Etki-tepki analizi

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Etki–tepki fonksiyonunu, öngörü hatası varyans ayrıştırmasını, uzun dönem ve işaret kısıtlarını, yerel izdüşümü ve dış araçla özdeşlemeyi tanımlar.
• Uygulama — Çıktı ve faizden oluşan küçük bir VAR'da, Cholesky ayrıştırmasıyla özdeşlenmiş bir şokun birkaç çeyreklik etki–tepki yolunu elle hesaplar ve her ufukta belirsizliğin hangi şoka düştüğünü bulur.
• Analiz — Değişken sıralamasının, şokun büyüklük seçiminin ve özdeşleme stratejisinin bir etki–tepki fonksiyonunun biçimini ve işaretini nasıl değiştirdiğini çözümler.
• Değerlendirme — Talep ve arz şoklarının ayrıştırılmasına, para politikasının çıktı üzerindeki etkisine dair işaret kısıtlı bulgulara ve yerel izdüşüm yöntemine dayanarak, bir etki–tepki grafiğinin ne kadar güvenle yorumlanabileceğini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir göle taş atıldığında suyun yüzeyinde halkalar oluşur: önce taşın düştüğü yerde büyük bir çalkantı, sonra giderek genişleyen ve sönen dalgalar. Taşın ağırlığı, gölün derinliği ve kıyıların biçimi, dalgaların ne kadar büyük olacağını, ne kadar uzağa gideceğini ve ne zaman duracağını belirler. Bir ekonomiye gelen beklenmedik bir şok da buna benzer biçimde yayılır. Bir petrol arzı kesintisi, bir verimlilik sıçraması ya da bir faiz sürprizi önce birkaç değişkeni doğrudan etkiler; sonra bu etkiler, değişkenler arasındaki karşılıklı bağlar üzerinden öbür değişkenlere taşınır, birikir, yön değiştirir ve sonunda söner.

Bu yayılmanın biçimi, iktisat politikasının en pratik sorularının cevabıdır. Faiz kararından sonra enflasyonun düşmeye başlaması iki çeyrek mi, iki yıl mı sürer? Bir petrol şokunun büyümeye etkisi kalıcı mıdır, geçici mi? Bir kamu harcaması artışı, özel yatırımı hemen mi dışlar, yoksa önce destekleyip sonra mı geri çeker? Bu soruların hiçbiri tek bir katsayıyla cevaplanamaz, çünkü cevap bir sayı değil, zaman içinde çizilen bir yoldur.

Bir önceki derste kurulan bir VAR, bu yolu hesaplamaya yeter mi? Katsayılar elimizdedir, ama katsayılar tek başına okunmaz: iki değişkenli ve dört gecikmeli bir modelde bile otuzdan fazla katsayı vardır ve bunların birlikte ne söylediği, ancak modeli ileriye doğru çalıştırarak görülebilir. Üstelik çalıştırmak için önce şokun ne olduğunu söylemek gerekir; modelin kalıntıları ise birbirine karışmış hareketlerdir. Etki–tepki analizi, bu iki işi birlikte yapar: hangi şokun izlendiğini bir özdeşleme varsayımıyla belirler ve o şokun izini değişken değişken, dönem dönem çıkarır.

Hikâye — kalıcı olan ve geçen

Olivier Blanchard ve Danny Quah, 1989'da yayımlanan bir makalede, gayrisafi milli hasıladaki ve işsizlikteki dalgalanmaların kaynağını sordular. Ekonomiyi sarsan şokların hepsi aynı türden değildir: bazıları, örneğin bir teknolojik ilerleme, üretimi kalıcı olarak değiştirir; bazıları, örneğin harcamalardaki geçici bir düşüş, bir süre etkili olur ve sonra iz bırakmadan kaybolur. İkisini verilerden ayırmanın bir yolu var mıydı?

Blanchard ve Quah'ın cevabı, şokları kısa dönemdeki etkileriyle değil, uzun dönemdeki etkileriyle tanımlamaktı. Üretimi kalıcı biçimde etkileyen şokları arz şoku, üretim üzerindeki etkisi zamanla sıfıra inen şokları talep şoku olarak adlandırdılar. Bu tek varsayım, iki değişkenli bir VAR'ın kalıntılarını iki ayrı şoka bölmeye yetiyordu; aynı dönemde hangi değişkenin hangisine tepki verdiği hakkında hiçbir varsayım gerekmiyordu.

Bu sonucun iki yarısı, dersin iki temel aracına karşılık gelir. İlk yarı, şokların zaman içindeki yoludur: tümsek biçimli bir talep etkisi, yavaşça yükselen bir arz etkisi. İkinci yarı ise dalgalanmaların ne kadarının hangi şoktan geldiğidir ve Blanchard ile Quah'ın kendi uyarısına göre bu ikinci sorunun cevabı çok daha belirsizdi.

Kavram — şokun izi ve payı

İki aracın sorduğu sorular farklıdır. Etki–tepki fonksiyonu, «bu şok gelirse ne olur?» sorusunu cevaplar; varyans ayrıştırması ise «gerçekte olan dalgalanmaların ne kadarı bu şoktan geldi?» sorusunu. Bir şok çok güçlü etkilere sahip olabilir ama nadiren geldiği ya da küçük olduğu için dalgalanmaların küçük bir kısmını açıklayabilir; tersine, etkisi orta düzeyde ama sürekli gelen bir şok, dalgalanmaların büyük kısmından sorumlu olabilir.

Veri ve kanıt — sıralamayı bırakmak, modeli bırakmak

Bir önceki derste, özyinelemeli bir VAR'ın sonuçlarının değişken sıralamasına bağlı olduğunu gördük. Harald Uhlig, faiz şokunu tanımlarken sıralamanın yerine, şokun bazı değişkenler üzerindeki etkilerinin yönüne dair kısıtlar kullandı ve asıl merak edilen değişkenin, üretimin, tepkisini serbest bıraktı.

Uhlig'in sonucu tartışmalıdır ve öyle okunmalıdır. Aynı dönemde yayımlanan ve farklı özdeşleme yolları izleyen pek çok çalışma, daraltıcı bir para politikası şokunun üretimi gecikmeyle düşürdüğünü bulmuştu; Uhlig'in yöntemi bu sonucu çürütmedi, ama verilerin, yalnızca işaret kısıtları altında, üretim tepkisinin yönünü kesin olarak belirlemediğini gösterdi. Bir ölçüde zayıf varsayım, bir ölçüde geniş sonuç üretir.

Òscar Jordà ise sorunu başka bir yerden ele aldı. Bir VAR'ın etki–tepki fonksiyonu, tek dönemlik bir modelin kendi üzerine defalarca uygulanmasıyla elde edilir; model biraz yanlışsa, hata her adımda taşınır ve uzak ufuklarda büyür.

Neden önemli? — politika grafiklerinin arkası

Merkez bankalarının enflasyon raporlarında, uluslararası kuruluşların ülke değerlendirmelerinde ve maliye politikası tartışmalarında karşılaşılan «faiz artışının etkisi» ya da «petrol fiyatı şokunun etkisi» grafikleri, çoğunlukla bir etki–tepki fonksiyonudur. Bu grafikleri okuyabilmek, onların hangi varsayımlardan çıktığını sorabilmek demektir: şok nasıl özdeşlendi, hangi büyüklükte bir şok izleniyor, gölgeli bantlar neyi gösteriyor ve sonuç, makul başka bir özdeşleme altında değişir mi? Bu ders, bu soruları hesap üzerinden sormayı öğretiyor.

Model

Aşağıdaki çeyreklik VAR'ın katsayıları ve kalıntı varyansları, hesabı elle izlenebilir kılmak için seçilmiştir; hiçbir ülkenin verisinden tahmin edilmemiştir.

Çözümlü örnek — Bir faiz şokunun izini sürmek

Bir ekonominin çıktı açığı (y, yüzde) ve politika faizi (r, yüzde puan), ortalamalarından sapmalar olarak, tek gecikmeli bir VAR'la betimleniyor:

y bu çeyrek = 0,7 × y geçen çeyrek − 0,2 × r geçen çeyrek + u₁

r bu çeyrek = 0,3 × y geçen çeyrek + 0,6 × r geçen çeyrek + u₂

Kalıntıların varyansları u₁ için 1, u₂ için 0,34; kovaryansları 0,3'tür. Kalıntılar ilişkilidir: çıktının beklenmedik biçimde yükseldiği çeyreklerde faiz de beklenmedik biçimde yükselme eğilimindedir. Bu ilişki, ya merkez bankasının çıktıya aynı çeyrek içinde tepki vermesinden ya da faizin çıktıyı aynı çeyrek içinde etkilemesinden ya da ikisinden birden kaynaklanabilir.

Çıktıyı ilk sıraya koyan özyinelemeli bir özdeşleme yapalım: çıktı, faiz şokuna aynı çeyrek içinde tepki vermez; faiz ise çıktı şokuna aynı çeyrek içinde tepki verebilir. Cholesky ayrıştırması şu aynı dönem etkilerini verir: bir standart sapmalık çıktı şoku, çıktıyı 1, faizi 0,3 puan artırır; bir standart sapmalık faiz şoku, çıktıyı aynı çeyrekte değiştirmez ve faizi 0,5 puan artırır. Sağlaması kolaydır: çıktı kalıntısının varyansı 1² = 1, faiz kalıntısının varyansı 0,3² + 0,5² = 0,09 + 0,25 = 0,34, kovaryansları 1 × 0,3 = 0,3; üçü de verilen değerlerle tutar.

Şimdi faiz şokunu izleyelim. Şokun geldiği çeyrekte (ufuk 0) çıktı 0, faiz 0,5. Bir çeyrek sonra, model kurallarını uygularsak: çıktının kendi geçmişinden gelen kısım sıfırdır, faizden gelen kısım 0,5'in 0,2 katı kadar eksidir; çıktı −0,1 olur. Faiz, 0,5'in 0,6 katı, yani 0,3 olur. İki çeyrek sonra çıktı, kendi geçmişinden −0,07, faizden −0,06 alır ve −0,13'e iner; faiz, çıktıdan −0,03, kendi geçmişinden +0,18 alır ve 0,15'e iner. Üç çeyrek sonra: çıktı = 0,7 × (−0,13) − 0,2 × 0,15 = −0,091 − 0,03 = −0,121; faiz = 0,3 × (−0,13) + 0,6 × 0,15 = −0,039 + 0,09 = 0,051. Dört çeyrek sonra çıktı −0,095, faiz −0,006.

Yol, tanıdık bir biçim çiziyor. Faiz şokun geldiği çeyrekte en yüksektir ve hızla söner; dördüncü çeyrekte, çıktı açığı negatife düştüğü için, merkez bankası faizi ortalamasının biraz altına indirmeye başlamıştır. Çıktı ise şokun geldiği çeyrekte kıpırdamaz, sonra düşer, en derin noktasına ikinci çeyrekte ulaşır ve yavaşça toparlanır. Bu tümsek biçim, Blanchard ve Quah'ın talep şokları için bulduğu biçime benzer; ama burada biçimin bir kısmı varsayımdan gelir: çıktının aynı çeyrekte sıfır tepki vermesi, verinin değil, sıralamanın sonucudur.

Çözümlü örnek — Hangi büyüklükte bir şok?

Yukarıdaki şok, faizi 0,5 puan artırıyordu, çünkü bir standart sapmalık şok izlendi. Uygulamada sonuçlar çoğu kez «faizdeki 1 puanlık beklenmedik artışın etkisi» olarak raporlanır. Doğrusal bir modelde bu, bütün yolu iki ile çarpmak demektir: çıktının tepkisi sırasıyla 0, −0,20, −0,26, −0,24, −0,19 olur. Grafiği okuyan kişinin, eksendeki birimin bir standart sapma mı, bir puan mı, yoksa başka bir ölçek mi olduğunu kontrol etmesi gerekir; iki grafik arasındaki fark yalnızca bu ölçek seçiminden de kaynaklanabilir.

İkinci bir okuma biçimi, birikimli tepkidir. Çıktı açığının şok sonrasındaki bütün sapmaları toplandığında, 1 puanlık faiz şoku için toplam yaklaşık −1,13 puan-çeyrek çıkar: ekonomi, şok boyunca birikimli olarak bir çeyreklik çıktının yaklaşık yüzde 1,1'ini kaybeder. Bu sayı, bir değişkenin düzeyi yerine büyüme oranı modellendiğinde özellikle önemlidir: büyüme oranının birikimli tepkisi, düzeyin kalıcı olarak ne kadar değiştiğini verir. Blanchard ve Quah'ın arz ve talep ayrımı tam olarak bu birikimli tepkiye dayanıyordu.

Çözümlü örnek — Daha kalıcı bir politika

Şimdi tek bir katsayıyı değiştirelim: faizin kendi gecikmesine verdiği ağırlık 0,8'e yükselsin. İktisadi olarak bu, merkez bankasının faizi daha yavaş ayarladığı, yani bir faiz artışını daha uzun süre koruduğu bir ekonomi demektir. Aynı dönem etkileri değişmez: faiz şoku faizi 0,5 puan artırır, çıktıyı aynı çeyrekte etkilemez.

Bir çeyrek sonra faiz, 0,5'in beşte dördü olan 0,4'tür; eskisine göre 0,1 puan daha yüksek; çıktı yine −0,1'dir, çünkü ilk çeyrekteki çıktı tepkisi yalnızca şokun aynı dönem büyüklüğüne bağlıdır. İki çeyrek sonra çıktı, kendi geçmişinden −0,07, daha yüksek kalan faizden −0,08 alır ve −0,15'e iner; faiz ise çıktıdan −0,03, kendi geçmişinden +0,32 alır ve 0,29'da kalır. Üç çeyrek sonra çıktı yaklaşık −0,163'e iner ve en derin noktası, önceki modeldeki gibi ikinci değil, üçüncü çeyrektir. 1 puanlık şoka ölçeklendiğinde çıktının birikimli kaybı yaklaşık −1,13'ten −1,67'ye çıkar.

Aynı büyüklükteki şok, faizin ne kadar uzun süre yüksek kaldığına bağlı olarak çok farklı birikimli etkiler doğurur. Bu, etki–tepki fonksiyonunun yalnızca şokun değil, şoktan sonra politikanın nasıl davrandığının da bir ürünü olduğunu gösterir: tepki yolu, merkez bankasının o dönemdeki tepki kuralını içinde taşır. Kural değişirse, aynı şokun yolu da değişir.

Çözümlü örnek — Sıralamayı ters çevirmek

Aynı VAR'da faizi ilk sıraya koyalım: faiz, çıktı şokuna aynı çeyrek içinde tepki vermez; çıktı ise faiz şokuna aynı çeyrek içinde tepki verebilir. Bu kez Cholesky ayrıştırması, bir standart sapmalık faiz şokunun faizi yaklaşık 0,58 puan, çıktıyı ise aynı çeyrekte yaklaşık 0,51 puan artırdığını söyler. Bunun nedeni, kalıntılar arasındaki pozitif ilişkinin tamamının artık faiz şokuna atfedilmesidir: faiz ve çıktının birlikte beklenmedik biçimde yükseldiği her çeyrek, faiz şokunun çıktıyı yükselttiği bir çeyrek olarak okunur.

Bu sıralamada faiz şokundan bir çeyrek sonra çıktı hâlâ ortalamanın yaklaşık 0,24 puan üzerindedir, iki çeyrek sonra 0,07; ancak üçüncü çeyrekte negatife döner. İktisadi olarak bu yol inandırıcı değildir: bir faiz artışının çıktıyı iki çeyrek boyunca artırması, para politikasının işleyişine dair bilinen hiçbir mekanizmayla uyuşmaz. Bu tür «bilmeceler», genellikle özdeşlemenin şoku yanlış yakaladığının işaretidir: burada yakalanan, merkez bankasının güçlü bir ekonomiye tepki olarak faizi artırdığı çeyreklerdir; şok değil, sistematik politika. İki sıralama, aynı veriden iki farklı hikâye çıkarır ve hangisinin doğru olduğu veriyle değil, merkez bankasının bilgi akışı ve karar takvimi hakkındaki bilgiyle belirlenir.

Çözümlü örnek — Dalgalanmaların payı

İlk sıralamaya dönelim ve varyans ayrıştırmasını hesaplayalım. Tek çeyrek ilerisini öngörürken yapılan hata, yalnızca o çeyrekte gelecek şoklardan oluşur. Çıktı için bu hatanın varyansı, çıktı şokundan 1² = 1, faiz şokundan 0² = 0'dır; çıktı öngörüsündeki belirsizliğin yüzde 100'ü çıktı şokundan gelir. Bu sonuç, özdeşleme varsayımının doğrudan bir yansımasıdır: faiz şokunun çıktıyı aynı çeyrekte etkileyemeyeceğini varsaydık.

İki çeyrek sonrası için, iki çeyreğin şokları toplanır: çıktı şokunun katkısı 1² + 0,64² = 1 + 0,41 = 1,41; faiz şokunun katkısı 0² + (−0,1)² = 0,01. Toplam 1,42; faiz şokunun payı yaklaşık yüzde 0,7. Dört çeyrek sonrası için bu pay yüzde 2,6'ya, sekiz çeyrek sonrası için yüzde 3,5'e çıkar ve orada durulur.

Faizin kendisi için tablo farklıdır. Bir çeyrek sonrasında faiz öngörü hatasının varyansı 0,3² + 0,5² = 0,34'tür; bunun 0,09'u, yani yüzde 26,5'i çıktı şokundan, yüzde 73,5'i faiz şokundan gelir. Sekiz çeyrek sonrasında çıktı şokunun payı yüzde 69'a çıkar: uzun ufuklarda faizdeki belirsizliğin çoğu, merkez bankasının çıktıdaki gelişmelere tepkisinden kaynaklanır.

Bu sayılar, etki–tepki fonksiyonuyla varyans ayrıştırmasının neden ayrı sorular sorduğunu gösterir. Faiz şokunun çıktı üzerindeki etkisi ihmal edilebilir değildir: 1 puanlık şok, çıktıyı iki çeyrek sonra yaklaşık çeyrek puan düşürür. Ama bu örnekte faiz şokları küçüktür ve çıktıdaki dalgalanmaların çok küçük bir kısmını açıklar; dalgalanmaların asıl kaynağı başka yerdedir. Para politikası literatüründe de benzer bir tablo sık görülür: politika şokları, ekonomik dalgalanmaların büyük kısmını açıklamaz; çünkü politikanın büyük kısmı sistematiktir, yani şok değil, kurala bağlı bir tepkidir.

Çözümlü örnek — Modeli çalıştırmadan doğrudan regresyon

Aynı soruyu yerel izdüşümle soralım. Her ufuk h için ayrı bir regresyon tahmin edilir: h çeyrek sonraki çıktı açığı, bu çeyrekteki özdeşlenmiş faiz şokuna ve birkaç gecikmeli kontrol değişkenine regres edilir. Ufuk 1 için bir regresyon, ufuk 2 için başka bir regresyon, ufuk 8 için sekizinci bir regresyon. Her regresyonda şokun katsayısı, o ufuktaki etki–tepki tahminidir.

Veriyi üreten süreç gerçekten yukarıdaki birinci dereceden VAR ise ve örneklem büyükse, yerel izdüşüm katsayıları VAR'ın etki–tepki yoluna, yani −0,20, −0,26, −0,24 gibi değerlere yakın çıkar. Fark, iki durumda ortaya çıkar. Gerçek süreç daha karmaşıksa, örneğin dördüncü çeyrekte etkili olan ve modelde bulunmayan bir gecikme varsa, VAR bu gecikmeyi görmez ve yanlışı uzak ufuklara taşır; yerel izdüşüm ise her ufku doğrudan veriden tahmin ettiği için bu hatadan daha az etkilenir. Öte yandan yerel izdüşüm, her ufukta ayrı tahmin yaptığı ve VAR'ın dayattığı yapıyı kullanmadığı için, genellikle daha geniş güven aralıkları üretir ve tepki yolu ufuktan ufka daha düzensiz görünebilir. Seçim, bir yanlılık–varyans dengesidir.

Çözümlü örnek — Kabul edilen modellerin kümesi

İşaret kısıtlarının mantığını görmek için çıktı, enflasyon ve faizden oluşan üç değişkenli bir VAR düşünelim. Para politikası sıkılaştırma şokunu şöyle tanımlayalım: faizi ilk iki çeyrekte yükselten ve enflasyonu ilk iki çeyrekte düşüren şok. Çıktının tepkisine hiçbir kısıt koymayalım.

İşaret kısıtları tek bir model belirlemez. Kalıntılar, sonsuz sayıda farklı biçimde bağımsız şoklara döndürülebilir ve bu döndürmelerin bir kısmı kısıtları sağlar. Araştırmacı, binlerce rastgele döndürme dener ve kısıtları sağlayanları tutar. Diyelim ki tutulan modellerde, iki çeyrek sonraki çıktı tepkisi −0,4 ile +0,1 arasında değişiyor. Bu durumda verinin söylediği, çıktının «muhtemelen düştüğü ama yükselmesinin de dışlanamadığı»dır; tek bir sayı değil, bir aralık. Uhlig'in bulgusu tam olarak bu türdendi: kısıtlar sağlandığında bile üretim tepkisinin yönü belirsiz kalıyordu.

Bu örnekten çıkan ders, bilgiyle kesinlik arasındaki değiş tokuştur. Özyinelemeli sıralama tek bir model ve keskin bir sonuç verir, ama sıfır kısıtları güçlü varsayımlardır; işaret kısıtları daha zayıf ve çoğu araştırmacının kabul edebileceği varsayımlardır, ama sonuç da daha geniştir.

Modelin sınırları

Bu bölümdeki bütün hesaplar, modelin doğrusal olduğunu ve katsayılarının zaman içinde sabit kaldığını varsayar. Doğrusallık, 1 puanlık bir şokun etkisinin 0,5 puanlık şokun etkisinin tam iki katı olduğu, faiz artışlarının ve indirimlerinin simetrik etkiler doğurduğu ve şokun etkisinin ekonominin döngünün hangi aşamasında olduğuna bağlı olmadığı anlamına gelir. Bu varsayımların her biri sorgulanabilir: bir durgunluk sırasındaki faiz indiriminin etkisi, bir genişleme sırasındaki faiz artışının etkisinden farklı olabilir. Yerel izdüşümler bu tür farklılıkları regresyona etkileşim terimleri ekleyerek incelemeyi kolaylaştırır; ama farklılıkları tahmin etmek, her duruma düşen gözlem sayısını azaltır ve belirsizliği artırır.

Teknik

Hareketli ortalama gösterimi

Durağan bir VAR, geçmiş şokların ağırlıklı toplamı olarak yeniden yazılabilir. Birinci dereceden bir VAR'da, bu dönemin değeri, bu dönemin kalıntısına, katsayı matrisinin bir önceki dönemin kalıntısıyla çarpımına, katsayı matrisinin karesinin iki önceki dönemin kalıntısıyla çarpımına, ve bu böyle giderek eklenmesiyle elde edilir. Bu gösterimdeki ağırlık matrisleri, katsayı matrisinin kuvvetleridir; indirgenmiş biçimli kalıntılara karşılık gelen etki–tepkileri bunlar verir.

Yapısal şoklara geçmek için, kalıntılar yapısal şokların bir bileşimi olarak yazılır: kalıntı vektörü = B × yapısal şok vektörü. Bu durumda yapısal etki–tepkiler, katsayı matrisinin h'inci kuvvetinin B ile çarpımıdır. Model bölümündeki hesap, bu çarpımın sütun sütun yapılmasıydı: B'nin ikinci sütunu (0; 0,5) faiz şokunun aynı dönem etkisini, katsayı matrisiyle her çarpım bir sonraki çeyreğin tepkisini verdi.

Tepkilerin sönmesi, katsayı matrisinin özdeğerlerine bağlıdır. Örnekteki matrisin özdeğerleri karmaşık sayılardır ve mutlak değerleri yaklaşık 0,69'dur. Karmaşık özdeğerler, tepkilerin salınımlı olabileceğini gösterir; nitekim çıktının faiz şokuna tepkisi negatif bölgede bir tümsek çizdikten sonra çok küçük biçimde pozitife geçebilir, çıktı şokuna tepkisi ise beşinci çeyrekten itibaren negatife döner. Mutlak değerin 1'den küçük olması, tepkilerin her çeyrekte yaklaşık bu oranda küçüldüğünü ve sonunda sıfıra indiğini garanti eder. Özdeğerlerden biri 1'e yaklaştıkça tepkiler daha yavaş söner; 1'e eşitse, şokun etkisi kalıcıdır ve model durağan değildir.

Uzun dönem kısıtları

Teknik olarak, bir VAR'ın uzun dönem etki matrisi, birim matristen katsayı matrisinin çıkarılmasıyla elde edilen matrisin tersinin B ile çarpımıdır. Model bölümündeki VAR'da bu çarpım, faiz şokunun çıktı üzerindeki birikimli etkisini yaklaşık −0,56 olarak verir; bu, ufuklar boyunca tek tek toplanan tepkilerin sonsuzdaki değeridir. Uzun dönem kısıtı, B'nin, bu matrisin belirli bir elemanını sıfıra eşitleyecek biçimde seçilmesidir. Kısıt, uzun dönem ilişkinin modelin içinden, yani sonlu bir örneklemden tahmin edilen katsayılardan hesaplanmasını gerektirir; uzun dönem davranışları kısa örneklemlerden kesin biçimde tahmin etmek zordur ve bu yüzden uzun dönem kısıtlarıyla elde edilen sonuçlar, gecikme sayısına ve örneklem dönemine duyarlı olabilir.

İşaret kısıtları

Uygulamada araştırmacı, Cholesky ayrıştırmasından başlar ve onu dik matrislerle döndürür: her döndürme, kalıntıların kovaryansını değiştirmeyen başka bir yapısal ayrıştırma verir. Bu ayrıştırmalardan kısıtları sağlayanlar tutulur. Sonuçların raporlanmasında dikkat gereken bir nokta vardır: kabul edilen modellerin ortancası, tek bir modelden gelmez; farklı ufuklardaki ortancalar farklı modellerden gelebilir ve bu yüzden ortanca tepki yolu, kabul edilen modellerin hiçbirine karşılık gelmeyebilir. Ayrıca rastgele döndürmelerin hangi dağılımdan çekildiği, kabul edilen kümenin içindeki ağırlıkları belirler; bu seçim zararsız görünse de sonuçları etkileyebilir. İşaret kısıtları bu yüzden «varsayımsız» değildir; varsayımlar daha az görünür bir yere taşınmıştır.

Yerel izdüşüm ve dış araçlar

Yerel izdüşümlerde bir teknik ayrıntı önemlidir: ufuk 4 için yapılan regresyonda, ardışık gözlemlerin hata terimleri birbiriyle ilişkilidir, çünkü dört çeyrek sonraki değişken, aradaki çeyreklerde gelen şokları da içerir. Bu yüzden standart hatalar, öz ilişkiye dayanıklı biçimde hesaplanmalıdır. Mikkel Plagborg-Møller ve Christian Wolf, 2021'de yayımlanan bir makalede, gecikme yapısı sınırlanmadığında yerel izdüşümlerin ve VAR'ların aynı etki–tepkileri tahmin ettiğini kanıtladılar: iki yöntem, aynı hedefi farklı sonlu örneklem özellikleriyle tahmin eden iki yoldur. Seçim, hangisinin «doğru» olduğuyla değil, hangisinin elde bulunan örneklem büyüklüğünde daha az hata yapacağıyla ilgilidir. Aynı makale, bir dış aracın, özyinelemeli bir VAR'da ilk sıraya konarak da kullanılabileceğini gösterdi; bu, iki yaklaşım arasındaki sınırın sanıldığından ince olduğunu bir kez daha hatırlatır.

Mark Gertler ve Peter Karadi, 2015'te yayımlanan bir çalışmada, para politikası açıklamalarının çevresindeki yüksek frekanslı sürprizleri dış araç olarak kullandılar. Bu yolla özdeşlenen şokların üretim ve enflasyon üzerinde para politikası VAR analizlerinde tipik olan tepkiler ürettiğini, ama kısa vadeli faizlerdeki «ılımlı» hareketlerin kredi maliyetlerinde «büyük» hareketlere yol açtığını buldular; bu hareketler çoğunlukla vade primlerinin ve kredi marjlarının tepkisinden kaynaklanıyordu. Dış araç, sıralama ya da işaret varsayımı yerine aracın geçerliliği varsayımını koyar: açıklama penceresi içindeki faiz sürprizinin, o pencere içinde gelen başka haberlerle ilişkisiz olduğu varsayılır.

Güven bantları

Etki–tepki grafiklerindeki gölgeli bantlar, tahmin belirsizliğini gösterir; ama bantların nasıl hesaplandığı sonuçların yorumunu etkiler. Etki–tepkiler, katsayıların doğrusal olmayan fonksiyonlarıdır: katsayı matrisinin kuvvetleri alınır ve B ile çarpılır. Bu yüzden katsayılardaki belirsizliğin tepkilere nasıl yansıdığını analitik olarak hesaplamak zordur ve uygulamada çoğunlukla önyükleme yöntemleri ya da Bayesci yöntemler kullanılır. Önyüklemede, tahmin edilen kalıntılardan yeniden örneklemeyle çok sayıda yapay veri seti üretilir, her birinde VAR yeniden tahmin edilir ve tepkiler hesaplanır; bantlar, bu tepkilerin yüzdeliklerinden çizilir.

Bantların genişliği de bir seçimdir. Makroekonomik VAR çalışmalarında yüzde 68'lik bantlar, yani yaklaşık bir standart sapmalık aralıklar, sık kullanılır; yüzde 95'lik bantlar çok daha geniştir. Bir grafikte bant sıfırı kesmiyorsa, bunun hangi güven düzeyinde geçerli olduğuna bakılmalıdır. Ayrıca bantlar genellikle her ufuk için ayrı ayrı çizilir: ufuk ufuk yüzde 68'lik bantların hepsinin içinde kalan bir yol, bütün yolun yüzde 68 olasılıkla bu bantların içinde kalacağı anlamına gelmez; tüm yolu kapsayan ortak bantlar daha geniştir. Bir başka sorun, küçük örneklemlerde kalıcılığı yüksek serilerin katsayılarının sıfıra doğru yanlı tahmin edilmesidir; bu yanlılık, tepkilerin olduğundan daha hızlı sönüyormuş gibi görünmesine yol açabilir. Bu nedenle bazı uygulamalarda önyükleme sırasında katsayılar için yanlılık düzeltmesi yapılır ve uzak ufuklardaki bantlar özellikle temkinle okunur.

Bağlam: aynı fiyat, farklı şoklar

Lutz Kilian, 2009'da yayımlanan bir çalışmada, ham petrolün reel fiyatındaki şokların, petrol arzı şoklarını, bütün sanayi emtialarına yönelik küresel talep şoklarını ya da ham petrol piyasasına özgü talep şoklarını yansıtabileceğini savundu. Her şokun petrolün reel fiyatı ve ABD makroekonomik büyüklükleri üzerinde farklı etkileri vardı; şokların bileşimindeki değişiklikler, makroekonomik büyüklüklerin petrol fiyatlarına regresyonlarının neden istikrarsız olma eğiliminde olduğunu açıklamaya yardım ediyordu. Bu çalışma, etki–tepki analizinin temel dersini somutlaştırır: «petrol fiyatı arttığında ne olur?» sorusu eksik bir sorudur; cevap, fiyatı neyin artırdığına bağlıdır. Fiyatın kendisi bir şok değil, şokların bir sonucudur.

Uygulama

Özet kartı

1. Etki–tepki fonksiyonu, özdeşlenmiş bir yapısal şokun her değişkeni şok anında ve sonraki her dönemde ne kadar değiştirdiğini gösterir; bir VAR'ın katsayı matrisinin kuvvetlerinin aynı dönem etki matrisiyle çarpılmasıyla hesaplanır ve şokun büyüklük birimine dikkat edilerek okunmalıdır.
2. Öngörü hatası varyans ayrıştırması, dalgalanmaların ne kadarının hangi şoktan geldiğini gösterir; güçlü etkili bir şok, küçük ya da seyrek olduğu için dalgalanmaların küçük bir kısmını açıklayabilir.
3. Blanchard ve Quah, üretimi kalıcı olarak etkilemeyen şokları talep şoku sayan bir uzun dönem kısıtıyla, talep şoklarının tümsek biçimli, arz şoklarının giderek artan etkilerini buldu; ama iki şokun dalgalanmalara katkılarının kesin olarak belirlenemediğini vurguladı.
4. Uhlig, yalnızca fiyatlar, rezervler ve faiz üzerine işaret kısıtları koyarak daraltıcı para politikası şoklarının üretim üzerindeki etkisinin belirsiz olduğunu buldu; işaret kısıtları zayıf varsayımlarla geniş sonuç aralıkları üretir.
5. Jordà'nın yerel izdüşümleri, her ufuktaki tepkiyi ayrı bir regresyonla doğrudan tahmin eder ve yanlış belirlemeye daha dayanıklıdır; sonsuz gecikmeyle VAR'larla aynı hedefi tahmin eder, ama sonlu örneklemde daha yüksek varyansla.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Etki–tepki fonksiyonu ile öngörü hatası varyans ayrıştırmasının cevapladığı soruları karşılaştırın. Bir şokun güçlü etkili ama dalgalanmalardaki payının küçük olması nasıl mümkündür?
2. (Çıktı 2) Model bölümündeki VAR'da ve ilk sıralamada, bir standart sapmalık çıktı şokunun çıktı ve faiz üzerindeki etkilerini şok anında, bir ve iki çeyrek sonra hesaplayın.
3. (Çıktı 2) Aynı VAR'da, iki çeyrek sonrası için faiz öngörü hatası varyansının ne kadarı çıktı şokundan gelir? Hesabı adım adım gösterin.
4. (Çıktı 3) Bir çalışma, faiz şokunun çıktıyı ilk iki çeyrekte artırdığını buluyor. Bu sonucu yorumlamadan önce hangi özdeşleme varsayımını sorgularsınız ve neden?
5. (Çıktı 3) İşaret kısıtlarıyla özdeşlenmiş bir modelde kabul edilen modellerin ortanca tepki yolu neden kabul edilen modellerden hiçbirine karşılık gelmeyebilir? Bu, sonuçların sunumu için ne anlama gelir?
6. (Çıktı 4) Bir kurul üyesi, «VAR'lar faiz artışının üretimi düşürdüğünü kanıtladı; tartışma kapanmıştır» diyor. Bu görüşü Uhlig'in bulgusu, Blanchard ve Quah'ın varyans ayrıştırmasına dair uyarısı ve yerel izdüşüm tartışması ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. Etki–tepki fonksiyonu, belirli bir şok gelirse değişkenlerin zaman içinde nasıl tepki vereceğini gösterir; varyans ayrıştırması ise gözlenen dalgalanmaların, yani öngörü hatalarının, ne kadarının bu şoktan geldiğini gösterir. Bir şokun birim etkisi büyük olabilir; ama şok küçük varyanslı ya da seyrekse, dalgalanmalara katkısı küçük kalır. Örnekte 1 puanlık faiz şoku çıktıyı iki çeyrek sonra yaklaşık 0,26 puan düşürür, ama faiz şokları küçük olduğu için çıktı öngörü hatasının ancak yüzde birkaçını açıklar.
2. Şok anında çıktı 1, faiz 0,3. Bir çeyrek sonra çıktı, kendi geçmişinden 0,7 alır, faizin 0,3'lük artışından 0,06 kaybeder ve 0,64 olur; faiz, çıktıdan 0,3, kendi geçmişinden 0,18 alır ve 0,48 olur. İki çeyrek sonra çıktı 0,7 × 0,64 − 0,2 × 0,48 = 0,448 − 0,096 = 0,352; faiz 0,3 × 0,64 + 0,6 × 0,48 = 0,192 + 0,288 = 0,48. Merkez bankası çıktı artışına faizi kademeli olarak yükselterek tepki verir.
3. Çıktı şokunun faiz üzerindeki etkileri şok anında 0,3, bir çeyrek sonra 0,48'dir; katkısı 0,09 + 0,2304 = 0,3204. Faiz şokunun faiz üzerindeki etkileri 0,5 ve 0,3'tür; katkısı 0,25 + 0,09 = 0,34. Toplam 0,6604; çıktı şokunun payı 0,3204 ÷ 0,6604 ≈ yüzde 48,5, faiz şokunun payı yaklaşık yüzde 51,5.
4. Önce şokun nasıl özdeşlendiğini, özellikle sıralamayı sorgularım. Faiz ilk sıraya konduysa, faiz ve çıktı kalıntıları arasındaki pozitif ilişkinin tamamı faiz şokuna atfedilmiş olabilir; merkez bankasının güçlü bir ekonomiye faizi artırarak verdiği sistematik tepki, faizin çıktıyı artırdığı biçiminde okunur. Para politikasının işleyişine dair bilinen mekanizmalarla uyuşmayan bir işaret, genellikle şokun yanlış yakalandığının işaretidir; çözüm, daha inandırıcı bir sıralama, işaret kısıtları ya da dış araç gibi başka bir özdeşleme yolunu denemektir.
5. İşaret kısıtları, kısıtları sağlayan çok sayıda modelden oluşan bir küme belirler. Ortanca, her ufukta ayrı ayrı hesaplanır; birinci ufuktaki ortanca bir modelden, ikinci ufuktaki başka bir modelden gelebilir. Bu yüzden ortanca yol, tek bir tutarlı modelin ürettiği bir yol olmayabilir; örneğin hiçbir modelde birlikte görülmeyen bir tepki birleşimini gösterebilir. Sonuçların sunumunda ortanca yolun yanında kabul edilen modellerin tamamının yayılımını, ya da ortancaya en yakın tek bir modeli göstermek daha dürüst bir tablo verir.
6. Görüş aşırıdır. Pek çok VAR çalışması, farklı sıralamalarla ve dış araçlarla daraltıcı para politikası şoklarının üretimi gecikmeyle düşürdüğünü buldu; bu güçlü bir kanıt birikimidir. Ama Uhlig, yalnızca fiyatlar, rezervler ve faiz üzerine işaret kısıtları konduğunda, üretimin tepkisinin yönünün belirsiz kaldığını gösterdi: sonuç, kullanılan özdeşleme varsayımlarına bağlıdır. Blanchard ve Quah ise şokların dalgalanmalara katkısının, yani varyans ayrıştırmasının, etki–tepki biçimlerinden çok daha belirsiz tahmin edildiğini vurguladı. Yerel izdüşüm tartışması da tepkilerin model belirlemesine duyarlı olabileceğini gösterir. Doğru tutum, kanıtın ağırlığını kabul edip sonucun hangi varsayımlarda sağlam, hangilerinde kırılgan olduğunu açıkça söylemektir.

İleri okuma

• Olivier Jean Blanchard, Danny Quah (1989). «The Dynamic Effects of Aggregate Demand and Supply Disturbances». American Economic Review 79(4). Uzun dönem kısıtlarıyla talep ve arz şoklarının ayrıştırılması.
• Harald Uhlig (2005). «What Are the Effects of Monetary Policy on Output?». Journal of Monetary Economics 52(2). İşaret kısıtlarıyla para politikası şoklarının özdeşlenmesi.
• Òscar Jordà (2005). «Estimation and Inference of Impulse Responses by Local Projections». American Economic Review 95(1). Etki–tepkilerin her ufukta doğrudan regresyonla tahmini.

Sonraki derse köprü

Bu dersteki bütün tepki yolları sonunda sıfıra dönüyordu, çünkü kurduğumuz VAR durağandı. Ama faiz oranları, fiyat düzeyi, gelir ve tüketim gibi birçok makroekonomik seri durağan değildir; tek tek ele alındıklarında rastgele yürüyüş gibi davranırlar. Bu serileri farklarını alarak modellemek, aralarında uzun dönemde birlikte hareket etmelerini sağlayan bir bağ varsa, o bağı atmak demektir. İki durağan olmayan serinin doğrusal bir bileşiminin durağan olabilmesi, eşbütünleşme kavramının çıkış noktasıdır.