Birim kök testleri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Dickey–Fuller testini, Dickey–Fuller kritik değerlerini, genişletilmiş Dickey–Fuller testini, test denklemindeki deterministik terimleri, KPSS testini ve yapısal kırılmalı birim kök testlerini tanımlar.
• Uygulama — Bir Dickey–Fuller regresyonunun çıktısından test istatistiğini hesaplar ve doğru kritik değerle karşılaştırır; deterministik terimlerin ve gecikme sayısının seçiminin sonucu nasıl değiştirdiğini gösterir; birim kök ve KPSS testlerinin sonuçlarını birlikte yorumlar.
• Analiz — Birim kök testlerinin neden olağan dağılımları kullanamadığını, kalıcılığı yüksek durağan süreçler karşısında gücünün neden düşük olduğunu ve yapısal kırılmaların sonucu nasıl yanıltabildiğini çözümler.
• Değerlendirme — Birim kök sınamasının kurucu çalışmasına, büyük ekonomik kırılmaların birim kök bulgularını nasıl değiştirdiğine dair karşıt çalışmalara dayanarak, birim kök testlerinin iktisadi sorulara verdiği cevapların güvenilirliğini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir ülkenin reel döviz kurunun uzun dönemde bir denge düzeyine geri dönüp dönmediğini öğrenmek istiyoruz. Bu, satın alma gücü paritesinin uzun dönemde geçerli olup olmadığı sorusudur. Kur, bir denge etrafında dalgalanıyorsa durağandır; her şok kuru kalıcı olarak yeni bir düzeye taşıyorsa, kur bir birim kök taşır ve parite uzun dönemde bile geçerli değildir. Elimizde otuz yıllık aylık veri var ve kurun otokorelasyonları çok yavaş sönüyor. Bu, kurun bir rastgele yürüyüş olduğu anlamına mı gelir, yoksa çok yavaş geri dönen durağan bir süreç mi?

Kurun geçmişine bakarak bu soruya göz kararı bir cevap vermek mümkün değil: geri dönüşü çok yavaş olan bir kur ile hiç dönmeyen bir kur, otuz yıllık bir grafikte ikiz kardeş gibi durur. Bu ders, ikisini birbirinden ayırmak için geliştirilmiş sınamaları ele alıyor. Bu testler, zaman serisi ekonometrisinin en çok kullanılan araçları arasındadır; ama aynı zamanda en çok yanlış yorumlanan araçlar arasındadır. Sonuçlarını doğru okumak, nasıl çalıştıklarını, hangi varsayımlara dayandıklarını ve nerede yanıldıklarını bilmeyi gerektirir.

Hikâye — olağan dağılım işe yaramadığında

1970'lerde, bir seride kalıcı şokların bulunup bulunmadığını sınamanın en doğal görünen yolu, serinin bir önceki değeri üzerine regresyonunu tahmin edip katsayının bire eşit olup olmadığına bakmak gibi görünüyordu. Ama bir sorun vardı: sıfır hipotezi altında, yani seri gerçekten bir rastgele yürüyüşse, açıklayıcı değişken durağan değildir ve olağan t istatistiğinin dağılımı geçerli değildir. David Dickey ve Wayne Fuller, bu durumda dağılımın ne olduğunu türetti.

Dickey ve Fuller'ın gösterdiği, birim kök altında t istatistiğinin normal dağılmadığı ve sola çarpık olduğuydu. Olağan kritik değerlerle yapılan bir test, birim kök hipotezini gerektiğinden çok daha sık reddederdi; yani durağan olmayan serileri durağan sanardı. Bu yüzden birim kök testleri, kendi özel kritik değer tablolarıyla kullanılır.

Kavram — farkların regresyonu

Dickey–Fuller testi, birim kök sorusunu basit bir regresyona çevirir.

Testin istatistiği olağan bir t istatistiğidir, ama karşılaştırıldığı değerler olağan değildir.

Gerçek seriler, rastgele yürüyüşten daha zengin bir kısa dönem yapısı taşır; bu yapı test denklemine eklenmelidir.

Veri ve kanıt — büyük kırılmalar ve birim kök

Nelson ve Plosser'in 1982'de, ABD'nin gelir, fiyat ve istihdam gibi uzun serilerinin çoğunda birim kök hipotezini reddedemediğini bildiren çalışması, durağanlık dersinde gördüğümüz kalıcılık tartışmasını başlatmıştı. Pierre Perron, 1989'da bu bulguya önemli bir itiraz getirdi.

Perron'un argümanı, Nelson ve Plosser'in serilerindeki kalıcılığın büyük bir kısmının, 1929 Büyük Çöküşü ve 1973 petrol şoku gibi birkaç büyük olaydan kaynaklanabileceğiydi. Bu olaylar bir kerelik kırılmalar olarak modellendiğinde, seriler bu kırılmalar dışında bir eğilim etrafında durağan olabilirdi. Ama bu yaklaşım da itirazla karşılaştı.

Neden önemli? — sonraki her adım buna bağlı

Birim kök testinin sonucu, zaman serisi analizinin sonraki bütün adımlarını belirler. Bir seri birim kök taşıyorsa, düzeyde regresyonda kullanılmamalı ya da eşbütünleşme ilişkileri aranmalıdır; durağansa, düzeyde modellenebilir. Bir ARIMA modelinde fark alma derecesi, bir vektör otoregresif modelde değişkenlerin düzey mi fark mı olarak girileceği, eşbütünleşme analizinin yapılıp yapılmayacağı, hep bu testin sonucuna dayanır. İktisadi açıdan ise test, satın alma gücü paritesinin, reel faizlerin ya da işsizlik oranının uzun dönemde bir dengeye dönüp dönmediğine dair tartışmalarda doğrudan kanıt olarak kullanılır. Bu yüzden testin sınırlarını bilmek, yalnızca bir ekonometri inceliği değil, iktisadi sonuçların güvenilirliği meselesidir.

Model

Aşağıdaki seriler, katsayılar ve test istatistikleri hesap alıştırması için kurulmuştur; Dickey ile Fuller'ın, Perron'un ya da Zivot ile Andrews'in makalelerindeki rakamlar değildir.

Çözümlü örnek — Testi bir regresyona çevirmek

Bir ülkenin reel döviz kurunun logaritması, 120 aylık veriyle inceleniyor. Kurun bu ayki değeri, geçen ayki değerinin φ katı artı bir sabit artı bir şok olsun. Her iki taraftan geçen ayki değeri çıkarırsak: kurdaki aylık değişim = sabit + (φ − 1) × geçen ayki kur + şok. φ − 1'i γ ile gösterelim. Seri bir rastgele yürüyüşse φ = 1, yani γ = 0'dır; seri durağansa φ birden küçük, γ sıfırdan küçüktür.

Regresyon tahmini: γ = −0,05, standart hatası 0,02. t istatistiği −0,05 ÷ 0,02 = −2,5'tir. Olağan bir tek yönlü testte yüzde 5 eşiği −1,65 olduğu için, bir araştırmacı birim kökü rahatlıkla reddederdi. Ama Dickey–Fuller dağılımına göre, sabit içeren bir denklemde yüzde 5 kritik değeri yaklaşık −2,86'dır. −2,5, bu değerden büyüktür; birim kök hipotezi yüzde 5 düzeyinde reddedilemez. Yüzde 10 düzeyindeki kritik değer yaklaşık −2,57'dir; −2,5 onu da aşamaz.

Tahmin edilen γ = −0,05, φ = 0,95 demektir: kur, her ay dengeden sapmasının yüzde 5'ini geri verir. Bu doğruysa, sapmaların yarılanma ömrü yaklaşık 13,5 aydır. Ama verilerimiz, bu yavaş geri dönüşü bir rastgele yürüyüşten istatistiksel olarak ayırt etmeye yetmiyor.

Çözümlü örnek — Testin gücü

Gerçek φ'nin 0,95 olduğunu, yani kurun durağan olduğunu varsayalım. 120 aylık bir örneklemde Dickey–Fuller testi, bu durağanlığı ne sıklıkla saptar? Bu sorunun cevabı benzetimlerle bulunur; burada kaba bir sezgi kuralım. φ = 0,95 için γ'nın gerçek değeri −0,05'tir. 120 gözlemlik bir örneklemde γ'nın standart hatası yaklaşık 0,025 civarındaysa, tahmin edilen t istatistiği ortalamada −2 civarında olur; −2,86 kritik değerinin altına düşmesi, ancak tahmin şans eseri gerçek değerden belirgin biçimde daha eksi çıktığında gerçekleşir. Bu tür bir testte güç, kaba bir tahminle yüzde 20 ile 30 arasında olabilir: kur gerçekten durağan olduğu hâlde, test onu her dört denemeden yalnızca birinde saptar.

Gözlem sayısını artırmak gücü artırır; ama burada bir incelik vardır. Aylık veri yerine günlük veri kullanmak, yani gözlem sayısını otuz katına çıkarmak, gücü fazla artırmaz; çünkü günlük veride φ bire daha da yakındır ve gücü belirleyen, gözlem sayısı değil, verinin kapsadığı toplam zaman uzunluğudur. Otuz yıllık aylık veri ile otuz yıllık günlük veri, ortalamaya dönüşü görmek için aynı sayıda döngü içerir. Satın alma gücü paritesine dair çalışmaların bir kısmı, bu yüzden yüz yılı aşan yıllık verilere ya da birçok ülkenin verisini birleştiren panel testlerine başvurdu.

Çözümlü örnek — Sabit mi, eğilim mi?

Bir ülkenin reel gelirinin logaritması, elli yıllık yıllık veriyle inceleniyor; seri açık bir yükselen eğilim taşıyor. Araştırmacı, Dickey–Fuller denklemine yalnızca bir sabit koyuyor ve t istatistiğini −1,8 buluyor; birim kök reddedilemiyor.

Ama bu denklem, yükselen bir seriyi durağan bir alternatifle karşılaştırırken, alternatifte serinin sabit bir düzey etrafında dalgalandığını varsayar. Yükselen bir seri için bu alternatif anlamsızdır: seri hiçbir sabit düzeye geri dönmez. Doğru alternatif, serinin bir eğilim etrafında durağan olmasıdır; bu yüzden denkleme bir doğrusal eğilim de eklenmelidir.

Araştırmacı denkleme eğilimi ekleyip t istatistiğini −3,1 buluyor. Sabit ve eğilimli denklemin yüzde 5 kritik değeri yaklaşık −3,41'dir; −3,1 bu değerin üzerindedir ve birim kök yine reddedilemez. Ama istatistik, yüzde 10 kritik değeri olan yaklaşık −3,13'e çok yakındır; kanıt sınırdadır. Eğilim eklemek, kritik değeri daha eksi yapar; bu yüzden eğilim gerekmiyorsa eklemek gücü düşürür, gerekiyorsa eklememek testi geçersiz kılar.

Çözümlü örnek — Kaç gecikme?

Aynı kur serisinde araştırmacı, basit Dickey–Fuller regresyonunun kalıntılarında birinci gecikmede 0,3'lük bir otokorelasyon görüyor. Bu, kurdaki aylık değişimlerin kendi geçmişine bağlı olduğunu, yani modelin kısa dönem dinamiklerini yakalamadığını gösterir. Kalıntılar ardışık bağımlıysa, Dickey–Fuller dağılımı geçerli değildir ve test yanıltıcıdır.

Araştırmacı, denkleme kurdaki değişimin bir ve iki ay gecikmeli değerlerini ekliyor: genişletilmiş Dickey–Fuller testi. Yeni kalıntılarda otokorelasyon sıfıra yakın. Düzeyin katsayısı γ = −0,04, standart hatası 0,018, t istatistiği yaklaşık −2,22. Kritik değer yine −2,86'dır; birim kök reddedilemez.

Gecikme sayısının seçimi bir ödünleşimdir. Çok az gecikme, kalıntılarda ardışık bağımlılık bırakır ve testin boyutunu bozar: test, birim kökü gerektiğinden sık reddeder. Çok fazla gecikme ise tahmin edilen parametre sayısını artırır ve testin gücünü düşürür. Uygulamada gecikme sayısı, bilgi ölçütlerine göre ya da makul bir üst sınırdan başlayıp anlamsız son gecikmeleri atarak seçilir ve sonucun gecikme sayısına duyarlılığı raporlanır.

Çözümlü örnek — İki test, dört sonuç

Birim kök testlerinin sıfır hipotezi birim köktür; reddedilemediğinde bu, verinin birim kökle tutarlı olduğunu söyler ama durağanlığı dışlamaz. Bu asimetriyi dengelemek için, sıfır hipotezi durağanlık olan bir test geliştirildi.

Dört olası sonuç vardır. Genişletilmiş Dickey–Fuller testi birim kökü reddeder, KPSS durağanlığı reddetmezse: seri büyük olasılıkla durağandır. Genişletilmiş Dickey–Fuller birim kökü reddetmez, KPSS durağanlığı reddederse: seri büyük olasılıkla birim kök taşır. İkisi de reddetmezse: veriler iki hipotezi de dışlayamaz; seri kalıcılığı yüksek ama durağan olabilir ya da örneklem yetersizdir. İkisi de reddederse: seri ne saf birim kök ne saf durağan bir yapıya uyuyordur; bir yapısal kırılma ya da daha karmaşık bir dinamik olabilir.

Kur örneğinde genişletilmiş Dickey–Fuller birim kökü reddedemedi; KPSS testi de durağanlığı reddetmezse, araştırmacı «kur durağandır» ya da «kur birim kök taşır» diyemez; dürüst sonuç, verilerin bu ayrımı yapmaya yetmediğidir.

Çözümlü örnek — Bir kırılma her şeyi değiştirir

Bir ülkenin enflasyonu, ilk yirmi yılda yüzde 40 civarında, sonraki on beş yılda yüzde 8 civarında dalgalanıyor; geçiş, bir istikrar programıyla tek bir yılda gerçekleşmiş. Her dönemin içinde enflasyon, kendi ortalamasına hızla dönüyor: sapmaların yarısı birkaç ayda kapanıyor.

Bütün dönem için bir genişletilmiş Dickey–Fuller testi yapılırsa, test, bütün serinin tek bir ortalamaya dönüp dönmediğini sorar. Ortalama dönem ortasında 40'tan 8'e kaydığı için, seri ilk dönemde ortalamanın çok üstünde, ikinci dönemde çok altında kalır ve geri dönüş görünmez. Test birim kökü reddedemez; enflasyon kalıcı şoklar taşıyormuş gibi görünür.

Perron'un önerdiği yol, kırılmayı test denklemine eklemektir: istikrar programının yılından itibaren sıfırdan bire geçen bir gösterge değişkeni, ortalamadaki kaymayı yakalar. Bu durumda test, enflasyonun her dönemin kendi ortalamasına dönüp dönmediğini sorar ve birim kökü büyük olasılıkla reddeder. Ama Zivot ve Andrews'in uyarısı burada da geçerlidir: kırılma tarihi, verilere bakılarak seçildiyse, test birim kökü gerektiğinden kolay reddeder; kırılma tarihi verilerden tahmin edilmeli ve kritik değerler buna göre ayarlanmalıdır.

Çözümlü örnek — İkinci bir birim kök var mı?

Tüketici fiyat endeksinin logaritmasına uygulanan genişletilmiş Dickey–Fuller testi, sabit ve eğilimli denklemle −1,4 veriyor; birim kök açıkça reddedilemiyor. Fiyat düzeyi en az birinci dereceden bütünleşiktir. Ama ikinci dereceden bütünleşik olabilir mi, yani enflasyonun kendisi de birim kök taşıyor olabilir mi?

Bunu sınamak için test, fiyat düzeyinin birinci farkı olan enflasyona uygulanır. Enflasyon belirgin bir eğilim taşımadığı için denkleme yalnızca sabit konur. Test istatistiği −4,1 çıkıyor; −2,86'nın çok altında. Enflasyonda birim kök reddedilir: enflasyon durağandır, fiyat düzeyi birinci dereceden bütünleşiktir.

Testlerin hangi sırayla yapıldığı önemlidir. David Dickey ve Sastry Pantula, olası birim kök sayısının en büyüğünden başlayıp aşağı doğru inen bir sıralı strateji önerdi: önce iki birim kök hipotezi bir birim köke karşı, sonra bir birim kök sıfıra karşı sınanır. Bu sıra, bir testin sonucunun öbürünün geçerliliğini bozmasını önler. Uygulamada araştırmacılar genellikle bu mantığı izler: önce farklı seriyi, sonra düzeyi sınar.

Enflasyon testi −4,1 yerine −2,3 verseydi, enflasyonun kendisinin birim kök taşıdığı reddedilemezdi. Bu, fiyat düzeyinin ikinci dereceden bütünleşik olabileceği anlamına gelir ve enflasyon şoklarının kalıcı olduğuna işaret eder; enflasyon hedeflemesinin inandırıcılığı açısından önemli bir uyarıdır.

Çözümlü örnek — Yarılanma ömrünün belirsizliği

Kur örneğinde tahmin edilen katsayı φ = 0,95 ve standart hatası yaklaşık 0,02 idi. Kabaca bir güven aralığı kuralım: φ için 0,95 ± 2 × 0,02, yani 0,91 ile 0,99 arası. Bu aralığın uçlarına karşılık gelen yarılanma ömürleri, ln 0,5 ÷ ln 0,91 ≈ 7,3 ay ile ln 0,5 ÷ ln 0,99 ≈ 69 ay arasıdır.

Bu aralık, iktisadi sonuç açısından çok geniştir: kur sapmalarının yarısının yedi ayda mı yoksa altı yılda mı kapandığı, satın alma gücü paritesinin pratikte ne kadar işe yaradığı sorusuna çok farklı cevaplar verir. Üstelik aralığın üst ucu bire o kadar yakındır ki, birim kökü dışlayamamamız şaşırtıcı değildir. Bu aralık, birim kök yakınında olağan güven aralıklarının da güvenilmez olduğu bilindiği için yalnızca kaba bir göstergedir; ama birim kök testinin «evet ya da hayır» sonucundan çok daha bilgilendiricidir.

Modelin sınırları

Bu örneklerde test istatistiklerini ve standart hataları verilmiş kabul ettik ve gücü yalnızca kaba bir sezgiyle tartıştık; gerçek güç hesapları benzetim gerektirir. Kritik değerler büyük örneklemler için verildi; küçük örneklemlerde biraz daha eksidir. İki test, dört sonuç örneği, testlerin sonuçlarını kesin kararlar gibi ele aldı; gerçekte her iki testin de boyut ve güç sorunları vardır ve sonuçları istatistiksel kanıt olarak tartılmalıdır. Kırılma örneğinde tek bir kırılma vardı; gerçek serilerde birden çok kırılma ya da yavaş değişen bir ortalama olabilir.

Teknik

Dağılım neden farklı?

Olağan regresyon kuramı, açıklayıcı değişkenlerin örnek varyansının, örneklem büyüdükçe sabit bir değere yakınsadığını varsayar. Birim kök altında bu varsayım çöker: bir rastgele yürüyüşün örnek varyansı, örneklem büyüdükçe sınırsızca büyür. Bu yüzden katsayı tahmincisi, olağan durumdan daha hızlı yakınsar; ama limit dağılımı normal değildir ve Brown hareketi denen sürekli zamanlı bir rastgele sürecin fonksiyonları olarak ifade edilir. Dickey ve Fuller'ın katkısı, bu dağılımı türetmek ve kritik değerlerini benzetimle tablolaştırmaktı.

Dağılımın sola kaymış olması, sezgisel olarak şöyle anlaşılabilir: birim kök altında bile, sınırlı bir örneklemde tahmin edilen katsayı bire göre aşağı doğru yanlıdır; çünkü şokları biriktiren bir seri, kısa bir pencerede rastlantı eseri bir ortalama etrafında dolaşıyormuş gibi görünebilir. Bu yanlılık, olağan kritik değerlerle yapılan bir testin birim kökü gerektiğinden sık reddetmesine yol açar; Dickey–Fuller kritik değerleri, bu yanlılığı hesaba katar.

Testin boyutu ve gücü

Birim kök testlerinin iki temel sorunu vardır. Birincisi boyuttur: hata teriminde güçlü bir hareketli ortalama yapısı varsa, özellikle eksi işaretli bir hareketli ortalama bileşeni, testler birim kökü olması gerekenden çok daha sık reddedebilir. Bu, yeterli gecikme sayısıyla kısmen giderilir. Peter Phillips ve Pierre Perron, gecikme eklemek yerine, test istatistiğini ardışık bağımlılığa göre düzelten alternatif bir test önerdi.

İkincisi güçtür ve uygulamada daha önemlidir. Durağanlık dersinde gördüğümüz gibi, katsayısı bire yakın durağan bir süreç, sınırlı bir örneklemde bir rastgele yürüyüşe çok benzer. Testin gücü, alternatif hipotezdeki katsayı bire yaklaştıkça hızla düşer. Bu, birim kök testlerinin sonuçlarının asimetrik okunması gerektiği anlamına gelir: birim kökün reddedilmesi, durağanlık lehine güçlü bir kanıttır; reddedilememesi ise zayıf bir kanıttır. Gücü artırmak için önerilen yollardan biri, sabit ve eğilim terimlerini önce genelleştirilmiş en küçük kareler yöntemiyle çıkaran ve böylece testin gücünü belirgin biçimde artıran testlerdir.

Perron ve Zivot–Andrews tartışması

Perron'un çalışması, birim kök tartışmasında önemli bir dönüm noktası oldu. Nelson ve Plosser'in bulgusu, makroekonomik serilerin kalıcı şoklar taşıdığı, yani iş çevrimlerinin büyük ölçüde kalıcı arz şoklarından kaynaklandığı yorumunu destekliyordu. Perron, bu kalıcılığın büyük bir kısmının birkaç büyük olaydan kaynaklanabileceğini ve bu olaylar dışında serilerin geçici dalgalanmalar gösterebileceğini ileri sürdü. Bu, iktisadi yorumu değiştiriyordu: kalıcı olan, sıradan şoklar değil, nadir ve büyük olaylardı.

Zivot ve Andrews'in itirazı, yöntemsel olduğu kadar epistemolojikti: araştırmacı, kırılma tarihini verilere baktıktan sonra seçerse, bu seçim sonucu etkiler ve olağan kritik değerler geçersizleşir. Kırılma tarihini verilerden tahmin eden bir test, bu veri madenciliği sorununu aşar ama aynı zamanda daha eksi kritik değerler gerektirir ve gücü azalır. Tartışmanın sonucu karışıktı: Zivot ve Andrews, bazı seriler için Perron'un bulduğundan daha az, bazıları için daha güçlü kanıt buldu. Bu tartışmanın kalıcı dersi, birim kök testlerinin yapısal kırılmalara son derece duyarlı olduğu ve kırılmaların nasıl ele alındığının sonucu belirleyebildiğidir.

Birim kök yakınında çıkarım

Birim kök tartışmasının daha yeni bir yönelimi, «birim kök var mı, yok mu?» sorusunu, «katsayı ne kadar bire yakın?» sorusuyla değiştirmektir. Katsayının bire yakın olduğu durumlarda, olağan güven aralıkları geçerli değildir; çünkü tahmincinin dağılımı, gerçek katsayının bire ne kadar yakın olduğuna bağlıdır. James Stock ve başka araştırmacılar, bu durumda bile geçerli olan güven aralıkları ve katsayının ortanca açısından yansız tahminlerini geliştirdi. Bu yöntemler, kalıcılığın büyüklüğünü ve belirsizliğini doğrudan raporlamaya izin verir.

Bu yaklaşım, iktisadi soruyla daha uyumludur. Bir politika yapıcı için önemli olan, katsayının tam olarak bir olup olmadığı değil, şokların ne kadar sürede sönümlendiğidir. Katsayı için bir güven aralığı, örneğin 0,93 ile 1,00 arası, hem birim kökle hem de yavaş ama kesin bir geri dönüşle tutarlı olduğunu açıkça gösterir ve kararı, iktisadi kuram ile başka kanıt türlerine bırakır.

Sıralı test stratejisi ve deterministik terimler

Uygulamada araştırmacı, aynı anda birkaç seçimle karşı karşıyadır: deterministik terimler, gecikme sayısı ve olası kırılmalar. Bu seçimlerin her biri sonucu etkileyebilir ve hepsini verilere bakarak yapmak, bir tür veri madenciliğine yol açabilir. Bu yüzden önerilen yaklaşım, seçimleri mümkün olduğunca iktisadi bilgiyle ve önceden yapmaktır: reel gelir gibi açıkça eğilim taşıyan serilerde sabit ve eğilim, faiz oranı ya da işsizlik oranı gibi uzun dönemde belirli bir düzey etrafında dalgalanması beklenen serilerde yalnızca sabit kullanılır. Gecikme sayısı bilgi ölçütleriyle seçilir ve kırılmalar, kurumsal tarihin bilinen olaylarıyla ilişkilendirilir.

Bu seçimlere rağmen sonuç belirsiz kalıyorsa, araştırmacı farklı seçimlerle elde edilen sonuçları birlikte raporlamalıdır. Sonuç seçimlere duyarlı değilse, bu güçlü bir kanıttır; duyarlıysa, okura hangi seçimin neden tercih edildiği açıkça gösterilmelidir.

Türkiye verileriyle birim kök testleri

Türkiye'nin makroekonomik serileri, birim kök testleri açısından özel güçlükler taşır. Enflasyon, faiz ve döviz kuru serileri, 1994, 2001 ve 2018 gibi krizlerle ve 2000'lerin başındaki istikrar programıyla birden çok kırılma geçirmiştir. Bu kırılmalar hesaba katılmadığında, standart testler bu serilerin birçoğunda birim kökü reddedemez; kırılmalar eklendiğinde ise sonuçlar, kırılma tarihlerinin nasıl seçildiğine duyarlı hâle gelir. Ayrıca bazı serilerin tutarlı biçimde hesaplanmış uzun geçmişleri kısadır; baz yılı değişiklikleri ve yöntem güncellemeleri, uzun örneklemlerin birleştirilmesini zorlaştırır. Bu koşullarda, birim kök testlerinin sonuçlarını kesin kararlar olarak değil, belirsizliği yüksek kanıtlar olarak sunmak ve iktisadi kuramla birlikte yorumlamak özellikle önemlidir.

Panel birim kök testleri

Tek bir serinin sınırlı uzunluğundan doğan güç sorununu aşmanın bir yolu, birçok ülkenin ya da bölgenin serilerini birlikte sınamaktır. Panel birim kök testleri, örneğin yirmi ülkenin reel döviz kurlarının hepsinin birim kök taşıdığı sıfır hipotezini, en azından bir kısmının durağan olduğu alternatifine karşı sınar. Bu testlerin gücü, tek seri testlerinden çok daha yüksektir; satın alma gücü paritesine dair kanıtların bir kısmı bu testlerden gelmiştir.

Ama panel testlerinin de sorunları vardır. Ülkeler arasındaki kesitsel bağımlılık, örneğin bütün kurların aynı küresel şoklardan etkilenmesi, testleri yanıltabilir. Ayrıca alternatif hipotez, «en azından bazı seriler durağandır» biçiminde kurulduğunda, birim kökün reddedilmesi, hangi serilerin durağan olduğunu söylemez. Panel testinin sonucu, her ülke için tek tek bir sonuca dönüştürülemez.

Mevsimsellik ve sıklık

Aylık ve çeyreklik serilerde mevsimsellik, birim kök testlerini ayrıca karmaşıklaştırır. Mevsimsel bir örüntü, serinin her yıl aynı aylarda yükselip alçalmasına yol açar ve bu örüntü, özellikle zamanla değişiyorsa, mevsimsel frekanslarda birim kök taşıyor olabilir. Standart Dickey–Fuller testi, sıfır frekanstaki, yani uzun dönemli birim kökü sınar; mevsimsel birim kökler için ayrı testler geliştirilmiştir. Uygulamada araştırmacılar genellikle mevsimsellikten arındırılmış serilerle çalışır; ama arındırma yöntemleri de serinin dinamik özelliklerini, dolayısıyla testin sonucunu etkileyebilir. Bu kursun mevsimsellik dersi, bu konuya ayrıca dönecek.

İktisadi ve istatistiksel sorular

Birim kök testleri, «katsayı tam olarak bire eşit mi?» sorusuna cevap verir; oysa iktisadi soru genellikle «şoklar ne kadar kalıcı?» sorusudur. Katsayının 0,98 ya da 1 olması, istatistiksel olarak ayırt edilemeyebilir; ama iktisadi olarak farklı anlamlar taşır: biri çok yavaş ama sonunda kapanan sapmalar, öbürü hiç kapanmayan sapmalar demektir. Bu yüzden birim kök testinin sonucunu, şokların yarılanma ömrünü ve onun güven aralığını raporlayan analizlerle tamamlamak, iktisadi açıdan daha bilgilendiricidir. Durağanlık dersinde gördüğümüz Cochrane'in varyans oranları da bu türden bir tamamlayıcıdır.

Uygulama

Özet kartı

1. Dickey–Fuller testi, bir serinin farkının bir önceki düzeyi üzerine regresyonunda düzeyin katsayısının sıfır olduğu birim kök hipotezini sınar; Dickey ve Fuller, birim kök altında t istatistiğinin normal dağılmadığını gösterdi ve testin kendi kritik değerleriyle, sabitli denklemde yüzde 5 düzeyinde yaklaşık −2,86 ile kullanılmasını gerektirdi.
2. Genişletilmiş Dickey–Fuller testi, kısa dönem dinamikleri yakalamak için farkın gecikmelerini ekler; deterministik terimler ve gecikme sayısı, alternatif hipotezi ve testin geçerliliğini belirler ve yanlış seçimler testin boyutunu ya da gücünü bozar.
3. Birim kök testlerinin gücü, kalıcılığı yüksek durağan süreçler karşısında düşüktür; gücü belirleyen gözlem sayısından çok verinin kapsadığı zaman uzunluğudur ve birim kökün reddedilememesi, birim kökün varlığına dair zayıf bir kanıttır.
4. KPSS testi, durağanlığı sıfır hipotezi olarak alır; birim kök testleriyle birlikte kullanıldığında dört olası sonuç, verilerin durağanlık sorusunu cevaplamaya yetip yetmediğini gösterir.
5. Perron, kırılma içeren trend durağan serilerde standart testlerin birim kökü reddedemeyeceğini gösterdi; Zivot ve Andrews, kırılma tarihinin veriye bakılarak seçilmesinin veri madenciliği sorununa yol açtığını savundu ve kırılmayı içsel olarak tahmin eden bir testle bazı seriler için daha az, bazıları için daha güçlü kanıt buldu.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Dickey–Fuller testinin sıfır ve alternatif hipotezlerini yazın ve neden olağan t testi kritik değerlerinin kullanılamadığını açıklayın.
2. (Çıktı 2) Sabitli bir Dickey–Fuller denkleminde, gecikmeli düzeyin katsayısı −0,12 ve bu katsayının standart sapması 0,035 olarak tahmin ediliyor. Test istatistiği nedir ve yüzde 5 düzeyinde ne sonuç çıkarılır? Katsayıya karşılık gelen φ ve yarılanma ömrü nedir?
3. (Çıktı 2) Sabit ve eğilim içeren bir test denkleminde t istatistiği −3,2 bulunuyor. Yüzde 5 ve yüzde 10 düzeylerinde sonuç nedir? Aynı veride yalnızca sabit içeren bir denklemde −3,2 bulunsaydı sonuç ne olurdu?
4. (Çıktı 3) Bir araştırmacı, 40 yıllık aylık veri yerine aynı dönemin günlük verisini kullanarak birim kök testinin gücünü artırabileceğini düşünüyor. Bu neden büyük ölçüde yanlıştır?
5. (Çıktı 3) Genişletilmiş Dickey–Fuller testi birim kökü reddetmiyor, KPSS testi de durağanlığı reddetmiyor. Bu sonuç nasıl yorumlanmalıdır?
6. (Çıktı 4) Bir makale, «Türkiye'de enflasyon, 1990–2024 döneminde yapılan birim kök testlerine göre birim kök taşır; dolayısıyla enflasyon şokları kalıcıdır ve para politikası enflasyonu bir hedefe sabitleyemez» sonucuna varıyor. Bu çıkarımı Perron'un ve Zivot ile Andrews'in bulguları ve birim kök testlerinin gücü ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. Sıfır hipotezi, serinin farkının bir önceki düzeyi üzerine regresyonunda düzeyin katsayısının sıfır olduğu, yani serinin birim kök taşıdığı hipotezidir. Alternatif hipotez, katsayının sıfırdan küçük olduğu, yani serinin durağan olduğu ve ortalamasına döndüğü hipotezidir. Olağan t testi kritik değerleri kullanılamaz, çünkü birim kök altında açıklayıcı değişken, yani serinin düzeyi, durağan değildir ve örnek varyansı örneklemle birlikte sınırsızca büyür; bu durumda t istatistiği normal dağılmaz, sola kaymış bir dağılım izler. Olağan kritik değerler kullanılırsa birim kök gereğinden sık reddedilir.
2. Test istatistiği −0,12 ÷ 0,035 ≈ −3,43'tür. Sabit içeren denklemde yüzde 5 kritik değeri yaklaşık −2,86 olduğu için birim kök hipotezi reddedilir; seri durağan görünür. Katsayı φ − 1 = −0,12 olduğuna göre φ = 0,88'dir. Yarılanma ömrü ln 0,5 ÷ ln 0,88 ≈ 0,693 ÷ 0,128 ≈ 5,4 dönemdir.
3. Sabit ve eğilim içeren denklemde yüzde 5 kritik değeri yaklaşık −3,41, yüzde 10 kritik değeri yaklaşık −3,13'tür. −3,2, yüzde 5 düzeyinde birim kökü reddetmeye yetmez, ama yüzde 10 düzeyinde reddeder; kanıt sınırdadır. Yalnızca sabit içeren bir denklemde −3,2 bulunsaydı, −2,86'nın altında olduğu için yüzde 5 düzeyinde birim kök reddedilirdi. Eğilim eklemek kritik değeri daha eksi yaptığı için aynı istatistik farklı sonuç verir; bu yüzden deterministik terimler serinin davranışına göre önceden seçilmelidir.
4. Birim kök testinin gücünü belirleyen, gözlem sayısından çok verinin kapsadığı toplam zaman uzunluğudur. Günlük veride serinin bir günden ötekine kalıcılığı, aylık veridekinden çok daha yüksektir: katsayı bire daha da yakındır. Kırk yıllık günlük veri, kırk yıllık aylık veriyle aynı sayıda uzun dönemli döngü içerir; ortalamaya dönüşü görmek için gereken bilgi, gözlem sıklığıyla değil, dönemin uzunluğuyla artar. Bu yüzden gözlem sıklığını artırmak gücü fazla artırmaz; daha uzun bir dönem ya da birçok serinin birlikte sınanması gerekir.
5. İki test de kendi sıfır hipotezini reddetmiyorsa, veriler ne birim kökü ne de durağanlığı dışlayabiliyor demektir. Seri çok yavaş da olsa ortalamasına dönüyor olabilir ya da örneklem iki olasılığı ayırt etmeye yetmeyecek kadar kısa olabilir. Bu durumda araştırmacı, serinin birim kök taşıdığını ya da durağan olduğunu ilan etmemeli; sonuçların iki varsayım altında nasıl değiştiğini göstermeli ve mümkünse şokların yarılanma ömrünü güven aralığıyla raporlamalıdır.
6. Çıkarımın birkaç zayıf noktası vardır. Birincisi, birim kökün reddedilememesi, birim kökün varlığını kanıtlamaz; testlerin gücü kalıcılığı yüksek durağan süreçler karşısında düşüktür. İkincisi, Türkiye'de 1990–2024 döneminde enflasyon, yüksek enflasyon dönemleri, istikrar programları ve politika rejimi değişiklikleriyle farklı düzeyler arasında kaymıştır. Perron, kırılma içeren trend durağan serilerde standart testlerin birim kökü reddedemeyeceğini gösterdi; enflasyonun her rejim içinde kendi ortalamasına döndüğü, ama ortalamanın rejimler arasında kaydığı bir yapı, birim kök gibi görünebilir. Üçüncüsü, Zivot ve Andrews'in uyarısı gereği, kırılma tarihleri verilere bakılarak seçilmemeli, tahmin edilmeli ya da kurumsal bilgiyle önceden belirlenmelidir. Son olarak, geçmiş dönemde birim kök bulunsa bile bu, para politikasının enflasyonu bir hedefe sabitleyemeyeceği anlamına gelmez; aksine, geçmişteki politika rejimlerinin bunu yapamadığını gösterebilir. Enflasyonun kalıcılığı, onu üreten politika düzeninden ayrı düşünülemez.

İleri okuma

• David A. Dickey, Wayne A. Fuller (1979). «Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root». JASA 74(366). Birim kök testinin kurucu çalışması.
• Pierre Perron (1989). «The Great Crash, the Oil Price Shock, and the Unit Root Hypothesis». Econometrica 57(6). Yapısal kırılmalar ve birim kök testleri.
• Eric Zivot, Donald W. K. Andrews (1992). «Further Evidence on the Great Crash, the Oil-Price Shock, and the Unit-Root Hypothesis». Journal of Business & Economic Statistics 10(3). Kırılma tarihinin içsel tahmini.

Sonraki derse köprü

Birim kök testleri, bir serinin bütünleşme derecesine, yani düzeyde mi, farkta mı, ikinci farkta mı modellenmesi gerektiğine karar vermeye yarar. Bu soru cevaplandıktan sonra, durağan hâle getirilmiş serinin kendi geçmişiyle ve geçmiş şoklarla nasıl ilişkili olduğunu modellemek gerekir: bu ayki değer, geçen ayların değerlerine ve geçmiş öngörü hatalarına nasıl bağlıdır? Bu iki tür bağımlılığı birleştiren ve fark alma derecesini de içeren modeller, zaman serisi öngörüsünün temel aracıdır. Sıradaki ders, ARIMA modellerini ele alıyor.