklerin biriktiği dönemlerde ise daha belirgin olabilir. Öngörü karşılaştırmaları yapılırken, değerlendirme döneminin hangi tür dönemleri kapsadığı bu nedenle sonuçları etkiler.

Doğrusal olmama ve zamanla değişen uyum

Eşikli modeller, denge hatasının büyüklüğüne göre farklı rejimler tanımlar. Eşiğin kendisi bilinmediğinde, olası eşik değerleri üzerinde bir tarama yapılarak tahmin edilir; ama eşik yokluğu hipotezi altında eşik parametresi tanımsız olduğu için, eşik varlığını sınamak olağan testlerle yapılamaz ve özel yöntemler gerektirir. Daha yumuşak bir alternatif, uyum hızının hatanın büyüklüğüyle sürekli olarak arttığı modellerdir; Taylor, Peel ve Sarno'nun reel kurlar için kullandığı modeller bu türdendi.

Uyumun asimetrik olması da mümkündür. Akaryakıt fiyatları üzerine yaygın bir tartışma, perakende fiyatların ham petrol fiyatlarındaki artışlara düşüşlerden daha hızlı tepki verip vermediğidir; bu soru, pozitif ve negatif denge hataları için ayrı uyum katsayıları tahmin edilerek sınanabilir. Bu tür asimetrilerin varlığı ve büyüklüğü, ülkeye, döneme ve piyasa yapısına göre farklılık gösterir; tek bir genel sonuç yoktur.

Uyum katsayısıyla eşbütünleşme sınaması

Gösterim teoremi, eşbütünleşme varsa en az bir uyum katsayısının sıfırdan farklı olması gerektiğini söylediği için, tek denklemli bir hata düzeltme modelinde gecikmeli düzeylerin katsayısını sınamak, eşbütünleşmeyi sınamanın bir yoludur. Bu yaklaşımın Engle–Granger kalıntı testine göre bir avantajı, uzun dönem ilişkiyi ve kısa dönem dinamikleri birlikte tahmin etmesi ve böylece birinci adımdaki tahminin dinamikleri yok saymasından doğan bilgi kaybını önlemesidir; açıklayıcı değişken zayıf dışsal olduğunda bu test genellikle daha güçlüdür. Ama eşbütünleşme yokken uyum katsayısının t istatistiği olağan dağılıma uymaz; Banerjee, Dolado ve Mestre bu test için ayrı kritik değerler hesapladı. Sınır testi adıyla bilinen yaklaşım da aynı denklemi kullanır ve değişkenlerin bütünleşme derecelerine dair belirsizliği, bir alt ve bir üst kritik değer sınırıyla ele alır.

Kısa dönem ve uzun dönem öngörü ilişkileri

Bir hata düzeltme sisteminde, bir değişkenin öbürünü öngörmesi iki kanaldan olabilir: öbür değişkenin geçmiş farkları üzerinden kısa dönem kanalı ve gecikmeli denge hatası üzerinden uzun dönem kanalı. Uygulamalı çalışmalarda bu iki kanal genellikle ayrı ayrı sınanır: gecikmeli farkların katsayılarının birlikte sıfır olup olmadığı kısa dönem, uyum katsayısının sıfır olup olmadığı uzun dönem öngörü ilişkisini gösterir. Bu ayrım, Granger anlamındaki öngörü ilişkisinin eşbütünleşik sistemlerdeki doğru biçimidir; yalnızca farklarla kurulan bir VAR'da yapılan test, uzun dönem kanalını gözden kaçırır. Yine de iki kanal da öngörü ilişkisidir, nedensellik değil; bir piyasanın fiyat lideri olduğu sonucuna varmak için, öngörü ilişkisinin ötesinde piyasa yapısına dair bilgi gerekir.

Uygulamadaki sorunlar

Kuramsal yapı ne kadar açık olursa olsun, tahmin aşaması kendi tuzaklarını taşır. Hata düzeltme modellerinin uygulanmasında üç sorun sık görülür. Birincisi, kısa dönem dinamiklerinin gecikme sayısıdır: gecikmeler eksik bırakılırsa artıklar birbirine bağımlı kalır ve uyum katsayısı yanlı tahmin edilir; çok gecikme, küçük örneklemlerde kesinliği azaltır. İkincisi, yapısal kırılmalardır: uzun dönem ilişkinin sabit teriminde bir kayma, kırılma tarihinden sonra kalıcı bir denge hatası gibi görünür ve uyum katsayısını sıfıra doğru çeker. Üçüncüsü, toplulaştırmadır: aylık verilerle hızlı olan bir uyum, yıllık verilerle tek bir dönem içinde tamamlanır ve görünmez hâle gelebilir; veri sıklığı, ölçülebilen uyum hızını sınırlar.

Uygulama

Özet kartı

1. Hata düzeltme modeli, bir değişkenin değişimini kısa dönem tepkileri ve geçen dönemden kalan dengesizlikle birlikte açıklar; gösterim teoremine göre eşbütünleşik her sistem bu biçimde yazılabilir.
2. Uyum katsayısı, dengesizliğin ne kadarının bir dönemde kapandığını gösterir; sapmanın yarılanma süresi, 0,5'in logaritmasının her dönem kalan payın logaritmasına oranıyla bulunur ve uyum hızını sezgisel kılar.
3. Rogoff, reel kurlarda sapmaların yılda kabaca yüzde 15 hızla söndüğünü, yani yarılanmanın dört yılı aştığını ve bunun kısa dönem oynaklıkla bağdaştırılmasının bir bilmece olduğunu vurguladı.
4. Taylor, Peel ve Sarno, işlem maliyetleriyle tutarlı doğrusal olmayan modellerle daha hızlı uyum buldu; doğrusal modeller, küçük sapmalarda uyumsuzluk ile büyük sapmalarda hızlı uyumu tek bir yavaş ortalamaya sıkıştırabilir.
5. Uyumun yükünü hangi değişkenin taşıdığı ölçülmelidir; zayıf dışsal bir değişken dengesizliğe tepki vermez. Lettau ve Ludvigson'ın çerçevesinde tüketim–servet sapması tüketimi değil, gelecekteki hisse getirilerini öngörür.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Hata düzeltme modelini, değişimlerle kurulan bir modelden ve düzeylerle kurulan bir modelden ayıran nedir?
2. (Çıktı 2) Buğday örneğinde İzmir'in uyum katsayısı −0,3 yerine −0,5, Konya'nınki +0,1 olsaydı, her ay hatanın ne kadarı kapanırdı ve yarılanma süresi yaklaşık ne olurdu? Uyum yükü nasıl paylaşılırdı?
3. (Çıktı 2) Tüketim örneğinde kısa dönem katsayısı 0,5 yerine 0,2 olsaydı, gelirdeki yüzde 1'lik kalıcı artıştan sonra ilk iki çeyrekte tüketim ne kadar artardı?
4. (Çıktı 2) Bir gecikmesi dağıtılmış modelde bağımlı değişkenin gecikme katsayısı 0,7, açıklayıcı değişkenin bu dönemki ve geçen dönemki katsayıları 0,4 ve −0,1'dir. Uyum katsayısını ve uzun dönem katsayısını bulun.
5. (Çıktı 3) Bir analist, kurdaki değer kayıplarının ithal mal fiyatlarına geçişini doğrusal bir hata düzeltme modeliyle ölçüyor ve yarılanma süresini iki yıl buluyor. Bu tahminin gerçek uyum hızını olduğundan yavaş göstermesine hangi durumlar yol açabilir?
6. (Çıktı 4) Bir döviz stratejisti, «reel kurlar dört yıllık yarılanma süresiyle dengeye döndüğüne göre, satın alma gücü paritesi pratikte geçersizdir ve kur politikası için bir rehber olamaz» diyor. Bu görüşü dersteki bulgular ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. Değişimlerle kurulan bir model, kısa dönem hareketleri birbirine bağlar ama düzeyler arasındaki bağı hiç görmez; seriler eşbütünleşikse bu, bilgi kaybı ve yanlış belirlemedir. Yalnızca düzeylerle kurulan bir model, seriler eşbütünleşik değilse sahte regresyon tehlikesi taşır ve kısa dönem dinamiklerini ayrı göstermez. Hata düzeltme modeli, farkları ve gecikmeli denge hatasını birlikte içerir; bütün terimleri durağandır, kısa dönem tepkilerini ve uzun dönem ilişkiye dönüşü ayrı ayrı ölçer.
2. Her ay kapanan pay, iki katsayının mutlak değerlerinin toplamı olan 0,6 olur; hatanın yüzde 40'ı kalır. Yarılanma süresi 0,5'in logaritmasının 0,4'ün logaritmasına, yaklaşık −0,693'ün −0,916'ya oranıyla 0,76 ay olur. Kapanan miktarın 0,5'e 0,6 oranında, yani altıda beşini İzmir, altıda birini Konya sağlar.
3. İlk çeyrekte tüketim yüzde 0,2 artar ve denge hatası −0,8 olur. İkinci çeyrekte hata düzeltme terimi −0,2 çarpı −0,8, yani 0,16 puanlık ek artış getirir; birikimli artış yüzde 0,36'ya çıkar ve hata −0,64'e iner. Kısa dönem tepkisi zayıfladığı için uyumun çoğu yavaş tırmanışa kalır.
4. Uyum katsayısı 0,7'nin bir eksiği, yani −0,3'tür. Uzun dönem katsayısı için iki açıklayıcı katsayının toplamı, yani dört onda bir eksi bir onda bir, üç onda birdir; bu, bir eksi gecikme katsayısına, yine üç onda bire bölünür ve sonuç 1'dir. Açıklayıcı değişkendeki kalıcı bir birimlik artış, uzun dönemde bağımlı değişkeni bir birim artırır; her dönem dengesizliğin yüzde 30'u kapanır.
5. Birkaç durum yavaşlığı abartabilir. Uyum doğrusal değilse, küçük kur hareketleri fiyatlara hiç yansımazken büyük değer kayıpları hızla yansıyorsa, doğrusal model ikisinin ortalamasını alır ve yavaş bir katsayı tahmin eder. Uyum asimetrikse, değer kayıplarının hızlı, değer kazançlarının yavaş yansıdığı durumda tek katsayı bu farkı gizler. Örneklemde yapısal bir kırılma, örneğin bir kur rejimi ya da enflasyon ortamı değişikliği varsa, kırılmadan sonraki dönem kalıcı bir hata gibi görünür ve katsayıyı sıfıra çeker. Ayrıca farklı enflasyon ortamlarında geçişin hızı değişebilir; uzun bir örneklemden alınan tek bir katsayı bu farkları ortalar.
6. Görüş aşırıdır. Rogoff'un aktardığı uzlaşı, reel kurların çok uzun dönemde pariteye yöneldiğine dair oldukça ikna edici kanıt bulunduğunu söyler; bu, paritenin bir uzun dönem çapası olarak geçerli olduğu anlamına gelir. Ama sapmaların yavaş söndüğü ve kısa dönemde büyük olduğu da doğrudur; bu yüzden parite, kısa dönemli kur hareketleri için bir rehber değildir. Taylor, Peel ve Sarno, doğrusal olmayan modellerle büyük sapmaların daha hızlı kapandığını buldu; bu, paritenin özellikle büyük sapmalar için bir çekim gücü olduğunu düşündürür. Doğru tutum, paritenin uzun dönemde ve büyük sapmalarda bilgi verici, kısa dönemde ise zayıf bir rehber olduğunu kabul etmektir; yarılanma süresinin ölçümü de kullanılan modele duyarlıdır.

İleri okuma

• Kenneth Rogoff (1996). «The Purchasing Power Parity Puzzle». Journal of Economic Literature 34(2). Reel kurlarda yavaş uyum ve kısa dönem oynaklık bilmecesi.
• Mark P. Taylor, David A. Peel, Lucio Sarno (2001). «Nonlinear Mean-Reversion in Real Exchange Rates». International Economic Review 42(4). Doğrusal olmayan uyum ve daha kısa yarılanma süreleri.
• Martin Lettau, Sydney C. Ludvigson (2001). «Consumption, Aggregate Wealth, and Expected Stock Returns». Journal of Finance 56(3). Eşbütünleşme sapmasının hangi değişkeni öngördüğü.

Sonraki derse köprü

Bu dersin bütün modelleri, değişkenlerin ortalamasının nasıl hareket ettiğini açıkladı: bir sonraki dönemde fiyatın ne kadar düşmesi, tüketimin ne kadar artması beklenir. Şokların büyüklüğünü ise sabit bir varyansla özetledik. Oysa Rogoff'un vurguladığı kur oynaklığı da, borsa getirileri de sakin ve çalkantılı dönemler arasında gidip gelir: büyük hareketler büyük hareketleri, küçükler küçükleri izler. Ortalamayı değil, oynaklığın kendisini zaman içinde değişen bir büyüklük olarak modellemek, ARCH ve GARCH modellerinin konusudur.