ARIMA modelleri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Otoregresif süreci, hareketli ortalama sürecini, ARIMA modelini, kısmi otokorelasyon fonksiyonunu, Box–Jenkins yöntemini ve Ljung–Box testini tanımlar.
• Uygulama — Otoregresif ve hareketli ortalama süreçlerinin otokorelasyonlarını ve birkaç adım ilerisi için öngörülerini hesaplar; bir modelin kalıntıları için Ljung–Box istatistiğini hesaplayıp yorumlar ve bilgi ölçütleriyle iki model arasında seçim yapar.
• Analiz — Bir serinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarından uygun model yapısını belirler ve tek değişkenli bir modelin hangi durumlarda yapısal ya da çok değişkenli modellerden daha iyi öngörü verebileceğini çözümler.
• Değerlendirme — Kalıntı sınamasının istatistiksel temeline, enflasyon öngörüsünde basit yöntemlerin karmaşık modellere karşı başarısına ve enflasyon sürecinin zaman içinde değişen yapısına dair çalışmalara dayanarak, ARIMA modellerinin öngörüdeki yerini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir şirketin satış müdürü, gelecek ayın satışlarını tahmin etmek istiyor. Elinde ekonomik bir model yok; yalnızca son on yılın aylık satış verileri var. Satışların bu ay yüksek olması, gelecek ay da yüksek olacağı anlamına mı gelir? Geçen ay yapılan tahminin ne kadar yanıldığı, bu ayki tahmini düzeltmek için kullanılabilir mi? Seri yıllar içinde büyüyorsa, büyüme mi tahmin edilmeli, düzey mi?

Bu sorular, bir serinin yalnızca kendi geçmişinden öngörülmesi sorusudur. İktisatçılar uzun süre bu tür tek değişkenli yöntemleri, ekonomik ilişkileri içeren büyük yapısal modellerin yanında ikincil araçlar olarak gördü. Ama 1970'lerde, basit tek değişkenli modellerin, onlarca denklemden oluşan büyük makroekonometrik modellerden daha iyi öngörüler verebildiği ortaya çıktı. Bu ders, bu modellerin en yaygın ailesini, otoregresif bütünleşik hareketli ortalama modellerini ele alıyor: bir serinin dünkü değerlerini ve dünkü tahminlerin ne kadar şaştığını bugünün tahminine taşıyan ve önceki iki derste belirlediğimiz fark alma derecesini içeren modeller.

Hikâye — kalıntılar ne söylüyor?

George Box ve Gwilym Jenkins, 1970'te yayımladıkları kitaplarında, bu modelleri kurmak için sistematik bir yöntem önerdi: önce serinin yapısını otokorelasyonlarından tanımla, sonra modeli tahmin et, sonra kalıntıların hâlâ bir yapı taşıyıp taşımadığını sına; taşıyorsa modeli değiştir ve döngüyü tekrarla. Bu döngünün son adımı için bir test gerekiyordu: bir modelin kalıntıları gerçekten beyaz gürültü müdür, yoksa model serinin öngörülebilir yapısının bir kısmını yakalayamamış mıdır? Box ve David Pierce, 1970'te bu amaçla bir test önerdi; Greta Ljung ve Box, birkaç yıl sonra bu testi geliştirdi.

Bu testin yaptığı iş basittir ama önemlidir: bir modelin kalıntılarındaki otokorelasyonları tek tek değil, birlikte değerlendirir. Kalıntılar beyaz gürültüyse, otokorelasyonlarının hepsi sıfıra yakın olmalıdır; birkaç otokorelasyon birlikte büyükse, model bir şeyi kaçırmıştır.

Kavram — geçmiş değerler ve geçmiş hatalar

Bir seri iki yoldan kendi geçmişine bağlı olabilir. Birincisi, kendi geçmiş değerleri üzerinden.

İkincisi, geçmiş şoklar, yani geçmiş öngörü hataları üzerinden.

İki yapı ve fark alma, tek bir modelde birleşir.

Veri ve kanıt — basitin gücü

Tek değişkenli modellerin gücü, en çarpıcı biçimde enflasyon öngörüsünde görüldü. Andrew Atkeson ve Lee Ohanian, Phillips eğrisine dayanan enflasyon öngörülerini, olabilecek en basit öngörüyle karşılaştırdı.

Saf öngörünün neden bu kadar dayanıklı olduğunu anlamak için, Stock ve Watson enflasyonu üreten sürecin zaman içinde nasıl değiştiğine baktı.

Stock ve Watson'ın bulgusu, ARIMA ailesinin basit bir üyesinin, birinci dereceden bütünleşik ve birinci dereceden hareketli ortalamalı modelin, enflasyonu tanımlamada ne kadar güçlü olabildiğini gösterir. Ama bulgunun bir başka yanı da vardır: modelin parametreleri zamanla değişiyordu. Sabit parametreli bir ARIMA modeli, enflasyon sürecindeki bu değişimleri yakalayamaz.

Neden önemli? — öngörünün çalışma beygiri

ARIMA modelleri, iktisatta ve işletmede öngörünün en yaygın araçlarından biridir. Merkez bankaları, enflasyon ve büyüme öngörülerini değerlendirirken bunları karşılaştırma ölçütü olarak kullanır; istatistik kurumları, mevsimsellikten arındırma işlemlerinde serilerin uçlarını bu modellerle uzatır; şirketler satış, stok ve talep tahminlerinde bunlara başvurur. Bir öngörü modelinin değerli olup olmadığını anlamanın ilk adımı, onu basit bir ARIMA modelinin ya da saf öngörünün öngörüsüyle karşılaştırmaktır: karmaşık bir model bu basit ölçütü geçemiyorsa, karmaşıklığı haklı çıkarılamaz. Bu kursun sonraki derslerinde göreceğimiz çok değişkenli modellerin ve öngörü değerlendirme yöntemlerinin hepsi, bu temel üzerine kuruludur.

Model

Bu bölümdeki enflasyon sapmaları, satış rakamları ve katsayılar öğretmek için uydurulmuştur; anılan üç çalışmanın tablolarından alınmamıştır.

Çözümlü örnek — Otoregresif bir öngörü

Bir ülkenin aylık çekirdek enflasyonunun uzun dönem ortalamasından sapması, birinci dereceden bir otoregresif süreç izliyor: bu ayki sapma = 0,7 × geçen ayki sapma + şok. Bu ay sapma yüzde 2. Gelecek aylar için en iyi öngörü nedir?

Gelecek ay için öngörü, şokun beklenen değeri sıfır olduğu için, 0,7 × 2 = 1,4'tür. İki ay sonrası için, gelecek ayın öngörüsünün 0,7 katı: 0,7 × 1,4 = 0,98. Üç ay sonrası 0,686, altı ay sonrası 2 × 0,7⁶ ≈ 0,24. Öngörü, ufuk uzadıkça uzun dönem ortalamasına, yani sıfır sapmaya doğru geometrik olarak yaklaşır.

Öngörü hatasının belirsizliği de ufukla değişir. Bir ay sonrası için öngörü hatası yalnızca gelecek ayın şokudur; varyansı şok varyansına eşittir. İki ay sonrası için hata, iki şokun bileşimidir: 0,7 × birinci şok + ikinci şok; varyansı (1 + 0,49) kez şok varyansıdır. Ufuk uzadıkça bu varyans, sürecin kendi varyansına, yani şok varyansının 1 ÷ (1 − 0,49) ≈ 1,96 katına yakınsar. Durağan bir sürecin uzun dönemli öngörüsü, belirsizliği sınırlı olan bir ortalamadır.

Çözümlü örnek — Şokların kısa hafızası

Bir mağazanın haftalık satışlarındaki beklenmedik değişim, bir hareketli ortalama süreci izlesin: bu haftaki sapma = bu haftaki şok + 0,5 × geçen haftaki şok. Bir hafta beklenmedik bir kampanya satışları 100 birim artırırsa, ertesi hafta satışlar, kampanyadan kalan ilgi nedeniyle 50 birim daha yüksek olur; iki hafta sonra ise etki tamamen kaybolur.

Bu sürecin otokorelasyonları, otoregresif süreçten çok farklıdır. Birinci gecikmedeki otokorelasyon, θ ÷ (1 + θ²) = 0,5 ÷ 1,25 = 0,4'tür. İkinci ve daha uzun gecikmelerdeki otokorelasyonlar tam olarak sıfırdır: iki hafta arayla iki gözlem, hiçbir ortak şok paylaşmaz. Otokorelasyon fonksiyonu, birinci gecikmeden sonra keskin biçimde kesilir.

Öngörü açısından da fark belirgindir. Bu hafta 100 birimlik bir şok yaşandıysa, gelecek hafta için öngörü 0,5 × 100 = 50 birimdir; iki hafta sonrası için öngörü sıfırdır. Hareketli ortalama sürecinin hafızası, q dönemle sınırlıdır; bu süreden sonra geçmiş, gelecek hakkında hiçbir şey söylemez.

Çözümlü örnek — Modeli tanımak

Box–Jenkins yönteminin ilk adımı, serinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarına bakarak model yapısını tanımaktır.

Üç durağan seri düşünelim. Birinci serinin otokorelasyonları 0,7, 0,49, 0,34, 0,24 biçiminde yavaşça azalıyor; kısmi otokorelasyonları birinci gecikmede 0,7, sonrakilerde sıfıra yakın. Bu desen, birinci dereceden bir otoregresif sürece işaret eder: otokorelasyonlar söner, kısmi otokorelasyonlar kesilir. İkinci seride ilk gecikmenin otokorelasyonu 0,4'te kalıyor, ondan sonrakiler sıfıra çekiliyor; kısmi otokorelasyonları 0,4, −0,19, 0,09 biçiminde işaret değiştirerek söner. Bu, birinci dereceden bir hareketli ortalama sürecine işaret eder: otokorelasyonlar kesilir, kısmi otokorelasyonlar söner. Üçüncü serinin her iki fonksiyonu da kesilmeden sönüyor; bu, hem otoregresif hem hareketli ortalama bileşenleri olan karma bir sürece işaret eder.

Örnek otokorelasyonlarının sıfırdan anlamlı biçimde farklı olup olmadığına karar vermek için kaba bir kural kullanılır: beyaz gürültüde örnek otokorelasyonlarının standart hatası yaklaşık 1 ÷ √n'dir; 100 gözlemde bu 0,1 eder ve yaklaşık ±0,2 bandının dışında kalan otokorelasyonlar dikkate değer sayılır. Bu desenler, gerçek verilerde nadiren bu kadar net görünür. Örnek otokorelasyonları gürültülüdür ve sıfırdan küçük farkları ayırt etmek zordur. Bu yüzden tanıma aşaması, kesin bir karar değil, birkaç aday model belirleyen bir ön elemedir.

Çözümlü örnek — Hangi model?

Bir araştırmacı, 200 gözlemlik bir seri için iki aday model tahmin ediyor. Birinci model, birinci dereceden otoregresif: bir parametre, kalıntı varyansı 1,10. İkinci model, ikinci dereceden otoregresif ve birinci dereceden hareketli ortalamalı: üç parametre, kalıntı varyansı 1,05.

İkinci model, kalıntı varyansını biraz düşürüyor; ama iki ek parametre kullanıyor. Model seçimini işlediğimiz derste tanıştığımız Akaike bilgi ölçütü, kabaca, gözlem sayısı çarpı kalıntı varyansının logaritması artı iki kez parametre sayısı olarak hesaplanır. Birinci model için 200 × ln 1,10 + 2 × 1 ≈ 200 × 0,0953 + 2 ≈ 21,1. İkinci model için 200 × ln 1,05 + 2 × 3 ≈ 200 × 0,0488 + 6 ≈ 15,8. İkinci modelin ölçütü daha düşüktür; Akaike ölçütü onu tercih eder.

Schwarz ölçütü, parametre başına iki yerine gözlem sayısının logaritmasını, yani ln 200 ≈ 5,3'ü ceza olarak kullanır. Birinci model için 19,1 + 5,3 ≈ 24,4; ikinci model için 9,8 + 15,9 ≈ 25,7. Schwarz ölçütü birinci modeli tercih eder. İki ölçütün farklı sonuç vermesi olağandır: Schwarz ölçütü, ek parametreleri daha ağır cezalandırır ve daha sade modelleri seçer. Box ve Jenkins'in tutumluluk ilkesi de bu yönde bir eğilimi savunur: öngörüde sade modeller, örneklem dışında genellikle daha iyi performans gösterir.

Çözümlü örnek — Kalıntılarda yapı kaldı mı?

Seçilen modelin kalıntılarının ilk üç otokorelasyonu 0,15, 0,10 ve 0,05; gözlem sayısı 100. Bu otokorelasyonlar birlikte, kalıntıların beyaz gürültü olmadığına işaret eder mi?

İstatistik şöyle hesaplanır: 100 × 102 × (0,15² ÷ 99 + 0,10² ÷ 98 + 0,05² ÷ 97) = 10.200 × (0,000227 + 0,000102 + 0,0000258) ≈ 10.200 × 0,000355 ≈ 3,62. Model hiç parametre tahmin etmemiş olsaydı, üç serbestlik dereceli ki-karenin yüzde 5 eşiği 7,81 olurdu; 3,62 bunun çok altındadır. Model bir parametre tahmin ettiyse, serbestlik derecesi 2 ve kritik değer 5,99'dur; sonuç yine aynıdır. Kalıntılarda anlamlı bir yapı yoktur.

Birinci otokorelasyon 0,15 yerine 0,30 olsaydı, ilk terim dört katına çıkar ve istatistik yaklaşık 10,5'e yükselirdi; bu, kalıntılarda hâlâ yapı bulunduğunu ve modelin genişletilmesi gerektiğini gösterirdi.

Çözümlü örnek — Hata düzelterek öngörmek

Enflasyonun birinci dereceden bütünleşik ve birinci dereceden hareketli ortalamalı bir süreç izlediğini varsayalım: enflasyondaki aylık değişim = bu ayın şoku − 0,7 × geçen ayın şoku. Bu model, ARIMA(0, 1, 1) olarak yazılır.

Bu modelin öngörüsü, sezgisel bir biçime sahiptir. Gelecek ay için öngörü, bu ayın öngörüsü artı bu ayki öngörü hatasının yüzde 30'udur; yani her ay, geçen ayın öngörüsü, gerçekleşen değerle arasındaki farkın 1 − 0,7 = 0,3'ü kadar güncellenir. Bu ay için öngörü yüzde 4, gerçekleşen yüzde 5 ise, öngörü hatası 1 puandır ve gelecek ay için öngörü 4 + 0,3 × 1 = 4,3 olur.

Bu, iş dünyasında yaygın olarak kullanılan üstel düzeltmenin ta kendisidir: öngörü, gerçekleşen değerlerin geriye doğru geometrik olarak azalan ağırlıklarla alınmış ortalamasıdır. Stock ve Watson'ın enflasyon için bulduğu model, bu yapının, ağırlığın zamanla değiştiği bir biçimiydi: enflasyonun kalıcı bileşeninin oynaklığı yüksek olduğu dönemlerde, öngörü hatalara daha hızlı uyum sağlar; düşük olduğu dönemlerde daha yavaş. Atkeson ile Ohanian'ın saf öngörüsü ise bu modelin uç bir biçimidir: ağırlık 1 olduğunda, öngörü yalnızca en son gözlemdir. Ağırlığın küçük, örneğin 0,1 olması ise öngörünün çok yavaş güncellendiği, geçmişin uzun bir ortalamasına dayandığı anlamına gelir. Ağırlığın doğru seçimi, enflasyonun kalıcı bileşeninin geçici gürültüye göre ne kadar oynak olduğuna bağlıdır: kalıcı şoklar büyükse hızlı, geçici gürültü büyükse yavaş güncelleme daha iyi öngörü verir.

Çözümlü örnek — İki yapı birlikte

Bir serinin sapması, hem kendi geçmişine hem de geçmiş şoka bağlı olsun: bu dönemki sapma = 0,6 × geçen dönemki sapma + bu dönemki şok + 0,4 × geçen dönemki şok. Bu, bir ARMA(1,1) sürecidir. Bu dönem sapma 3 ve bu dönemki şok, yani bu dönemki öngörü hatası, 1 olsun.

Gelecek dönem için öngörü, gelecek dönemin şokunun beklenen değeri sıfır olduğu için, 0,6 × 3 + 0,4 × 1 = 1,8 + 0,4 = 2,2'dir. İki dönem sonrası için öngörü, gelecek dönemin öngörüsünün 0,6 katıdır, çünkü iki dönem sonrasında geçen dönemin şoku artık bilinmeyen bir şoktur ve beklenen değeri sıfırdır: 0,6 × 2,2 = 1,32. Üç dönem sonrası 0,79.

Hareketli ortalama terimi yalnızca ilk adımın öngörüsünü etkiler; sonraki adımlarda öngörü, otoregresif katsayıyla geometrik olarak söner. Bu, karma modellerin genel bir özelliğidir: kısa ufuktaki öngörüleri her iki bileşen, uzun ufuktaki öngörüleri yalnızca otoregresif bileşen belirler. Saf bir otoregresif modelle aynı otokorelasyonları elde etmek için çok daha fazla gecikme gerekebilirdi; karma model, aynı yapıyı daha az parametreyle yakalar.

Çözümlü örnek — Farktan düzeye dönmek

Bir ülkenin sanayi üretim endeksinin logaritması birinci dereceden bütünleşik, büyümesi ise ortalaması aylık yüzde 0,3 olan ve sapması 0,4 katsayılı birinci dereceden bir otoregresif süreç izleyen bir seri olsun: ARIMA(1,1,0). Bu ay endeksin logaritması 5,00, bu ayki büyüme yüzde 0,8, yani ortalamadan 0,5 puan yukarıda.

Gelecek ayki büyüme öngörüsü, 0,3 + 0,4 × 0,5 = 0,5 yüzdedir; iki ay sonraki 0,3 + 0,4 × 0,2 = 0,38; üç ay sonraki 0,3 + 0,4 × 0,08 ≈ 0,33. Büyüme öngörüsü, ortalaması olan yüzde 0,3'e yaklaşır. Düzeyin öngörüsü, büyüme öngörülerinin birikimidir: gelecek ay 5,005, iki ay sonra 5,0088, üç ay sonra yaklaşık 5,0121.

Düzey öngörüsünün belirsizliği, büyüme öngörüsünden farklı davranır. Büyüme durağandır ve öngörü hatası sınırlıdır; ama düzey, büyümenin birikimi olduğu için, her ayın büyüme hatası düzeye eklenir ve düzey öngörüsünün belirsizliği ufukla birlikte sürekli büyür. Bütünleşik bir seride, kısa dönemli büyümeyi iyi öngörmek, uzun dönemli düzeyi iyi öngörmek anlamına gelmez.

Modelin sınırları

Bu örneklerde süreçlerin katsayılarını bildiğimizi varsaydık; gerçekte katsayılar tahmin edilir ve öngörü belirsizliğine katsayı belirsizliği de eklenir. Tanıma örneğinde otokorelasyon desenleri nettir; gerçek verilerde desenler gürültülüdür. Bilgi ölçütü örneğinde ölçütlerin sadeleştirilmiş biçimlerini kullandık; uygulamada tam formüller ve küçük örneklem düzeltmeleri kullanılır. Bütün örnekler, sürecin parametrelerinin zamanla değişmediğini varsaydı; Stock ve Watson'ın bulgusu, bu varsayımın enflasyon gibi serilerde geçerli olmayabileceğini gösterdi.

Teknik

Durağanlık ve tersine çevrilebilirlik

Bir otoregresif sürecin durağan olması için, katsayılarının belirli koşulları sağlaması gerekir; birinci dereceden bir süreçte bu koşul, katsayının mutlak değerinin birden küçük olmasıdır. Daha yüksek derecelerde koşul, sürecin karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında olmasıdır; bir kök tam çemberin üzerine düşerse süreç durağanlığını yitirir; bu durum, önceki derste sınadığımız durumun ta kendisidir.

Hareketli ortalama süreçleri ise katsayıları ne olursa olsun her zaman durağandır; ama başka bir koşul, tersine çevrilebilirlik, önemlidir. Tersine çevrilebilir bir hareketli ortalama süreci, sonsuz dereceli bir otoregresif süreç olarak yazılabilir; bu, geçmiş gözlemlerden şokların geri kazanılabilmesini ve öngörülerin hesaplanabilmesini sağlar. Birinci dereceden bir hareketli ortalama sürecinde bu koşul, katsayının mutlak değerinin birden küçük olmasıdır. Aynı otokorelasyonları üreten iki hareketli ortalama süreci vardır, biri tersine çevrilebilir, öbürü değil; tahminde tersine çevrilebilir olanı seçilir.

Durağanlık dersinde gördüğümüz Wold ayrıştırması, durağan her sürecin sonsuz dereceli bir hareketli ortalama süreci olarak yazılabileceğini söyler. ARIMA modellerinin değeri, bu sonsuz yapıyı az sayıda parametreyle yaklaşık olarak temsil edebilmesindedir: birkaç otoregresif ve hareketli ortalama terimi, çoğu zaman uzun bir bağımlılık yapısını yakalamaya yeter.

Box–Jenkins yöntemi

Yöntemin her adımı bu kursun başka derslerine bağlanır. Tanımlama adımı, birim kök testleriyle fark alma derecesini ve otokorelasyon fonksiyonlarıyla p ile q'yu belirler. Tahmin adımı, en çok olabilirlik yöntemini kullanır; hareketli ortalama terimleri içeren modeller, olağan en küçük kareler yöntemiyle tahmin edilemez, çünkü şoklar gözlenmez ve modelin kendisinden türetilmeleri gerekir. Tanılama adımı, Ljung–Box gibi testlerle kalıntıları sınar ve aşırı uyum riskine karşı modellerin örneklem dışındaki performansına bakar.

Öngörü ve belirsizlik

ARIMA modellerinin öngörü belirsizliği, modelin yapısına bağlıdır. Durağan bir ARMA modelinde öngörü hatası varyansı, ufuk uzadıkça sürecin kendi varyansına yakınsar; uzun dönemli öngörü, sınırlı bir belirsizlikle serinin ortalamasıdır. Bütünleşik bir modelde ise öngörü hatası varyansı ufukla birlikte sınırsızca büyür; durağanlık dersinde rastgele yürüyüş için gördüğümüz durumun genel biçimidir.

Bu fark, uygulamada önemli sonuçlar doğurur. Bir merkez bankası, enflasyonu durağan bir süreç olarak modellerse, iki yıllık enflasyon öngörüsünün güven aralığı görece dar olur; bütünleşik bir süreç olarak modellerse, aynı aralık çok daha geniş olur. İki modelin bir aylık öngörüleri birbirine çok yakın olabilir, ama uzun ufuklu öngörüleri ve onların belirsizlikleri çok farklıdır. Bu yüzden fark alma derecesi kararı, kısa vadeli öngörü için genellikle az, uzun vadeli öngörü ve onun belirsizliği için ise çok önemlidir.

Tahmin ve başlangıç değerleri

Otoregresif modeller, olağan en küçük kareler yöntemiyle, bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri üzerine regresyonla tahmin edilebilir. Hareketli ortalama terimleri içeren modellerde ise şoklar gözlenmez; her dönemin şoku, modelin katsayılarına ve önceki şoklara bağlı olarak yinelemeli biçimde hesaplanmalıdır. Bu yüzden bu modeller en çok olabilirlik yöntemiyle tahmin edilir ve tahmin, serinin başlangıcındaki şokların nasıl ele alındığına, yani başlangıç değerlerine bağlıdır. Kısa serilerde bu seçim sonucu etkileyebilir; uzun serilerde etkisi kaybolur. Ayrıca hareketli ortalama katsayısı bire yakınsa, olabilirlik fonksiyonu düzleşir ve tahmin güçleşir; bu durum, genellikle serinin gereğinden fazla fark alındığına işaret eder.

Aşırı fark alma

Durağan bir serinin farkı alındığında, fark alınmış seri, katsayısı eksi bire yakın bir hareketli ortalama bileşeni taşır. Bu, aşırı fark almanın bir belirtisidir. Örneğin beyaz gürültü olan bir serinin farkı, bu dönemki şok eksi geçen dönemki şoktur; bu, katsayısı tam olarak eksi bir olan bir hareketli ortalama sürecidir ve tersine çevrilebilir değildir. Uygulamada, tahmin edilen bir modelin hareketli ortalama katsayısı eksi bire çok yakın çıkarsa, araştırmacı fark alma derecesini yeniden gözden geçirmelidir; önceki derste gördüğümüz KPSS testi bu kararı desteklemek için kullanılabilir.

İstatistik kurumlarında ARIMA

ARIMA modelleri, resmî istatistiklerin üretiminde de önemli bir rol oynar. İstatistik kurumları, aylık ve çeyreklik serileri mevsimsellikten arındırırken, X-13ARIMA-SEATS ya da TRAMO-SEATS gibi programları kullanır. Bu programlar, serinin uçlarını ARIMA modelleriyle ileriye ve geriye doğru uzatır; çünkü mevsimsel filtreler, serinin her iki yanında da gözlem gerektirir ve en son aylar için gelecekteki gözlemler henüz yoktur. Bu yüzden mevsimsellikten arındırılmış serilerin son birkaç ayı, yeni veriler geldikçe revize edilir. Bir analist, son ayın mevsimsellikten arındırılmış değerini yorumlarken, bu değerin bir ARIMA öngörüsüne dayandığını ve revize edilebileceğini bilmelidir. Bu konu, sonraki derste ayrıca ele alınacak.

Öngörülerin birleştirilmesi

Hangi modelin en iyi olduğundan emin olunamadığında, birkaç modelin öngörülerinin ortalamasını almak çoğu zaman tek bir modeli seçmekten daha iyi sonuç verir. Bu gözlem, öngörü yazınının en tutarlı bulgularından biridir. Basit bir ortalama, farklı modellerin farklı yönlerdeki hatalarını kısmen dengeler ve bir modelin belirli bir dönemdeki kötü performansının etkisini sınırlar. ARIMA modelleri, bu birleşimlerin vazgeçilmez bir üyesidir: yapısal modellerden ve uzman görüşlerinden farklı bilgileri kullandıkları için, birleşime ek bir çeşitlilik katarlar.

Doğrusallık varsayımı

ARIMA modelleri doğrusaldır: bir şokun etkisi, şokun büyüklüğüyle orantılıdır ve işaretinden bağımsızdır. Birçok iktisadi seride bu varsayım tartışmalıdır. İşsizlik oranı, durgunluklarda hızla yükselip genişlemelerde yavaşça düşebilir; döviz kurları büyük şoklarda farklı, küçük şoklarda farklı davranabilir; finansal getirilerin oynaklığı dönemden döneme değişir. Bu tür asimetriler ve değişen oynaklıklar doğrusal bir ARIMA modelinin dışında kalır. Bu kursun ilerleyen bir dersi, getirilerin değişen oynaklığını modelleyen ARCH ve GARCH modellerini ele alacak; eşik ve rejim değişimi modelleri ise asimetrik dinamikleri yakalamak için geliştirildi.

Mevsimsel ARIMA

Aylık ve çeyreklik serilerde, bir yıl önceki aynı dönemle ilişki çoğu zaman güçlüdür. Mevsimsel ARIMA modelleri, olağan otoregresif ve hareketli ortalama terimlerinin yanına, on iki ay ya da dört çeyrek gecikmeli terimler ekler ve gerektiğinde mevsimsel farkı, yani bir yıl önceki değerle farkı alır. Bu modeller, örneğin bir yolcu sayısı serisinde hem aydan aya hem de yıldan yıla bağımlılığı az sayıda parametreyle yakalar. Sonraki derste mevsimsellik ayrıca ele alınacak.

Neden basit modeller iyi öngörür?

Atkeson ve Ohanian'ın bulgusu, tek bir örnek değildir; öngörü yazınında basit modellerin karmaşık modellere karşı şaşırtıcı başarısı defalarca gözlendi. Bunun birkaç nedeni vardır. Birincisi, tahmin hatası: her ek parametre, verilerden tahmin edilmek zorundadır ve tahmin hatası, öngörü hatasına eklenir; sınırlı örneklemlerde bu maliyet, daha zengin bir modelin sağladığı kazancı aşabilir. İkincisi, yapısal istikrarsızlık: değişkenler arasındaki ilişkiler, politika rejimleri ve ekonomik yapı değiştikçe değişir; karmaşık bir model, geçmişteki ilişkileri ne kadar iyi yakalarsa, bu ilişkiler değiştiğinde o kadar çok yanılabilir. Üçüncüsü, enflasyon gibi serilerde öngörülebilir kısım zaten küçüktür; Stock ve Watson'ın bulgusuna göre, enflasyonun kalıcı bileşeni, geçmiş enflasyonun uygun ağırlıklı bir ortalamasıyla iyi tahmin edilir ve başka değişkenlerin ek katkısı sınırlıdır.

Bu bulgular, öngörüde bir alçakgönüllülük ilkesi önerir: karmaşık bir model, ancak basit bir ARIMA modelini ya da saf öngörüyü örneklem dışında tutarlı biçimde geçebildiğinde kullanılmaya değerdir. Bu kursun öngörü değerlendirmesi dersi, bu karşılaştırmanın nasıl yapılacağını ayrıca ele alacak.

Uygulama

Özet kartı

1. Otoregresif süreçlerde seri kendi geçmiş değerlerine bağlıdır ve şokların etkisi geometrik olarak söner; hareketli ortalama süreçlerinde seri geçmiş şoklara bağlıdır ve şokların etkisi q dönem sonra tamamen kaybolur; ARIMA(p, d, q) modeli, d kez farkı alınmış seriyi bu iki yapının bileşimiyle modeller.
2. Box–Jenkins yöntemi, tanımlama, tahmin ve tanılamadan oluşan yinelemeli bir döngüdür; otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının desenleri aday modelleri belirler, bilgi ölçütleri modeller arasında seçim yapar ve tutumluluk sade modelleri tercih eder.
3. Ljung ve Box, Box ile Pierce'ın kalıntı otokorelasyonlarını birlikte sınayan testini basit bir değişiklikle iyileştirdi; bu test, bir modelin serinin öngörülebilir yapısını yakalayıp yakalamadığını sınamanın standart aracı oldu.
4. Atkeson ve Ohanian, Phillips eğrisine dayalı enflasyon öngörülerinin, enflasyonun gelecek yıl geçen yılki gibi olacağını söyleyen saf öngörüden daha doğru olmadığını buldu; basit modeller, tahmin hatası ve yapısal istikrarsızlık nedeniyle karmaşık modellere karşı sık sık üstün gelir.
5. Stock ve Watson, ABD enflasyonunun zamanla değişen parametreli bir bütünleşik hareketli ortalama süreciyle iyi tanımlandığını buldu; ARIMA(0, 1, 1) modeli, öngörüyü her dönem öngörü hatasının bir kesri kadar güncelleyen üstel düzeltmeye eşdeğerdir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Otoregresif ve hareketli ortalama süreçlerinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarının desenlerini karşılaştırın.
2. (Çıktı 2) Bir serinin sapması 0,5 katsayılı birinci dereceden otoregresif bir süreç izliyor ve bu dönemki sapma 4. Bir, iki ve dört dönem sonrası için öngörüler nedir? Bir ve iki dönem sonrası için öngörü hatasının varyansı, şok varyansının kaç katıdır?
3. (Çıktı 2) Bir hareketli ortalama sürecinde bu dönemki değer = bu dönemki şok + 0,8 × geçen dönemki şok. Birinci ve ikinci gecikmedeki otokorelasyonlar nedir?
4. (Çıktı 2) 150 gözlemlik bir modelin kalıntılarının ilk iki otokorelasyonu 0,20 ve 0,10. Ljung–Box istatistiğini yaklaşık olarak hesaplayın ve iki serbestlik derecesiyle yüzde 5 düzeyinde yorumlayın.
5. (Çıktı 3) Bir araştırmacı, enflasyonu öngörmek için on beş değişken içeren bir model kuruyor ve modelin örneklem içi uyumunun çok iyi olduğunu görüyor. Bu modelin örneklem dışı öngörü performansı hakkında neden temkinli olunmalıdır? Model nasıl sınanmalıdır?
6. (Çıktı 4) Bir merkez bankası yöneticisi, «Enflasyonu öngörmek için büyük bir yapısal modelimiz var; basit zaman serisi modellerine ihtiyacımız yok» diyor. Bu görüşü Atkeson ve Ohanian'ın ve Stock ve Watson'ın bulgularıyla değerlendirin.

Cevaplar

1. Otoregresif bir süreçte otokorelasyon fonksiyonu yavaşça, geometrik olarak söner; kısmi otokorelasyon fonksiyonu ise p'nci gecikmeden sonra sıfıra iner, yani kesilir. Hareketli ortalama sürecinde desen tersinedir: otokorelasyon fonksiyonu q'ncu gecikmeden sonra kesilir, kısmi otokorelasyon fonksiyonu yavaşça söner. Karma süreçlerde her iki fonksiyon da kesilmeden söner. Bu desenler, Box–Jenkins yönteminin tanımlama adımında aday modelleri belirlemek için kullanılır.
2. Bir dönem sonrası için öngörü 0,5 × 4 = 2; iki dönem sonrası 0,5 × 2 = 1; dört dönem sonrası 4 × 0,5⁴ = 0,25. Bir dönem sonrası için öngörü hatası yalnızca gelecek dönemin şokudur; varyansı şok varyansına eşittir, yani 1 katıdır. İki dönem sonrası için hata, 0,5 × birinci şok + ikinci şoktur; varyansı (1 + 0,25) = 1,25 katıdır.
3. Birinci gecikmedeki otokorelasyon θ ÷ (1 + θ²) = 0,8 ÷ 1,64 ≈ 0,49'dur. İkinci gecikmedeki otokorelasyon sıfırdır, çünkü iki dönem arayla iki gözlem ortak bir şok paylaşmaz.
4. İstatistik yaklaşık 150 × 152 × (0,04 ÷ 149 + 0,01 ÷ 148) = 22.800 × (0,000268 + 0,0000676) ≈ 22.800 × 0,000336 ≈ 7,66'dır. İki serbestlik dereceli ki-karede yüzde 5 eşiği 5,99'dur; 7,66 bunu aşar. Kalıntıların ilk iki otokorelasyonunun birlikte sıfır olduğu hipotezi reddedilir; model serinin öngörülebilir yapısının bir kısmını yakalamamıştır ve genişletilmesi gerekir.
5. On beş değişkenli bir model, birçok parametreyi verilerden tahmin eder; örneklem içindeki iyi uyum, gerçek ilişkilerin yanı sıra o örnekleme özgü gürültüyü de yakalamış olabilir. Bu aşırı uyum, örneklem dışında öngörü hatalarını artırır. Ayrıca değişkenler arasındaki ilişkiler zamanla değişebilir; Atkeson ve Ohanian'ın bulgusunda Phillips eğrisine dayalı modeller saf öngörüyü geçemedi. Model, örneklemin son kısmı dışarıda bırakılarak tahmin edilmeli, dışarıda bırakılan dönem için öngörüler yapılmalı ve bu öngörüler basit bir ARIMA modelinin ve saf öngörünün öngörüleriyle karşılaştırılmalıdır.
6. Yöneticinin görüşü, karmaşık modellerin daha iyi öngörü verdiğini varsayıyor. Atkeson ve Ohanian, Federal Rezerv Kurulu'nun öngörüleri dâhil, Phillips eğrisine dayalı öngörülerin, enflasyonun gelecek yıl geçen yılki gibi olacağını söyleyen saf öngörüden daha doğru olmadığını buldu. Stock ve Watson ise ABD enflasyonunun, zamanla değişen parametreli basit bir bütünleşik hareketli ortalama süreciyle iyi tanımlandığını gösterdi. Bu, basit zaman serisi modellerinin en azından bir karşılaştırma ölçütü olarak vazgeçilmez olduğunu gösterir. Yapısal modellerin başka değerleri vardır: politika senaryolarını değerlendirmek ve şokların nedenlerini anlamak gibi. Ama öngörü için, yapısal model basit modelleri örneklem dışında tutarlı biçimde geçemiyorsa, onun öngörülerine yalnız başına güvenmek riskli olur. En iyi uygulama, iki tür modeli birlikte kullanmak ve öngörülerini düzenli olarak karşılaştırmaktır.

İleri okuma

• G. M. Ljung, G. E. P. Box (1978). «On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models». Biometrika 65(2). Kalıntı otokorelasyonlarının birlikte sınanması.
• Andrew Atkeson, Lee E. Ohanian (2001). «Are Phillips Curves Useful for Forecasting Inflation?». Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review 25(1). Saf öngörüye karşı Phillips eğrisi öngörüleri.
• James H. Stock, Mark W. Watson (2007). «Why Has U.S. Inflation Become Harder to Forecast?». Journal of Money, Credit and Banking 39(s1). Enflasyonun zamanla değişen bütünleşik hareketli ortalama yapısı.

Sonraki derse köprü

Bu derste su tüketimi ve satış gibi aylık serilerin belirgin yıllık örüntüler taşıdığını, ama ARIMA modellerinin bu örüntüleri ancak dolaylı yoldan yakalayabildiğini gördük. Her yaz yükselen su tüketimi, her aralıkta artan perakende satışlar ve her bayram döneminde değişen üretim, bir serinin yıl içinde düzenli olarak tekrarlanan bir yapısı olduğunu gösterir. Bu yapı, serinin uzun dönemli eğilimini ve iş çevrimlerini gölgeleyebilir; aylık değişimleri yorumlamayı zorlaştırır. Mevsimsel örüntüler nasıl ölçülür, nasıl modellenir ve verilerden nasıl arındırılır? Sıradaki ders, mevsimselliği ele alıyor.