Eşbütünleşme

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Sahte regresyonu, eşbütünleşme vektörünü, denge hatasını, Engle–Granger iki adımlı yöntemini, eşbütünleşme rankını ve ortak stokastik eğilimi tanımlar.
• Uygulama — İki fiyat serisi arasındaki denge hatasını dönem dönem hesaplar, Engle–Granger testinin istatistiğini doğru kritik değerle karşılaştırır ve birkaç değişkenli bir sistemde eşbütünleşme ilişkisi ile ortak eğilim sayısını bulur.
• Analiz — Durağan olmayan seriler arasındaki bir regresyonun hangi koşulda anlamlı bir uzun dönem ilişki, hangi koşulda sahte bir bağ gösterdiğini çözümler.
• Değerlendirme — Tüketim ile gelir, kısa ile uzun faiz ve hisse fiyatları ile kâr payları üzerine bulgulara ve ortak eğilimlerin iş çevrimlerindeki payına dair tartışmaya dayanarak, eşbütünleşme bulgularının iktisadi kuramlar hakkında ne söyleyebileceğini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Gece yarısı bir meyhaneden çıkan bir sarhoşu düşünün. Her adımı bir öncekinden bağımsızdır; bir sağa, bir sola savrulur ve bir saat sonra nerede olacağını kimse kestiremez. İstatistikçilerin diliyle onun yolu bir rastgele yürüyüştür. Şimdi yanına sahipsiz bir köpek ekleyin: köpek de kendi kafasına göre koşturur, o da önceden kestirilemez. İkisinin ayrı ayrı yolları, birbirinden bağımsız iki rastgele yürüyüştür ve zamanla aralarındaki mesafe istediği kadar açılabilir.

Ama köpek sarhoşun köpeğiyse durum değişir. Sarhoş köpeğe seslenir, köpek havlayarak sahibini arar; aralarındaki mesafe açıldıkça ikisi de birbirine doğru yönelir. İkisinin yolu yine kestirilemez; bir saat sonra nerede olacaklarını yine bilemeyiz. Ama bir şeyi biliriz: neredeyseler, birbirlerine yakın olacaklardır. Michael Murray, 1994'te The American Statistician'da yayımladığı kısa bir yazıda, bu benzetmeyi bu dersin konusunu anlatmak için kullandı. Tek tek sürüklenen, ama birbirinden kopmayan seriler.

İktisatta bu tür çiftler her yerdedir. Bir hanenin tüketimi ve geliri, yıllar içinde ikisi de büyür ve tek tek bakıldığında ikisi de durağan değildir; ama tüketim gelirden sürekli olarak uzaklaşamaz. İki şehirdeki aynı malın fiyatları, enflasyonla birlikte sürüklenir; ama aralarındaki fark, taşıma maliyetinin çok üstüne çıktığında tüccarlar malı ucuz yerden alıp pahalı yerde satar ve fark kapanır. Kısa vadeli ve uzun vadeli faizler, yükselip alçalırlar; ama uzun faiz, beklenen kısa faizlerin bir tür ortalamasıysa, ikisi arasındaki fark sınırsız açılamaz.

Hikâye — fark almak bir çözüm müydü?

Hikâyenin başlangıcı eski bir uyarıdır: sürüklenen serileri birbirine regres etmek, kolayca yanıltıcı sonuçlar verir. Clive Granger ve Paul Newbold'un 1974'teki simülasyonları, birbiriyle hiçbir ilgisi olmayan rastgele yürüyüşler arasındaki regresyonların çok sık olarak yüksek açıklama gücü ve anlamlı görünen katsayılar ürettiğini göstermişti.

Bu uyarıya verilen ilk tepki, serilerin farkını almaktı: düzeyler yerine büyüme oranları ya da değişimler kullanılırsa seriler durağan hâle gelir ve olağan araçlar yeniden geçerli olur. Ama fark almanın bir bedeli vardı. Tüketimin gelirle uzun dönemli ilişkisi, iki şehirdeki fiyatların bir arada kalması, faizlerin birbirine bağlı olması; bütün bu bilgiler düzeylerde saklıydı ve fark alındığında kayboluyordu. İktisat kuramının en çok önem verdiği ilişkiler, yani denge ilişkileri, tam da bu atılan bilginin içindeydi.

Robert Engle ve Clive Granger, 1987'de yayımlanan bir makalede, bu ikilemin çıkış yolunu sistemli biçimde ortaya koydu. Granger'ın 1980'lerin başındaki çalışmalarına dayanan fikir basitti: iki seri tek tek durağan değilse bile, aralarındaki belirli bir doğrusal bileşim durağan olabilirdi. O zaman bu bileşim, bir uzun dönem dengesinden sapmaları ölçerdi ve sapmalar sınırlı kalırdı.

Kavram — kopmayan bağ

Eşbütünleşme kavramı bir önceki kursta, turizm ile büyüme arasındaki ilişki tartışılırken tanıtılmıştı. Bu derste kavramın içini açıyoruz: bağı hangi sayılar tanımlar, bağdan ne kadar sapıldığı nasıl ölçülür?

Kavramın gücü bu son cümlededir. Eşbütünleşik iki serinin bir yıl sonra nerede olacağını bilemeyiz, ama aralarındaki farkın nerede olacağı hakkında çok şey biliriz. Bir öngörücü için bu, belirsizliğin büyük bir kısmının ortadan kalkması demektir; bir iktisatçı için ise kuramın öngördüğü bir dengenin verilerde iz bırakıp bırakmadığını sınamanın yolu.

Veri ve kanıt — kuram sınavda

John Campbell ve Robert Shiller, aynı yıl, eşbütünleşmeyi finans kuramının merkezindeki bir fikri sınamak için kullandılar. Bugünkü değer modellerine göre bir varlığın fiyatı, beklenen gelecek ödemelerin indirgenmiş toplamıdır: bir hisse senedinin fiyatı beklenen kâr paylarının, uzun vadeli bir tahvilin faizi beklenen kısa vadeli faizlerin bir ortalamasıdır. Bu modeller doğruysa, fiyat ile ödeme serisi tek tek sürüklense bile aralarındaki fark durağan olmalıdır.

Bu sonucun iki yarısı, eşbütünleşmenin bir sınav aracı olarak nasıl iş gördüğünü gösterir. Faiz tarafında, kuramın öngördüğü bağ verilerde büyük ölçüde görülüyordu. Hisse senedi tarafında ise fiyatlar, kâr paylarına göre kuramın izin verdiğinden daha geniş dalgalanıyordu; bu, Shiller'in fiyatların aşırı oynaklığına dair daha önceki çalışmalarıyla aynı yöne işaret eden bir bulguydu ve finans iktisadında uzun bir tartışmayı besledi.

King, Plosser, Stock ve Watson'dan oluşan dört kişilik bir ekip ise eşbütünleşmeyi iş çevrimlerinin kaynağına dair bir soruya uyguladılar.

Bu bulgu da iki yönlü okunmalıdır. Reel iş çevrimi kuramının uzun dönem öngörüsü, yani üç büyük toplamın ortak bir eğilimi paylaştığı, verilerle tutarlıydı; ama aynı kuramın kısa dönem iddiası, yani dalgalanmaların esas olarak bu eğilime gelen şoklardan kaynaklandığı, desteklenmiyordu. Aynı veri, bir kuramın bir kısmını doğrulayıp başka bir kısmını sorgulayabilir.

Neden önemli? — dengenin verideki izi

İktisat kuramı, dengeler hakkında konuşur: satın alma gücü paritesi, tüketimin sürekli gelire bağlılığı, faizlerin vade yapısı, para talebi. Bu dengelerin hiçbiri her an geçerli değildir; şoklar ekonomiyi sürekli dengeden uzaklaştırır. Eşbütünleşme, bu dengelerin «uzun dönemde» geçerli olup olmadığını sınamanın istatistiksel dilidir: denge her an tutmasa da, ondan sapmalar kalıcı değilse, denge verilerde vardır.

Model

Bu bölümün fiyatları, test istatistikleri ve tahminleri öğretim amacıyla kurulmuş örnek bir pazardan alınmıştır; gerçek piyasa kayıtları değildir. Johansen testi için verilen kritik değerler ise yayımlanmış tablolardaki yaklaşık değerlerdir.

Çözümlü örnek — İki şehirde aynı mal

Konya ve İzmir'de buğdayın ton fiyatı, yüz lira cinsinden, yedi ay boyunca izleniyor. Konya'da fiyatlar sırasıyla 205, 211, 212, 214, 217, 222, 224; İzmir'de 212, 215, 219, 216, 224, 230, 227. İki seri de enflasyonla birlikte yükseliyor; tek tek bakıldığında ikisinin de sabit bir ortalaması yoktur.

Buğday Konya'dan İzmir'e taşındığında taşıma ve depolama maliyeti ton başına yaklaşık 5 birimdir. Tüccarlar, İzmir fiyatı Konya fiyatını bu maliyetten çok fazla aştığında Konya'dan alıp İzmir'de satar; bu, İzmir'de arzı artırıp fiyatı düşürür, Konya'da talebi artırıp fiyatı yükseltir. Fark taşıma maliyetinin altına düştüğünde ise ticaret durur ve farkı açmaya yönelik bir baskı oluşur. Uzun dönem ilişki şudur: İzmir fiyatı yaklaşık olarak Konya fiyatı artı 5.

Denge hatasını her ay hesaplayalım: İzmir fiyatından Konya fiyatını ve 5'i çıkarıyoruz. Birinci ay fark 7'dir, denge hatası 2. İkinci ay fark 4'e iner, hata −1. Üçüncü ay fark yine 7, hata 2. Dördüncü ay İzmir'deki fiyat düşerken Konya'da yükseliş sürer; fark 2'ye iner, hata −3. Beşinci ay fark 7, hata 2; altıncı ay fark 8, hata 3; yedinci ay fark 3, hata −2.

Fiyatlar yedi ayda yaklaşık 20 birim yükseldi; denge hatası ise hep −3 ile 3 arasında kaldı ve hiçbir yönde birikmedi. Bu iki şehirdeki fiyatlar eşbütünleşikse, eşbütünleşme vektörü İzmir için 1, Konya için −1'dir; sabit terim taşıma maliyetidir. Dikkat edilecek nokta, yedi aylık bir seriden bu sonuca varılamayacağıdır: burada yalnızca hesabın mantığı gösterilmektedir; bir sınama için çok daha uzun seriler gerekir.

Çözümlü örnek — Kısa faiz, uzun faiz

Vade yapısının beklentiler hipotezini basitleştirilmiş bir biçimde ele alalım: iki yıllık bir tahvilin yıllık faizi, bu yılki bir yıllık faiz ile gelecek yıl beklenen bir yıllık faizin ortalamasına, artı sabit bir vade primine eşittir. Vade primi yarım puan olsun.

Bu yıl bir yıllık faiz yüzde 10 ve piyasa gelecek yıl yüzde 12 bekliyorsa, iki yıllık faiz, 10 ile 12'nin ortalaması olan 11'e yarım puan eklenerek 11,5 olur. Aradaki fark, yani iki yıllık faizden bir yıllık faizin çıkarılması, 1,5 puandır. Ertesi yıl bir yıllık faiz gerçekten 12'ye çıkar ve piyasa artık 11 bekler; iki yıllık faiz 11,5 artı yarım puan, yani 12 olur ve fark 0'a iner. Bir sonraki yıl kısa faiz 11'e iner, beklenti 11'de kalır; uzun faiz 11,5 olur, fark yarım puan.

Faizlerin kendileri yıllar boyunca 10'dan 12'ye çıkıp 11'e inebilir; tek tek bakıldığında yüksek kalıcılık gösterirler ve birim kök testleri çoğu kez onları durağan olmayan seriler olarak sınıflar. Ama fark, beklenen kısa faiz değişimine ve sabit prime bağlıdır. Kısa faizdeki değişimler durağansa, fark da durağandır: bu, iki faizin (1, −1) vektörüyle eşbütünleşik olduğu anlamına gelir. Kuramın sınanabilir öngörüsü budur ve Engle ile Granger'ın bulduğu, kısa ve uzun faizlerin eşbütünleşik olduğu sonucu bu öngörüyle uyumludur.

Örneğin ikinci dersi daha ince bir noktadır: fark yalnızca durağan olmakla kalmaz, gelecekteki kısa faiz değişimleri hakkında bilgi taşır. Farkın 1,5 puan olduğu yıl, kısa faizin yükselmesi bekleniyordu ve gerçekten yükseldi. Campbell ve Shiller'in testi bu bilgiyi kullanır: fark, piyasanın beklentilerinin bir özeti olarak, gelecekteki kısa faiz hareketlerini kuramın öngördüğü ölçüde öngörüyor mu?

Çözümlü örnek — Oran mı, fark mı?

Tüketim ve gelir için eşbütünleşme vektörü nasıl yazılır? Bir hane gelirinin yaklaşık yüzde 90'ını tüketiyorsa, uzun dönem ilişki tüketimin gelirin 0,9 katı olması biçimindedir. Düzeylerde yazıldığında, gelir 100'den 200'e çıktığında tüketim 90'dan 180'e çıkar ve aradaki fark 10'dan 20'ye açılır. Fark büyüyen ekonomide sürekli büyüdüğü için durağan değildir; düzeylerde (1, −1) vektörü bu ilişkiyi yakalamaz.

Logaritmalar alındığında ise tablo değişir. Tüketimin logaritması eksi gelirin logaritması, tüketimin gelire oranının logaritmasıdır ve oran 0,9 civarında kaldıkça bu fark sabit bir değer etrafında dalgalanır. Gelir 100'den 200'e çıksa da logaritmik fark değişmez. Bu yüzden büyüyen büyüklükler arasındaki eşbütünleşme ilişkileri genellikle logaritmalarla kurulur ve eşbütünleşme vektörü logaritmalar için (1, −1) olur. Hangi dönüşümün kullanılacağı, kuramın oranı mı, farkı mı sabit tuttuğuna bağlıdır; yanlış dönüşüm, var olan bir eşbütünleşmeyi görünmez kılabilir.

Çözümlü örnek — Sahte bağı tanımak

Şimdi Konya buğday fiyatını, aynı aylarda bir başka ülkedeki bir teknoloji şirketinin hisse fiyatına regres eden bir araştırmacı düşünelim. İki seri de bu dönemde yükseliyor; regresyonun açıklama gücü yüksek, eğim katsayısının olağan t istatistiği 6 çıkıyor. Araştırmacı, teknoloji hisselerinin Türkiye'de buğday fiyatlarını açıkladığı sonucuna varıyor.

Bu sonucu sorgulamanın yolu kalıntılara bakmaktır. Regresyondan elde edilen kalıntılar, iki şehir örneğindeki denge hatası gibi sıfır etrafında dalgalanıp geri mi dönüyor, yoksa uzun dönemler boyunca bir yönde mi sürükleniyor? Kalıntılar sürükleniyorsa, iki seri arasında kopmayan bir bağ yoktur; açıklama gücü, iki serinin aynı dönemde tesadüfen aynı yönde gitmesinden gelir. Bu durumda olağan t istatistiği, sahte regresyon nedeniyle geçersizdir ve 6 değeri hiçbir şey kanıtlamaz.

Kural şudur: durağan olmayan seriler arasında regresyon kurmak tek başına yanlış değildir; yanlış olan, kalıntıların durağan olup olmadığını sınamadan sonuç çıkarmaktır. Kalıntılar durağansa, ilişki bir uzun dönem bağıdır; değilse, sahtedir.

Çözümlü örnek — Hangi kritik değer?

Konya ve İzmir fiyatları için on yıllık aylık veri, yani 120 gözlem toplandığını düşünelim. Engle–Granger yönteminin birinci adımında, İzmir fiyatı sabit terimle birlikte Konya fiyatına regres edilir; tahmin edilen eğim 0,98, sabit terim 5,6 çıkar. İkinci adımda, bu regresyonun kalıntıları üzerinde, birim kök dersinde gördüğümüz türden bir test yapılır. Testin istatistiği −2,9 çıkıyor.

Bu istatistik hangi değerle karşılaştırılmalıdır? Birim kök dersindeki tabloya bakılırsa, sabitli denklemde yüzde 5 düzeyinin sınırı −2,86 civarındadır; −2,9 bu sınırın biraz ötesine geçtiği için birim kök reddedilir ve seriler eşbütünleşik görünür. Ama bu yanlış bir karşılaştırmadır. Kalıntılar gerçek denge hatası değil, tahmin edilmiş bir regresyonun kalıntılarıdır ve en küçük kareler, kalıntıların varyansını mümkün olduğunca küçültecek katsayıları seçer. Bu yüzden kalıntılar, gerçek ilişki olmasa bile durağana daha benzer görünür ve test, birim kökü olması gerekenden daha kolay reddeder.

Bunu düzeltmek için kalıntı testinde daha katı kritik değerler kullanılır. İki değişken ve sabit terim içeren bir sistem için yüzde 5 düzeyindeki asimptotik kritik değer yaklaşık −3,34'tür. −2,9 bu eşiğe ulaşmaz; eşbütünleşmenin bulunmadığı varsayımı bu düzeyde geri çevrilemez. Aynı istatistik, yanlış tabloyla «eşbütünleşme var», doğru tabloyla «kanıt yetersiz» sonucunu verir. Değişken sayısı arttıkça kritik değerler daha da katılaşır, çünkü regresyonun kalıntıları durağan göstermek için kullanabileceği serbestlik artar.

Çözümlü örnek — Üç seri, kaç bağ?

Bir ekonominin çıktısı, tüketimi ve yatırımı, logaritmalar alındıktan sonra, üçü de bir rastgele yürüyüş gibi sürükleniyor. Reel iş çevrimi modellerinin öngördüğü gibi üçü de aynı kalıcı verimlilik eğilimini paylaşıyorsa, tüketimin çıktıya oranı ve yatırımın çıktıya oranı, yani logaritmalar arasındaki iki fark, durağan olmalıdır.

Bu, şu sayımla ifade edilir: üç değişken, iki eşbütünleşme ilişkisi, bir ortak eğilim. Genel kural, n değişkenli bir sistemde r tane bağımsız eşbütünleşme ilişkisi varsa, n − r tane ortak eğilim bulunduğudur. Üç seri birbirinden tamamen bağımsız olarak sürükleniyor olsaydı, eşbütünleşme ilişkisi olmazdı ve üç ayrı eğilim bulunurdu. İki ilişki varsa, üç serinin bütün uzun dönem hareketi tek bir eğilimden gelir; seriler, bu eğilimin üç farklı yansımasıdır.

Bu sayım, iktisadi bir iddianın istatistiksel karşılığıdır. Verilerde iki yerine tek bir eşbütünleşme ilişkisi bulunursa, sistemde iki ayrı ortak eğilim vardır; bu, örneğin yatırımın çıktıya oranının kalıcı biçimde değişebildiği, yani tek bir verimlilik eğiliminin yetmediği anlamına gelir. King ve arkadaşları, nominal değişkenleri de içeren daha büyük sistemlerde birden fazla eğilim buldular ve verimlilik eğiliminin dalgalanmaların yarısından azını açıkladığını gördüler.

Çözümlü örnek — Johansen testini adım adım okumak

Aynı üç seri için birden fazla eşbütünleşme ilişkisi aranacağından, iki adımlı yöntem yerine Søren Johansen'in geliştirdiği sistem yöntemi kullanılır. Test sıralıdır: önce hiç ilişki olmadığı hipotezi sınanır; reddedilirse en fazla bir ilişki olduğu, reddedilirse en fazla iki ilişki olduğu sınanır ve ilk reddedilemeyen hipotezde durulur.

Bir uygulamada iz istatistikleri şöyle çıksın: sıfır ilişki hipotezi için 41,2, en fazla bir ilişki için 18,7, en fazla iki ilişki için 2,1. Sabit terimli bir model için yayımlanmış tablolardaki yüzde 5 kritik değerleri yaklaşık 29,7, 15,4 ve 3,8'dir. Birinci adımda 41,2 değeri 29,7'yi aşar; sıfır ilişki reddedilir. İkinci adımda 18,7 değeri 15,4'ü aşar; en fazla bir ilişki hipotezi de reddedilir. Üçüncü adımda 2,1 değeri 3,8'in altında kalır; en fazla iki ilişki hipotezi reddedilemez. Sonuç: iki eşbütünleşme ilişkisi, bir ortak eğilim. Bu, reel iş çevrimi modelinin uzun dönem öngörüsüyle tutarlıdır.

İz istatistiklerinin neden sıralı okunduğu da önemlidir. Üç hipotezin hepsine aynı anda bakıp «hangi istatistik en büyük» diye sormak yanlış olur; her adım, bir öncekinin reddedilmesine bağlıdır ve ilk reddedilemeyen hipotez rankı verir. Birinci adımda sıfır ilişki reddedilemeseydi, sonraki istatistiklere bakmaya gerek kalmazdı. Okumanın bir inceliği vardır: test, ilişki sayısını belirler ama ilişkilerin hangileri olduğunu tek başına söylemez. İki ilişkinin gerçekten tüketim–çıktı ve yatırım–çıktı oranları olup olmadığı, eşbütünleşme vektörleri üzerine kısıt konarak ayrıca sınanır.

Modelin sınırları

Bütün bu hesaplar, serilerin bütünleşme derecelerinin doğru belirlendiğini varsayar: eşbütünleşme, tek tek durağan olmayan ama farkları durağan olan seriler arasında anlamlıdır. Birim kök testlerinin gücünün düşük olduğu, kalıcılığı yüksek durağan serilerin birim köklü serilerden kolayca ayırt edilemediği düşünülürse, bu varsayım kendi başına belirsizlik taşır. Ayrıca eşbütünleşme testlerinin gücü de sınırlıdır: on yıllık bir veri, yavaş kapanan bir denge hatasını sürüklenen bir seriden ayırmaya yetmeyebilir. İki şehir örneğinde, fark birkaç ayda değil birkaç yılda kapanıyorsa, on yıllık veri bile kanıt sunmayabilir. Eşbütünleşme bir zaman ufku meselesidir: test, verinin kapsadığı süreden daha uzun dönemli bağları göremez.

Bir başka sınır, ilişkinin doğrusal varsayılmasıdır. İki şehir örneğinde tüccarlar, fark taşıma maliyetini yalnızca küçük bir miktar aştığında harekete geçmeyebilir; ticaretin sabit maliyetleri vardır ve küçük sapmalar için kamyon kiralamak kârlı değildir. Bu durumda denge hatası, belirli bir bandın içinde rastgele yürüyüş gibi davranır, bandın dışına çıktığında ise hızla geri döner. Doğrusal bir test, bandın içindeki uzun sürüklenmeleri görüp eşbütünleşmeyi reddedebilir; oysa bağ vardır, yalnızca eşik aşıldığında devreye girer.

Teknik

Tanım ve gösterim

Birinci dereceden bütünleşik, yani farkı alındığında durağan hâle gelen değişkenlerden oluşan bir vektör düşünelim. Bu değişkenlerin bir doğrusal bileşimi, yani eşbütünleşme vektörüyle ağırlıklandırılmış toplamı, sıfırıncı dereceden bütünleşikse, yani düzeyde durağansa, değişkenler eşbütünleşiktir. Tanımın iki ayrıntısı önemlidir. Birincisi, bileşimdeki değişkenlerin bütünleşme dereceleri uyumlu olmalıdır: birinci dereceden bütünleşik bir seri, durağan bir seriyle eşbütünleşik olamaz, çünkü durağan bir seri sürüklenen bir seriyi dengeleyemez. İkincisi, n değişkenli bir sistemde en fazla n − 1 bağımsız eşbütünleşme vektörü olabilir; n tane olsaydı değişkenlerin kendileri durağan olurdu. Bir de ölçek sorunu vardır: bir eşbütünleşme vektörü sıfır olmayan herhangi bir sayıyla çarpıldığında yine eşbütünleşme vektörüdür; birden fazla ilişki varsa, ilişkilerin herhangi bir doğrusal bileşimi de bir ilişkidir. Bu yüzden vektörlerin iktisadi yorumu, ancak bir normalleştirme ve kuramdan gelen kısıtlarla mümkün olur.

Engle ve Granger'ın gösterim teoremi, eşbütünleşik bir sistemin üç eşdeğer biçimde yazılabileceğini gösterir: geçmiş şokların toplamı olarak, düzeylerde bir VAR olarak ve farklarla birlikte denge hatasının geçmiş değerini içeren bir model olarak. Üçüncü biçim, değişkenlerin değişimlerinin bir önceki dönemin denge hatasına tepki verdiğini, yani dengeden sapıldığında en az bir değişkenin sapmayı kapatacak yönde hareket ettiğini söyler. Bu yapı, kursun bir sonraki dersinin konusudur.

Engle–Granger yöntemi

Yöntemin şaşırtıcı bir özelliği, birinci adımdaki tahminin çok hızlı yakınsamasıdır. Eşbütünleşik seriler arasındaki regresyonda eğim tahmincisi, durağan seriler arasındaki olağan regresyondan daha hızlı biçimde gerçek değere yaklaşır; James Stock 1987'de bu özelliği «süper tutarlılık» olarak adlandırdı. Bunun sezgisi şudur: yanlış bir eğim seçildiğinde kalıntılar sürüklenen bir bileşen içerir ve varyansları örneklem büyüdükçe hızla şişer; en küçük kareler bu yüzden doğru eğimi güçlü biçimde ayırt eder.

Ama süper tutarlılık her sorunu çözmez. Sonlu örneklemlerde birinci adım tahmini yanlı olabilir, özellikle değişkenlerin kısa dönem dinamikleri güçlüyse ve denge hatası yavaş kapanıyorsa. Ayrıca eğim tahmininin olağan t istatistiği, standart dağılıma uymaz ve doğrudan anlamlılık testi için kullanılamaz; uzun dönem katsayılar üzerine çıkarım için düzeltilmiş tahminciler geliştirilmiştir. Yöntemin bir başka zayıflığı normalleştirmedir: hangi değişkenin bağımlı değişken seçildiği, sonlu örneklemde sonucu değiştirebilir. İzmir fiyatını Konya fiyatına regres etmek ile tersini yapmak, küçük örneklemlerde farklı test sonuçları verebilir. Ve en önemlisi, ikiden fazla değişken varken yöntem yalnızca bir ilişkiyi yakalayabilir; sistemde birden fazla ilişki varsa, bulunan tek vektör bunların bir karışımı olabilir.

Johansen yöntemi

Johansen yöntemi, düzeylerdeki VAR'ı farklar ve bir uzun dönem terimi içerecek biçimde yeniden yazar. Uzun dönem terimindeki matris, eşbütünleşme varsa iki matrisin çarpımına ayrılır: biri eşbütünleşme vektörlerini, öbürü her değişkenin denge hatalarına ne hızla tepki verdiğini gösteren ağırlıkları içerir. Johansen, rankın en çok olabilirlik yöntemiyle nasıl sınanacağını gösterdi; iz testi, sıralı hipotezlerle rankı belirler, en büyük özdeğer testi ise rankın bir fazlası karşısında sınanır. Søren Johansen ve Katarina Juselius'un 1990'da yayımlanan çalışması, yöntemi sabit terim ve mevsimsel kuklalar içeren modellere sistemli biçimde uyguladı ve Danimarka ile Finlandiya'nın para talebi verileriyle örnekledi.

Johansen testinin sonuçları, modele konan deterministik terimlere duyarlıdır. Sabit terimin yalnızca eşbütünleşme ilişkisinin içinde mi, yoksa serilerin kendi hareketinde de mi bulunduğu, yani serilerin bir doğrusal eğilimle mi sürüklendiği, farklı kritik değer tabloları gerektirir. Yanlış bir seçim, rank kararını değiştirebilir. Uygulamada araştırmacılar, serilerin grafiklerine bakarak bir eğilim bulunup bulunmadığına karar verir ve sonucun bu seçime duyarlılığını raporlar. Gecikme sayısı da önemlidir: az gecikme, kalıntılarda öz ilişki bırakıp testi bozar; çok gecikme, küçük örneklemde gücü düşürür. Küçük örneklemlerde iz testinin, gerçekte olandan daha fazla ilişki bulma eğiliminde olduğu da bilinir; bu yüzden asimptotik kritik değerler yerine örneklem büyüklüğüne göre düzeltilmiş değerler önerilmiştir.

Ortak eğilimler

Ortak eğilim bakışı, eşbütünleşmeye ters yönden bakar. Eşbütünleşme ilişkileri, serilerin birbirinden kopmasını engelleyen bağları sayar; ortak eğilimler ise serileri birlikte sürükleyen kuvvetleri. King ve arkadaşlarının yaklaşımı, bir önceki dersin uzun dönem kısıtıyla birleşir: ortak eğilime gelen şoklar, değişkenleri kalıcı olarak etkileyen şoklardır ve bu şokların etki–tepki fonksiyonları ve varyans payları, uzun dönem kısıtı yoluyla özdeşlenebilir.

Eşbütünleşme, nedensellik ve öngörü

Gösterim teoreminin bir sonucu, eşbütünleşik iki seri arasında en az bir yönde Granger anlamında öngörü ilişkisi bulunması gerektiğidir. Denge hatası bir sonraki dönemde kapanma eğilimindeyse, en az bir değişken bu hataya tepki verir; o değişkenin değişimi, öbür değişkenin geçmiş düzeyini içeren hatayla öngörülebilir. Bu, iki şehir örneğinde, fiyat farkının büyüdüğü bir ayın ardından en az bir şehrin fiyatının farkı kapatacak yönde hareket edeceği anlamına gelir. Ama bu öngörü ilişkisi, bir nedensellik kanıtı değildir; turizm–büyüme dersinde gördüğümüz gibi, iki seriyi birlikte sürükleyen ortak bir etken de aynı yapıyı üretebilir.

Öngörü açısından eşbütünleşme bir kazanç sağlar. Uzun ufuklarda, eşbütünleşik serilerin tek tek öngörüleri belirsizleşir, çünkü her biri rastgele yürüyüş gibi sürüklenir; ama aralarındaki ilişkinin öngörüsü belirsizleşmez, çünkü denge hatası durağandır. Düzeylerde kurulan bir VAR, bu yapıyı kısıtsız olarak içerir; farklarla kurulan bir VAR ise atar. Uygulamada eşbütünleşme kısıtının açıkça konmasının öngörü başarısını ne kadar artırdığı, örneklem büyüklüğüne ve ilişkinin gücüne bağlıdır ve sonuçlar çalışmadan çalışmaya değişir.

Kırılmalar ve alternatifler

Uzun örneklemlerde eşbütünleşme ilişkisinin kendisi değişebilir: bir vergi reformu tüketim–gelir oranını, bir ulaşım yatırımı iki şehir arasındaki taşıma maliyetini kalıcı olarak değiştirebilir. Sabit bir ilişki varsayan testler, böyle bir kırılmayı eşbütünleşmenin yokluğu olarak okuyabilir; kırılmaya izin veren testler bu yüzden geliştirilmiştir. Bir başka yaklaşım, Pesaran, Shin ve Smith'in sınır testidir: bu yöntem, değişkenlerin bir kısmının durağan, bir kısmının birinci dereceden bütünleşik olup olmadığından emin olunamadığı durumlarda uzun dönem ilişkiyi sınamaya izin verir. Türkiye üzerine birçok uygulamalı çalışma, turizm–büyüme dersinde gördüğümüz gibi, hem bu yöntemi hem Johansen yöntemini kullanır ve iki yöntemin farklı sonuçlar verebildiği görülür.

Uygulama

Özet kartı

1. Durağan olmayan seriler arasındaki regresyonlar, gerçek bir ilişki yokken bile anlamlı görünen sonuçlar üretebilir; sahte regresyonu eşbütünleşmeden ayıran şey, kalıntıların, yani denge hatasının, durağan olup olmamasıdır.
2. Engle ve Granger, eşbütünleşik serilerin farklarla kurulan bir VAR'la bağdaşmadığını gösterdi, iki adımlı bir tahmin ve test yöntemi önerdi ve tüketim ile gelirin, kısa ve uzun faizlerin eşbütünleşik, ücretlerle fiyatların eşbütünleşik olmadığını buldu.
3. Engle–Granger testinde kalıntılar için kullanılan eşikler, olağan Dickey–Fuller tablosundakilerden daha katıdır; yanlış tablo kullanmak eşbütünleşmeyi gereğinden sık bulur.
4. Campbell ve Shiller, eşbütünleşmeyle bugünkü değer modellerini sınayarak vade yapısı kuramı için görece cesaret verici, hisse senedi fiyatları için ise şaşırtıcı sonuçlar buldu.
5. n değişkenli bir sistemde r eşbütünleşme ilişkisi, n − r ortak eğilim demektir; King, Plosser, Stock ve Watson, çıktı, tüketim ve yatırımın ortak bir eğilimi paylaştığını, ama kalıcı verimlilik şoklarının iş çevrimi dalgalanmasının genellikle yarısından azını açıkladığını buldu.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Sahte regresyon ile eşbütünleşme arasındaki farkı, kalıntıların davranışı üzerinden açıklayın.
2. (Çıktı 2) İki şehir örneğinde sekizinci ay Konya'da fiyat 228, İzmir'de 241 olsaydı, denge hatası kaç olurdu? Bu değer önceki aylarla karşılaştırıldığında ne düşündürür ve tüccarların davranışı hakkında ne beklersiniz?
3. (Çıktı 2) Engle–Granger testinde kalıntılar için hesaplanan istatistik −3,6 olsaydı, iki değişkenli ve sabit terimli bir sistemde yüzde 5 düzeyinde ne sonuca varırdınız? İstatistik −3,1 olsaydı?
4. (Çıktı 2) Beş değişkenli bir sistemde Johansen testi üç eşbütünleşme ilişkisi buluyor. Sistemde kaç ortak eğilim vardır? Bu sonuç değişkenlerin uzun dönem hareketi hakkında ne söyler?
5. (Çıktı 3) Bir yüksek lisans öğrencisi, bir ülkenin cep telefonu abone sayısı ile kişi başı gelirini düzeylerde birbirine regres ediyor ve yüksek bir açıklama gücü buluyor. Sonuca güvenmeden önce neleri kontrol edersiniz?
6. (Çıktı 4) Bir yorumcu, «Campbell ve Shiller'in bulguları, hisse senedi fiyatlarının bugünkü değer modeline uymadığını kanıtladı; piyasalar rasyonel değildir» diyor. Bu görüşü bu dersteki araçlar ve bulgular ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. Sahte regresyonda, birbirinden bağımsız durağan olmayan serilerin regresyonundan elde edilen kalıntılar da durağan değildir: uzun dönemler boyunca bir yönde sürüklenir, sıfıra dönme eğilimi göstermez. Olağan test istatistikleri bu durumda geçersizdir ve anlamlı görünen katsayılar bir şey kanıtlamaz. Eşbütünleşmede ise kalıntılar, yani denge hatası, durağandır: sıfır etrafında dalgalanır ve büyük sapmalar zamanla kapanır. Bu, serilerin tek tek sürüklense de birbirinden kopmadığını gösterir.
2. Fark 241 eksi 228, yani 13'tür; taşıma maliyeti 5 çıkarıldığında denge hatası 8 olur. Bu, önceki aylarda görülen −3 ile 3 arasındaki değerlerin çok üstündedir. Tüccarlar için Konya'dan buğday alıp İzmir'de satmak çok kârlı hâle gelmiştir; ticaretin artması, İzmir'de fiyatı düşürüp Konya'da yükselterek farkı kapatmalıdır. Seriler eşbütünleşikse sonraki aylarda hatanın küçülmesi beklenir; büyüklüğü sürüyorsa, taşıma maliyetinde ya da piyasa koşullarında kalıcı bir değişim olup olmadığı araştırılmalıdır.
3. −3,6, yaklaşık −3,34 olan Engle–Granger kritik değerinin altında kaldığı için, eşbütünleşme yokluğu hipotezi yüzde 5 düzeyinde reddedilir; seriler eşbütünleşik kabul edilir. −3,1 ise olağan Dickey–Fuller kritik değeri −2,86'nın altında kalsa da −3,34'ün altında kalmaz; doğru kritik değerle eşbütünleşme yokluğu reddedilemez ve kanıt yetersizdir.
4. Beş değişken ve üç ilişki, beş eksi üç, yani iki ortak eğilim demektir. Beş değişkenin bütün uzun dönem hareketi, iki bağımsız kalıcı kuvvetten gelir; değişkenler bu iki eğilimin farklı ağırlıklarla birleşimleri artı durağan sapmalardır. İktisadi olarak, sistemi kalıcı biçimde etkileyen iki tür şok olduğu, örneğin biri reel, biri nominal iki eğilim bulunduğu biçiminde yorumlanabilir.
5. Önce iki serinin bütünleşme derecelerini birim kök testleriyle belirlerim. İkisi de birinci dereceden bütünleşikse, regresyonun kalıntılarının grafiğini çizer ve kalıntılar üzerinde Engle–Granger kritik değerleriyle bir birim kök testi yaparım. Kalıntılar durağan değilse, yüksek açıklama gücü iki serinin aynı dönemde yükselmesinden gelir ve sonuç sahte regresyondur. Kalıntılar durağansa bile, bu bir uzun dönem birliktelik gösterir, nedensellik değil; iki seriyi birlikte sürükleyen ortak bir etken, örneğin teknolojik gelişme olabilir.
6. Görüş aşırıdır. Campbell ve Shiller, eşbütünleşik VAR araçlarıyla hisse senedi fiyatlarının bugünkü değer modeli için şaşırtıcı sonuçlar buldu; bu, fiyatların kâr paylarına göre kuramın öngördüğünden daha geniş dalgalandığı yönündeki bulgularla tutarlıdır. Ama bu sonuç, sınanan modelin belirli bir biçimine, örneğin sabit bir indirim oranı varsayımına bağlıdır; beklenen getirilerin zaman içinde değiştiği modeller farklı sonuçlar verebilir. Ayrıca eşbütünleşme testlerinin gücü sınırlıdır ve sonuçlar örneklem dönemine duyarlıdır. Aynı yöntem vade yapısı kuramı için görece cesaret verici sonuçlar verdiği için, araç kuramlara karşı önyargılı da değildir. Doğru tutum, bulgunun basit bugünkü değer modeline önemli bir itiraz oluşturduğunu, ama piyasaların rasyonel olup olmadığı sorusunu tek başına kapatmadığını kabul etmektir.

İleri okuma

• Robert F. Engle, C. W. J. Granger (1987). «Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing». Econometrica 55(2). Kavramın, gösterim teoreminin ve iki adımlı yöntemin temel kaynağı.
• John Y. Campbell, Robert J. Shiller (1987). «Cointegration and Tests of Present Value Models». Journal of Political Economy 95(5). Faiz vade yapısı ve hisse senedi fiyatları için bugünkü değer modellerinin sınanması.
• Robert G. King, Charles I. Plosser, James H. Stock, Mark W. Watson (1991). «Stochastic Trends and Economic Fluctuations». American Economic Review 81(4). Ortak eğilimler ve iş çevrimlerinin kaynağı.

Sonraki derse köprü

Eşbütünleşme bize iki serinin birbirinden kopmadığını söyledi, ama bağın nasıl işlediğini söylemedi. İzmir'de fiyat taşıma maliyetinin çok üstüne çıktığında farkı kim kapatır: İzmir fiyatı mı düşer, Konya fiyatı mı yükselir, ikisi birden mi? Sapmanın yarısı bir ayda mı, bir yılda mı kapanır? Bu sorular, değişimleri hem kısa dönem dinamikleriyle hem de bir önceki dönemin denge hatasıyla açıklayan modellerle cevaplanır; Engle ve Granger'ın gösterim teoremi, eşbütünleşik her sistemin böyle bir yapıyla yazılabileceğini söylüyordu. Hata düzeltme modelleri, uyumun hızını ve yükünün kime düştüğünü ölçer.