VAR modelleri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Vektör otoregresif modeli, indirgenmiş biçimli, özyinelemeli ve yapısal VAR'ları, Bayesci VAR'ı ve Minnesota önselini tanımlar.
• Uygulama — İki değişkenli bir VAR'dan birkaç adım ilerisi için öngörüler ve uzun dönem ortalamalar hesaplar; bir VAR'ın parametre sayısını hesaplar ve Minnesota önselinin bir katsayıyı nasıl büzdüğünü sayısal olarak gösterir.
• Analiz — Bir VAR'da kalıntılar arasındaki ilişkinin neden yapısal şokları doğrudan vermediğini ve değişkenlerin sıralamasının özyinelemeli bir VAR'ın sonuçlarını nasıl değiştirdiğini çözümler.
• Değerlendirme — Büyük yapısal modellere yöneltilen eleştiriye, Bayesci VAR öngörülerinin başarısına ve VAR'ların farklı görevlerdeki güvenilirliğine dair değerlendirmeye dayanarak, VAR'ların makroekonomik analizdeki yerini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir merkez bankası, faizi artırdığında enflasyonun ve üretimin nasıl tepki vereceğini bilmek istiyor. Ama faiz, enflasyon ve üretim birbirini karşılıklı olarak etkiler: merkez bankası enflasyon yükseldiğinde faizi artırır, faiz yükseldiğinde üretim yavaşlar, üretim yavaşladığında enflasyon düşer, enflasyon düştüğünde merkez bankası faizi indirir. Bu ilişkilerin hangisinin neden, hangisinin sonuç olduğunu ayırmak, tek değişkenli modellerle mümkün değildir. Önceki derslerde her seriyi kendi geçmişinden öngörmeyi gördük; şimdi birbirine bağlı birkaç seriyi birlikte modellemek gerekiyor.

1970'lerin sonuna kadar bu tür sorular, yüzlerce denklemden oluşan büyük makroekonometrik modellerle cevaplanmaya çalışılıyordu. Bu modellerde her denklem, iktisat kuramından türetilmiş kısıtlar taşıyordu: hangi değişkenin hangi denklemde yer alacağı, hangisinin dışarıda kalacağı önceden belirleniyordu. Bu ders, bu modellere karşı geliştirilen ve bugün makroekonomik analizin standart araçlarından biri olan bir alternatifi ele alıyor: her değişkenin, bütün değişkenlerin geçmiş değerlerine bağlı olduğu, kısıtları en aza indirilmiş modeller.

Hikâye — inanılmaz kısıtlar

Christopher Sims, 1980'de yayımladığı bir makalede, büyük makroekonometrik modellerin temeline itiraz etti.

Sims'in itirazının özü şuydu: büyük modellerin dayandığı kısıtlar, yani hangi değişkenin hangi denklemden dışlanacağına dair kararlar, çoğu zaman güvenilir bir kurama değil, model kurucunun tercihlerine dayanıyordu. Bu kısıtlara güvenilemiyorsa, modelin bulguları da güvenilmezdi. Sims'in önerisi, önce verilerin kısıtsız bir modelle konuşmasına izin vermek, kısıtları ise yalnızca gerçekten savunulabildiği yerlerde koymaktı.

Kavram — her şey her şeye bağlı

Sims'in önerdiği modelde, her değişken için bir denklem vardır ve her denklemin sağ tarafında bütün değişkenlerin aynı sayıda gecikmeli değeri yer alır.

Bu model, en sade biçiminde, her denklemi tek başına sıradan bir regresyonla çözülebilecek biçimde kurulur.

Kalıntılara iktisadi bir anlam vermek için ek varsayımlar gerekir. En basit yol, değişkenleri bir sıraya koymaktır.

Veri ve kanıt — öngörü ve yapısal analiz

VAR'ların erken dönemdeki en dikkat çekici başarısı öngörüde oldu. Robert Litterman, Minneapolis Federal Rezerv Bankası'nda beş yıl boyunca küçük bir Bayesci VAR ile öngörüler yaptı ve sonuçlarını profesyonel öngörü kuruluşlarıyla karşılaştırdı.

Bu bulgu çarpıcıydı: birkaç değişken ve basit bir istatistiksel yöntemle kurulan bir model, büyük ekip ve kaynaklarla çalışan, yüzlerce denklemli modeller kullanan ticari öngörü kuruluşları kadar iyi öngörüler üretiyordu. Sims'in önerisinden yirmi yıl sonra, Stock ve Watson aracın dört farklı işte ne kadar başarılı olduğunun bilançosunu çıkardı.

Neden önemli? — makroekonominin ortak dili

VAR'lar, makroekonomide hem öngörünün hem de politika analizinin standart araçlarından biri hâline geldi. Para politikası kurulları, gelecek dönem fiyat ve üretim kestirimlerinde ve faiz kararlarının izini sürmede bu modellere başvurur; araştırmacılar, petrol fiyatı şoklarının, mali politikanın ya da döviz kuru hareketlerinin ekonomiye etkilerini VAR'larla inceler. VAR'ların gücü, değişkenler arasındaki karşılıklı ilişkileri esnek biçimde yakalaması ve basit, yeniden üretilebilir olmasıdır. Zayıflığı ise, bu esnekliğin bedeli olarak çok sayıda parametre tahmin etmesi ve yapısal yorum için tartışmalı varsayımlara ihtiyaç duymasıdır. Bu ders, VAR'ların nasıl kurulduğunu ve hangi soruları ne kadar güvenilir biçimde cevaplayabildiğini ele alıyor; bir sonraki ders, VAR'larla şokların etkisinin nasıl izlendiğini inceleyecek.

Model

Bu bölümün enflasyon, faiz ve katsayı değerleri ders için kurgulanmıştır; anılan üç makalenin tablolarıyla bir ilgisi yoktur.

Çözümlü örnek — İki değişkenli bir VAR

Bir ülkenin yıllık enflasyonu ve politika faizi, yüzde olarak, birinci dereceden bir VAR ile modelleniyor:

Bu yılın enflasyonu = 1 + 0,6 × geçen yılın enflasyonu + 0,1 × geçen yılın faizi + şok.

Bu yılın faizi = 0,6 + 0,3 × geçen yılın enflasyonu + 0,7 × geçen yılın faizi + şok.

Katsayıların yorumu açıktır. Enflasyon, kendi geçmişine güçlü biçimde bağlıdır ve geçmiş faizle biraz artar; bu ikinci etki, faizin enflasyonu düşürmesi beklentisiyle çelişiyor gibi görünür, ama indirgenmiş biçimli bir VAR'da katsayılar nedensel etkiler değil, öngörü ilişkileridir: merkez bankası enflasyonun yükseleceğini öngördüğünde faizi önceden artırıyorsa, yüksek faiz gelecekteki yüksek enflasyonla birlikte görünür. Faiz, kendi geçmişine ve geçmiş enflasyona bağlıdır; bu, merkez bankasının enflasyona tepki verdiğini yansıtır.

Bu yıl enflasyon yüzde 5, faiz yüzde 7. Gelecek yıl için öngörüler: enflasyon 1 + 0,6 × 5 + 0,1 × 7 = 1 + 3 + 0,7 = 4,7; faiz 0,6 + 0,3 × 5 + 0,7 × 7 = 0,6 + 1,5 + 4,9 = 7,0. İki yıl sonrası için, gelecek yılın öngörüleri yerine konur: enflasyon 1 + 0,6 × 4,7 + 0,1 × 7 = 4,52; faiz 0,6 + 0,3 × 4,7 + 0,7 × 7 = 6,91. Üç yıl sonra enflasyon 4,40, faiz 6,79; dört yıl sonra 4,32 ve 6,68.

Öngörüler yavaşça uzun dönem ortalamalarına yaklaşır. Bu ortalamalar, iki denklemde de bu yılın ve geçen yılın değerlerinin eşit olduğu noktadır; bu VAR'da enflasyon için yüzde 4, faiz için yüzde 6'dır. Bugünkü değerler bu ortalamaların biraz üzerinde olduğu için, öngörüler yıllar içinde ortalamalara doğru iner.

Çözümlü örnek — Parametrelerin çoğalması

Bir VAR'ın esnekliğinin bedeli, tahmin edilen parametre sayısıdır. k değişkenli ve p gecikmeli bir VAR'da her denklem, k × p gecikmeli katsayı ve bir sabit içerir; toplam parametre sayısı k × (k × p + 1)'dir.

İki değişkenli ve tek gecikmeli örneğimizde 2 × (2 + 1) = 6 parametre vardır. Üç değişkenli ve dört gecikmeli çeyreklik bir VAR'da 3 × (12 + 1) = 39 parametre. Yedi değişkenli ve on iki gecikmeli aylık bir VAR'da 7 × (84 + 1) = 595 parametre. Yirmi yıllık aylık veride her denklem için 240 gözlem vardır; her denklem 85 parametre tahmin etmek zorundadır.

Bu kadar çok parametre, iki sorun yaratır. Birincisi, tahminler kesin olmaz: her katsayının standart hatası büyüktür. İkincisi, model, örneklem içinde verilere çok iyi uyar, ama bu uyumun bir kısmı gürültüyü yakalamaktan gelir; örneklem dışında öngörüler kötüleşir. ARIMA modellerini işlediğimiz derste gördüğümüz tutumluluk ilkesi, VAR'larda çok daha önemlidir. Gecikme sayısını bilgi ölçütleriyle seçmek, değişken sayısını sınırlamak ya da katsayıları bir önsel bilgiye doğru büzmek, bu sorunla başa çıkmanın yollarıdır.

Çözümlü örnek — Kalıntılar ve sıralama

İki değişkenli VAR'ın kalıntıları, yani enflasyon ve faiz öngörü hatalarının her ikisinin de standart sapması 1 puan ve aralarındaki korelasyon 0,5 olsun. Bir yıl enflasyon öngörülenden 1 puan yüksek çıktıysa, ortalamada faiz de öngörülenden 0,5 puan yüksek çıkar.

Bu korelasyonun iki olası açıklaması vardır. Merkez bankası enflasyondaki sürprize aynı yıl içinde tepki veriyor olabilir: enflasyon şoku faizi yükseltir. Ya da faizdeki bir sürpriz, aynı yıl içinde enflasyonu etkiliyor olabilir. Veriler, yalnızca korelasyonu gösterir; hangi yönün doğru olduğunu söylemez.

Özyinelemeli bir VAR, bu belirsizliği bir sıralamayla çözer. Enflasyon önce sıralanırsa, enflasyon şoku aynı yıl faizi etkileyebilir, ama faiz şoku aynı yıl enflasyonu etkileyemez. Bu durumda faiz kalıntısının enflasyon kalıntısıyla ilişkili kısmı, yani 0,5 katı, enflasyon şokuna atfedilir; geriye kalan, faiz kalıntısının enflasyondan bağımsız kısmı, para politikası şoku olarak yorumlanır ve standart sapması √(1 − 0,25) ≈ 0,87'dir. Faiz önce sıralanırsa tersi geçerlidir: enflasyon kalıntısının yarısı faiz şokuna atfedilir. Aynı veriler, iki farklı sıralamayla iki farklı iktisadi hikâye anlatır; korelasyon ne kadar büyükse, fark o kadar büyüktür. Korelasyon sıfıra yakın olsaydı, örneğin 0,05, sıralama neredeyse hiçbir şey değiştirmezdi: her iki sıralamada da şokların neredeyse tamamı kendi denklemlerine ait olurdu. Dört değişkenli bir VAR'da 24 farklı sıralama vardır; hepsini denemek pratik değildir, ama iktisadi olarak savunulabilecek birkaç sıralamayı karşılaştırmak mümkündür. Bu yüzden uygulamada araştırmacılar, kalıntı korelasyonlarını raporlar ve korelasyonun yüksek olduğu değişken çiftlerinde sıralamanın sonuçları ne kadar değiştirdiğini gösterir; bir bulgu farklı sıralamalarda aynı kalıyorsa, ona daha çok güvenilir.

Çözümlü örnek — Granger nedenselliği bir VAR'da

İki değişkenli VAR'da, geçmiş faizin enflasyon denklemindeki katsayısı 0,1'dir. Bu katsayı sıfır olsaydı, geçmiş faiz, enflasyonun kendi geçmişinin ötesinde enflasyonu öngörmeye hiçbir katkı yapmazdı; faiz, enflasyonun Granger nedeni olmazdı. Katsayının standart hatası 0,04 ise, t istatistiği 2,5'tir ve katsayı yüzde 5 düzeyinde anlamlıdır: faiz, enflasyonu Granger anlamında öngörür.

Daha çok gecikmeli bir VAR'da, örneğin dört gecikmeli bir modelde, faizin dört gecikmesinin enflasyon denklemindeki katsayılarının hepsinin birlikte sıfır olduğu hipotezi bir F testiyle sınanır. Sims'in 1970'lerdeki para–gelir çalışmalarından bu yana, bu test VAR'larla yapılan işlerin belki de en sık rastlananıdır.

Ama Granger nedenselliğinin yorumu dikkat gerektirir. Önceki derslerde gördüğümüz gibi, bu kavram bir öngörü kavramıdır. Faizin enflasyonu Granger anlamında öngörmesi, faizin enflasyonu etkilediği anlamına gelmez; merkez bankasının gelecekteki enflasyona dair bilgisini faiz kararlarına yansıtmasından da kaynaklanabilir. Örnekteki olumlu katsayı, tam da bu türden bir ilişkiyi düşündürür.

Çözümlü örnek — Önselle büzmek

Litterman'ın önerdiği Bayesci yaklaşımda, VAR katsayıları için bir önsel inanç belirlenir. En yaygın önsel, her değişkenin bir rastgele yürüyüş gibi davrandığıdır: kendi birinci gecikmesinin katsayısı bir, öbür bütün katsayılar sıfırdır.

Diyelim ki enflasyon denkleminde geçmiş faizin katsayısı, en küçük kareler yöntemiyle 0,30 olarak, standart hatası 0,15 ile tahmin edildi. Minnesota önseli bu katsayının sıfır olduğunu varsayıyor ve önselin standart sapması 0,1. Bayesci tahmin, iki bilginin, kesinlikleriyle, yani varyanslarının tersiyle ağırlıklandırılmış ortalamasıdır. Verinin kesinliği 1 ÷ 0,0225 ≈ 44, önselin kesinliği 1 ÷ 0,01 = 100. Bayesci tahmin (44 × 0,30 + 100 × 0) ÷ 144 ≈ 0,09'dur. Katsayı, verinin önerdiği 0,30'dan önselin önerdiği sıfıra doğru büyük ölçüde büzülmüştür.

Bu büzme, tek bir katsayı için kayıp gibi görünebilir; ama yüzlerce katsayılı bir VAR'da, her katsayının gürültüsünü azaltarak öngörü hatalarını önemli ölçüde düşürür. Litterman'ın bulgusu, bu tekniğin ticari öngörü hizmetleri kadar doğru sonuçlar verdiğini gösterdi.

Çözümlü örnek — Kaç gecikme?

Üç değişkenli bir çeyreklik VAR, 100 gözlemle tahmin ediliyor. Araştırmacı bir, iki, dört ve sekiz gecikmeyi deniyor. Her model için kalıntı kovaryans matrisinin determinantının logaritması sırasıyla −2,0, −2,3, −2,45 ve −2,55 çıkıyor; daha çok gecikme, kalıntıları her zaman küçültür.

Bilgi ölçütleri bu iyileşmeyi parametre sayısıyla karşılaştırır. Her gecikme, 3 × 3 = 9 yeni katsayı ekler. Akaike ölçütü, kabaca, determinantın logaritmasına parametre sayısının iki katının gözlem sayısına oranını ekler: bir gecikme için −2,0 + 2 × 9 ÷ 100 = −1,82; iki gecikme için −2,3 + 36 ÷ 100 = −1,94; dört gecikme için −2,45 + 72 ÷ 100 = −1,73; sekiz gecikme için −2,55 + 144 ÷ 100 = −1,11. En küçük değer iki gecikmeye aittir. Schwarz ölçütünde parametre başına ceza 2 değil, 100 gözlem için yaklaşık 4,6'dır: bir gecikme için −2,0 + 4,6 × 9 ÷ 100 ≈ −1,59; iki gecikme için −2,3 + 0,83 ≈ −1,47. Schwarz ölçütü bir gecikmeyi seçer.

İki ölçütün farklı seçimler yapması olağandır. Sekiz gecikmeli model, örneklem içinde en iyi uyumu verse de 72 ek parametresi yüzünden her iki ölçüt tarafından da açıkça reddedilir. Bu örnek, VAR'larda örneklem içi uyuma bakarak gecikme seçmenin neden tehlikeli olduğunu gösterir.

Çözümlü örnek — VAR öngörüsü, ARIMA öngörüsünü geçer mi?

Bir merkez bankası uzmanı, gelecek yılın enflasyonunu kestirmek üzere iki yolu yarıştırıyor: yalnızca enflasyonun kendi geçmişini kullanan bir ARIMA modeli ve enflasyonu faiz ve işsizlikle birlikte modelleyen üç değişkenli bir VAR. Son dört yılın her çeyreğinde, yalnızca o ana kadar mevcut olan verilerle bir yıl sonrası için öngörü yapılıyor. On altı öngörünün hata karelerinin ortalamasının karekökü, ARIMA için 1,2 puan, katsayıları olduğu gibi regresyonla bulunan VAR için 1,3 puan, Minnesota önseliyle tahmin edilen Bayesci VAR için 1,05 puan çıkıyor.

Sonuç, ilk bakışta şaşırtıcıdır: daha çok bilgi kullanan kısıtsız VAR, tek değişkenli modelden daha kötü öngörü vermiştir; ama aynı bilgiyi büzerek kullanan Bayesci VAR, ikisini de geçmiştir. Bu sonuçlar, Litterman'ın ve sonraki çalışmaların bulgularıyla uyumlu bir deseni gösterir. Ek değişkenler, enflasyon hakkında gerçekten bilgi taşıyabilir; ama bu bilgiyi kullanmak için tahmin edilen ek parametreler, sınırlı verilerle yeterince kesin tahmin edilemezse, öngörüyü bozar. Büzme, ek bilgiden yararlanırken tahmin gürültüsünü sınırlar. On altı öngörüyle yapılan bir karşılaştırmanın da belirsiz olduğunu unutmamak gerekir: 1,05 ile 1,2 arasındaki farkın tesadüf olup olmadığı, kursun öngörü değerlendirmesi dersinde ele alınacak testlerle sınanmalıdır.

Modelin sınırları

Bu örneklerde VAR katsayılarını kesin olarak bildiğimizi varsaydık; gerçekte her katsayı belirsizdir ve öngörü belirsizliği katsayı belirsizliğini de içerir. Sıralama örneğinde iki değişken vardı; birçok değişkenli bir VAR'da olası sıralamaların sayısı hızla artar ve her sıralama farklı sonuçlar verebilir. Bayesci büzme örneğinde önselin standart sapmasını keyfi olarak seçtik; uygulamada bu seçim, örneklem dışı öngörü performansına ya da verilere dayanan yöntemlere göre yapılır. Bütün örnekler, VAR'daki değişkenlerin durağan olduğunu varsaydı; durağan olmayan ve birlikte hareket eden değişkenler için eşbütünleşme ve hata düzeltme modelleri gerekir.

Teknik

Tahmin ve gecikme seçimi

İndirgenmiş biçimli bir VAR'ın her denkleminin sağ tarafında aynı değişkenler yer aldığı için, sistemin tamamı, denklemler tek tek sıradan regresyonlarla çözülerek verimli biçimde tahmin edilebilir; denklemler arasındaki kalıntı korelasyonu bu sonucu değiştirmez, çünkü bütün denklemler aynı açıklayıcıları paylaşır. Bu, VAR'ların pratik cazibelerinden biridir: karmaşık sistem tahmin yöntemlerine gerek yoktur ve sonuçlar kolayca yeniden üretilebilir.

Gecikme sayısının seçimi, tek değişkenli modellerde olduğu gibi bilgi ölçütleriyle yapılır; ama VAR'larda bu seçimin sonuçları daha büyüktür, çünkü her ek gecikme, k² yeni parametre ekler. Akaike ölçütü daha uzun gecikmeleri, Schwarz ölçütü daha kısa gecikmeleri tercih etme eğilimindedir. Uygulamada araştırmacılar, kalıntılarda ardışık bağımlılık kalmamasını da bir koşul olarak gözetir ve çeyreklik veride genellikle dört, aylık veride on iki gecikme gibi, bir yıllık dinamikleri yakalayan uzunlukları denerler.

VAR'da durağanlık

Bir VAR'ın durağan olması için, katsayı matrisinin özdeğerlerinin mutlak değerlerinin birden küçük olması gerekir; bu, tek değişkenli otoregresif sürecin durağanlık koşulunun çok değişkenli karşılığıdır. İki değişkenli örneğimizde katsayı matrisinin özdeğerleri yaklaşık 0,47 ve 0,83'tür; ikisi de birden küçük olduğu için VAR durağandır ve öngörüler uzun dönem ortalamalarına yakınsar. Büyük özdeğerin bire yakınlığı, sistemin yavaş yakınsadığını gösterir.

Değişkenler durağan değilse, araştırmacının önünde birkaç seçenek vardır. Değişkenlerin farkları alınarak durağan bir VAR kurulabilir; ama değişkenler arasında uzun dönemli bir ilişki varsa, fark almak bu bilgiyi atar. Değişkenler düzeylerde bırakılabilir; Sims, Stock ve Watson'ın 1990'daki bir çalışması, bazı katsayılar için düzeylerde tahminin geçerli kalabileceğini gösterdi, ama çıkarım dikkat gerektirir. Ya da değişkenler arasındaki uzun dönemli ilişki açıkça modellenir; bu, kursun eşbütünleşme ve hata düzeltme derslerinin konusudur.

Özdeşleme: indirgenmiş biçimden yapıya

İndirgenmiş biçimli VAR'ın kalıntıları, yapısal şokların doğrusal bir bileşimidir. Yapısal şokları kurtarmak için, kalıntıların varyans–kovaryans matrisinin yeterli sayıda kısıtla ayrıştırılması gerekir. k değişkenli bir VAR'da kovaryans matrisi k × (k + 1) ÷ 2 farklı eleman içerir; yapısal şokları ve onların aynı dönem etkilerini belirlemek için ise k² parametre gerekir. Aradaki fark, k × (k − 1) ÷ 2 kadar ek kısıtla kapatılmalıdır: iki değişkenli bir VAR'da bir, üç değişkenli bir VAR'da üç kısıt.

Özyinelemeli sıralama, bu kısıtların en basit biçimidir: aynı dönem etkilerinin yarısını sıfıra eşitler. Ama başka özdeşleme stratejileri de geliştirildi: bazı şokların uzun dönemde belirli değişkenleri etkilemediği, örneğin talep şoklarının uzun dönemde çıktıyı değiştirmediği varsayımına dayanan uzun dönem kısıtları; şokların etkilerinin işaretlerine dair kısıtlar, örneğin bir para politikası sıkılaştırmasının faizi yükseltip enflasyonu düşürmesi gerektiği; ve VAR dışından gelen bilgilerle, örneğin olay çalışmaları dersinde gördüğümüz yüksek frekanslı faiz sürprizleriyle özdeşleme. Bu yolların hiçbiri bedava değildir; Sims'in uyarısı, yeni kısıtların da eskileri kadar inandırıcılık sınavından geçmesi gerektiğidir.

Büyük VAR'lar ve büzme

Litterman'ın Bayesci VAR'ları birkaç değişkenle kuruluyordu. Sonraki yıllarda, Bayesci büzmenin çok daha büyük sistemlere uygulanabileceği gösterildi. Marta Bańbura, Domenico Giannone ve Lucrezia Reichlin, 2010'da yayımlanan bir çalışmada, büzmenin derecesi değişken sayısına göre ayarlandığında, küçük parasal VAR'ların öngörü performansının ek makroekonomik değişkenler ve sektörel bilgiler eklenerek iyileştirilebildiğini ve büzme uygulanan büyük VAR'ların inandırıcı etki–tepki fonksiyonları ürettiğini gösterdi. Bu yaklaşımda büzmenin derecesi, değişken sayısı arttıkça sıkılaştırılır: değişken çoğaldıkça her bir katsayı hakkında verilerin söyleyebileceği azalır ve önselin ağırlığı artar. Bu, Sims'in eleştirisinin yanı sıra, VAR'ların değişken sayısıyla sınırlı kalması sorununa da bir cevaptı: daha çok bilgi, uygun büzmeyle birlikte, öngörüleri iyileştirebiliyordu.

Bağlam: rasyonel beklentiler ve Lucas eleştirisi

Sims'in makalesi, makroiktisatta derin bir dönüşümün ortasında yayımlandı. Robert Lucas, 1976'da, büyük makroekonometrik modellerin katsayılarının politika değiştiğinde sabit kalmayacağını, çünkü bireylerin ve firmaların beklentilerini yeni politikaya göre değiştireceğini savunmuştu. Sims'in eleştirisi farklı bir açıdandı ama aynı modelleri hedefliyordu: bu modellerin özdeşleyici kısıtları, rasyonel beklentiler altında savunulmaz hâle geliyordu, çünkü beklentiler, sistemdeki bütün değişkenlere bağlıydı ve hiçbir değişkeni bir denklemden güvenle dışlamak mümkün değildi.

VAR'lar bu iki eleştiriye farklı biçimlerde cevap verir. Sims'in eleştirisine, kısıtları en aza indirerek cevap verir. Lucas eleştirisine ise tam bir cevap veremez: VAR katsayıları da politika rejimi değiştiğinde değişir. Bu yüzden VAR'lar, mevcut politika rejimi içindeki şokların etkisini incelemek için uygundur, ama rejim değişikliklerinin etkisini öngörmek için yapısal modellere ihtiyaç vardır. Makroiktisadın sonraki on yıllarındaki gelişmeler, yapısal dinamik genel denge modellerinin VAR bulgularıyla karşılaştırılarak sınanması biçiminde, bu iki yaklaşımı birleştirdi.

Koşullu öngörüler ve senaryolar

VAR'ların politika kurumlarındaki yaygın bir kullanımı, koşullu öngörülerdir: bir değişkenin gelecekteki yolu varsayılır ve öbür değişkenlerin bu varsayım altında nasıl hareket edeceği öngörülür. Örneğin bir merkez bankası, «faiz gelecek yıl boyunca yüzde 6'da sabit kalırsa enflasyon nasıl seyreder?» sorusunu sorar. VAR, bu yolu gerçekleştirmek için gereken faiz şoklarını hesaplar ve bu şokların enflasyon üzerindeki etkilerini izler.

Bu uygulamanın bir tuzağı vardır. Varsayılan faiz yolu, geçmişteki faiz davranışından çok farklıysa, gereken şoklar büyük ve sistematik olur; bu, aslında bir politika rejimi değişikliğidir ve Lucas eleştirisi devreye girer. Koşullu öngörüler, varsayılan yol geçmişteki davranışa yakın olduğunda güvenilirdir; ondan uzaklaştıkça, VAR'ın katsayılarının değişmeyeceği varsayımı zayıflar.

Az veriyle çok değişken: faktörler

Büyük VAR'lara bir alternatif, çok sayıda serideki ortak hareketi az sayıda ortak etkene, yani faktörlere indirgemektir. Yüzlerce aylık gösterge, örneğin üretim, istihdam, satışlar ve anketler, birkaç ortak faktörle özetlenebilir; bu faktörler bir VAR'a eklenerek, faktörle genişletilmiş VAR kurulur. Bu yaklaşım, merkez bankalarının çok sayıda göstergeyi kullanırken parametre sayısını kontrol altında tutmasına izin verir ve özellikle henüz açıklanmamış çeyreklik büyümeyi aylık göstergelerle öngörmeye, yani anlık öngörüye, uygulanır. Faktörler, Bayesci büzme gibi, Sims'in kısıtsız modelinin parametre bolluğu sorununa verilen cevaplardan biridir.

VAR'ların sınırları

Stock ve Watson'ın değerlendirmesi, VAR'ların güçlü ve zayıf yanlarını dengeli biçimde ortaya koyar. Veri betimleme ve öngörüde VAR'lar güvenilirdir: değişkenler arasındaki eş hareketleri özetler ve basit modeller olarak iyi öngörüler verir. Yapısal çıkarım ve politika analizinde ise sonuçlar özdeşleme varsayımlarına duyarlıdır ve farklı varsayımlar farklı sonuçlar verebilir. Ayrıca VAR'lar, katsayıların zaman içinde sabit olduğunu varsayar; politika rejimleri değiştiğinde, örneğin bir merkez bankası enflasyon hedeflemesine geçtiğinde, değişkenler arasındaki ilişkiler değişir. Bu, Lucas eleştirisinin VAR'lardaki karşılığıdır ve VAR'larla yapılan politika senaryolarının, politika rejimi değişmediği sürece geçerli olduğunu hatırlatır.

Türkiye gibi politika rejimlerinin ve yapısal koşulların sık değiştiği ekonomilerde bu sınır özellikle önemlidir. Uzun örneklemlerle tahmin edilen bir VAR, farklı rejimlerin ortalamasını yakalar ve hiçbir rejimi doğru temsil etmeyebilir; kısa örneklemlerle tahmin edilen bir VAR ise çok az gözlemle çok sayıda parametre tahmin etmek zorunda kalır. Bayesci büzme ve zamanla değişen parametreli VAR'lar, bu ödünleşimi yönetmenin yollarıdır.

Uygulama

Özet kartı

1. Vektör otoregresif model, birkaç zaman serisini birlikte modeller ve her serinin bu dönemki değerini, bütün serilerin geçmiş değerlerine bağlar; Sims, büyük makroekonometrik modellerin dayandığı kısıtların inandırıcı olmadığını savunarak bu kısıtsız yaklaşımı önerdi.
2. İndirgenmiş biçimli VAR'ın kalıntıları, değişkenlerin öngörülemeyen hareketleridir ve birbiriyle ilişkilidir; bunları yapısal şoklar olarak yorumlamak, özyinelemeli sıralama ya da başka yapısal kısıtlar gibi özdeşleyici varsayımlar gerektirir ve sonuçlar bu varsayımlara bağlıdır.
3. k değişkenli ve p gecikmeli bir VAR, k × (k × p + 1) parametre tahmin eder; parametre sayısı hızla büyüdüğü için tutumluluk, bilgi ölçütleriyle gecikme seçimi ve Bayesci büzme önemlidir.
4. Litterman, beş yıl boyunca küçük bir Bayesci VAR ile yaptığı öngörülerin, en iyi bilinen ticari öngörü hizmetleri kadar doğru olduğunu gösterdi; Minnesota önseli, katsayıları bir rastgele yürüyüşe doğru büzerek aşırı uyumu azaltır.
5. Stock ve Watson, VAR'ların veri betimleme ve öngörü için güçlü ve güvenilir araçlar olduğunu, ama yapısal çıkarım ve politika analizi için daha az yararlı olduğunu değerlendirdi; politika rejimlerinin değiştiği dönemlerde VAR katsayılarının istikrarı ayrıca sorgulanmalıdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) İndirgenmiş biçimli, özyinelemeli ve yapısal VAR arasındaki farkları açıklayın.
2. (Çıktı 2) İki değişkenli VAR örneğinde bu yıl enflasyon yüzde 3, faiz yüzde 5 olsaydı, gelecek yıl için enflasyon ve faiz öngörüleri ne olurdu? Bu değerler uzun dönem ortalamalarının altında mı üstünde mi?
3. (Çıktı 2) Beş değişkenli ve altı gecikmeli bir aylık VAR kaç parametre tahmin eder? Aynı modelin gecikme sayısı on ikiye çıkarılırsa parametre sayısı ne olur?
4. (Çıktı 2) Minnesota önseli örneğinde önselin standart sapması 0,1 yerine 0,3 olsaydı, Bayesci tahmin ne olurdu? Sonucu yorumlayın.
5. (Çıktı 3) Bir araştırmacı, üretim, enflasyon ve faizden oluşan özyinelemeli bir VAR'da faizi en sona koyuyor. Bu sıralama hangi iktisadi varsayımları içerir? Faiz en başa konsaydı ne değişirdi?
6. (Çıktı 4) Bir yorumcu, «VAR'lar kuramdan bağımsız oldukları için para politikasının etkisini tarafsız biçimde ölçer; büyük yapısal modellere artık gerek yoktur» diyor. Bu görüşü Sims'in eleştirisi ve Stock ile Watson'ın değerlendirmesi ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. İndirgenmiş biçimli VAR, her değişkenin yalnızca bütün değişkenlerin geçmiş değerleri üzerine regresyonundan oluşur; kalıntıları, değişkenlerin öngörülemeyen hareketleridir ve birbiriyle ilişkili olabilir. Özyinelemeli VAR, değişkenleri bir sıraya koyar ve her değişkenin aynı dönem içinde yalnızca kendinden önceki değişkenlere tepki verdiğini varsayarak kalıntıları birbirinden bağımsız şoklara ayırır; sonuçlar sıralamaya bağlıdır. Yapısal VAR ise kalıntıları, iktisat kuramına ya da kurumsal bilgiye dayanan daha genel kısıtlarla, örneğin uzun dönem ya da işaret kısıtlarıyla, iktisadi anlamı olan yapısal şoklara ayrıştırır; özyinelemeli VAR bunun özel bir biçimidir.
2. Enflasyon öngörüsü 1 + 0,6 × 3 + 0,1 × 5 = 1 + 1,8 + 0,5 = 3,3; faiz öngörüsü 0,6 + 0,3 × 3 + 0,7 × 5 = 0,6 + 0,9 + 3,5 = 5,0. Uzun dönem ortalamaları enflasyon için yüzde 4, faiz için yüzde 6'dır; bugünkü değerler ve öngörüler bu ortalamaların altındadır ve öngörüler yıllar içinde ortalamalara doğru yükselir.
3. Beş değişkenli ve altı gecikmeli VAR'da her denklem 5 × 6 + 1 = 31 parametre, toplam 5 × 31 = 155 parametre tahmin eder. On iki gecikmeyle her denklem 5 × 12 + 1 = 61, toplam 305 parametre tahmin eder. Gecikme sayısını iki katına çıkarmak, parametre sayısını neredeyse iki katına çıkarır.
4. Önselin kesinliği 1 ÷ 0,09 ≈ 11,1 olur; verinin kesinliği yine yaklaşık 44'tür. Bayesci tahmin (44 × 0,30 + 11,1 × 0) ÷ 55,1 ≈ 0,24'tür. Önsel daha gevşek, yani daha az kesin olduğu için, tahmin verinin önerdiği 0,30'a çok daha yakındır. Önselin sıkılığı, büzmenin derecesini belirler: sıkı bir önsel katsayıyı güçlü biçimde sıfıra çeker, gevşek bir önsel verilerin sesini daha çok duyurur.
5. Faiz en sona konduğunda, üretim ve enflasyon, faizdeki bir şoka aynı ay ya da çeyrek içinde tepki veremez; merkez bankası ise üretim ve enflasyondaki gelişmelere aynı dönem içinde tepki verebilir. Bu, para politikasının ekonomiyi ancak gecikmeyle etkilediği ve merkez bankasının güncel verileri gözlediği varsayımına dayanır. Faiz en başa konsaydı, faiz şoku aynı dönem içinde üretimi ve enflasyonu etkileyebilir, ama merkez bankası aynı dönemdeki üretim ve enflasyon gelişmelerine tepki veremezdi; bu, kalıntıların korelasyonunun tamamen faiz şokuna atfedilmesi demektir ve para politikası şokunun tanımını ve etkisini değiştirir.
6. Görüşün bir kısmı doğrudur: Sims, büyük yapısal modellerin dayandığı kısıtların çoğunun inandırıcı olmadığını savundu ve VAR'ları bu kısıtlardan arınmış bir alternatif olarak önerdi; VAR'lar veri betimleme ve öngörüde güçlü araçlardır. Ama VAR'ların kuramdan bağımsız olduğu iddiası, yapısal yorum söz konusu olduğunda yanlıştır: para politikası şokunu özdeşlemek için yapılan her varsayım, örneğin değişkenlerin sıralaması, bir kuramsal tercihtir ve sonuçlar bu tercihlere duyarlıdır. Stock ve Watson, VAR'ların yapısal çıkarım ve politika analizi için öngörüden daha az güvenilir olduğunu vurguladı. Ayrıca VAR katsayıları politika rejimi değiştiğinde değişebilir. Bu yüzden VAR'lar yapısal modellerin yerini tamamen almaz; iki yaklaşım birbirini tamamlar: VAR'lar verilerin ne söylediğini esnek biçimde gösterir, yapısal modeller ise bu bulguları kuramla yorumlamaya ve gözlenmemiş politikaları değerlendirmeye yarar.

İleri okuma

• Christopher A. Sims (1980). «Macroeconomics and Reality». Econometrica 48(1). Büyük modellere eleştiri ve VAR yaklaşımının önerisi.
• Robert B. Litterman (1986). «Forecasting With Bayesian Vector Autoregressions—Five Years of Experience». JBES 4(1). Bayesci VAR öngörülerinin başarısı.
• James H. Stock, Mark W. Watson (2001). «Vector Autoregressions». Journal of Economic Perspectives 15(4). VAR'ların dört görevdeki güçlü ve zayıf yanları.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir VAR'ı kurduk, öngörüler ürettik ve kalıntıları yapısal şoklara ayırmanın özdeşleme varsayımları gerektirdiğini gördük. Ama bir merkez bankasının asıl sorusu, bir şokun ekonomide zaman içinde nasıl yayıldığıdır: faiz beklenmedik biçimde bir puan artırıldığında, üretim kaç ay sonra en çok düşer, enflasyon ne zaman tepki vermeye başlar ve etki ne kadar sürer? Bu soruların cevabı, bir VAR'dan türetilen etki–tepki fonksiyonları ve öngörü hatası varyansının şoklara göre ayrıştırılmasıyla verilir. Sıradaki ders, etki–tepki analizini ele alıyor.