Durağanlık

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Zayıf durağanlığı, beyaz gürültüyü, rastgele yürüyüşü, trend durağan ve fark durağan süreçleri, bütünleşme derecesini ve otokorelasyon fonksiyonunu tanımlar.
• Uygulama — Birinci dereceden otoregresif bir sürecin ortalamasını, varyansını ve otokorelasyonlarını hesaplar; bir rastgele yürüyüşün varyansının zamanla nasıl büyüdüğünü ve bir şokun iki farklı süreçte ne kadar kalıcı olduğunu sayısal olarak gösterir.
• Analiz — Bir makroekonomik serinin trend durağan mı yoksa fark durağan mı olduğu sorusunun, şokların kalıcılığı, iş çevrimlerinin yorumu ve regresyon çıkarımı açısından neden önemli olduğunu çözümler.
• Değerlendirme — Çıktı dalgalanmalarının geçici mi kalıcı mı olduğuna dair karşıt ampirik bulguları ve değişen eğilimlerin ekonometrik çıkarım üzerindeki etkilerini karşılaştırarak, durağanlık varsayımlarının iktisadi sonuçlara etkisini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir ülkenin kişi başına geliri bir yıl, bir durgunluk nedeniyle yüzde 3 düşüyor. Bu düşüş, birkaç yıl içinde telafi edilecek geçici bir sapma mıdır, yoksa ülke artık eskisinden yüzde 3 daha düşük bir yolda mı ilerleyecektir? Birinci durumda, durgunluk bir kayıptır ama zamanla kapanan bir kayıptır; ekonomi eski eğilimine geri döner. İkinci durumda kayıp kalıcıdır: kaybedilen üretim hiçbir zaman geri gelmez ve gelecekteki her yıl, durgunluk olmasaydı olacağından daha düşük bir gelir düzeyi demektir.

Bu soru, bir zaman serisinin istatistiksel özellikleriyle ilgili teknik bir soru gibi görünür, ama cevabı makroiktisadın büyük tartışmalarını doğrudan etkiler. Zaman serisi verileriyle çalışmayı işlediğimiz derste, durağanlığı bir serinin ortalamasının, varyansının ve kendi geçmişiyle ilişkisinin zamanla değişmemesi olarak tanımladık ve durağan olmayan iki seri arasında kurulan regresyonların sahte ilişkiler gösterebildiğini gördük. Bu ders, zaman serisi ekonometrisi kursunu başlatırken, durağanlık kavramını daha yakından inceliyor: durağan bir süreç neye benzer, durağan olmayan süreçlerin hangi türleri vardır ve bir serinin hangi türe ait olduğu, iktisadi yorumu nasıl değiştirir?

Hikâye — çıktı dalgalanmaları geçici mi?

Geleneksel iş çevrimi görüşüne göre ekonomi, uzun dönemli bir büyüme eğilimi etrafında dalgalanır: durgunluklar ve genişlemeler bu eğilimden geçici sapmalardır. 1980'lerin başında bu görüş sorgulanmaya başladı. Charles Nelson ve Charles Plosser, 1982'de, ABD'nin birçok makroekonomik serisinde, serilerin deterministik bir eğilim etrafında dalgalandığı hipotezinin, kalıcı şoklar taşıyan bir rastgele yürüyüş hipotezine karşı desteklenmediğini öne sürdü. John Campbell ve Gregory Mankiw, bu fikrin iktisadi anlamını doğrudan sınadı.

Bu bulgu, iş çevrimlerinin doğasına dair tartışmanın merkezine bir zaman serisi sorusunu yerleştirdi: çıktı, eğilim etrafında dalgalanan durağan bir sapma mıdır, yoksa her şokun kalıcı bir iz bıraktığı bir rastgele yürüyüşe mi benzer?

Kavram — sabit olan nedir?

Durağanlığın uygulamada kullanılan biçimi, serinin bütün olasılık dağılımının değil, yalnızca ilk iki momentinin zamanla değişmemesini ister.

Durağan süreçlerin en basiti, hiçbir yapısı olmayan bir dizi rastgele şoktur.

Durağan olmayan süreçlerin en basiti ise, bu şokların birikmesidir.

Veri ve kanıt — ne kadar kalıcı?

Campbell ve Mankiw'in bulgusu tartışmasız kabul görmedi. John Cochrane, şokların kalıcılığını farklı bir yöntemle ölçtü ve farklı bir sonuca ulaştı.

İki çalışma arasındaki fark, aynı verilerin farklı ufuklardaki davranışından kaynaklanıyordu. Kısa ufuklarda modellenen bir süreç, şokların büyük ölçüde kalıcı olduğunu gösterebilir; ama uzun ufuklarda, şokların bir kısmı yavaş yavaş geri dönebilir. Cochrane'in uzun farkların varyansına dayanan ölçüsü, bu yavaş geri dönüşü yakalıyordu. Tartışma, bir serinin durağan olup olmadığı sorusunun, sınırlı verilerle kesin olarak cevaplanmasının ne kadar zor olduğunu gösterdi.

James Stock ve Mark Watson, aynı dönemde, değişen eğilimlerin hem makroiktisat hem ekonometri için anlamını tartıştı.

Neden önemli? — kalıcı mı, geçici mi?

Durağanlık sorusu, zaman serisi ekonometrisinin bütün araçlarının başlangıç noktasıdır. Durağan serilerle yapılan regresyonlar olağan istatistiksel kuramla yorumlanabilir; durağan olmayan serilerle yapılanlar ise sahte ilişkiler gösterebilir. İktisadi açıdan ise soru, şokların kalıcılığıyla ilgilidir: bir petrol fiyatı şoku, bir finansal kriz ya da bir para politikası değişikliği ekonomiyi kalıcı olarak farklı bir yola mı taşır, yoksa ekonomi zamanla eski yoluna mı döner? Bu sorunun cevabı, bir durgunluğun maliyetini, bir enflasyon şokunun ne kadar süreceğini ve bir kurun uzun dönemde dengeye dönüp dönmeyeceğini belirler. Bu kursun sonraki dersleri, birim kök testlerinden eşbütünleşmeye ve öngörüye kadar, hep bu soruyla başlayacak.

Model

Aşağıdaki süreçler, katsayılar ve şoklar hesap alıştırması için kurulmuştur; Campbell ile Mankiw'in, Cochrane'in ya da Stock ile Watson'ın makalelerindeki rakamlar değildir.

Çözümlü örnek — Geçmişine bağlı ama durağan bir süreç

Bir ülkenin enflasyonunun hedeften sapması, her ay bir önceki ayın sapmasının 0,6 katı artı yeni bir şok olsun: bu ayki sapma = 0,6 × geçen ayki sapma + şok. Şoklar beyaz gürültüdür; ortalamaları sıfır, standart sapmaları 1 yüzde puanıdır. Bu, birinci dereceden otoregresif bir süreçtir.

Sürecin ortalaması sıfırdır: her ay sapma, geçen ayın 0,6 katına geri çekilir ve şokların ortalaması sıfır olduğu için uzun dönemde sıfır etrafında dolaşır. Varyansı, şok varyansının 1 − 0,6² = 0,64'e bölünmesiyle bulunur: 1 ÷ 0,64 ≈ 1,56; standart sapma yaklaşık 1,25 yüzde puanıdır. Bu varyans, hangi ayda ölçülürse ölçülsün aynıdır.

Sürecin geçmişiyle ilişkisi de sabittir. Bir ay arayla iki gözlem arasındaki korelasyon 0,6, iki ay arayla 0,6² = 0,36, üç ay arayla 0,216, altı ay arayla yaklaşık 0,047'dir. Korelasyon, aradaki uzaklık arttıkça hızla küçülür; ama hangi aylar karşılaştırılırsa karşılaştırılsın, yalnızca aradaki uzaklığa bağlıdır. Ortalama, varyans ve bu korelasyonlar zamanla değişmediği için süreç zayıf durağandır.

Çözümlü örnek — Şoklar biriktiğinde

Şimdi katsayıyı 0,6'dan 1'e çıkaralım: bu ayki değer = geçen ayki değer + şok. Bu, bir rastgele yürüyüştür. Süreç sıfırdan başlasın. Bir ay sonra değer yalnızca ilk şoktur ve varyansı 1'dir. İki ay sonra iki şokun toplamıdır ve varyansı 2'dir. Dört ay sonra varyans 4, standart sapma 2; yirmi beş ay sonra varyans 25, standart sapma 5 yüzde puanıdır.

Rastgele yürüyüşün varyansı zamanla doğrusal olarak büyür. Bu yüzden süreç durağan değildir: hangi dönemde ölçüldüğüne bağlı olarak dağılımı genişler. Uzun bir zaman diliminde rastgele yürüyüş, başlangıç noktasından çok uzaklara gidebilir ve geri dönmek zorunda değildir. İki bağımsız rastgele yürüyüşün, zaman serisi verisiyle çalışma dersinde gördüğümüz gibi, sık sık birlikte yükselip alçalıyormuş gibi görünmesinin nedeni de budur: her biri uzun süre aynı yönde sürüklenebilir.

Ama rastgele yürüyüşün birinci farkı, yani her ayki değişim, yalnızca o ayın şokudur ve beyaz gürültüdür. Fark alındığında süreç durağan hâle gelir. Bu yüzden rastgele yürüyüş için doğru soru «gelecek ay değer ne olacak?» değil, «gelecek ay değer ne kadar değişecek?» sorusudur. İlk sorunun en iyi cevabı bugünkü değerdir ve belirsizliği ufukla büyür; ikinci sorunun cevabı ise her ay aynı dağılımdan gelir ve geçmiş değişimler ona hiçbir şey katmaz.

Çözümlü örnek — Bir şok ne kadar sürer?

Bir ekonominin kişi başına gelirinin logaritmasını iki farklı biçimde modelleyelim. Birinci modelde gelir, yılda yüzde 2 büyüyen deterministik bir eğilim etrafında dalgalanır ve eğilimden sapma, her yıl bir önceki yılın sapmasının 0,6 katına geri çekilir. İkinci modelde gelirin yıllık büyümesi, ortalama yüzde 2 artı bir şoktur; yani gelir, kaymalı bir rastgele yürüyüştür.

Her iki ekonomide de bir yıl beklenmedik bir durgunluk yaşanıyor ve gelir, beklenenden yüzde 3 düşük gerçekleşiyor. Birinci ekonomide bu sapma, ertesi yıl 0,6 × 3 = 1,8'e, iki yıl sonra 1,08'e, beş yıl sonra 3 × 0,6⁵ ≈ 0,23 yüzdeye iner. On yıl sonra sapma neredeyse sıfırdır; ekonomi eski eğilimine dönmüştür. Durgunluğun toplam maliyeti, bütün yılların sapmalarının toplamıdır: yaklaşık 3 ÷ (1 − 0,6) = 7,5; yani yıllar boyunca toplanan kayıp, bir yıllık gelirin yüzde 7,5'i kadardır.

İkinci ekonomide ise yüzde 3'lük düşüş kalıcıdır. Gelir, durgunluktan sonra yine yılda ortalama yüzde 2 büyür; ama artık durgunluk olmasaydı olacağından yüzde 3 daha düşük bir yoldadır. On yıl sonra da, yüz yıl sonra da fark yüzde 3'tür. Durgunluğun toplam maliyeti sınırsızdır: her gelecek yıl bir kayıp yılıdır.

Bu karşılaştırma, Campbell ve Mankiw'in sorusunun neden önemli olduğunu gösterir. Bugünkü beklenmedik bir düşüşün uzun dönemli öngörüyü ne kadar değiştirdiği, şokların kalıcılığının doğrudan bir ölçüsüdür: birinci modelde değişim sıfıra yaklaşır, ikinci modelde şokun kendisine eşittir.

Çözümlü örnek — Yanlış dönüşümün bedeli

Bir araştırmacı, bir seriyi durağan hâle getirmek için ya eğilimini çıkarır ya da farkını alır. Yanlış dönüşüm seçilirse ne olur?

Seri gerçekte trend durağansa ve araştırmacı farkını alırsa, dönüştürülmüş seri durağandır ama yapay bir olumsuz ilişki taşır. Birinci modelde yıllık büyüme, eğilim büyümesi artı sapmadaki değişimdir; sapma ortalamaya geri döndüğü için, bir yıl büyüme yüksekse ertesi yıllarda düşük olma eğilimindedir. Bu fazla fark alma, gerçekte olmayan bir döngüsel yapı izlenimi verebilir ve öngörü modellerini bozar.

Seri gerçekte fark durağansa ve araştırmacı yalnızca doğrusal bir eğilim çıkarırsa, sorun daha ciddidir. Rastgele yürüyüşten çıkarılan bir eğilim, şokların birikimini ortadan kaldırmaz; kalan sapma durağan değildir ve uzun, düzenli dalgalanmalar gösterir. Charles Nelson ile Heejoon Kang'ın çalışmaları da dâhil olmak üzere bu konudaki tartışmalar, bir rastgele yürüyüşten eğilim çıkarıldığında, aslında hiç var olmayan iş çevrimi benzeri dalgalanmaların ortaya çıkabileceğini gösterdi. Bu, zaman serisi verisiyle çalışma dersinde gördüğümüz filtreleme tartışmasının bir başka yüzüdür: verinin hangi süreçten geldiğini bilmeden yapılan dönüşümler, verinin içinde olmayan yapılar üretebilir.

Çözümlü örnek — Uzun farklarla kalıcılığı ölçmek

Cochrane'in yaklaşımını sayılarla kuralım. Bir serinin bir yıllık değişiminin varyansı 4 olsun. Seri bir rastgele yürüyüşse, on yıllık değişimin varyansı on bir yıllık değişimin toplamının varyansıdır: 10 × 4 = 40. On yıllık değişimin varyansının, bir yıllık değişimin varyansının on katına oranı 40 ÷ 40 = 1'dir. Bu oran, varyans oranı olarak bilinir.

Seri trend durağansa, on yıllık değişim, iki sapma arasındaki farktır ve sapmalar sınırlı bir varyansa sahip olduğu için, on yıllık değişimin varyansı on katına ulaşmaz; diyelim ki yalnızca 8'dir. Oran 8 ÷ 40 = 0,2'dir. Ufuk uzadıkça bu oran sıfıra yaklaşır, çünkü uzun dönemli değişimler yalnızca eğilimle belirlenir.

Gerçek bir seride oran, örneğin on yıllık ufukta 0,4 çıkarsa, bu, şokların bir kısmının kalıcı, bir kısmının geçici olduğu anlamına gelir. Cochrane'in ölçüsü, kalıcı bileşenin, yani rastgele yürüyüşün büyüklüğünü bu oranla tahmin eder. Ölçünün bir zayıflığı, uzun ufuklarda çok az bağımsız gözlem olmasıdır: elli yıllık bir veride yalnızca beş bağımsız on yıllık aralık vardır ve oran büyük bir belirsizlikle tahmin edilir.

Çözümlü örnek — Otokorelasyonlara bakmak

Bir serinin hangi süreçten geldiğine dair ilk ipucu, otokorelasyonlarıdır.

Üç seri düşünelim. Birinci serinin otokorelasyonları birinci gecikmede 0,05, ikincide −0,02, üçüncüde 0,03: bu, beyaz gürültüye benzer. İkinci serinin otokorelasyonları 0,6, 0,36, 0,22, 0,13: bu, katsayısı 0,6 olan durağan bir otoregresif sürece benzer. Üçüncü serinin otokorelasyonları 0,98, 0,96, 0,94, 0,92 ve yirminci gecikmede hâlâ 0,6: bu, bir rastgele yürüyüşe ya da kalıcılığı çok yüksek bir sürece benzer.

Üçüncü serinin farkı alındığında otokorelasyonlar sıfıra yakın çıkıyorsa, seri büyük olasılıkla bir rastgele yürüyüştür. Ama otokorelasyonlar yalnızca bir ipucudur: katsayısı 0,98 olan durağan bir süreç ile bir rastgele yürüyüş, sınırlı bir örneklemde neredeyse aynı otokorelasyonları gösterebilir. Bu ikisini ayırt etmek, sonraki dersin konusu olan birim kök testlerinin işidir.

Çözümlü örnek — Aynı görünen iki yol

İki ülkenin yirmi yıllık logaritmik gelir verisine bakıyoruz. Birinci ülkenin geliri, yılda yüzde 2 büyüyen bir eğilim etrafında, her yıl sapmanın 0,9'una geri çekilen dalgalanmalarla hareket ediyor. İkinci ülkenin geliri ise yılda ortalama yüzde 2 büyüyen bir kaymalı rastgele yürüyüş. İki ülkenin grafikleri yan yana çizildiğinde, ikisi de yaklaşık olarak düz bir çizgi boyunca yükselen, etrafında dalgalanan seriler gibi görünür.

Fark, uzun dönemli davranışta ve şoklara tepkide ortaya çıkar. Birinci ülkede yirmi yıl boyunca gelir, eğilim çizgisinden hiçbir zaman çok uzaklaşmaz; sapmaların standart sapması, yıllık şokların standart sapması 1 yüzde ise, yaklaşık 1 ÷ √(1 − 0,81) ≈ 2,3 yüzdedir. İkinci ülkede ise yirmi yıl sonra gelirin, başlangıçta öngörülen yoldan sapmasının standart sapması √20 ≈ 4,5 yüzdedir ve kırk yıl sonra √40 ≈ 6,3 yüzdeye çıkar; sapma ufukla birlikte büyümeye devam eder.

Yirmi yıllık bir veriyle bu iki ülkeyi ayırt etmek zordur, çünkü birinci ülkenin 0,9'luk geri çekilme katsayısı, şokların yarısının sönmesi için yaklaşık 6,6 yıl gerektirir; yirmi yılda yalnızca üç kadar böyle döngü gözlenir. Bu, makroekonomik serilerde durağanlık sorusunun neden bu kadar tartışmalı olduğunun sayısal bir açıklamasıdır.

Çözümlü örnek — Enflasyon ne zaman durağanlaşır?

Bir ülkenin aylık enflasyonu, bir dönem yüksek ve değişken, sonra bir enflasyon hedeflemesi rejimiyle düşük ve istikrarlı olsun. Birinci dönemde enflasyonun her ayki değeri, bir önceki ayın değerine çok yakın ve şoklar kalıcı: enflasyon yüzde 4 ile 8 arasında, belirli bir düzeye bağlı kalmadan geziniyor. İkinci dönemde enflasyon yüzde 1 civarında dalgalanıyor ve şokların etkisi birkaç ayda sönüyor: her ay sapma, bir önceki ayın sapmasının 0,5'ine geri çekiliyor.

İki dönemi birleştiren uzun bir örneklemde enflasyon, birinci dönemin yüksek düzeyinden ikinci dönemin düşük düzeyine büyük bir kayma gösterir. Bu kayma, tüm örneklemde enflasyonu kalıcı şoklar taşıyan bir seri gibi gösterir; otokorelasyonlar uzun gecikmelerde bile yüksek kalır. Oysa ikinci dönemin içinde enflasyon açıkça durağandır.

Bu örnek, durağanlığın bir serinin değil, bir sürecin ve onu üreten kurumların özelliği olduğunu hatırlatır. Para politikası rejimi değiştiğinde, enflasyonu üreten süreç de değişir. Bir analistin enflasyonun durağan olup olmadığını sorarken, hangi rejim döneminden söz ettiğini belirtmesi gerekir.

Modelin sınırları

Bu örneklerde süreçlerin türünü ve katsayılarını bildiğimizi varsaydık; gerçek verilerde bunlar tahmin edilmelidir ve sınırlı örneklemlerde, kalıcılığı yüksek bir durağan süreç ile bir rastgele yürüyüşü ayırmak zordur. Şok kalıcılığı örneğinde iki uç durumu karşılaştırdık; gerçek seriler çoğu zaman ikisinin bir karışımıdır. Varyans oranı örneğinde oranı kesin olarak bildiğimizi varsaydık; uzun ufuklarda tahmin çok belirsizdir. Bütün örnekler, sürecin yapısının gözlem dönemi boyunca sabit olduğunu varsaydı; gerçek ekonomilerde politika rejimleri, kurumlar ve yapısal koşullar değişir ve bu değişimler durağanlık sorusunu karmaşıklaştırır.

Teknik

Katı ve zayıf durağanlık

Durağanlığın iki tanımı vardır. Katı durağanlık, serinin herhangi bir gözlem kümesinin ortak olasılık dağılımının, zamanda kaydırıldığında değişmemesini ister; yani yalnızca ortalama ve varyans değil, dağılımın bütün özellikleri zamandan bağımsızdır. Zayıf durağanlık ise yalnızca ilk iki momentin, yani ortalamanın, varyansın ve kovaryansların, zamandan bağımsız olmasını ister. Normal dağılımlı süreçlerde iki tanım örtüşür, çünkü normal dağılım ilk iki momentiyle tamamen belirlenir. Uygulamada zaman serisi ekonometrisi, çoğunlukla zayıf durağanlıkla çalışır; çünkü doğrusal modellerin tahmini ve çıkarımı için ilk iki momentin istikrarı yeterlidir.

Durağanlıkla yakından ilişkili bir kavram, ergodikliktir. Ergodik bir süreçte, tek bir uzun gözlem dizisinden hesaplanan zaman ortalamaları, sürecin olası bütün gerçekleşmeleri üzerinden alınan ortalamalara yakınsar. Bu, iktisatta özellikle önemlidir: bir ülkenin enflasyonunun yalnızca tek bir tarihsel gerçekleşmesini gözleriz ve bu tek gerçekleşmeden sürecin özelliklerini öğrenmeyi umarız. Durağan ve ergodik bir süreçte bu mümkündür; durağan olmayan bir süreçte, tek bir gerçekleşmenin zaman ortalaması, sürecin herhangi bir sabit özelliğine yakınsamayabilir.

Bütünleşme derecesi

Durağan olmayan süreçler, durağan hâle gelmeleri için kaç kez fark alınması gerektiğine göre sınıflandırılır.

Çoğu makroekonomik seri, örneğin reel gelirin, fiyat düzeyinin ve para stokunun logaritmaları, birinci ya da bazen ikinci dereceden bütünleşik gibi davranır. Fiyat düzeyi birinci derecedense enflasyon durağandır; fiyat düzeyi ikinci derecedense enflasyonun kendisi birim kök taşır ve enflasyon şokları kalıcıdır. Bu ayrım, bir merkez bankasının enflasyon hedefinin inandırıcılığıyla doğrudan ilişkilidir: inandırıcı bir hedefleme rejiminde enflasyon, hedef etrafında durağan olmalıdır.

Bütünleşme derecesi, regresyon analizi için de belirleyicidir. Aynı derecede bütünleşik iki seri arasındaki regresyon, seriler eşbütünleşik değilse, sahte bir ilişki gösterebilir; farklı derecelerden serilerin ilişkisi ise genellikle anlamsızdır. Bu kursun ilerleyen derslerinde ele alınacak eşbütünleşme, aynı derecede bütünleşik seriler arasında uzun dönemli gerçek bir ilişkinin varlığını sınar.

Wold ayrıştırması

Durağan süreçlerin neden zaman serisi analizinin merkezinde olduğunu gösteren bir kuramsal sonuç, Herman Wold'un ayrıştırmasıdır. Bu sonuca göre zayıf durağan her süreç, tam olarak öngörülebilen deterministik bir bileşen ile geçmiş beyaz gürültü şoklarının ağırlıklı bir toplamı olarak yazılabilir. Yani her durağan süreç, geçmiş şokların sönümlenen etkilerinin birikimidir.

Bu sonucun pratik anlamı, durağan bir sürecin, yeterince uzun bir gecikme yapısıyla, bir hareketli ortalama ya da otoregresif model olarak yaklaşık olarak temsil edilebilmesidir. Bu kursun bir sonraki derslerinde ele alınacak ARIMA modelleri, bu temsilin pratik biçimleridir. Durağan olmayan bir süreç ise bu biçimde temsil edilemez; önce bir dönüşümle durağan hâle getirilmesi gerekir.

Deterministik ve stokastik eğilimler

Bir serinin eğilimi iki farklı biçimde ortaya çıkabilir. Deterministik bir eğilim, zamanın bilinen bir fonksiyonudur: örneğin her yıl yüzde 2'lik sabit bir büyüme. Stokastik bir eğilim ise geçmiş şokların birikimidir: rastgele yürüyüşün kendisi. İki tür eğilim, kısa bir örneklemde birbirine çok benzeyebilir; ama iktisadi anlamları çok farklıdır. Deterministik eğilimde, uzun dönemli büyüme yolu şoklardan bağımsızdır ve ekonomi ona geri döner. Stokastik eğilimde, her şok büyüme yolunun kendisini kaydırır.

Stock ve Watson'ın vurguladığı gibi, eğilimin kendisinin değişebilmesi bu ayrımı daha da karmaşıklaştırır. 1950'lerden 1960'lara büyüme hızının değişmesi, bir deterministik eğilimin kırılması olarak mı, yoksa stokastik bir eğilimin gerçekleşmesi olarak mı yorumlanmalıdır? Bu soru, sonraki derste ele alınacak yapısal kırılma tartışmasının özüdür: bir seride tek bir büyük kırılma varsa ve bu kırılma hesaba katılmazsa, aslında kırılmalı bir trend durağan seri, birim kök taşıyormuş gibi görünebilir.

Yarılanma ömrü

Durağan bir sürecin kalıcılığını yorumlamanın sezgisel bir yolu, bir şokun yarısının sönmesi için geçen süredir. Birinci dereceden otoregresif bir süreçte, katsayı φ ise, bir şokun etkisi her dönem φ katına iner ve yarılanma ömrü, φ üzeri n'nin 0,5'e eşit olduğu n değeridir: n = ln 0,5 ÷ ln φ. Katsayı 0,6 ise yarılanma ömrü yaklaşık 1,4 dönem, 0,9 ise yaklaşık 6,6 dönem, 0,99 ise yaklaşık 69 dönemdir. Katsayı bire yaklaştıkça yarılanma ömrü sonsuza gider; rastgele yürüyüşte şok hiç sönmez.

Yarılanma ömrü, aynı zamanda bir verinin durağanlık sorusunu cevaplamaya yetip yetmediğine dair kaba bir ölçüt de verir: gözlem dönemi, yarılanma ömrünün yalnızca birkaç katıysa, şokların geri dönüp dönmediğini görmek için yeterli sayıda döngü gözlenmemiştir. Bu ölçü, iktisadi tartışmalarda sık kullanılır. Örneğin reel döviz kurlarının satın alma gücü paritesine dönüş hızına dair çalışmalar, sapmaların yarılanma ömrünü genellikle birkaç yıl olarak tahmin etmiştir; bu, kurların uzun dönemde pariteye dönse de, bu dönüşün çok yavaş olduğu anlamına gelir. Yarılanma ömrü ölçüsünün bir uyarısı da vardır: katsayı bire yakın olduğunda, katsayıdaki küçük bir tahmin hatası, yarılanma ömründe büyük bir farka dönüşür.

Durağanlık ve öngörü ufku

Bir serinin durağan olup olmaması, uzun vadeli öngörülerin niteliğini belirler. Durağan bir seride öngörü ufku uzadıkça, öngörü serinin uzun dönemli ortalamasına yaklaşır ve öngörü hatasının varyansı, serinin kendi varyansına yakınsar; yani uzun dönemli öngörünün belirsizliği sınırlıdır. Bir rastgele yürüyüşte ise en iyi öngörü, ufuk ne olursa olsun, bugünkü değerdir ve öngörü hatasının varyansı ufukla doğrusal olarak büyür; uzun dönemli öngörünün belirsizliği sınırsızdır.

Bu fark, kamu borcu sürdürülebilirliği, emeklilik fonlarının planlaması ve iklim değişikliği projeksiyonları gibi uzun vadeli politika sorularında doğrudan önem taşır. Bir ekonominin büyüme oranının ya da reel faiz oranının durağan bir ortalama etrafında dalgalandığı varsayılırsa, uzun vadeli projeksiyonlar görece dar güven aralıklarıyla yapılabilir; bu değişkenler kalıcı şoklar taşıyorsa, aynı projeksiyonların güven aralıkları çok daha geniş olmalıdır.

Bir uyarı: kısa örneklemler

Durağanlık kavramı, sonsuz uzunlukta bir sürecin özelliğidir; oysa elimizdeki veriler her zaman sınırlıdır. Türkiye gibi pek çok ülkede çeyreklik milli gelir serileri birkaç on yılla, tutarlı biçimde hesaplanmış fiyat endeksleri de belirli baz yıllarıyla sınırlıdır. Bu kısa örneklemlerde, kalıcılığı yüksek bir durağan süreç ile bir rastgele yürüyüşü ayırmanın zorluğu, yalnızca bir istatistik inceliği değil, uygulamadaki her analizin karşılaştığı bir sınırlamadır. Bu yüzden durağanlık kararları, istatistik testlerin yanı sıra iktisadi kurama ve serinin üretildiği kurumsal yapıya dair bilgiye de dayanmalıdır.

Dönüşümler ve logaritmalar

Makroekonomik seriler genellikle durağanlık analizinden önce logaritmaları alınarak dönüştürülür. Bunun iki nedeni vardır. Birincisi, büyüyen serilerde dalgalanmaların büyüklüğü genellikle seri düzeyiyle orantılı olarak büyür; logaritma, bu orantılı büyümeyi sabit bir varyansa dönüştürür. İkincisi, logaritmanın birinci farkı, yaklaşık olarak yüzde değişimdir ve iktisadi yorumu kolaydır: logaritmik gelirin farkı büyüme hızı, logaritmik fiyat düzeyinin farkı enflasyondur.

Bu dönüşümlerin sırası önemlidir. Fiyat düzeyi verileriyle çalışan bir araştırmacı, önce logaritma alıp sonra fark alarak enflasyonu elde eder; enflasyonun durağan olup olmadığı, fiyat düzeyinin bütünleşme derecesine dair ayrı bir sorudur. Yüksek ve değişken enflasyon dönemleri yaşamış ekonomilerde, örneğin Türkiye'de, enflasyonun kendisinin farklı politika rejimlerinde farklı düzeyler etrafında dalgalanması, durağanlık analizini ayrıca zorlaştırır: tek bir uzun örneklemde enflasyon birim kök taşıyormuş gibi görünebilir, ama her rejimin içinde ayrı ayrı durağan olabilir.

Uygulama

Özet kartı

1. Zayıf durağan bir serinin ortalaması ve varyansı zamandan bağımsızdır ve iki gözlem arasındaki kovaryans yalnızca aralarındaki zaman uzaklığına bağlıdır; beyaz gürültü bunun en basit örneğidir, durağan otoregresif süreçler ise geçmişine bağlı ama ortalamaya geri dönen süreçlerdir.
2. Rastgele yürüyüşte şoklar birikir ve varyans zamanla büyür; seri durağan değildir ama birinci farkı durağandır, yani birinci dereceden bütünleşiktir ve birim kök taşır.
3. Trend durağan bir süreçte şokların etkisi zamanla söner ve seri deterministik eğilimine döner; fark durağan bir süreçte şoklar kalıcıdır ve eğilimin kendisi her şokla yer değiştirir; yanlış dönüşüm, verilerde olmayan döngüler ya da sahte ilişkiler üretebilir.
4. Campbell ve Mankiw, ABD'de reel çıktıda beklenmedik yüzde 1'lik bir değişimin uzun ufuktaki öngörüyü yüzde 1'den fazla değiştirdiğini, yani şokların büyük ölçüde kalıcı olduğunu öne sürdü; Cochrane ise uzun farkların varyansına dayanan bir ölçüyle çıktıda uzun dönemde az kalıcılık buldu ve geleneksel model kurma ölçütlerinin kalıcılığı yanıltıcı biçimde tahmin edebileceğini gösterdi.
5. Stock ve Watson, eğilimlerin kendisinin zaman içinde değişebildiğini ve değişken eğilimler içeren verilerde geleneksel ekonometrik tekniklerin yanlış çıkarımlara yol açabileceğini vurguladı; otokorelasyon fonksiyonu bir ilk ipucu verir, ama kalıcılığı yüksek durağan süreçleri birim kökten ayırmak birim kök testlerini gerektirir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Zayıf durağanlığın üç koşulunu yazın ve rastgele yürüyüşün bunlardan hangisini neden ihlal ettiğini açıklayın.
2. (Çıktı 2) Bir süreçte bu dönemki değer, bir önceki dönemin 0,8 katı artı standart sapması 2 olan bir şoktur. Sürecin varyansı, birinci ve üçüncü gecikmedeki otokorelasyonları nedir?
3. (Çıktı 2) Şok kalıcılığı örneğinde geri çekilme katsayısı 0,6 yerine 0,9 olsaydı, yüzde 3'lük bir şokun beş yıl sonraki etkisi ve toplam maliyeti ne olurdu? Sonucu rastgele yürüyüşle karşılaştırın.
4. (Çıktı 3) Bir araştırmacı, aslında bir rastgele yürüyüş olan bir gelir serisinden doğrusal bir eğilim çıkarıyor ve kalan sapmada düzenli, uzun dalgalanmalar görüp bunları iş çevrimleri olarak yorumluyor. Bu yorumun sorunu nedir?
5. (Çıktı 3) Bir ülkenin fiyat düzeyinin logaritması ikinci dereceden bütünleşikse, enflasyon hakkında ne söylenebilir? Bu, merkez bankasının enflasyon hedefinin inandırıcılığı açısından ne anlama gelir?
6. (Çıktı 4) Bir yorumcu, «Büyük durgunluklardan sonra ekonomi her zaman eski eğilimine döner; bu yüzden durgunluk kayıpları geçicidir ve uzun vadeli politika açısından önemsizdir» diyor. Bu görüşü Campbell ve Mankiw'in ve Cochrane'in bulgularıyla değerlendirin.

Cevaplar

1. Zayıf durağanlığın üç koşulu şunlardır: ortalama zamandan bağımsızdır, varyans zamandan bağımsızdır ve iki gözlem arasındaki kovaryans yalnızca aralarındaki zaman uzaklığına bağlıdır. Rastgele yürüyüş ikinci koşulu açıkça ihlal eder: şoklar biriktiği için t dönemdeki varyansı t kez şok varyansıdır ve zamanla büyür. Kovaryans da gözlemlerin hangi dönemde ölçüldüğüne bağlıdır, çünkü iki gözlemin ortak şok sayısı, erken gözlemin dönemine bağlıdır; bu üçüncü koşulun da ihlalidir.
2. Varyans, şok varyansının 1 − 0,8² = 0,36'ya bölünmesidir: 4 ÷ 0,36 ≈ 11,1; standart sapma yaklaşık 3,33. Birinci gecikmedeki otokorelasyon 0,8, üçüncü gecikmedeki 0,8³ = 0,512'dir. Katsayı 0,6'dan 0,8'e çıktıkça süreç daha kalıcı hâle gelir: varyans büyür ve otokorelasyonlar daha yavaş söner.
3. Beş yıl sonra etki 3 × 0,9⁵ ≈ 3 × 0,59 ≈ 1,77 yüzdedir; şokun yarıdan fazlası hâlâ sürmektedir. Toplam maliyet 3 ÷ (1 − 0,9) = 30 yıllık gelirin yüzdesidir; katsayı 0,6 iken 7,5'ti. Rastgele yürüyüşte etki beş yıl sonra da 3 yüzdedir ve toplam maliyet sınırsızdır. Katsayı bire yaklaştıkça durağan süreç, kısa ve orta vadede bir rastgele yürüyüşe giderek daha çok benzer; iki süreci sınırlı verilerle ayırt etmek bu yüzden zorlaşır.
4. Bir rastgele yürüyüşten doğrusal bir eğilim çıkarmak, şokların birikimini ortadan kaldırmaz; kalan sapma durağan değildir ve uzun süre aynı yönde sürüklenen, düzenli görünen dalgalanmalar gösterir. Bu dalgalanmalar, ekonominin bir eğilim etrafında salındığını değil, yalnızca yanlış dönüşümün sonucunu yansıtır. Araştırmacının iş çevrimi olarak yorumladığı yapı, verinin içinde değil, dönüşümün içindedir. Önce serinin trend durağan mı fark durağan mı olduğu sınanmalı ve dönüşüm buna göre seçilmelidir.
5. Fiyat düzeyinin logaritması ikinci dereceden bütünleşikse, birinci farkı, yani enflasyon, birinci dereceden bütünleşiktir ve birim kök taşır. Bu, enflasyon şoklarının kalıcı olduğu anlamına gelir: bir yıl enflasyon beklenmedik biçimde yükselirse, gelecekteki enflasyon beklentisi de kalıcı olarak yükselir ve enflasyon herhangi bir hedefe kendiliğinden geri dönmez. İnandırıcı bir enflasyon hedeflemesi rejiminde ise enflasyon hedef etrafında durağan olmalı, şokların etkisi zamanla sönmelidir. Enflasyonun birim kök taşıması, merkez bankasının hedefinin enflasyon beklentilerini sabitlemediğinin bir işaretidir.
6. Yorumcunun görüşü, çıktının trend durağan olduğunu varsayıyor. Campbell ve Mankiw, savaş sonrası ABD verilerinde beklenmedik yüzde 1'lik bir çıktı değişiminin uzun ufukta öngörüyü yüzde 1'den fazla değiştirdiğini, yani şokların büyük ölçüde kalıcı olduğunu öne sürdü; bu doğruysa durgunluk kayıpları kalıcıdır ve geleceğin her yılına yansır. Cochrane ise uzun farkların varyansına dayanan bir ölçüyle çıktıda uzun dönemde az kalıcılık buldu; bu, kayıpların büyük ölçüde zamanla telafi edildiğini düşündürür. İki çalışmanın farklı sonuçları, sınırlı verilerle bu soruya kesin bir cevap vermenin zor olduğunu gösterir. «Her zaman» ve «önemsiz» ifadeleri bu belirsizliği yok sayıyor. Ayrıca şokların kalıcılığı geçici bile olsa, Cochrane'in bulgusuyla uyumlu yavaş bir geri dönüş, birkaç yıl süren önemli kayıplar anlamına gelebilir.

İleri okuma

• John Y. Campbell, N. Gregory Mankiw (1987). «Are Output Fluctuations Transitory?». Quarterly Journal of Economics 102(4). Çıktı şoklarının kalıcılığı.
• John H. Cochrane (1988). «How Big Is the Random Walk in GNP?». Journal of Political Economy 96(5). Uzun farklarla kalıcılık ölçümü.
• James H. Stock, Mark W. Watson (1988). «Variable Trends in Economic Time Series». Journal of Economic Perspectives 2(3). Değişken eğilimlerin makroiktisat ve ekonometri için anlamı.

Sonraki derse köprü

Bu derste, kalıcılığı çok yüksek ama durağan bir süreç ile bir rastgele yürüyüşün, sınırlı bir örneklemde neredeyse aynı göründüğünü gördük. Bir serinin birim kök taşıyıp taşımadığına karar vermek için, bu iki olasılığı istatistiksel olarak ayırt eden testlere ihtiyaç vardır. Ama bu testler, durağan olmayan bir sürecin altında olağan istatistiksel dağılımların geçerli olmadığı, testlerin gücünün düşük olabildiği ve yapısal kırılmaların sonucu yanıltabildiği zorluklarla karşı karşıyadır. Sıradaki ders, birim kök testlerini ele alıyor.